数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

" w2 t$ m" w+ K0 a线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
( y* l% u' Y& ]4 q1 简介

5 i9 }0 [' d; @# l1.1求解目标规划的思路

（1）加权系数法
4 u  s( o' y$ A! V1 M为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
8 U: i4 |* s2 P1 l: E将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
- _4 o3 m: E) N- |寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
( e  O! Z% b5 @- r4 A
1.2建立目标规划的条件
$ L% e$ D- V2 v- ?9 y( s
（1）正、负偏差变量。
+ ^7 O2 N' t* P* ^0 w6 m: E1 o（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
9 C. y5 t4 d* P* i- |7 X/ r" R（3）优先因子（优先等级）与权系数。
, x$ b4 U' t% o
1.3 目标规划的目标函数

: @$ H% s9 C1 f2 [; V: d目标规划的目标函数基本三种形式为
" n5 e* y) j& p1 J. t, U（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

4 u6 Q$ i; o& `（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时

（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
6 |$ ~  N% n" `1 Q1 G) j
0 Y" a4 M0 G( M
1.4 目标规划的模型应用
) `. b$ u$ f/ ^/ [6 B' H7 l- f
, ^  O1 t/ _" }! w5 s2 a; q6 h（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
4 }4 M( M% y4 C: P0 @
5 n  ]9 ?. J: ^7 ?$ p, l2 目标规划的一般数学模型
) u+ u5 }( T- H$ C7 j9 p
! D9 l- X7 h( B- b设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下

% R" s5 |5 ]8 Z/ `/ ^' h
可用序贯算法求解目标规划。

  ~% v, B2 C+ _* S) `3 数据包网络分析（DEA）
6 z2 P( w2 P  V. s  y- [
# L: U& X0 I7 D0 {& x' i, \! N3.1适用范围

DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

2 |/ F8 z& [) ?2 q$ G8 s1 ^9 ]3.2 数据包络分析的C2R模型

1 p: d& G* l5 c. c设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
- i, P/ g2 m- r: {3 @: h3 x7 E向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
; ~7 L) ^0 n% K. ?4 H; {定义决策单元j的效率评价指数为
0 Y4 ?) ^* P$ R  }6 @4 u8 u评价决策单元效率j00的数学模型为

" K6 \, ]1 @, _2 f5 N
对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。

, z0 c' F0 L1 k0 X1 p
9 Q/ l! \- d" Y
% c: m3 \0 h5 m9 u9 L  I+ M
# X3 p% t; n: t  B0 d" U7 h' r