经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
) ]# `' ]9 y' S' p8 R% t解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
! u% I+ b) _! S3 V) I1 I* N3 H
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)


& J. f7 `0 U7 I" Y: V
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
/ n9 W. I5 a, Q: m* D
= f(newN) + f(n-1)


3 W" R7 K% s' w' N. o5 }
  f! Z# r8 L$ r/ q0 c* b" p在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
& {, m3 T: q# V$ v4 d3 B! ]+ E
& D0 ?, R; \# V. T而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
1 z  Z/ y8 S" H& k7 t
6 V# E; Z2 {7 J: G则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

' N; ^& M0 p, l) i& a- r化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

" N4 P8 R6 {3 f2 K3 w; m即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)

* x, O6 z& G  S0 ]6 w
( r4 j+ W, h0 k4 g+ y; {: V& I! T2 X
1 Q$ s4 y2 N* G! _# N, a所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

% j( j5 B' B  U+ K3 l, Rf(n) = 1 (n=1,2)

& j/ s* F, s" q3 t. Nf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

4 ^. E( F- J" w* A3 Q" a' `接着编程为递归函数即可解决问题。
- i' c2 X: q1 v# B" X7 f1 C

: M3 |* N- I& A6 u0 ?% F
  v  P6 Z/ Q+ B/ J: Z0 \% c