数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
) C) j, P0 F$ y1 ?$ ]8 z" `优化算法

* [- n, m$ e- k+ h& i7 H数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
7 \! J, x' P2 m* C  H0 R) A4 F
4 }& @3 G0 _8 u! ^# ]一、粒子群算法（PSO）
4 R% D, R" _# H. v1 Z9 K
+ Y+ n- L; _/ N7 b  @算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
! V. n$ ^/ Q! ?' Z9 p: F* i% VPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
2 B& r5 }6 Y( I! P
基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
" C9 e1 O$ H8 b* H/ u6 j3 O
! O: y" ^0 o7 b5 o' g/ B" C6 L
二、模拟退火算法（SA）
% R  W! w' g) e# o+ d7 m
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
2 S4 C. F+ C2 P( {$ x8 P: ]. ?热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
! W5 A6 I. `& i' \8 Q降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
. @4 b1 V+ I5 Z" C8 H) l1 g  P
, M. E8 u- t+ v1 ]: n, e& d% b/ D三、遗传算法
2 f% ~3 \2 k1 z7 }
产生一个初始种群
/ Q8 S) [- T2 f1 B/ `; R1 c" O根据问题的目标函数构造适值函数
) b8 @6 x2 j& p6 i) |. G根据适应值的好坏不断选择和繁殖
. w; M2 D! _. _- F3 `+ [; H若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

, C/ \6 |$ u  Q, X* l" b; D$ r四、算法步骤
初始种群
7 r* U8 A; d- _4 M编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
+ e  r* U! c: ~3 F6 f8 ^/ u
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
# i# P+ |- M, p8 Y2 o, ]& }优点：
$ `/ H, l* }) M3 r0 g1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
* P3 a! Y" h6 t# `& ?b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
  H  F7 R- G% C* P" c% d+ ^0 Q1 i移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
; y# g) W/ q1 M# Z从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
: o( o" Q6 f/ w/ |" ~) [* w% I  M(4)禁忌表
7 S, @* G9 l0 A: q" n禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
5 G8 `* l7 ?; n, J0 X/ Z8 Z
2 S7 X' D3 s1 ?六、蚁群算法（AS）
/ [* e* |, x: q8 @+ I
/ k& x6 U8 [, J/ u

  c/ Z+ y+ O3 v( z1 v5 _2 @. [
& l, w# V  r$ R


: B9 u' ~% F/ c/ W- Q: v" F
# ^8 k1 M2 _+ t& c3 y" L2 f. q7 }# A
5 R: p$ M& |5 {4 B1 E/ e
& u" P  M( @' Y/ x5 Z