数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
5 S- c1 \- Z3 |- W' J( i; l几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
% y0 M( c0 `% r8 O2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
( j$ b8 L4 V9 V9 @* _. K% J性模型和非线性模型等。
: e$ ^* o$ t' V( V2 z/ I1 |3. 按模型的应用领域分：
. J. N4 ~1 Q8 H人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
  c' n' P, N7 \& a8 F4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
- E9 B6 E0 I; A5 j& l( }8 M# x5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
3 U6 A  O  E; y/ Y1 }, Y比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
  C4 I, k$ X+ |9 r" D( J) R5 r, V6. 按比赛命题方向分：
2 N, w+ F4 Y, V& s+ D3 p& L4 e国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
# ~6 p5 H: q8 i! \运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 S) `" m- T  R- B1 、蒙特卡罗算法
6 A8 r1 `. l! o) |* \9 ^) g$ J9 _该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
0 l( y& N" x; ~! J! ]4 \2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
0 X0 e/ g4 |! E比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
( {6 Y' f. k/ n; Z3 ^9 E3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
# P; @$ u# T, {+ O( J4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
2 Z% Q! I" d* g  u8 |9 A论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
- B# M1 r4 b! T) u+ ^% J这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
( `4 j8 [% q% X! D& O) A9 K4 N% n6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
, S- r% j& e- K5 u: X+ O这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
1 l- T( h( D" P4 c  D5 ^. t" u一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
+ \5 z. `! n. ?据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 ~% Y9 {; H1 H9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
; J; W, _8 d9 e) R0 c$ `行处理
算法简介
! J- O% L: S8 c, O: v1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
) }- i8 [. z, C5 [; ^0 r" \- r/ {解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
; L* P" S2 {& ]4 U3 Y* [找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
! Q5 ]! }2 K! ~6 y3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
4 r) f; x% d+ b1 N①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
' g1 F; s' u/ c7 f6 u3 |7 Q$ ~6 r②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4 I$ H. C! Q: ?7 j! X$ s4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
7 D2 a# n; g- x& q( z, S) S互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
/ w  E; q, ^4 W5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
6 U# d' ]) J- h0 i+ V' A6 V0 H- F（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
4 N4 _5 h* Z! C+ K& ^* R8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
+ a! P- e3 R, s% l( i) t; t拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
. W) {1 l4 Q" @9 k6 B评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
1 v3 U5 {* ]! q: Y. x2 V11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
; N4 Y5 j. q5 F: [+ z" [作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
4 B4 K: n; z9 Y" W% q# R" V12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
' J# D) C/ f6 ^# x: j1 H优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
6 Y8 e& J; G% v5 ]2 k法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
( |3 ]/ C1 E. d6 p1 ?, h似。
+ q0 l4 x! H# \: p' N14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
+ k0 j- v& d8 `% i3 A8 w评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
) e2 q$ Y4 P" Z: l  @& k解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
& r0 P% P, l8 P9 J, N6 N2 \6 c! t的最差值。
, z! x/ T" @- S4 N$ v2 U15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
% \% k4 I( X5 P1 i2 T. |来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
5 M; K+ {8 p3 q$ g& S! `该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
) x( h. Z2 U6 ^+ I5 R$ u4 J. x  D1 o0 [素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
# z! t$ L. D( {8 ]17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
% s+ f/ ~( j  w: I! b$ j0 m1 C模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
8 K( r" {. g9 Q" W- ^算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
1 ]( H& \! s+ _; y计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
( u) r# F, }5 d% c6 t0 \5 t4 t1 x般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
1 D2 x* s1 a1 X) F. W, q21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
$ R: _6 w9 X/ L) f1 r1 u22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
) l) c5 O* M- `+ V& v: e支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
- g% R# j9 [; S1、聚类分析、
2、因子分析
  B  H2 b8 s$ ?3 y/ U3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
0 Z7 `, l  Z- E: |/ X4、判别分析
5、典型相关分析
" t' t5 B0 ~4 N( W" w9 V5 J6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
) o. V9 a. @3 G, a" O( M& C主要包括以下几种方法，
( p0 w/ h* ^" g# |1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
4 l; Z3 j' L% U8 N) Q3、层次聚类
4、密度聚类
  D4 ~% Z7 d5 x: ^0 E5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
% J, l* S  P. u5 U/ b4 q9 F3 a7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
  A# S9 Z# C" k4 ^  G/ @: X3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
0 t  u' M/ [/ r5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
4 R- g  _- h* g* b5 e1 {% w6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
5 I6 _/ f; {( H  P% r9 k7、生存分析（事件史分析）（较好）
# m* B$ B- |( q2 H9 x9 G/ N数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
0 {5 M) c! O% \2 Z% S7 F. R* g计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


! P5 w1 D7 r. G
4 y) n3 J2 N- f8 p5 ~6 w