2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

8 C  ~) }, M4 U之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
2 C6 s  w9 }, V4 U) k* B3 F
7 n8 c: T! M: n今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了

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; F$ J/ x/ q! B' e7 s) X  A& T0 ^2 M- S询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
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但是！

数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
6 W1 R) e3 U' J4 w
再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

/ l. I( G) N3 K1 p; ?. s, E0 [$ A这里统一对大家的问题做一个回答：
, J1 @! ]: @$ ?+ |# L1 K+ F
9 K2 i: `& J9 u5 h/ b& I  \本题适用差分解法吗？
$ g8 B; H- }2 w/ r; _. U
求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
4 I# V& f. Y( o% B1 h
差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

$ r$ F; K' b6 [( t4 x2 z1 t有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
+ W5 u7 R  @) [* F9 w: [
本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
% h" |. }5 U- k0 f* X0 n( P
4 z) s/ R5 I2 Z2 o% H本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

' X. k7 W" o: U$ ?. M既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
5 f9 `3 `. J; `- s3 t; q! z1 ?
# O) _! l. i" t当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

6 R; `- i3 N7 ^是否适用于多层壁热传导？
' E5 ]7 j& ]( M, H
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？
+ V, g% M+ e; h, d$ `* S3 f
其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
3 g" ~0 [$ Z! A. g& t& H
答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
. O  w3 P. d4 _7 h; m
& C- b# o* P' G. j- f思路1：

! g$ j7 }. G6 o& r9 X+ K你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
+ @. x5 c+ f. w3 Z  X" r$ g$ G
! O" U. r" f' J+ Q% z! w这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
) m9 A) b# N/ k) ^' W' ]0 o
思路2：

2 k0 Y4 ^1 G  k$ b! D我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

' C5 o7 a, p% `- D" q这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

关于边界条件

4 e( J9 B- }, _8 Z6 ^% `4 V7 ?9 t构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

. j- q, l- B; ^/ k# u而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

$ D: V* r, G. y& A) C( U4 S/ U之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

u(x,0)

$ p1 u7 m' P' O' o+ p: t- ^4 @u(0,t) 和 u(1,t)
. m  h+ l; o& D  z; Z
在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
. d2 \7 K7 B; o+ c/ I
8 x) d% z8 Z; }; f首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
+ c( U5 U8 O( D/ T0 t
- @6 d! f$ N( @2 |7 C. F  d% a但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt

9 ]  Z# E9 U* z# C, a这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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