数学建模————统计问题之仿真（四）

杨利霞

数学建模————统计问题之仿真（四）
  仿真，顾名思义，就是利用计算机模拟研究对象，对于那些用数学公式或者规则描述的系统，计算机可以将其通过数值模拟出来，还能实现可视化。就好比我们看的小说一样，创造一个世界，需要有初始的人或物质，再加上法则（规则），那么这个世界就会逐步成型，仿真也是如此，我们需要给这个模拟世界一个初始的状态（包含应有的数据），然后告诉他运转的规则。

1 ]1 Y  T$ d9 o3 g' \2 v

       真实的系统往往存在着很多不确定因素 ，比如：要模拟某条道路的交通，我们就得知道路上的行车的情况，除了基本的交通规则之外，我们需要的是车辆的模拟。一般来说，我们都会给车流量一个分布，这样我们就相当于有了一个车辆生成器，然后通过行车规则，就可以完整的模拟出整条道路的交通。
- v- @9 V# |1 ~: X! z4 c  X       不过，大多数时候我们都只是设定几个交通状况指标，然后仿真不同时间的情况，就可以实现交通状况的数值模拟。当然，有时候为了论文（观赏）效果，还可以将整条道路分成很多个小块，当车经过时就让小块发亮，这样就可以看到整个交通的运行情况，这种方法我们叫做元胞自动机。
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9 q. @* M; p7 E8 `
        既然是模拟系统，那么就需要一个系统的推进方式，我们依此可以将仿真分为时间步长法和事件步长法。时间步长法即将每经过一定时间步长就仿真一次活动，然后推进下去，而事件步长法即每发生一件事情就推进一次，当然这个步长也可以看做是每两个事件之间的时间。

- U- L) |1 L7 i2 F% @8 R% ^       上面介绍的仿真方法都讲究推进，也就是说是动态的 ，除此之外还有静态仿真。静态仿真比较有名的是蒙特卡洛模拟，下面给大家展示一道百度校招笔试题：
       在平面上有一组间距为d的平行线，将一根长度为l(l<d)的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一根相交的概率，用高等数学(微积分、概率的方法)求解，基于布丰投针的结论，任选一种编程语言(C/C++, matlab, Python, Java)，写出模拟投针实验(程序中允许把一个理想的π作为常量使用)，求解圆周率。
; S" R9 a& J7 G( n  f. c5 ]注：前面的高等数学部分可以求解，已证明这个概率=2l / πd，另外针中点到相邻平行线的距离x≤l/2sinφ，l是针的长度，φ是针与平行线的夹角。
+ s7 p. |$ Q# v+ v
* K* {8 V* A4 P; _       现在我们知道了规则，那就是x≤l/2sinφ，为了模拟各种情况，我们现在需要做的就是对未知量x和未知夹角φ进行随机模拟，然后计算符合规则的概率，最后依次计算圆周率。
8 W6 [, B0 n- S  m
- t8 l; _3 ~$ _+ P6 }! f6 s

6 q$ Y! P6 T" C3 W" k$ {0 n
7 z7 `3 R; ]' V0 n4 a! E" Oclc;clear;close all;
d = 2;%设定平行线之间的距离
l = 1;%设定针的长度
2 M  d* @# L" p& ?* b+ i. dn = 1000;%设定投针个数
beta = 0 : 0.002 : pi;
plot(beta, l/2*sin(beta), 'k-')%绘出l/2*sin(φ)曲线
! U0 |0 o, T5 h; M* ?4 aaxis([0, pi, 0, d/2])%横坐标范围设在0~pi,纵坐标范围设在0~d/2
6 U. t$ S6 j# N7 q1 Dtitle('蒲丰投针实验')
hold on
1 b" P( Z; s  }' J3 j) Xbeta = rand(1, n) * pi;%随机生成n个角度（0~180度）
% U7 C& S6 \* z" Gx = (d/2) * rand(1, n);%在平行线中线以下生成n个针中心
m = 0;
: p' s3 X6 [. U( k3 Y& Xfor i = 1 : n
    if x(i) <= l/2 * sin(beta(i))
        m = m + 1;%符合条件就增计数
        plot(beta(i), x(i), '.r')%将符合条件的针以红点形式画在图中
        pause(0.00001)
    else
& g5 C* Q, h" D, f        plot(beta(i),x(i),'.b')%将不符合条件的针以蓝点形式画在图中
' L1 v3 B+ O3 D9 ~' C; Y# ?' w, a       pause(0.00001)
. H. h! \3 _! g! O1 U' ]+ B    end
5 g( h1 _- O) y/ B% \/ f, E' I) Nend
( t5 s  N) V* ^$ _3 J  k" H! g! p' tp = m/n;%计算概率
" S6 \3 \: G6 j* z# g/ epai = 2*l / (d*p);%计算圆周率
: s5 N. P; f- Pdisp(['圆周率为：',num2str(pai)])

: S9 \9 Z6 l  i4 r; C8 |/ y. R

结果如下：

1 L* F) N6 g3 y( p1 j$ Y

, M5 P) N! e* B; z



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