数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
/ V: n1 M9 \( Y4 i. j" _8 f1 简介

, q8 r8 ^$ V! `' T# S9 ?% C1.1求解目标规划的思路
2 B! C% n8 @7 Z" l
（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
: E( t8 Q' P3 b4 Q* K（2）优先等级法
* p! s9 h2 n: k! y. X将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
. B5 O$ \6 a( w0 k, j2 k2 n! K（3）有效解法
, r" a8 n( b: A. P- p寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
7 ^& `3 Q0 s0 Y
1.2建立目标规划的条件
$ K( C3 @1 _! f' z' Q3 I
（1）正、负偏差变量。
( O% J6 c& K& m7 e( d# C（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
! s$ V" g) q0 Q. ^* e/ q! b. f& O（3）优先因子（优先等级）与权系数。
2 @+ O1 j8 Y6 t& I' O* E
1.3 目标规划的目标函数

目标规划的目标函数基本三种形式为
( H. c4 Z- l0 e& h（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
$ ~8 h: {$ X4 v! P' P4 K! ~0 A6 X1 ^- K
, l0 A4 ]( [) c* R+ e（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
5 l  e! C' k+ s# p7 s" W3 c

1.4 目标规划的模型应用

（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
& Z9 n5 D3 g# |/ B（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

2 目标规划的一般数学模型
  k+ ?; t4 a! e1 F% k% \2 Q% x
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
* c: y5 u8 t( ]5 f5 t
# ?/ {1 V7 b& V; H" E* E$ j% r
可用序贯算法求解目标规划。

5 R  j. @$ }; F5 D  @- i3 数据包网络分析（DEA）
) v% T: \# {1 Z. E; B
3.1适用范围

DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

% @) h( E1 n% P1 ?3 {: W3.2 数据包络分析的C2R模型
: u3 Q" S* s! R" E: H
) k% e1 E& @" F3 ?8 g设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
  `9 K) M- M+ z- v' A3 R+ Q, t8 G定义决策单元j的效率评价指数为
) `! e9 q! ^8 h* e/ |+ B. W/ P评价决策单元效率j00的数学模型为
' A, d5 W6 w5 U1 _5 v3 c4 D
8 T0 F/ F/ V# P0 p8 B
对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
0 S0 z6 t+ i4 R, r  ]+ C3 K! x（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
1 h; N7 m* E& _! y. g4 ^5 w
5 V# t: n( K' F
4 K: ^, S% u' ?
( x* d/ {+ x: H% ~2 I2 |
$ b9 C5 _3 Q2 A
( {+ H' o: q4 ]. S/ I8 f
8 h$ K* {, v5 X