数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
) E4 j! X; Z# j  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。
/ `7 v9 C. F) ?6 M" ^3 M


       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
; C8 ^* A1 r% l4 t, X       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。


7 g8 p9 A8 J: ]+ m/ ~6 s$ s        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。

       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
% ^1 J0 J8 E% Q9 l/ U8 Z       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
8 R+ q2 i: X, v# J* |注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。
) B( d7 I9 `- z# l/ g2 F8 Z  ^8 U
! V0 L# h  _' \1 ^       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。
6 F1 B+ w" @6 {  }5 h

: m% p6 x( A) ?3 s; g. R
- c0 M+ m- d9 ~
clc;clear;close all;
1 s+ B7 `% e& Kd = 2;%设定平行线之间的距离
l = 1;%设定针的长度
n = 1000;%设定投针个数
beta = 0 : 0.002 : pi;
; x7 i' l; d% R$ s, z7 \+ f/ Q7 s$ gplot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
4 J2 \8 C  D# Raxis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
6 q* w6 c9 j+ \9 rtitle('蒲丰投针实验')
5 p9 i- k7 r! x9 ~/ h" Hhold on
beta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
5 e+ i; D* {0 w& {1 B# cx = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
6 y- v, b  T1 K7 C8 h+ Qm = 0;
for i = 1 : n
    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
        m = m + 1;%符合条件就增计数
        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
        pause(0.00001)
    else
        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
       pause(0.00001)
    end
/ V3 x6 ~2 ~8 U+ }. Nend
p = m/n;%计算概率
pai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
+ j! T% @8 X0 y4 R+ gdisp(['圆周率为：',num2str(pai)])

. q! ?% W) X9 v+ K" E  v% t8 [

. z+ o1 M" K# |# _! ~* `结果如下：
0 J, g- A3 K+ v" b4 u, s
' F, T* j5 |: `, M' o" ~' A
7 N1 {# d" Z" Z/ R
7 ~8 v3 q: X6 _1 q! X3 S( b
4 h. q) i  i% `8 Q% X0 V; m) t
5 x; Z7 d. M4 [2 V4 |8 B: J
$ w# H8 y; @& m
$ h0 y, ]6 J$ E$ Y% m