数模竞赛-人口问题

杨利霞

数模竞赛-人口问题
3 y4 U" o) |& @( B+ j% T
学校最近的数学建模比赛，刚好组内同学也有想参加的，就一起报名了

人口问题

在全面两孩政策正式实施之前，卫计委牵头进行了全面两孩政策影响生育的预测研究。
根据最后完成的《实施全面两孩政策人口变动测算总报告》，
2016年放开全面两孩，2017到2021年5年间增加两孩出生数将为1719.5万人，平均每年增加340万左右。
其中，2017年出生人口总量将达到2109.9万人，2018年达到峰值，为2188.6万人。
国家统计局2018年01月18日公布数据显示，去年全国出生人口数量和人口出生率双双下降。
2017年全年共出生人口1723万人，比预测数据“少了387万人”,低于2016年的1786万人。
, S- @  w3 N( K( _7 y4 a- Q% j人口出生率也同样出现了明显下降，去年全国人口出生率为12.43‰，2016年这一数据为12.95‰。
由于与之前预测相差甚远，这个数据甚至令不少人口学界人士感到意外。

建立数学模型分析下列问题：
6 W) y# u6 p! X" a% w0 ~
（1） 在现有政策下预测未来人口的变化趋势。
（2） 如何才可达到《实施全面两孩政策人口变动测算总报告》的预测效果。
' A: {- B7 A  @5 f7 F（3） 分析人口变化的主要因素，建立人口增长与这些因素间的关系。
（4） 依据你的研究给政府相关部门写一份800字左右的报告。
+ b8 ?$ x: @) l( ^. y$ `
拿到手感觉还不算难吧，网上应该有很多这样的分析，但是网上大部分都是时间有点久的，这个是考虑全面开放二胎后得人口变化，主要还是用近年的数据，这样得分会高一些。
3 K+ s2 M* N# g) t! J' P
人口预测模型
" n( g" e* i+ f$ N
8 v: ]' E* S0 c" a先说我查到的几个模型吧，指数模型，灰度预测模型（这个网上被吐槽得很水），logistic模型，Leslie矩阵，大概就这几个了，然后论文里面用得是灰度预测和logistic模型，Leslie矩阵我很想加进去，因为它用当前人口年龄结构来预测未来的人口，感觉很切合题目。但是没找到合适的，就不了了之了。
: G) d( w) q) @. a
灰度预测
6 l7 [8 g+ m9 i, c! G
0 U  @4 `7 g" p# x' q先说公式推导
7 O* ^& ]- y% O5 e5 UmathType的公式好像无法在makedown上面显示，我就截图吧


1 V3 d7 C2 H+ ?. m+ w

上面就是公式的推导，下面是matlab的代码

* c' F: R3 A! ?. d! m# }clc,clear;  
) Q# z% f& q% b- f, C. I. j5 gsyms a b;  
1 h' b; O9 d: @c=[a b]';  
%2012-2017
3 e  o0 H% v) o% @A=[ 135404   136072   136782   137462   138271   139008];
B=cumsum(A);  %原始数据累加  
. Q3 y" c1 ^5 b  F: o% G& sn=length(A);  
for i=1n-1)  
    C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %生成累加矩阵  
end  
%计算待定参数的值  
D=A;D(1)=[];  
D=D';  
5 A8 m3 p6 H$ l( z4 O2 I# BE=[-C;ones(1,n-1)];  
c=inv(E*E')*E*D;  
c=c';  
/ P7 D- z0 c8 o0 I2 Oa=c(1);b=c(2);  
% c* [% m/ o" H' u- S: p%预测后续数据  
F=[];F(1)=A(1);  
; d9 T# q2 e) V1 q! s: K$ ~for i=2n+5)  %只推测后5个数据，可以从此修改  
    F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;  
end  
. o" p% Z1 B: Q0 YG=[];G(1)=A(1);  
for i=2n+5)  %只推测后5个数据，可以从此修改  
, h  Z  _1 O/ Q7 `+ T    G(i)=F(i)-F(i-1);  %得到预测出来的数据  
end  
t1=2012:2017;  
t2=2012:2022;  %多10组数据  
0 b' |! G% R4 d6 b5 e. r+ TG
h=plot(t1,A,'o',t2,G,'-'); %原始数据与预测数据的比较  
set(h,'LineWidth',1.5);

; P: V4 j# G' r: O6 a3 W0 E9 Q+ s这是Excel里面的人口数据
* \/ q7 |7 }) k
最后得出的结论，感觉还是挺靠谱的。


% b; O& S2 _* E1 b+ s, ilogistic模型
# M8 a' ~3 Z( l0 K" n; b
% e6 r- A1 y) }5 d. F1 T前面说了灰度预测只适合用于样本量少的短期预测，logistic更适合中长期预测。


/ ?- q& L% t4 G' @% p/ V$ P8 k8 O8 hclear  
clc  
% 读入人口数据（1971－2000年）  1997 - 2017
  n! J" J, v8 a2 B& ]Y=[123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 134091 134735 135404 136072 136782 137462 138271 139008];
% 读入时间变量数据（t＝年份－1970）  
5 m5 g0 v; q9 L% RT=1997:2017;
% 线性化处理  
for t = 1:21,   
   x(t)=exp(-t);  
   y(t)=1/Y(t);  
end  
% 计算，并输出回归系数B,即计算回归方程 y'=a+bx' 中的a和b的值  
' h2 C, b6 @9 L& O2 ]8 w1 |2 Oc=zeros(21,1)+1;  
X=[c,x'];%相当于30个方程组，求解a和b 的值.  
B=inv(X'*X)*X'*y'  
: ~7 ^. l0 Q4 R; f( u& Mfor i=1:21,  
3 v9 A  r" ^/ w$ O( P' \$ E% 计算回归拟合值      
    z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i);  
% 计算离差  
    s(i)=y(i)-sum(y)/21;  
% 计算误差      
    w(i)=z(i)-y(i);  
end  
4 C/ R0 D! w8 Y) q* L0 ]- G5 I% 计算离差平方和S  
) v6 O& T7 m; Z/ s! `9 ^S=s*s';  
% 回归误差平方和Q  
" r/ N5 T. ]! PQ=w*w';  
  Q/ e/ w5 {' |. {9 I' f! t- A3 E  M" W% 计算回归平方和U  
( U$ i' Y+ ^, @# r/ p, ~U=S-Q;  
% 计算，并输出F检验值  
F=28*U/Q  
% 计算非线性回归模型的拟合值
" L4 T+ P# L6 d1 k5 ufor j=1:21,  
8 X4 J7 u! W8 P/ @! u2 F+ ^    p(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j));  
end  
% 输出非线性回归模型的拟合曲线（Logisic曲线）  
plot(T,Y,'r*')
hold on
! P2 a1 e, O- K; ?: x6 g. q% xplot(T,p);
3 v5 U! w8 z& \7 E5 B. a
" X4 P$ [- A4 `6 K; F' c$ @' @: \最后拟合出来的效果，无敌爆炸烂好吧，我也不知道为什么，等自己以后会了再来改吧


7 w! H3 z3 Z+ Q& v6 f4 J

% e  K% l0 g2 K2 t8 B1 u