数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。
* R3 ], W" G/ E8 E2 u


       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。

) P/ h* r6 y9 l" f9 C
        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。

2 M5 ^: P" o, x% T% c) Y* Y       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。
/ B- p- j8 J( r: Y9 ^
2 S2 V+ P( W: Q1 N6 c       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。
$ r  ]; }0 R2 [5 L9 Y( N$ K1 _& z4 e

/ `% E- Z' E4 S% P8 Y
3 ?$ w4 @# C& P- r! X: @9 D
: Y  }# u+ U$ U6 q) eclc;clear;close all;
0 h. k1 W9 h! sd = 2;%设定平行线之间的距离
l = 1;%设定针的长度
n = 1000;%设定投针个数
beta = 0 : 0.002 : pi;
0 d- }7 _+ V( j0 `: Bplot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
axis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
$ l1 B& w, \& ~title('蒲丰投针实验')
hold on
0 {9 l: L3 y9 W2 @  S( K( xbeta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
x = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
7 A* |7 x* `2 t9 E  P6 Em = 0;
" C! M" E) r# Z1 |  I( _; m5 C& J/ wfor i = 1 : n
    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
        m = m + 1;%符合条件就增计数
& Q$ I  F. _2 g! g4 e2 M        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
" X( s/ Z7 C) v: }) {        pause(0.00001)
    else
        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
& S2 m1 U" E5 Y* r3 F       pause(0.00001)
8 b7 G% \; C/ {4 b    end
end
p = m/n;%计算概率
) G; a9 a; ^7 v* G* c9 Jpai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
disp(['圆周率为：',num2str(pai)])
+ C" K3 O; h+ n: U/ N9 n

$ l- M8 ~! D& ]: H* Y  ^0 T
结果如下：

# p( j7 J8 I7 \2 K
" k; C" R  L. y/ q2 F% O& w

& F: |& ~2 L) Q3 D

0 A) _  ~7 Z1 z6 D2 d4 U6 A
. j: E. Q4 q$ W$ f6 u