数学建模

佛自业障

数学模型的分类
% K6 m% E. K  U$ D9 A- d, \1. 按模型的数学方法分：
) [$ b: @% ?* [) x% l. {7 p7 D几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
' _5 E) |. B; p1 x5 ]2. 按模型的特征分：
. @& b/ l* G& H& {静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
) e$ O# i) C8 O7 Z' j性模型和非线性模型等。
0 ]6 N( i3 M) G6 ~3. 按模型的应用领域分：
: f, C# n$ `- Z人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
5 `7 ~$ H4 h6 n, P" R4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
9 m4 X7 F* _* u( ~% g  p往也和建模的目的对应
: L3 B, Q5 Q7 S. M8 ^5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
/ @7 P7 V4 d% T# e0 [比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
0 B; U$ n: B& C( Y/ B  g+ e6. 按比赛命题方向分：
+ i+ g6 m8 v' r国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
. [. i2 L2 @' m& U- v. U运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
- ], O. O  q; Z& ?( ~该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 _7 z! F, _! C$ @9 C4 n建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
  w3 \9 V9 c! F4 V' @$ ^9 ~+ C这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
& A2 [9 m4 F( c" O论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
+ d6 N8 Q! T" `" Z* n这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
; G  i8 ?' s3 w3 Q% d6 P6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
- J  I( [& u) t5 \这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
6 R7 G' k/ r- v& I帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
3 v- C( F7 g4 B! |8 w9 Q+ F* m$ b. k1 ~7 、网格算法和穷举法
" L( m6 Z) m. D% E( x当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
7 U  Y4 \; g0 m4 ~! S- _! Y9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
& \9 P2 H: Q2 o6 c: f4 L. g' Q如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
7 {0 X( C/ N3 Y9 L行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
7 W6 H& s" x8 X: Y3 i$ ^* D个条件可用：
0 P' p& b6 I4 I6 n9 P①数据样本点个数 6 个以上
* ~" V5 u7 x7 U& G' o1 ]1 {②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
% u0 O9 N6 u9 t* v2 F2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
4 o" q2 s8 T& t% b微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
4 n3 R. O4 S* I7 a2 X1 m1 b其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
+ a2 g0 X) j; K* o0 c' x3 、回归分析预测 （ 一般） ）
: m- Q  ~4 @: d7 C求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
/ S  L" W3 z5 u  ?0 U1 J化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
8 r* H' P5 M/ V  H9 [* m一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
9 U. F% f$ H# P& S- R- b概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
* i9 p5 P3 I; D4 g0 t& e7 I5、 、 时间序列预测
9 R$ E. z4 I4 {; z( c5 m5 f预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
* J) n! L! f0 q; E（较好）。
9 O1 G- ~$ A0 P( b6、 、 小波分析预测（高大上）
2 N7 f1 I8 s6 w. h1 P# e; V4 `数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
: b7 U* @" p* N5 k' s# O7 P- Q预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
% c2 f  I+ V7 e4 n预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
/ C; l/ U. P' A5 T+ G大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
0 F  `; \) R# N  k5 i5 c拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
# ]: }% G7 Y7 F$ U1 _- R) m# m逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 V( U% k5 t3 }9 `3 A2 i作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
# M$ n' t% a# p/ P12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
4 F! k  A& r* r! d- y- p% p优化问题，对各省发展状况进行评判
5 I3 \7 M! v3 `13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
3 K- q) ]$ @/ K1 s3 ?- q- i$ P7 o秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
' l- ?" V! m# e% `+ T  N法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
8 N" P+ G( h0 p" B; B评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
  ?6 N6 V; m& u解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
$ a3 p/ q* g, }& t! u5 J7 Z/ l3 _2 W15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
0 f: e& L5 H2 w5 y来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
* P7 f) N" q$ ^7 I! ~3 B该方法做评价比一般的方法好。
# Y7 b! }) W1 P" t6 T16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
' d! R' O" j9 h  A* G- l量有无影响，差异量的多少
5 O! g  O, k5 m协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
. l3 A) d+ M+ p7 D) I5 s此外还有灵敏度分析，稳定性分析
+ d: @0 T* Z& l0 A) ?$ g17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
0 ]: x1 C! p  l- x6 k4 q& _模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
: k, a5 f) i# c3 m) f) q18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
5 R. y, k2 J% m) K" Y) z算法、神经网络、粒子群等
0 h* J, G) s) g7 c) ]4 K2 v* n其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
% y1 G; O1 P4 F$ p! W19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
& ~3 L' W  G# @9 L离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
& P5 x) S- c' p6 R& T5 C7 o20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
8 p* p2 W7 u4 I; `6 r# s0 z即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
! ~9 j. D/ Q$ m/ _3 e. S有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
/ Y& i5 q& X# ?6 X" v0 J8 c3 O计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
: A+ @% ]5 ^8 ]& c* r1 y  ^4 e# @- W般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
% Z, P2 v+ D& G6 I, r! Q9 |MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
, O# e; V% j# O9 H例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
* X8 n  {" S+ b; t) D22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
$ `+ k) L6 r% B支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
1 ?" f* Y  `' d+ n1 \8 R射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
4 s5 G. v9 |1 K2 I, V, L23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
2 w% c, e5 Y/ D5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
: D: c9 @) O; e* H' I8、偏最小二乘回归分析（较好）
3 S! l' m* U0 L24 、分类与判别
' ~, O  z6 J4 u主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
& E7 w* [- ~& t, f# r! Y2、关联性聚类
# F& L: ?7 U. k8 S' u& |' g3、层次聚类
  i1 @. h. y4 W0 r0 M0 `! _4 O4、密度聚类
. i# ^2 T' v) F5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
4 Z1 y6 W. O8 a7 d, |. m1、灰色关联分析方法
2 |! A. H) P( I& k9 I% v) y, h8 T2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
. s1 m/ _9 h% J, q) @; k3 v/ m0 J（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
  T( E, O9 u6 @5 d* O. _4 z. i一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
" |7 e- ^, Y$ a6 |6、标准化回归分析
9 B0 O) U( e2 g若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
, @$ I6 k2 z- L& D6 ?$ H$ D+ I数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
& J2 K! F6 `0 c$ \! c( J9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
! ?/ e7 C2 \! n% i8 w$ r/ l