数学建模学习笔记(第一章:建立数学模型)
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第一章:建立数学模型
9 ]2 ^: d7 H; ^" B 1. 常见模型:是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象,提炼出来的原型的替代物。其集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。, n1 k6 |: u+ A" y6 J
实物模型:玩具、照片、飞机、火箭;' S! E Y% o6 [
物理模型:水箱中的舰艇、风洞中的飞机;
2 T( Y* X4 s, z T9 L- ~5 n% M& Q符号模型:地图、电路图、分子结构图。
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& q% U; f; b- J6 e e1 H! R2. 建立数学模型的基本步骤:以航海为例4 e C& S1 T. Y# V- K. _* k
a) 做出简化假设:船速、水速为常数;1 _1 ~/ F' N+ v* _ b1 ^8 @/ h
b) 模型构成:用符号表示有关量:x,y表示船速和水速;7 ]8 j5 x5 v ?; i
发挥想象力、使用类比法,机娘采用简单的数学工具。
5 \6 i$ ^9 d c- N6 @c) 用物理定律列出数学式子:二元一次方程;(可能伴随模型的参数估计)% R9 Z! Z9 c4 P1 f5 P I/ D
有时模型有未知参数,这时需要使用各种数学方法、数学软件和计算机技术进行模型求解;
# H: M! @, Z( q; V1 ^2 Z/ [之后还要进行模型分析:如误差分析、模型对数据的稳定性分析等;$ V4 W; Z5 ?7 `% c
模型检验:与实际现象、数据比较,检验模型的合理性。
6 Q9 }$ M; y0 o6 L1 w% k9 ?5 w1 md) 求解得到数学解答;( Z/ _, G3 ?' K" \% a
e) 回答原问题:船速每小时20千米。
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$ b: u! P# A% {8 h3. 数学模型与数学建模
! v7 d( r! i; h+ X8 h数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在规律,作出必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
& l& T! ^7 W& p! _( \: a; X$ R数学建模:建立数学模型的全过程。(包括表述、求解、解释、检验等)5 [; {1 E% D) v+ _
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6 n- v( ?/ C' u4 y2 B+ d' k4. 数学建模的具体应用
) L) J! Q* G* t; }8 C% ba) 分析与设计:椅子在不平的地面上能放稳吗?9 P' h" Y& Q& _* k& }& e
b) 预报与决策:如何预报人口的增长?使用现成模型、确定模型参数、模型检验、模型应用(即进行人口预报)。6 T; O' x8 \! k+ o( U0 F
c) 控制与优化
% _% I4 R8 H/ P0 W: F- i9 r1 }8 b5 Xd) 规划与管理:商人们怎样安全过河?
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5. 数学建模的基本方法:
+ D9 r! }9 T* M7 s" r+ \机理分析:根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律;( L7 z$ p5 ?+ n# W2 b
测试分析:将研究对象看做“黑箱”,通过对测量数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型。
' o& i% L" b4 L1 u+ M( [8 k一般情况下,需要进行机理分析建模,并通过测试分析确定模型参数。* M: g0 k7 ?8 ~
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