首先来简单介绍一下矩阵的乘法,两个矩阵能进行矩阵乘法运算的前提是:第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数。A = (aij)是一个m*s矩阵,B = (bij)是一个s*n矩阵,则矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C = (cij),其中:cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ··· +ais*bsj(i = 1,2,···,m;j = 1,2,···,n),记作 C = AB。 + v/ F1 h: ~$ R" W( k" H* h0 C* F% S
用文字来描述就是矩阵A的第i行分别乘以矩阵B的第j列对应位置再求和得到的结果作为矩阵C第i行第j列的数字。
x6 V( ?4 ~0 S由于没有真正学习过转移矩阵,所以百度了一部分内容粘贴上来 ; V3 [( U/ B$ Y* Z$ M
*什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix) 6 Y& m* K9 C) [# c; F" }
转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时,矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。
n4 j+ A4 Z% R) g" _% A转移概率矩阵的特征 9 }, q8 r+ b% t9 {9 y0 X
转移概率矩阵有以下特征:
( @' s# R8 o' g" v* i ①,0≤Pij≤1 1 J) }$ r* b5 Y: d% P+ e: j
②\sum^{n}_{j-1}P_i j=1,即矩阵中每一行转移概率之和等于1。 9 `/ V6 }* f A' a" o$ l8 M0 s4 |2 e0 l
转移概率矩阵的分析
' q, p% o/ U% Y$ X( a6 ? 所谓矩阵,是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来,以表示它是一个整体。如A就是一个矩阵。 $ H p4 G( j, G5 v2 q
A=
6 d5 @3 ?: q% I# ~) s+ Y2 I, ?! q( [5 F/ b Y4 X( Q
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]⎢⎢⎢⎢⎢a11,a12⋯∙∙∙∙∙∙a21,a22⋯am1,am2⋯a1n∙∙∙a2namn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
) w5 E5 S3 R3 V* `, \$ R[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]这是一个由m行n列的数构成的矩阵, 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素, 矩阵中的行数与列数可以相等,也可以不等。当它们相等时,矩阵就是一个方阵。 ' _& i9 s I; T" `
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)] 由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率R=
0 {! q, k8 K" M' e! G[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
7 I1 `1 @1 y4 f: h下面通过一个例子来解释转移矩阵的应用 1 p- C' Y* H; f; L, z& Z
有R和S两家公司经营同类产品,这两家公司相互竞争。每年R公司保持有1/4的顾客,而3/4转移向S公司;每年S公司保持有2/3的顾客,而1/3转向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额,而S公司占有2/5的市场份额。 ! E9 |4 K! f1 s2 v( c0 M
试问两年以后,两家公司所占有的市场份额变化怎样?5年以后会怎样?
; x) w1 K: H7 N E9 x3 G第一问比较简单,通过高中的知识就可以接出来,# ], a: M3 I! e
R0 = 3/5,S0 = 2/5,R1 = R0*1/4+S0*1/3,S1 = S0*2/3+R0*3/4,同理R2 = R1*1/4+S1*1/3,S2 = S1*2/3+R1*3/4,
/ M6 ^; `: |$ T) S O3 ? x2 E$ y) L0 q5 N1 Y5 C
这样稍加运算就可以算出结果,但是当计算5年以后时就会比较吃力了,下面通过转移矩阵的知识进行求解。
1 g! E. v3 F/ a: X# O先建立一个R和S公司的初始分配矩阵; ^, E- ^4 _5 E) m5 t" ^& h
RS0 = [3/5 2/5]
) K% q- E9 i0 e, U# Y) _' q再建立一个转移矩阵
$ w# z$ E7 A1 r( N, K1 CA = [1/4 1/3; 3/4 2/3]5 R$ M# T- G' Z; n2 u! i1 O# v! O
一年以后的分配为+ `; T2 A2 S4 g+ @/ |) q& G% k9 Q+ `
RS1 = A*RS0
% _0 ~( s" v2 ]+ P0 q3 N1 Y5 e两年以后的分配为4 D9 z* A! U) h
RS2 = A^2*RS0- \0 @9 x1 }, r; X
5年以后的分配为
4 N& Q" ~. ]* [3 S# J7 JRS5 = A^5*RS0
$ W6 ^) W; k9 `9 f5 J# x转移矩阵的第一行第一列为第一家公司保持的份额,第二行第一列是第一家公司向第二家公司转移的份额,第一行第二列是第二家公司向第一家公司转移的份额,第二行第二列是第二家公司保持的份额。
/ f* i$ X( p; V, R ~% O9 s9 F6 E
: t0 m( v, j9 ~+ [5 E |