经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

其中 f(1) = f(2) = 1 (对)



0 \7 i0 W/ V4 N% i. A2 \% F3 F8 ]! j从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

第n新出生的兔子 f(newN)
  H4 U4 b/ H+ K" C第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
4 `  }' u# @# m: B即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

= f(newN) + f(n-1)
& C, l. ]7 \4 r: s9 R: n. x  P5 \
: a( {$ a* N+ z% j: p  f4 a
. y* G7 _( c* M8 p: c6 m
. X) M; S8 M5 J$ D在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

& b& ]7 n: m. i5 c- E而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

5 U; p( p2 B8 C: n则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
6 S! M3 b8 T9 V" t& A# r
4 H$ U9 m' l2 u+ H1 l化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
- B1 G0 ~2 z8 r7 @! v
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
# n* Q# o6 b; \4 T1 d
2 i' I5 s, ~: `2 b9 D
% k: i% |3 `8 {. P, n7 ?$ }
, }$ [( `% s8 d$ A2 G% P' R* o所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

: n! m6 g; p  O9 N6 j' C; uf(n) = 1 (n=1,2)

! d0 V7 Y0 f  A. P5 Zf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。
% J* b1 @+ T  t$ n. x
( R1 m9 j1 Y" s- }9 e, b


: ~' Y% v0 y6 R. f$ @