数学建模学习笔记（第一章：建立数学模型）

佛自业障

数学建模学习笔记（第一章：建立数学模型）


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第一章：建立数学模型
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1.    常见模型：是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象，提炼出来的原型的替代物。其集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
实物模型：玩具、照片、飞机、火箭；
- T# M6 W0 p- }! A: t* K$ l/ V' p% L% Y- M物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机；
' |2 U0 Z2 ^+ a, ^: x/ V符号模型：地图、电路图、分子结构图。


2.    建立数学模型的基本步骤：以航海为例
+ @7 n" H+ {2 c% ]a) 做出简化假设：船速、水速为常数；
b) 模型构成：用符号表示有关量：x，y表示船速和水速；
- b; U  E8 u% `# u$ H9 ]# B发挥想象力、使用类比法，机娘采用简单的数学工具。
c) 用物理定律列出数学式子：二元一次方程；（可能伴随模型的参数估计）
有时模型有未知参数，这时需要使用各种数学方法、数学软件和计算机技术进行模型求解；
% \4 `# B5 u# H; K& a7 m之后还要进行模型分析：如误差分析、模型对数据的稳定性分析等；
模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性。
3 l) q" Q& n, C" g2 ^: Cd) 求解得到数学解答；
e) 回答原问题：船速每小时20千米。

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3.    数学模型与数学建模
' z: l/ U6 k! Q" |数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
* L- ~9 S1 r. g: e1 r* k2 Z数学建模：建立数学模型的全过程。（包括表述、求解、解释、检验等）


4.    数学建模的具体应用
a)      分析与设计：椅子在不平的地面上能放稳吗？
b)     预报与决策：如何预报人口的增长？使用现成模型、确定模型参数、模型检验、模型应用（即进行人口预报）。
% `2 I/ v2 i5 l4 ^c)      控制与优化
# ]2 V; W( X4 I7 a# {# V  Hd)     规划与管理：商人们怎样安全过河？


5.    数学建模的基本方法：
- j( B6 T! N" r# v0 h9 J- H/ S机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律；
测试分析：将研究对象看做“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。
# Y  c4 ^6 P% u% _+ c3 g* d一般情况下，需要进行机理分析建模，并通过测试分析确定模型参数。
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