数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。

$ B% T$ B2 g  e* i# x3 z
1 g* v; M; R+ D6 S- D. p
! B/ X2 \9 b2 W5 k/ F9 L$ M       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
3 C5 S  R  L& j! P) d  F' K4 M       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
! l1 q  D7 D6 \4 L/ G  ?5 p( B

        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。

1 o6 {. `! ~7 N( a+ N! P- m& Y       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
' k8 i# Y" h9 K2 e       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。

       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。

1 Y) F. z8 b- D' w6 I


clc;clear;close all;
d = 2;%设定平行线之间的距离
l = 1;%设定针的长度
n = 1000;%设定投针个数
2 t" P9 y* T* ?beta = 0 : 0.002 : pi;
plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
: n" F- l/ Y) D" y1 daxis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
3 J6 z1 C& ~" J& y! t" T* ztitle('蒲丰投针实验')
hold on
' q7 ]: b2 t& G. a2 l' kbeta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
4 a5 o4 ~) q4 P% V% K8 b' y$ B7 ux = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
m = 0;
" @# B( |6 F$ ]; q% G5 e& ~for i = 1 : n
2 i2 ?( T) X# `8 F( I/ n( n    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
% `. T9 F( K/ Z# C+ O; q9 }2 ^        m = m + 1;%符合条件就增计数
        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
. Y! k$ f0 u3 w$ U$ L7 H        pause(0.00001)
    else
0 T2 ~( |% Y% ?* m        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
       pause(0.00001)
: ~" H* n! u- c, H    end
& Z1 ~+ f  S/ ^8 v7 _: Oend
/ ]3 b3 O  I5 m& `- f) x& Bp = m/n;%计算概率
2 [' n2 {0 {. _3 S0 r7 Hpai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
disp(['圆周率为：',num2str(pai)])
- [$ q: u% p% `+ |- k; }+ @4 }4 N
; O8 ^: _/ _# H. Y; B% A# J1 ~) r
; s" u( O8 I; G
9 y0 L, }5 B3 L8 `; B  V结果如下：
: a( ^4 T$ g/ l8 e




2 `) n& ~5 i3 w' B$ o* z' R' S8 q
( j; P5 F  J. E' V3 f  K- @! c' N