数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
2 t& Z3 F, l. n, P
. ?! w3 T& F2 K) q: D 1、建模步骤


8 S; l. r3 j9 W2 V
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
9 l( X' @5 G- Q* E3 f5 v3 S
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
2 r; W! @& h0 v0 I
! V6 ^/ P% Y. c4 ?& m8 [$ P4 [; X模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
/ W+ y) K1 ~/ g1 s9 Q
2、数学建模问题
  ^( k0 _/ I" _* g, c
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
* D: p9 C/ j& S" w6 g
$ L2 `5 b# p4 S（1）数据处理问题
  L. x* G7 q7 t
" f' z% K/ q; v/ Z5 Y9 G( v•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
# M/ \$ ]5 Z1 b  _  Z+ M  o
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
7 v' y! i8 {+ y' v
" w: i4 L1 l5 e5 m/ k) F: R% y2 b•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

& G0 h5 I  k+ e•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
" U1 r2 G3 n- A- _) M/ H- g
2 U% }# s# I/ A) J; y" i! t•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
) \# `6 @, N2 d+ T4 J
0 j0 l+ L! i: K- C* a$ @5 z•主要用于数据的截取或者特征选择

, Q& J' p$ ]) I9 [
" w* X$ `8 h) Q1 M; D2 h& L
4 `# h  G) l5 n3 m8 x+ ^* y（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
1 M% |+ w1 x3 A- q7 y: Y8 ?& C
& ?. o& _* `6 T" U2 L•②Superman或kendall等级相关分析
4 F$ i9 g) S6 y
•③Person相关（样本点的个数比较多）
, T* z  |  I5 F, Y8 C+ O
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
& H+ r9 R3 @, J2 n" r+ }
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
1 [2 J) z; Z3 X9 F& ?+ {/ _
: {7 t& l9 t- ?; X

1 U/ s3 K6 @. f) \& B  b0 @, p$ Y（3） 分类与判别

& R$ q3 J: E' m' B' [; z•①距离聚类（系统聚类）常用

# r5 w- `: p& x7 y•②关联性聚类（常用）
" V- p* C$ q4 b  X; D' N& s
) R1 u3 }6 m9 `* M5 ^* T•③层次聚类
% Q& `! \& o8 V3 q6 Y
•④密度聚类
6 M% y! a7 H& O) E" Q
•⑤其他聚类
! J, V1 n% k. Z( p% x
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
8 @8 P+ J2 a: W: H8 T) D  N
7 p* t5 l# Y( n; ?•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
, Z- w  d0 Q# E

% t- T1 ]. `0 ~2 ^1 ]) m3 \


（4）评价与决策
) `* W6 C7 a: |, E- A0 s# Z
7 x6 S! ?7 {  K* w1 b•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

# x5 q1 t( C2 l; L( p•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

+ g9 ^6 w+ v3 B5 b& J•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

8 q0 C8 ]; P5 \- p3 U•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
# \) D7 Z$ [# `; {
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
5 o6 v7 C2 {8 I
: H! A  w" ]0 A3 C•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等
- Z/ F7 r# H' d9 x$ u2 i+ f
; P% R2 `* l( a8 c: T3 |•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题



  @- e5 L' t: B2 _2 R; A( Q+ }

（5）预测与预报
' n8 L7 e1 z$ X- K9 C( c% N- Y' X

7 S# y+ L& b- [
•主要有五种：
8 P* t: |* S) `1 m( m
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归
. {9 A- X% C* Z! J7 o
2 G; ?  J8 A: f) C; U•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

# G0 x! a/ _& A) u3 M3 K( A•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
8 l$ c0 K3 P& b7 y4 g. p! B. ?
) ]- P9 \- B( a8 g+ ]* ]& x•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
8 M( v6 ]$ o, l* y" A
% N3 J3 _! S" g5 C1 [- q3 z3 @/ \
: |7 H5 c) s7 V/ H2 [/ o- C
+ R. h" P  ~# e" ?9 e3 {•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：
: V7 m: ]. l* v9 ~0 N6 T
% J6 v2 S+ N6 M) Y$ q$ |( ^•  a数据样本点个数少，6-15个
5 B4 W$ v* a0 ^/ X0 A9 I
2 W, L- \0 q" u, m•  b数据呈现指数或曲线的形式
7 S7 P4 B$ j7 H" @' E$ K& h
6 [* ?  M8 \) m4 B$ M•②微分方程预测（备用）
/ N0 Y- m! ^# y/ U- z
7 z% P' @; @0 `# M) U# f1 }• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
  r. i7 M  z- h  G. k# U


•③回归分析预测（★）
% O( V/ r" L7 v5 P
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
! @; A$ j" y& _* N
•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

2 I. q/ R: j7 g3 V6 T# T) p5 Q•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

8 I5 @9 n2 r, z- L7 I  g3 \5 O•  c因变量要符合正态分布

) ^7 Q* C: `% t% y
/ K. t* d4 A$ K4 r
•④马尔科夫预测（备用）

: e6 A4 w% _# w* p' Z" n8 H7 w•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
$ e5 I: H2 P  x7 W7 x! K# N  u
# g, K/ Z; h- B, b2 K
# Y* ~7 D% [+ L9 [
•⑤时间序列预测（★）

8 o6 c: B- ~  m0 |•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测
. T0 F# O* D' s1 ?: c7 s
  C0 M$ j# V& B•⑦神经网络预测
+ N+ O$ B! c2 X9 }
2 f0 {, \5 u) r/ S•⑧混沌序列预测



/ ?5 ~3 i+ l# I7 ^! L（6）优化与控制
$ b# G4 V; g0 K4 H
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

( j% N9 R" _% u; S8 ]) F•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
0 _; A; d+ W' D" w4 A! G# O- s& j. F
, ^! x, d0 ^5 J* K7 ~' x•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
: L  h' w. I/ P4 x  @5 h
•⑥排队论与计算机仿真

1 A; J- @! c; i; u- N•⑦模糊规划（范围约束）
7 [; j* K7 z1 U( A# \9 D
! j3 ]2 V3 n' [8 M6 q•⑧灰色规划（难）
2 v5 _/ I% R+ Q/ t. C* u& R9 j+ W
. ?3 O  H3 G+ O% i- H0 ^# t
- W: _  C+ K' |0 v

5 q2 Z# ]4 M$ m0 e2 }9 Z