经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
% r! v0 }/ L3 m- e8 B, R6 j解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
) e& `$ e$ U7 U& q/ |1 O
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
% k1 d: X2 I( ^" C4 u

0 _; T& r/ F: h  N* ^( c
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
# }+ @$ |0 v- f. {/ W7 f5 e
第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
$ I3 D: w2 {, u即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
4 R8 U6 M$ s; @4 C
= f(newN) + f(n-1)

3 g% q3 S6 _3 _5 m5 A
9 R+ L" w; o4 U8 y( o9 x
. i) {+ R# D4 `# `0 P( }0 J在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
! i) W* o$ a/ s
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
( ]+ t9 ~" O5 ?6 d
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
* R  b0 p, u3 @5 I4 T
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
" Q4 {3 n. P& q9 |% T
7 c+ S, @: [4 U: G3 e

5 d( i. T$ m- J* Y/ `所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
3 b# P0 @% y$ f* ]' y
& T6 A8 p$ `2 p5 }, j$ [( e3 k; ]f(n) = 1 (n=1,2)

2 K2 l8 l! t8 N' hf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。
2 Z$ L# v6 K; m& K
% f1 `: L3 `2 U3 K: P+ T
/ X# e8 \- Q* r+ v& Z9 i4 e
8 M6 h' `4 z* |* E4 J
. w4 X5 d; z. q8 T