数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法
) }( K4 E. A" R: j9 F1 s' [" T
$ K' Q# U1 e4 o2 |  h: Z: m数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
2 j; C1 j- i7 ?( Z/ Y; ?
基本PSO算法
. T  ^) M% z+ M& g& h
D维空间中，有m个粒子；
% @4 |5 `0 s4 B1 O% o( Q$ p粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
# B5 r& r" _; G. H粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
1 I* ^# P+ G9 y7 W. C粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
! t+ s% p" r, i& @! I2 n8 m
! `9 c9 y5 D2 c: w( s% o
+ y8 P2 h# p* {$ P二、模拟退火算法（SA）

/ H& J# @+ K7 _* u) [& c模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
6 B  `9 n* d# E1 |7 I/ P降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
% U9 _4 v4 E( Z$ [# O; y
% h6 N% ^" X! C3 ~( K3 ?( v# }; [三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
& s+ |! k7 \1 W' A$ f) }根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
1 w* M6 V. }  k
四、算法步骤
初始种群
# }( }) B7 S+ j4 ~8 T9 s& I编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
  F; b6 K( Q- c0 R+ z- j5 e适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
1 a  P, L- D# ^7 L9 O0 p停止准则
) `0 K6 c9 w" c" E4 M6 G
7 l$ b+ A5 w8 }% p# t$ L参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
/ s  ~, n  o+ |5 y
0 G' G. e8 C: T! K和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
, D7 ~0 m$ v! y0 U6 Q
. R4 n4 k. B. e! A5 }6 M五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

9 i( \$ H" `0 p, q; `  T又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
  s6 T, L9 s$ e  L优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
: w, ^* v) |: `/ Y: V1 W7 R  C, e2 ]缺点：
+ e! |; e$ ]; ^/ e6 q$ ?1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
3 Z5 V8 h/ R. A2 E% O; \- o2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

: t+ i* O2 Y% B8 [将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
6 E0 H7 ^+ J8 \/ y" R7 M2 yb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
( n- @( C# _( H从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
! k* }: x  {% ~: _" V# @禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）

) j3 D) w, K) b1 f
3 J+ O8 Z% }% S% d1 B

. ~. w+ E5 I% N  l9 Z& d

# m- u' ?5 ]5 k0 \: E: ?
" Q% m  F) S; R6 J$ k- Z9 l



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