数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
; B1 G; C2 U1 d& `优化算法
+ ]  t- I) X  [2 P2 ~  u
+ {/ V% ]) {) U' t4 d( i1 @. l数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
( |9 `- b# m) \" F7 ^7 o
# }9 ^! j& e  V一、粒子群算法（PSO）

7 h& K; ~& G  T7 j' q算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
% V# R) U2 e0 d' U8 k! [3 P* lPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
, h7 E( A6 y! Z1 r; O- X( H
$ Z# J9 d2 M+ J1 e) S2 H* s基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
8 f4 E; R- ^1 h) f; g, E群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
* A7 y3 {" D; r' m; E/ |2 o
4 V+ L3 g4 L! Z3 H
二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
# x2 y; \; u& J% {# Y设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
' |3 p3 m0 }9 H$ I& H. \
三、遗传算法

  H+ b6 b8 p# o5 j产生一个初始种群
, }" w3 z0 D6 H: M6 r' s# E) U根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
/ z7 \' c% |. Z& R% H$ K
1 n! z5 f& r0 F/ e6 l4 m; q四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
$ l2 D9 ]/ K- h% e) e选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
; @; V6 L1 V: o, T$ C停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
! ~+ @* I  r2 W' L7 b6 a% ]( W- K
9 `* e8 T6 r6 T. U5 m+ t% K四、神经网络算法

) {( `& p* t) C4 k8 H和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
2 F7 Z4 ~; m) g' O5 X
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
5 ~. t; W* s, T1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
/ L6 H4 t; x; @$ J2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

1 ~" N3 l1 K8 s8 ]将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
7 T! e( [; ?( b# {2 i(2)初始解的获取
3 D+ S) [- J$ N. h; g可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
+ i( E6 o% \. `& C5 U(3)移动邻域
" Q% g6 K& h$ V3 H, U5 e移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
$ f0 \; d' _! D- o) c( F' C从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
3 n: A1 [3 Y/ w& d禁忌表的作用：防止搜索出现循环
0 @6 X+ \; ^# W. D* S# h& Z/ Q5 j. O(5)渴望水平函数
# Q3 @; \! k. YA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
4 O- G  _6 q/ Q9 }* `  C+ Q4 J
2 A- `/ ~. x" i/ o! B0 a5 \六、蚁群算法（AS）
2 i3 \4 T& y% B; e& U: k. L# I

2 ~, ~) k9 ^, i5 I

. V' _2 H1 _: r" ]3 |8 ]
* S" w/ @# a( o1 R; x  ?
0 a, p; k' r1 X8 d


8 R' H/ T" V; t4 @

7 c8 s( C. E$ @. q" x9 t+ C1 l