数学建模

佛自业障

数学模型的分类
0 J6 E* N% s! ]/ C* M* L7 c5 @1. 按模型的数学方法分：
+ y6 U% P7 f, S几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
* e. k* s; d: |4 k型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
- x$ ?" ^. s) X# w静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
& y3 i  z* f% v/ I3. 按模型的应用领域分：
! d  G6 }9 u7 |" |' I2 R/ t人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
# ?( O& Q1 o8 g9 A* ]" c预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
$ X' A) Y7 b$ s& ^8 O7 a- M4 ^往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
) O+ |: A& F2 _  v有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
% ~% a# n- u6 d+ V比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
; G+ E* z5 F3 G3 p" `# x3 |* \8 L6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
6 M/ s8 J7 F! C( F2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
' l7 B7 J+ A) @- d% S比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
2 [6 |; x6 J: ^1 |2 M3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
/ ~1 D, d; r9 x7 U  q+ b) o建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
- Z0 G, U- [  P; ~' f6 F0 m5 L4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
+ r6 o6 u3 ^4 R论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
& Y  t: n. D# O( m5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
9 Z6 [0 u/ K$ C4 `+ b; V: w' s) q这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
8 t1 ]7 n$ ?. V( y* D9 C) k6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
0 G+ h3 o$ S6 |+ l当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
5 F& c0 l) q+ |4 N4 B8 、一些连续离散化方法
) ]1 e  w" A& ]) F很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
3 m6 ~3 j" z& o4 [) f9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
& ~& {5 k' j. w* K! X$ h1 s+ E赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
- u* H- M  d; J行处理
算法简介
7 ?( C* ?) j6 h! m! p1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
; }$ r$ i' C8 i. s0 n5 C①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 W* X1 c) u+ `' p4 x2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
/ F/ c0 B0 x- u- d微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
; ]! B- J9 m! \求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
% j4 u2 s. v7 S, Y7 Y# d- K4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
. E& H( f& r" N; F概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
* Q. g& z" J9 g! ~+ g- P9 G预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
3 e* n  j! k* i数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
" v6 N9 F! q; p7 M. E& E( A* V7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
5 G: b) ~  @1 @* l; C! L# z! M* w办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
4 W4 M$ P# s8 ^4 M$ B% _. _适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
, Q. J5 G6 P! m  e拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
6 @4 z- z+ p! ~' ^" I4 V* [评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
) d& j/ a5 T. g  B$ J+ o9 g; ^11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
% ^' ~: U$ |. r, w( w! ?$ m1 K& B优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
( a  `* e2 t- J# F似。
4 ~$ ~: K/ C6 e* V' n0 @7 E* \14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
% X3 E5 l8 ]9 _的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
! Y  y* U  u7 ~+ O( J! c16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
& p& Q  g' s& [! v% ~此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
9 ]  g3 }" a1 H; V: C9 M+ I. x优解。
' k! \5 Q, Q9 G, B8 z% }18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
4 G5 s, ^/ y( m* I2 O$ d智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
7 ]% Q) A6 J% d( S19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
0 o% q' T7 @6 V2 h离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
; D. V% g( _$ u4 l: Y排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
0 a+ M# |* s( \( U即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
; F# Z! t. t2 S  g0 {; i有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
0 y; i0 L" \; m9 t计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
; z! B/ d0 r, ^21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
+ P4 n9 d+ R3 `: n' Y+ Q6 X2 O" h支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
" S4 y1 x2 u/ X: X) l2、因子分析
& O- _; @! o8 [% q% h4 s3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
7 w7 j$ O  k. c! A各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
" n1 e( t2 g3 X( s* r4、判别分析
/ U6 v) v! w9 P. z, @1 f, D; J9 b5、典型相关分析
0 j& b" b8 L- ^" |& D6、对应分析
3 \8 L: a" Z. `% D1 W. ^8 l$ _7、多维标度法（一般）
! b- N8 U- J  M% G% u3 X8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
* R& Y3 V/ t) b) Z3 A8 u* Q1、距离聚类（系统聚类）（一般）
8 v4 \6 a* {+ Y7 y( y$ m9 ?% Z2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
1 I) ~5 z4 \) w7 i) l5、其他聚类
& E/ v7 \4 Z4 z9 o9 T2 S6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
! J/ T. i( k4 }1 W! I0 l) {& P8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
+ ?, r! P4 @1 j" s4 f: i* ], d1 ]" |2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
, I4 X1 h+ z! D5、典型相关分析
6 P, |, W! K* G" E6 P# |9 C（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
, L! V; t/ r* J& c6 M  s$ f$ _+ `; Z; U一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
, e4 T% H+ B4 m% C1 n. W6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
9 o* _1 \: N. m  s. k4 B8、格兰杰因果检验
2 \# ~& \: u3 N2 p: o" o# C& K计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
% y% z/ {* E: _3 }  a( ~( p26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
. T, I- L* R2 q( ]$ Y率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
* \% U; x% f/ |& i! w8 _- }# P5 g

9 a! A7 _% \7 u# j