数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
6 m5 I% Y7 q4 @( u4 w6 a4 x+ T$ T
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
  ?$ a2 i: k2 x# Q1 简介

1.1求解目标规划的思路

（1）加权系数法
% a. d( ~& z3 |+ Y1 t为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
4 E! q9 @) B* X9 C7 r5 B1 c" o将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
+ r2 i# D) [; E6 N% Z  C寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
# R! u  R5 W! Z. Q" ^2 U, v( _
1.2建立目标规划的条件
) D' Q6 m( L6 K; T2 d8 j% X3 b
（1）正、负偏差变量。
- s( ^/ D* ^$ O: @$ X（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
& G8 p! ~5 U: X9 M9 x（3）优先因子（优先等级）与权系数。
) V- W" w( _0 d
1.3 目标规划的目标函数

( A, j' r' T6 I% K- V目标规划的目标函数基本三种形式为
0 s( N/ \4 ~/ C3 x6 Z% ~! t（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

$ f3 s/ N  U+ q& P（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
8 F; R9 i' A& T7 M: r
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
! z& Z6 W, f% G3 Q4 |& ]/ y! o+ a
* h: p. D5 Z+ w! [0 N
- `4 @" r5 L. c5 P  X; m) \1.4 目标规划的模型应用
) x, o* l' e/ W& m4 q  T5 P' C
+ M& j  [/ W# F; w+ w- k3 I（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
9 l/ B$ r: ?) [+ s$ P（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

4 W( L! ]5 l3 ]6 O! }2 目标规划的一般数学模型
1 J: I, A7 _# f) V. z
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下


可用序贯算法求解目标规划。
0 M6 D5 l! B" [/ V  B
3 数据包网络分析（DEA）
6 k- E- j9 n! A" \4 q
3.1适用范围
. r7 |2 V& n8 G9 S
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

" F3 _2 f: A: q2 Q3.2 数据包络分析的C2R模型

设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
5 a7 \" [: B) \3 ^3 L9 k评价决策单元效率j00的数学模型为
7 Z0 [9 H5 }! D. w! B) O* ?
8 ?6 w; w0 y/ z' N- U# L2 i
对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。

- C+ F6 T7 I3 a( J( q' G
  K( q! O$ j; B9 H/ k! D
; S3 t3 g" b. V- X5 a