2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
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之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
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; e7 }+ S1 x% {今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
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# A1 |( b) f7 @' p* [+ U
询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
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经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

但是！

: K7 u$ ^! r$ O6 S数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

这里统一对大家的问题做一个回答：
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0 w. @- @' j# f! }! i$ ?本题适用差分解法吗？
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. J0 ?! B% W8 B; N& D1 H( l求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
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差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。
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5 C) x2 Q4 Z3 O& L' U+ P有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
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; \' E1 t5 I+ f% ~( k" B, Q3 |3 A既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

是否适用于多层壁热传导？

# i2 d2 ^2 h  O; s) n6 v3 \评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

2 ]$ `& w8 ?  R$ \- I( Z! }其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
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思路1：

你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
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7 J% X( ]; v$ |9 U5 b/ a因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
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这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

思路2：

我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

! s3 E' h' y7 G2 p0 y" q$ f! s; p& l这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
2 W$ E5 {2 R: V# W4 e, {! Y7 S
- y9 J( W8 T. z关于边界条件
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构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
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之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

& A! q, K6 b* |/ e2 ]u(x,0)
8 q( H$ ^7 `1 f3 w$ T8 v- G# L7 Z
u(0,t) 和 u(1,t)
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在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
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5 b$ p. h* w4 }1 X& h4 c首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
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" c3 W' {- A2 b# M+ O  x但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

' b$ q2 M9 i5 i3 O: n# G; e比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
% Y, H2 C% J/ i0 `, p
- [, Y' J- x- i# ]) j8 f& ?这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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