数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
7 V. G# O1 T$ A8 I* C. |
1、建模步骤



  i6 ^( C. l  T4 d; B# R模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
, ~! d5 H7 O1 ^8 a/ p( {, t  g* }! y3 O2 d
4 b* L0 J& ^8 O; c1 z+ o* H模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
! v' _- j' B, k1 }# K# u
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

% ]) W2 @3 \$ {. Z+ r) u2、数学建模问题
9 v3 Z. |: H" X+ j
; W2 a, G! x( r9 X  D, d8 W  k' t0 x2 b  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题

•①插值拟合

1 f7 |7 k* ~: C3 {•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
7 P5 N; d9 Q% z7 P! G) U# [* h) O
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
. T, O2 w9 U# ~& |# S# ^+ [
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
- x9 R6 R# E( L6 I2 J# f! T: a
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
( K: o2 j: ?5 _; D
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
4 S$ n2 c& Y" V* i) G% J
; A0 g- d, L; I' K8 d•主要用于数据的截取或者特征选择
$ e& g# k3 u2 F/ x7 X: ~


1 }6 t( r5 k, \（2）关联与因果
. s, h+ ?( _; o8 }- ^+ `: D
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）
2 B. F, ^  |# K( L1 [
3 ~& b" ^% Z/ S+ y* z8 X•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
1 v! p7 N1 m" @4 C% N" j* @: Y

( ~1 X0 ^+ y9 K+ p& ~
+ Y9 v; X; h9 l（3） 分类与判别

" \" e( F" `4 a5 l# M; g- p& ^) ~•①距离聚类（系统聚类）常用
& _7 P7 M1 s! V7 K/ S/ g# A
•②关联性聚类（常用）

* V3 ?, q4 \9 G: r) e1 [& r8 G  g•③层次聚类

•④密度聚类
  }3 e' h2 d# P! x0 @7 `
+ x! z) S. Y. e' x8 g•⑤其他聚类
9 _! i: v5 p$ o
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

* r/ y! Z: n+ A: P# H- x6 M•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）

9 W8 q) V( J& I9 o- n  R) N

6 g) t5 n3 a3 L# n' V7 w6 k5 y( J2 ]
' E. I, z+ |8 ^; L8 A+ k  Q
（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
' T1 i- \# ?5 L; C
7 Q! _/ g6 E7 P( X" a•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
' j1 _, O0 u9 N6 K8 }8 ]
1 u) I/ @. e* b5 N* m•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
& o, C% t+ S. q
9 L' Q2 A9 [+ H) C6 l! |; b; p$ h! ^•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
& M3 T: Q( M, f7 V  a' N
" X0 O3 z! j4 p. A•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
7 W$ {, D0 t+ I; k- C' C
; s' L" n4 i9 L0 F" H•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

* i+ v0 n: g+ G& r- B•⑨方差分析、协方差分析等
5 M& [, t+ c3 |
5 G" q4 i5 [1 Q" S, A. c9 J* `  k•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

+ S! ^) a, d1 s& m  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题




, I: a5 ~, v7 N0 x, m
; y7 l0 x' Z" ?  N（5）预测与预报
. u/ \) ^$ I- A( u0 G; G

( `) Z1 W" b" t7 v
•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

- u' u) j+ Z2 ]8 r# |4 Q1 `•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
0 A* u5 {/ {6 k" X2 U! L
9 a9 i! D; m5 z0 b•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
7 B' a+ \7 L2 S
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

$ l# C  U0 F+ b1 |

9 Y* _4 p0 V) ?6 Y9 z; h7 J•①灰色预测模型（★）
- J3 E9 N2 U0 Q
•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个
$ X. L0 }2 J* J
•  b数据呈现指数或曲线的形式

/ L* G7 T8 ~& D( O! r) p- J0 c•②微分方程预测（备用）

+ r% C6 s) a1 ^3 p% {# e; S& G• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
9 E2 \; d1 X( ~


•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

4 P3 |1 L+ c6 \3 W1 b/ v- e•  样本点的个数有要求：

4 ?! P! P7 {( k' [•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

# q3 \- Q: c0 ~, m$ O; i•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
! c* ^% T+ @! [7 D6 P& l0 B  [
•  c因变量要符合正态分布

& ?2 C3 B8 v2 @& x3 p# W9 X% B

•④马尔科夫预测（备用）

6 p: f; f0 x; @: [* F•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
% Z; }5 \; d! n+ k
1 ~, }( A1 p( Y9 U5 l

. k2 o4 N* a$ [! j6 T" r•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
/ a( K# }5 z# u; n+ S
•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测
* t5 k. `8 w& h& Z( k5 Y
- W7 o: e& @! }. @, i: ~

/ N6 a% g8 ~- t1 v（6）优化与控制

. Q$ Z/ J: p- }. k•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

4 G: W* I; O% A5 T: \' }- c1 V•②非线性规划与智能优化算法
: i: e0 N" t6 z3 k* e. Z- V2 y. z
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

' z4 S6 N) l/ H# g- O7 e2 _•④动态规划

6 g! g$ h+ @1 S+ R7 K! c•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
- {9 z9 J. F6 j* w
•⑥排队论与计算机仿真
" N8 a! P" \6 t4 {% X
•⑦模糊规划（范围约束）

: V# m: O! _+ C7 K. h0 Y9 {# b•⑧灰色规划（难）


1 q8 w3 ~9 r( W( R- j* z
; \' `2 y- z# K