经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
  M' ^  q" g" a) j, {2 i  k: E6 R! Q解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
& h# x. G" l; z' R. R: E

0 j# f* x! Y4 T/ F+ \. ^. e6 B- y% e
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
$ H! U! p) x( W9 ^$ T6 d
# q9 T0 w7 c& B" t) J& A第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
2 q5 p% g1 t$ N+ Z5 _即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
: S# ?2 O2 J- P
: m/ q# J- M. x% K= f(newN) + f(n-1)

! L1 s+ ]  a4 `7 }
9 j: p" c  |7 c
  ]7 h5 L% B) k7 ?在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
' k% n# S  Q3 t, e
- f: F  u3 s& x, z9 V而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
$ W% P* X0 p; V  g4 r! S2 p% ]
1 D. r2 W9 X. o! G/ V+ Z: [则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

3 z; X- v2 M: }+ q) L" w化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
9 w: n2 _" c. J; q. E" d
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)


! X# N2 J) P3 A+ Q" J! p; u* n5 Z
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

f(n) = 1 (n=1,2)
' {; l1 N- {0 ~, J& l, u" H
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

) w: r3 A( o9 }& B接着编程为递归函数即可解决问题。
: ~7 K7 G% f2 N) Z4 G
, K, I6 Q  _# _
3 l- A7 q( a& r& m5 }

2 c) D, B3 X1 D  L1 Y$ F