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数学建模算法与应用》方法概述

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2018-10-31 09:45 |只看该作者 |倒序浏览
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    [color=rgba(0, 0, 0, 0.74902)]《数学建模算法与应用》方法概述# V2 F, i5 V: M5 v+ f7 _% V$ L

    $ l6 \4 X& J/ C0 Q

    * J+ m( l3 Y8 q  ^( S" ^2 r  x' p

    序言:学习司守奎《数学建模算法与应用》第2版过程中,给出一个内容的提纲,希望可以在回忆复习时快速建立知识结构。包含了数学建模所需用到的一些方法和常见问题类型。
    9 U* S4 [4 S" f; e本文仅仅建立一个学习过程中的知识框图,后续会将具体算法理解与Matlab实践整理出来。
    : @6 G5 ]5 Q! [/ y% E$ S1 v! z! R其中前半部分“方法类”为一些常用数学建模方法,单独拿出来介绍
    # W1 f6 c+ w8 s2 j9 p# `! [后半部分为总结的“问题类”,主要为规划、分类、优化、评价和预测,也总结了网络类和图像处理类问题


    —————— 方法类 ——————一、Matlab求解规划类和极值问题

    数学规划为在约束条件下追求效益而做的安排。   ?0 O! i/ s4 y! }0 a/ @& A* L
    Matlab知识负责实现数学计算,目标函数和约束条件还是需要自己去寻找关系建立方程。
    - z( X/ H$ k- l多目标规划:针对多目标,加权系数法和优先等级法。

    二、插值和拟合

    根据一组数据构造一个函数作为近似 0 W) C* c. G2 `. Y" x- m
    插值曲线要过数据点,拟合曲线整体效果更好。

    三、偏最小二乘回归分析

    一般研究两组变量间的相互关系

    四、微分方程

    需要了解研究问题领域相关规律 + h! n: h& t' I/ f
    规律列方程——>Matlab求解微分方程

    五、数理统计(需对概率论很熟悉)

    利用样本来估计总体时,需要数理统计
    % ~1 P  ~4 T6 f1 w参数估计、假设检验 ——> 方差分析、回归分析 5 @3 }- P) U3 |
    Bootstrap扩充样本

    六、时间序列

    通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律

    • 移动平均法:直接平均
    • 指数平滑法:加权平均
    • 差分指数平滑法:增量的加权平均
    • 季节性时间序列预测:对季节求系数
      5 p) E& X% t% i7 R" G9 x/ [

    ARMA(自回归移动平均序列)构建及预报

    七、支持向量机

    找到一个超平面,使得其尽可能多地将两类数据点分开 . Q0 x% r  ?) Z: r; R+ A
    线性可分SVM、线性SVM、可分SVM

    —————— 问题类 ——————一、规划类

    寻找目标函数和约束条件 ——> Matlab求解

    二、多元分析类(分类、聚类和相关性分析)

    (主要是针对多个变量的统计分析)

    • 聚类分析
      ) J6 a6 Z2 Q+ O; r; l+ [( S对样本的Q型聚类
      $ S: A9 c: \& ?对指标的R型聚类
      $ i7 E# v4 R+ J7 v(利用相似距离进行聚类)
    • 主成分分析
      # j, M) X/ ?$ ?7 h: j* f将多个指标转化为少数几个不相关的综合指标 5 C7 [, j: J9 R% S* j" `' r
      标准化 -> 相关系数矩阵 -> 特征值和特征向量 -> 组成新指标 -> 选取主成分 -> 得到贡献率
    • 因子分析 & F# _& Q, ~) W" i0 f: b
      类似主成分分析,但通过计算初等载荷矩阵选择主因子
    • 判别分析
      2 s. S, x9 a; F6 g' \利用统计方法根据研究个体的观测指标进行归类
    • 典型相关分析
      % y/ B2 N5 E! |$ _2 a$ |! j/ k  ?研究两组变量间的相关方法。 ; T, m2 E) z, ^0 B$ j# O4 G
      思想:分别找出两组变量的各自的某个线性组合,讨论之间相关关系。
    • 对应分析 0 R: x0 t% |  L& \' a
      R-Q型因子分析,在同一因子平面上对变量和样本一块进行分类。 7 V7 m2 ^; s% J* m1 m. f' ?  b6 ]3 Y0 R
      行点和列点用同一二维关系表示,绘于同一散布图。
    • 多维标度法 * A, z+ A9 o1 d# w1 l
      在指标个数和本身不清晰,仅知道客体间某种距离情况下,研究客体间的结构关系。; N0 V1 F9 E) g9 w+ o* I
    三、优化类

    求组合优化问题的全局最优解。不断迭代产生新解直到最优。

    • 模拟退火:“状态转换”
    • 遗传算法:“逐代进化”
    • 改进遗传算法5 }+ m- e7 t( x4 P  G9 |

    区别:产生新解方式不同

    四、评价类(评价与决策)

    (关键点在确定评价指标的权重上)

    • 理想解法(TOPSIS法) 0 R6 o9 G8 G5 ]9 ?% t. G$ c0 ~
      找出虚拟正理想解和负理想解,测距找最优
    • 模糊综合评价法 5 Q0 W( S4 Z% F7 i* A! I4 e1 }
      针对考核指标难以量化,以等级制解决。可以多层次评判,权重主观。
    • 数据包络分析 ! _$ t6 g0 P2 s6 J2 v- S
      多指标输入和多指标输出。(针对发展情况的评价较为方便)
      # O* a$ R. Q& b9 @' b无需假设权重
    • 灰度关联分析(主观) 8 d; ?! l2 F: U; u0 @3 x
      计算评价对象和评价标准的关联系数及关联度
    • 主成分分析 , W& c" _9 l) {: v
      指标转化,利用特征值和特征向量
    • 秩和比综合评价法 " s" q4 b# B& {* U% A; I( E% ^
      利用秩和比进行优劣排序
      - F0 i# d  K) U# b
    五、预测类
    • 微分方程预测模型 8 H2 E" ]' W4 z- S) a0 G& a
      基于相关原理规律的因果预测法,大多为物理和几何方面。
    • 灰度预测
      ! Y4 P) J7 r, Z+ T: v不仅利用原始数据序列,而且对原始数据做累加或其它处理得到近似的指数规律再进行建模
    • 差分方程
      8 n4 k* X: r; e. w1 o(解得问题觉得更像高中应用题)
    • 马尔可夫预测
      - {3 b, Y" t* H系统未来时刻的情况只与现在有关,而与过去历史无直接关系
    • 时间序列 (根据趋势进行预测) - P: }7 N/ Y6 h) B' h& i8 n( E
      通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律
    • 插值和拟合 (根据趋势进行预测)
      9 ?" ~6 E( K3 z根据一组数据构造一个函数作为近似
      7 D: j7 U1 ^* t6 k0 N插值曲线要过数据点,拟合曲线整体效果更好。
    • 神经元网络(根据参数预测)
        t1 q) a: D+ \& g& i, PBP神经网络:反馈式地不断调整学习参数。 / a( F: F, h" o* x
      BPF神经网络:把网络看成对未知函数的逼近6 m4 W6 o% I# ^! w
    六、图与网络类

    对于图与网络模型,无论是什么情景,方法总逃不出以下内容

    1、最短路问题

    • Dijkstra算法:单源最短路
    • Floyd算法 :任意两点间的最短路
      $ Z* Q2 j+ Q2 m0 e& M

    2、最小生成树

    • 加边
    • 加点
      3 {) R+ x! C9 S

    3、最大流、最小费用流

    4、旅行商问题
    . N8 R: N4 V9 r! Y! Y' L改良圈算法

    5、统筹

    • 计划网络图
    • 关键路径* [: `* [% @+ z' Z! F( S1 G2 v
    七、数字图像处理
    • 图像表示
        n, n1 [+ ~) |% a; a1 R) }) p2 ?采样 + 量化 = 数字图像的矩阵表示
      0 M) m: s; T8 S/ Z图像类型:二值、灰度、RGB彩色图像
    • 处理方法 $ }2 ]; i# t) P# s7 l
      亮度转换、空间滤波、频域变换
    • 应用
      " p1 d( l+ u$ ?水印、加密式隐藏……
      % `2 {5 j$ I6 c: r

      D; k6 z- h9 h4 Y6 D9 u- c( N1 ?2 n6 U  T) v/ a5 |

    ! t9 G7 m- Z$ R; g2 T6 `& l/ q2 v
    zan
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