数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
2 r4 u3 r9 f& z* i优化算法

3 k3 G! L. Y" Q4 z' E# b) Z& ]* k: H0 e5 T数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
2 D' H' o8 K3 N' ~PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
/ f8 k) j; d& u3 J+ F, b7 ~$ z8 T
6 S0 B* n4 H3 u5 a+ H. I& T基本PSO算法
  F! }' s0 E2 K# F! q. ~
( R% R  ?9 n% a. qD维空间中，有m个粒子；
  S6 E: ^# |( C6 R7 P! ~8 H) g% l粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
& Q( |2 {1 f9 E9 F/ s  }% \, g* [粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
0 K' M$ B8 w% w( o群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

: Q# ]' }* q5 E
二、模拟退火算法（SA）
7 w) I. Q$ W  V: D! Z% Q+ }; [
  v. t' C' T) s: p; _模拟退火过程：
5 a3 z# p4 W  O/ D' J% j4 h设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

  T& O0 x, j- I! f4 @* B+ e产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
4 {% p. A3 v/ W- M根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
: X& {7 A) I% N& l2 }$ |
四、算法步骤
0 k8 x  b+ ^7 e! A# m0 @8 @9 F初始种群
* Z4 W+ N5 @- P' Y' ?6 z编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
* U: ~% k3 g, c选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
& G% q9 U# P, ^0 J& ~
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
' z+ }% k! @# A
" t) |5 e9 `  Y3 w3 V四、神经网络算法
/ c- S5 T/ J2 D, I- b, S9 L
' G8 X, ~  m! y% w! r" m# P8 Q和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
0 B7 }* x  c9 o6 a+ I5 g
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

: f" M; g& o8 t& e# g7 w2 l又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
3 D7 L2 \- m( s7 B$ V- j& R2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
. F, d1 d4 B7 S% [& @4 @1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

' ]) J( G( S) C将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
3 A9 @4 H6 m# S3 B; L: }a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
% g* b2 R. Z' x. Gb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
% ^+ ^) N: ~0 J- e1 D- n(3)移动邻域
9 l% U$ \/ U0 j6 t移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
# ], }, y& y5 Q& ?禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
/ {3 S' a4 b$ x6 {" J3 xA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
" H: i/ q1 r( P7 Y
7 T) V" o' x1 p, n6 @六、蚁群算法（AS）

; k5 o3 u) s: W5 m. T% m
. R4 j, ?# v& }% x. m$ e

% R. e# _( l7 U* E- O' ^
# b( n; V: B. I7 G$ a9 v! ^0 E
4 v# m" w. j, S& A. ?9 F$ E



+ C3 n+ e7 z) ^7 Y$ W