数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
2 _0 V9 ?8 O" l7 T
: _0 _2 B( ^: E* S) b. A- ?  U 1、建模步骤

: j  h8 A# b4 [8 K
8 g( a$ f$ W/ j- }( ?; n1 k
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

6 G" \# A, y# _& R5 s2、数学建模问题
1 j8 H2 g$ n. |8 e  C. a3 l
; I. S$ U7 r, O6 a  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
; f7 q4 z) [( D& Z$ ]; f
0 w- Y+ T" l! G/ w4 \0 E（1）数据处理问题
8 B  \' F  T% Z+ }2 @$ J; |- Z* Z9 d
6 ]' l* Q$ c; Z•①插值拟合

5 E+ O* k6 h9 R; X1 R•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
& |; b7 b6 p* E3 e
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

9 y0 f1 B# o7 {- I5 P) l: l5 T•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
: Q  W1 [. f) j7 K6 `* _
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
4 X# T5 b3 r5 \
0 F/ d8 M* E* B1 |& K: T" e8 Z; ~•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
, p. {+ t( r' K2 I4 v
$ l4 o1 ~; J% y; Z/ u•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
& R6 w8 ]2 A" B6 y( i0 k% w
•主要用于数据的截取或者特征选择

  ]5 R/ j- A0 p/ n2 W; I1 U( `
8 e& ~" P3 r" v! {  Z# p0 ^
（2）关联与因果

/ r  N3 z" Q- t" b1 v0 |•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
/ |/ f0 J; w. W7 m1 l1 f
  @. ^/ D, {' T' q# R4 `+ F& N7 p•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）
( f) ?, p+ J8 X: ]- [- M
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

4 f9 L- }/ @) \# ~  i) e
, M: v) E6 p: Z$ U+ Q& l
（3） 分类与判别

. F2 b  f6 v6 [& `5 k# ~; E% a( m3 t•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类

; X3 @4 h: a( F; b- T•④密度聚类
. V( U5 d. R. T7 O3 F) z- k1 M0 U
" x. N$ ~; @' P$ G•⑤其他聚类
9 l$ w# a2 C% E$ H4 L9 K
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

2 j9 ]! F* G8 P7 N6 x' w9 L•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
8 r6 t: s" P# W* U
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）

; u1 t' U/ d7 b. q

# {- `1 j6 w$ }$ }) J9 G

（4）评价与决策
" E/ T# t! D# `
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
/ g/ ?% q& T% B) r) R3 ]
. B- y) h" v* _. [8 X# l•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
) S/ P$ R1 D& T9 k# v
  B& P. ^2 A3 o/ h/ z: z) l•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
& D; a# v3 T! j0 t5 ?6 }* ]0 {
* j1 R  ?, B, O3 B! n2 M•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
- W! y: D) y0 v! O5 F
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
3 O+ C% X, P  A4 [: Q0 h4 b$ Z
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

" O& S9 l/ N$ y6 ~+ ?: j$ S•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

0 T& ~0 |8 C  M; D8 O, Q% o•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
8 F; k& d1 w4 u  ?) L" P* [
2 W+ d* i/ m1 m% E' }( G5 j! R" i•⑨方差分析、协方差分析等
/ D7 Y1 ^) C" {! T# s4 n
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
* @# W. }* g' m# V& u/ v
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
# ^' L! V# f" H1 @4 ^



# @) {5 J. |( |
: c* \- n" z1 G8 r, k( s（5）预测与预报

! o3 K5 o0 R' Y, ]6 E

•主要有五种：

* i$ }& N$ A- A•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
; [8 K9 J! J8 B) x0 y  j
( K! f9 \6 u, t- G' v7 ^•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
# x9 L2 G2 X+ {* z1 _
8 i& ~* T, E  D9 I+ X2 l•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
+ }; `' |/ ?+ ?# u7 z/ \
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
0 w$ @% u1 a/ M' C- e


- @9 [6 I. ]( ^•①灰色预测模型（★）
! D# E+ C* P- }
1 l( T7 F, k+ E& g7 a•  满足两个条件可用：
0 P1 T* `! H  Q* R0 {+ E" ]. W# i
" \* ^) M7 l, ^•  a数据样本点个数少，6-15个

, p7 [! z. g  F2 O•  b数据呈现指数或曲线的形式
& u- |) Q7 Q8 ^* G
; n% Q+ y; i8 O. r; V# |, n" B•②微分方程预测（备用）
. M/ j/ u* q# b5 ?5 M# T# E7 F
6 g) y  e+ }) G• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
6 l+ N6 f' N- w$ A& M
, d  U$ }/ O1 s; P; @' P6 r. M7 ]
/ M( f$ e' C# C5 d7 n0 [
; |" s5 j# E+ ^3 _•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
6 W0 z1 q: t; T' L4 N
; w& V$ ~7 ]1 N4 @6 k•  样本点的个数有要求：
) S% u: v- U  M1 ]9 [+ Z
9 o& F% p1 J( E' e5 I9 X•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
% A# ~& l5 S- G
' t5 m! F2 m2 T6 M; S2 ~! Q. W" t•  c因变量要符合正态分布

* z- s4 l4 y, a- W1 s0 z- H* p8 Z

•④马尔科夫预测（备用）

1 d' }- a5 t9 Q, W# Z+ ]•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



•⑤时间序列预测（★）
; M* V0 G  S# l& g/ \+ p
; R1 Q: o8 _4 n•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

" `3 w, D" ~  k3 R8 B- L•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测


$ y, a" F* ]- B* ]( R5 M
（6）优化与控制
  z/ ~# B! E& I; S8 h
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

•②非线性规划与智能优化算法

+ h8 k; X! C6 |•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
4 K1 s5 }5 Y5 P" j
( T2 [& v5 ~' K( g8 v•④动态规划

+ z* B* Z4 s+ a•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
! ~  W- N9 t6 C3 I
6 Y/ i, ]! J1 P•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）

  C$ d' y% A$ z2 y( T. ?3 a•⑧灰色规划（难）
0 a& L3 W  Q, P$ w
+ a+ t7 h! h7 N. a4 P

0 g7 M7 J/ j& t  A  t
: B% d! Z+ b* x1 T3 m