数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
) r* p! g$ Q5 i. |6 y1 M型、马氏链模型等。
' U$ E) f. O7 y4 j# q6 z2. 按模型的特征分：
# z2 n  t& q7 E$ u静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
* m: t6 ~( A  ?! M, L, {人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
+ |1 E: D2 k+ y: u: U9 `! a往也和建模的目的对应
5 j" q" x7 F& Z1 ?5. 按对模型结构的了解程度分： ：
4 e  A  `2 V3 P  V$ [" \0 X有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
0 a* w. q6 w2 N4 m9 N! u4 `6. 按比赛命题方向分：
+ A) Y3 B0 v' D) b6 e) m5 u8 n国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
; q3 {- ]3 P* D) d' @4 K1 w. u% s运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
6 S1 ^1 Q- X6 t* l4 X0 p3 H4 P4 I数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
* y. [6 V# y( y% P以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
6 _+ b; \" O! x' j) i. x0 ]2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 _# {  C& _! W3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
3 M6 n) P# M4 P0 L+ ]& K9 M0 B% m建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
) k5 P+ M1 {) {: J4 T8 ?法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
5 t  ~1 [( I4 _, j1 F; p' H( M1 I这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
' N8 i9 [' a& |; S" P5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
. V& \0 I3 f, p' G6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
* k$ y" T: u, {! h+ B这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
6 g2 n! [, m& U$ x当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
4 Y# R8 {% H' p7 b; I一些高级语言作为编程工具
! N& B* t( O9 A$ z% k, `. a8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
1 @( q  T. @9 x! V8 s如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
# _2 z. t) q# ?0 _3 {- S10 、图象处理算法
7 x* D6 l! Z/ a; t+ V" g赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
5 s( v9 r  S5 u+ V5 k1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
! @% |" M! L; i3 E+ M解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
# G, J  n% }  O4 q, p4 I个条件可用：
7 W) C8 z5 s5 s! B①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
( Z% j# z5 ^+ l  O, Z8 Y其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
( c5 l& F8 V, b) q+ H6 T找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
6 o3 y2 n7 F' m- y. a9 E( ^3 、回归分析预测 （ 一般） ）
9 `! i1 V5 Z; o$ s3 }求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
' {8 {! L0 L, ^% Z9 H- ?3 \- _. F①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
, m) _! _3 g/ S7 k( x②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
, o; K# R4 A* r/ N: [$ l5 B) ?) I5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
- q1 s* \7 Q9 W+ Q, i) x（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
" b$ p7 i+ A! s! J: \数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
2 P4 e; U4 F3 \2 h& r  w1 m5 i预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
3 K! s/ `4 b- U/ K5 ^( k预测波动数据的函数。
0 O% U* f0 p; h8 A7、 、 神经网络 （ 较好） ）
, O% n6 R% C( K6 X大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
% j6 O0 x% x6 ]* `办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
( S. x$ l" v6 b5 |8、 、 混沌序列预测（高大上）
0 i3 z2 C9 `- P9 ]9 H! R) w+ i) a2 w适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
# `! Y! F6 u0 D, k3 t4 m# ^0 O9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
' j( O6 B" R5 l7 ?在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
( X& U* Q0 @0 G" }. W0 e$ b, `; n# U. ]逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
# [% |' X3 D+ i; X10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
- @( C- \5 p- a3 G评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
8 @# |: X! `" K7 X作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
1 }2 g5 N( E% K- u: ~6 P8 t7 R* q12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
- ~1 m0 F0 O0 \" L5 J) O秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
1 S; y" h" y7 C解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
5 J3 {/ m; d0 s0 m的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
7 S3 r9 y5 |( ]该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
# U2 U1 Q4 D+ m8 k" c方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
  G+ Y" {% i! n/ a: Q) v% q协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
7 q! D3 H8 j$ t, Z1 v" a此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
( b8 s$ V2 N! C+ V4 }* Q优解。
3 c! A* K) ?0 |3 w; q: ^18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
* m1 d+ k2 s0 j8 f, j* l4 _. b智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
  j; ]" d) a/ c算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
! V9 f" v  L" G3 T1 K: r# U19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
- N5 l' a0 z( H离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
) G6 G* d- I! X9 v' v6 {  I+ w- ^即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
) t. C0 q  I5 e  b# _般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
* N0 }% g% {+ `/ e' R* @, I) b22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
6 ^6 _* }6 c$ \支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
4 D5 g: N# j  L) Z射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
3 I( V- N# T# n" C' w3 @23、 、 多元分析
8 x6 n9 [( k& ?. i0 K1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
1 @2 S$ _% a, W1 S! j各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
8 d2 O( `2 m1 ^  v- l6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
6 [( }' j! q0 D* q4、密度聚类
& r, {0 a% j8 K/ o' g# n% m5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
: \0 g# H% U( W# @& {, z! t25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
5 H6 i; n+ L" j! A3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
$ V6 M: f" V# J& D; p5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
/ \, w/ d9 ?  f  I一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
9 E0 \  _* {+ N1 s; m( a6 k" C6、标准化回归分析
4 i, m( P8 e  X. K  X若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
/ g# b6 d( M. s+ I( Y& Y, C/ P数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
# g. [/ Q; v! B& L8、格兰杰因果检验
& ~7 q+ ~- F% C+ U计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
$ A; ]2 }& s: \( {4 X9 D9 @26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。



8 Y0 g. S. i- ?4 T+ t( r