数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
9 k4 r9 }6 n+ ^( ]8 T/ p
1 \6 ^0 b  A7 p! V/ S6 Q) W 1、建模步骤

$ G  z5 @5 q9 w/ d7 z( Y

模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
1 S, ]! @" k1 X+ W
$ S) T  G: }5 u/ Z' t! A* S模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
6 i# j8 R6 [+ v/ [. ]* W
1 Z5 H) N. g% S9 C8 l模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
4 D: w8 \/ l; ]0 X, o" s+ a
, r- Y# j7 R' X6 N2、数学建模问题

, n. ^5 n2 B2 D$ k3 g  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

8 t' w( h$ ?1 m" u* p（1）数据处理问题
3 X- r2 R1 K) v! e" T0 y
•①插值拟合
+ N$ d8 |, E1 l/ e; D
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
1 ^% t! K0 y% N) v; U# A# T
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

7 L* Z6 j3 ]0 u: U4 |; C•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
. g2 a$ p, E. r# @, b6 w& x5 B
7 [4 w, @3 u8 S9 y% R•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
$ w3 o* F- Y5 e. R* D
. J8 X6 o, \  u- l" B•主要用于数据的截取或者特征选择
: `3 [  o- ?% h1 W& @
$ F5 b% ?- }, h* l( I2 f
5 e5 Q) u1 a* n: R5 l7 i8 w, F: c, T
（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

$ r! e% F5 i8 b8 @•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）
2 N) W: M$ D1 S$ O
) O/ ]. q1 _# z& T9 Q•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
5 Z% [6 ~6 b! a8 ^7 ]
0 o' g3 L6 M# U•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
) F+ q/ w" f0 Z  ^+ t
" v; f, z3 |8 T& `: Y& k
: q8 w+ c% V* Q' V: g/ Q- Q1 ~
（3） 分类与判别

•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）
) h5 J& E4 \/ o( U2 l
) i0 W( p9 S$ l. ~- U! `•③层次聚类
9 h' C2 z( v" t# Y
  g3 c0 @2 i; W$ H0 d4 e& E•④密度聚类

- m; t7 p% t- H: [& H•⑤其他聚类

" I# d5 C( K( @* y" a•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

4 ~/ |$ P4 q% g: O* P$ W* y( C•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
, F8 X" r  q" M" o
" m8 r4 E* G! B4 h•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
1 Q6 _' r, J+ M9 v& h8 c




6 {  w' B5 B( `9 a  }) W（4）评价与决策
% k% [- j0 B# @3 c
  b1 @1 C: V7 t3 J0 Q/ I•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
* V, G# s+ s* M0 c2 C8 ]8 B
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
; Y  D1 E7 m: l/ L3 K/ @" Z5 K6 J
6 N; `3 W% ?; I0 Y& w# Y•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

& [  ]" S+ |" Y5 V& C•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
. `! k7 f/ G- d" A
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
# I% @, [8 K. ?  h2 @: E
, T( W+ J' b' B- P( }$ J: c•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

) N! E) ^5 l4 o% X4 @: C, _$ L/ u•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

9 E3 e* p1 q( V: ~& M•⑨方差分析、协方差分析等

- I9 J. J! T# }  b9 U1 e5 W•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
: h  ?( i( m1 F( e8 W: \
0 C( C8 ]4 l! X8 B7 O  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题





（5）预测与预报

  ~7 ]$ j  j) W/ ?( G  J

•主要有五种：
; ~4 D1 D$ n* b! x
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

5 b0 \7 n% ?$ Z% o  ]& Z. m•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
) P: a- A2 I- J
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
- l* _6 V  ~: H- N, [
' D3 S# x7 n/ B! B
1 p% Q% i8 U7 h5 d
: x( b5 Y# u. k1 m4 Z$ {•①灰色预测模型（★）

9 N9 f) }4 ^: _0 O0 y•  满足两个条件可用：
8 x+ q( l7 D! `3 T$ ?" M
4 H5 _, U5 D! c•  a数据样本点个数少，6-15个

' c3 M% ?& @7 A, l0 B; ^# C•  b数据呈现指数或曲线的形式
3 L3 j  l( G# w. n7 q
•②微分方程预测（备用）
* O2 P) V1 u9 }- b
' L* ~- O2 S2 m$ n( H" z• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
1 j9 S* n4 w0 b# y' r

3 M, F( l# Z' ]$ _4 M3 Y+ i
•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

- {5 z5 g( B% L" p* \" Q$ U  w6 ^•  样本点的个数有要求：
. I5 |" m/ V3 G8 M! `6 A* v! }
  I! g' }. o: I% E& q  n( N) g) ^•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
& v0 d+ x  B5 |1 H" T* w  c
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

: o9 s# ^5 F' ?( Y•  c因变量要符合正态分布

' |" c( T. W2 C6 c7 ?
& i" _* S+ e! x* P7 y* v3 D4 h0 k& u* R
•④马尔科夫预测（备用）

% N* n3 o- h! Q9 [& n" H•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
  \  B1 K8 p1 l, q) t2 @

, z7 W+ w1 M& Q: k  Z  @
* ]: g; b" t! y: F; J1 U•⑤时间序列预测（★）
; h8 Y) ]$ ?; r: [5 t
9 h  d) [8 u: C$ V# _8 L•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

3 e( J: [/ t5 D7 o( c/ ^4 j•⑥小波分析预测
) f2 l! i- c* S+ E2 V
2 h# h4 @  _4 T3 y; `•⑦神经网络预测
1 L# h+ U. v# v# k* _! w+ ^
, T0 F7 J, b8 H3 m  V•⑧混沌序列预测


5 J/ p1 _" W2 D, y& I
（6）优化与控制
$ C7 q" F/ M+ y0 H
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

& K2 V0 T! K) e, ?•②非线性规划与智能优化算法
+ o3 ]/ m* n0 t  I3 Q) l# y) |* y
& x% e7 J7 M  a) p6 |•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
6 g0 J3 _9 g- C6 H% E0 C
•④动态规划

& J: Z0 X; ^( o/ F  V( D•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真
4 [& F5 |( e; A7 i
; S& h% q* N! E$ l•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）

. y5 E& s, L+ _5 r% D) Y- U/ U0 U1 F
/ \- U! Y  B" o6 R3 f
% f, {6 B. ?- I4 n
5 e  _& M9 s: M1 g# V