2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
' Q! k* K. X# i( T" W. p; ^/ x
  n! a* ^4 G; ^9 \之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了

& W4 u- t7 Q! ~) L5 W

! J+ r2 H' W7 ]* O' f6 Q- d4 R询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
4 X& m% Z/ J0 \& J+ x5 ^
3 h1 `- J" }% P6 E经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

但是！

1 D8 h) j# C2 o  t" c4 G. d) l数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

( s  O" P2 w1 H2 b4 u" O1 N再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

$ t' N, V' N3 i4 X1 F* ^这里统一对大家的问题做一个回答：

% G) }  v; i& A- v  _本题适用差分解法吗？

/ F" y3 J5 \- f$ c$ R: r' O& A求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。
2 c- K+ v8 c( {7 A# C2 E  |) q( w
- R# ~2 p3 p% D8 [有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

9 [) A( ^& K0 ^1 {* W' K' ]: M本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
- I, i( x& j8 W. o" d4 M$ q$ [+ F" y
本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
8 H. S; Q: F0 g/ P8 m# [" _/ V
当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

% L) m9 k& I8 z% \/ Y6 a是否适用于多层壁热传导？

, r& ^, l' P" ?评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

/ k. ]) O9 [3 D8 y9 B: b其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
  O/ ~1 H! F  S7 a! Z
答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
- H" n/ W& p2 l
思路1：

. G5 l) j2 k& d你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
# `0 _) q0 v% k+ t* S
因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
5 n+ l- Z* B9 _" ~4 |2 d" s% Y  U  ?
这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
9 O- v: J: [: d$ }! z
- i+ {. ]$ H1 x4 b- i/ q思路2：

我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

6 r1 S$ H3 o# \: m; X这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

; O6 K& S" L7 S+ r" W关于边界条件

/ ^7 U% J  h( A8 N' p% T! H" y构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
4 u+ ~! m, y5 P& b1 Q- o
之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

u(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)
8 T: Q' H6 e9 D
在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

/ S) Z' X7 G  @  z2 F首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个

  g8 w1 Q& [6 H: j6 C但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

$ V7 L& W6 K  G$ g$ d比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt

这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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