数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
# L: f( A, [2 C* C" P- C$ a1 简介
9 `# K  _& T% \# x3 ^
" L+ f8 h$ M2 t1.1求解目标规划的思路

# H2 h* M2 a5 ]: g) R# Z  A（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
$ W1 C& m+ p, O) u0 s) X$ n（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
1 s/ U9 K4 u( x（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

' s4 Q5 f$ ?! @1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
1 ], F( y# E/ W: H  \! o（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
+ W1 m3 D" s0 t* v  @
: r2 s- m/ F- U  L  o! f9 v2 L1.3 目标规划的目标函数

目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

" c/ v( x1 l( b( K& \7 I（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
, S8 Z' L! i: n( G. J
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时

! J) S2 q9 B0 l
1.4 目标规划的模型应用
8 Q& ^, Z9 G- {: T% A
4 Z( y/ A: Q- F! h! y1 T. ]（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
0 k4 }2 p4 E# N9 H( B（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

2 目标规划的一般数学模型

设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下

( q5 A5 j; g! m9 c/ s
可用序贯算法求解目标规划。
1 }& X" c0 S& z1 P, z9 X
, f) h% U+ x6 H& o, U4 M0 y+ W3 数据包网络分析（DEA）

- Y9 [+ c% l4 U9 ?4 s3.1适用范围
9 V+ T1 x8 S1 d+ x- ~
# l. h2 }/ l; N' Y# d& D5 zDEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
  \7 z! I+ ~) o6 r( S0 l
( o- o  ~8 l6 z. m& [3 [: `' w3.2 数据包络分析的C2R模型

( n- ?- B( g1 \1 l设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
9 v0 m1 w% ~( X. v2 V0 e3 W' \评价决策单元效率j00的数学模型为
" Z0 d' y' w! H9 }6 t9 X/ e
* @/ w& u3 P' Z
. C7 B! P' ?" i1 y; N& o- }- F/ z对于C2R模型，有如下定义：
% x  u# \4 y; |8 q（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
8 x( y) s* u' }1 L1 n$ E4 B（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。

3 \- L/ s/ ~7 e: U" L, e4 Q3 x
2 r# ]& r% C, _, B( \

3 i- I9 r# l9 \; o
) G( h8 [# `* r$ j# k; `& t7 e5 D
( l, k) z9 ]" V8 U