数学建模

佛自业障

数学模型的分类
* N6 p( ^( i% y1. 按模型的数学方法分：
; r& V9 k& V7 C" x几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
; D; G9 r( ]$ @; J$ ]型、马氏链模型等。
0 t& c4 x- V5 l) O! ~6 }2. 按模型的特征分：
0 U  N6 }1 \0 f$ b静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
" i9 s+ S. r5 T7 [* m/ i$ ^1 _9 v1 @" K性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
' @1 w8 z& Y2 Z7 ^" X5 L& |. f人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
  n8 y0 l0 N: J& f4 r; k) G! B4. 按建模的目的分： ：
6 p0 \0 W1 x( ^预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
8 K* c+ m6 s% H- y) j' z一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
! h! ]  z/ l5 Y3 D7 F0 v往也和建模的目的对应
- Z) a! z* J; y- ^  z5. 按对模型结构的了解程度分： ：
  l* m4 F+ r( w& }有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
' s8 m1 [- e2 f, i9 R8 u3 A7 R( Q6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
& F6 e. U8 `* P" k/ ]( S) g) c数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
' E7 B- f% P+ K以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
- q* A# [* r: Q4 l$ @* N2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
2 X0 E4 J  Y3 q" f1 A0 p比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
% y) l3 x, `; Y3 T" h通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
2 X3 `; z% v+ H  p建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
" [, P0 k3 B6 P4 ?' d4 、图论算法
4 [6 T5 K3 G7 r" G0 V% Z3 M这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
8 [" q' n8 S& V3 [. K2 B论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
$ s4 [/ A7 C9 O2 ?这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
/ h# M( j& @3 r: B! H很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
9 }4 l) [* b. X1 F; h据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
8 x; v. p! \7 p9 、数值分析算法
* `; [/ h" Q! ~+ w4 }, n( u! I如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
; b' b) }2 F8 s, L- ^8 C7 N' j10 、图象处理算法
( v/ K4 k1 O& [7 b2 F" B赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
0 p* @# b, n/ Z- P- `①数据样本点个数 6 个以上
$ W' b  Y' r2 v1 ]' p9 e②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
3 \0 O2 |& b4 G2 n& r  Q3 j. I2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
* b+ o1 u/ r; R9 ]微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
; r8 q0 A; c* V. e0 ]3 O8 W! E3 、回归分析预测 （ 一般） ）
/ }' t9 L; M  ~7 ?求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
4 I5 L% t  F4 N) q$ t3 l/ B( D5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
4 N7 z/ |  ]) s3 p. U) ~（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
( ~0 N4 {, C4 o' X& |预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
$ F4 t# N0 w9 O( p% y8 J. d) [6 S4 `预测波动数据的函数。
8 w7 v& q* f. N2 P6 n9 u+ C7、 、 神经网络 （ 较好） ）
: \: a3 i2 j& |3 o/ |. T4 u大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8 q. f4 U# r8 h/ A3 E8、 、 混沌序列预测（高大上）
8 b1 Y' ^  c% M5 e适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
2 W! U' l; ]3 y6 l  N$ A9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
' ?* S( y- _( z3 M拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
6 e! s* h+ l' W9 @7 r3 O  _10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
5 H& L1 u# a8 s7 a3 K& q) L* n' n7 b评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
% w8 Y  J1 B! M" {. D11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
* G; J2 @2 I  N12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
- s2 `6 h* d6 x1 m, z( f优化问题，对各省发展状况进行评判
9 N' E' r! s+ T  J* f13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
1 M+ }5 k" m& S" u$ ~+ Q  T( f秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
3 p: S5 T- L$ L- z; T/ b/ f& z法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
1 o, n0 z% j, x$ q8 F7 J' M似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
7 O8 J8 y, z/ n, \4 I" `" ~- h评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
& D. p/ A4 |% J, C+ S, O解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
3 G1 j+ E( O8 V- g16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
4 I5 ^* C4 t( W4 i协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
  ?; v/ E* E, x: M& {此外还有灵敏度分析，稳定性分析
1 a/ {8 P0 h7 |, [$ M2 V, M: _% y17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
, M6 \9 \; j% l模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
/ W" y# |2 p- C4 Y* z18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
& c4 a7 k& T" f" K9 {智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
/ Q* e# U5 V: h$ t; I+ a# L其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
6 B; R# L: I* u0 O0 W  g20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
' ~# z, l+ l! V2 m! ]排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
6 Y7 Q7 |) s, |8 Y, J& b' T即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
* s7 N, W; S1 G. q2 x! ?. {" a计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
9 e  }8 t2 B: G4 \( v. e  b% n21 、图像处理 （ 较好） ）
% F3 M5 t: w0 E5 v! dMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
( b% N. x/ o2 R; J/ c& n例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
& F" F, k3 c! h支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
% G" Q0 _0 K/ ?  U射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
; l  z. l/ ]: y: l8 u23、 、 多元分析
2 N" V8 o5 z% T) z  }0 |1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
8 g1 {% L7 x6 Z  k. _* A* U5 c# @9 R各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
) K. A* s9 u8 Z9 @, v从而达到降维的目的。
5 X# e' K4 E( F/ D: f* \, ]9 ]2 P4、判别分析
5 f* V1 E. P; V& Y% Q5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
/ s: e% G( ]6 ]1 A/ y( y; H8、偏最小二乘回归分析（较好）
# K& Q. p4 p2 U. Y: e24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
% O9 x5 Q* ]5 D2 I' x1、距离聚类（系统聚类）（一般）
. \: P, b/ e1 N7 U2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
' \! ~5 d9 Q; m, ~" \8、模糊识别
25 、关联与因果
# m  L: q* {2 m; z1、灰色关联分析方法
' ^: ~4 L1 x2 X) ^6 n9 h8 s' N2 K2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
1 V3 D8 V0 m# T5 j9 T3 F一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
# O$ l: R; g4 A若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
5 R$ c  }% ?9 @) o5 O& c0 s计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
+ `+ T( _. d- P, K
: y, t( u3 `& _) }& ?# `, d. ^# T
& y6 D" F' |: r0 j' ^