2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

0 Q: _0 Z& F! S- h5 P: g2 s' Z$ a之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
8 X! V& s0 ?" _! J4 Y& i! {: z
6 x- I3 T' r/ t. F今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了
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* y1 c( D6 @  L' f1 X

! X: _0 h/ ~- |' X询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

8 M8 a# D- u* Y. }* S- a- j8 t经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

但是！
: T3 G4 f, P; J$ q0 p6 X
8 C3 D9 {& ?% s, \( x数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。
' Y7 n" p7 m) B9 |1 [
& v" K+ c: p% A) a$ L再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。

这里统一对大家的问题做一个回答：
0 d. h2 P9 }- Z& P: \' o8 F
本题适用差分解法吗？

( I" y8 }2 P# U- a: o1 p求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
) q0 K8 F6 C4 i9 d- V9 ~' D
差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
" m9 a" u9 {1 R1 \+ J2 o
! m) }2 q6 O# {+ ~) d! h& u本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设
4 r8 f* x# p4 ~
本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。
4 g- _; o* c8 ^5 i# U
既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
" u2 P4 q. |! E5 r/ L- T
当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

8 n% Z) Q7 z* r# _0 I是否适用于多层壁热传导？

4 [. B* D" _9 {- s评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？
9 I% P( O1 n" l# e$ \3 ]
6 x$ @$ L7 l9 x+ J其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
& ?( W9 W6 b- v1 t
% E/ P3 C& }8 s8 E6 q答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

  S3 s* E( ?( m- s. q1 {思路1：

) y( k: z2 ]' @/ ?8 z( W5 q; Y你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
" Q% k% e! z3 X  q
' [. y1 t$ x& |" G因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
+ d( a0 e9 v; t+ Z8 v/ f1 w
这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。

- ~) V2 x  E: G6 Q思路2：

5 [/ M1 n& }$ u' g  R" g我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。
/ o. O9 h, W  d5 g* O% U1 L
这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。

这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
4 C) S+ t2 S0 C+ [+ |( O4 x3 i! U
* c) i; k4 M& D( [2 Q" F% X关于边界条件

构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

; i& U' j/ p+ o; W0 G( }而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

% |" Q" d+ r$ f8 w/ o2 H+ f7 }之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
" J8 A8 j  l5 h: b9 v
2 J) n5 ^) d8 m- Ru(x,0)
& A0 l2 G$ R* O
u(0,t) 和 u(1,t)

在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
9 @9 ~& \$ n  L1 s! T, V1 J9 b) m. w
; ^1 Y4 j, L; v但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
) M+ g+ @  J2 h8 ?, w& K
8 s7 H" ]. {8 |比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt

: ~2 y! E6 o6 }这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
" B6 W& d5 ]! J  Z1 s/ t  s---------------------


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