经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
2 l* Y  W$ l5 |1 E; F" w0 B
$ A' M9 K5 @6 U其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
. H$ m: Y8 e) y: F$ e


从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

第n新出生的兔子 f(newN)
* ], X6 M) }1 A8 I, F; V+ m, K第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
0 V8 N* o3 m) H# H4 ]+ O% ~# x即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

+ l& }( m: U- P) O& N  M+ B= f(newN) + f(n-1)



在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

+ r' X- ]$ M+ k4 \; {而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
3 r; N3 B3 L' t! @8 W
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
: S8 `% j3 m/ g! S8 Y& ~
化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
5 S: L$ y' A$ q# {; f8 i# V1 ^
9 U! R: m/ E  w. ]# _+ A9 |3 \即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)


5 \  v8 d7 y; s0 N7 ?
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

( _- M+ Y' ], G9 S! x5 S' R0 s: Q0 of(n) = 1 (n=1,2)

4 E- F$ y. T; l8 K4 y4 qf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
8 u$ G1 y/ G; d
接着编程为递归函数即可解决问题。