数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
/ }1 T. R% B7 ^2 B7 Z/ z1 x/ q2 R
, L* n4 U& G; S# q; w8 \ 1、建模步骤
9 T. ~% }* ?7 [5 q


模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
* K& N; v) K# m# a: _) i2 G8 @
* c# t2 _4 h0 Z6 Q模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

+ A7 S! s3 X: s# o& s2、数学建模问题
$ H$ h  R( J& o/ A; V; ~! y
- h$ s8 `8 a7 E! J# j  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
& i. R7 n" |1 `/ K/ k; z
（1）数据处理问题

•①插值拟合

" l$ P5 ^* x9 n' y! T. z•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

8 N6 u8 b8 U" u% p2 u2 ]•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
" z* `2 H( y- p7 d
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
$ v) V% v! Y3 X& v( h) I1 W
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
% A/ Y& L* ]" f1 J: V
•主要用于数据的截取或者特征选择


" X, O# _" J# E5 o3 z" @2 Z
/ b8 B3 {/ s0 c; t7 u; }9 r（2）关联与因果
* }  C; U9 b+ y. s& s
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
2 f* ~  C: H& ^" U) M- d* W# N* w
7 N3 Z% x) ?. S$ H% H; c•②Superman或kendall等级相关分析
( ~# n( [4 C* G+ b4 O; A
•③Person相关（样本点的个数比较多）

+ D" D8 l5 G# H8 o•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

3 Q( `5 B/ ~9 `2 n* c
' d' |; t- e; Q. C+ n, ~( @
（3） 分类与判别
3 C9 O) q1 B. {; w
•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）

. M9 J  i  g3 x- y8 @! U5 m0 W•③层次聚类

•④密度聚类

•⑤其他聚类
; {0 I  v* v% v. i
2 V' k; t8 X; ^2 z, D9 h; A•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
4 a0 e' Q, b. T6 i# @, V1 J9 q; ^5 M
3 N& {, A& F4 u4 B9 ~8 d1 O6 Q2 w•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
  C0 C  Y0 W. ~& i7 @$ [
& ?' _4 }3 D& D) ^) `/ i•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
4 T  N3 x1 {. K0 R$ B3 v9 y
" E/ m/ d. r' }
' S. G2 ~) X3 {  b$ j; E; x$ G
  A; C) Q5 x: R1 r1 N$ b0 ?$ b

' o$ u- b% `( ~1 q; U（4）评价与决策
- M: M& [8 ?8 K3 E! S
3 Y% @$ E. ?& O3 A- C/ I•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
* n5 m, \/ _" ^) `9 w
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
5 v6 M3 \9 U! `
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
  |# V. R/ q) q# t- J
) f( S6 P, V5 I  t; B+ N•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
" z8 B$ ?5 N; g, R
* A7 S+ G! W! K6 f3 h, w, v•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

6 T9 T2 o2 j1 @" T7 Z! Y% o$ o•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
( Q! z0 |  z8 d% ]6 L4 m8 W
7 z$ c2 m0 s) e! \! D" k•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
( {9 Z" L# _# |
•⑨方差分析、协方差分析等

/ l$ B+ l3 q  ]* o# ~5 J•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

! H8 C$ Q9 n; W: J2 M  H; \+ g* i  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题

7 k. U6 q7 o& }$ x7 x3 a/ }

" {7 n7 }5 y" ]
1 M5 [; a7 |" D3 V$ @
（5）预测与预报
" L4 F9 z( G, p/ Y1 J- `
& O5 c) @: i9 _( h  ?; N
' v5 i5 B* E4 e; Y7 ?" x
: z& L+ L  L, ]2 B1 n3 A7 b. m•主要有五种：
/ V# s* E; d) W9 M# m# i5 q- [% K
" H9 _+ q1 U+ V•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归
  |+ P  K( t0 h! }) G% Q  j+ s! _/ n
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
% }. N* D$ A4 S/ @1 n* h( X% L0 U# s
2 ?4 W4 E; J3 M# a3 y+ ?+ [, v•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
0 X3 R, B2 t# M) u
8 h' J% T0 a# k/ D
" ^9 |* s& j3 {- W& U0 H" e
: y( U5 e3 u  \" \$ H/ g•①灰色预测模型（★）

2 |4 Z8 N; `, c: A) [•  满足两个条件可用：

2 k5 T; M/ n3 v  k" d" n% s•  a数据样本点个数少，6-15个
- X1 I2 z2 E0 e9 `. W
•  b数据呈现指数或曲线的形式
2 A$ g, x' b% M. r- P* a
•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。


9 i! O( V5 R& u( k5 n% Q' v1 H
* v: B7 h6 u; |6 B2 a•③回归分析预测（★）
/ F; J1 x8 M$ s
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：
8 d2 h5 l( l7 ]$ U/ x, }( S
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
2 J% z* `$ D# a0 d" \. Y/ }- \
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布


; m. @0 ?% a& Y, n
•④马尔科夫预测（备用）

& c, I4 P; w# }+ N$ n: P$ v6 U7 q8 t•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
: v7 }5 @8 ^! ^# Q

' O+ |# O0 v6 W* \  [5 b' Y
•⑤时间序列预测（★）
3 R8 W: v+ G( a9 n) g
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
; V* g8 D- A" |3 {9 w
•⑥小波分析预测

" B+ b1 j3 _  A0 P/ `2 Y•⑦神经网络预测
1 H# N: w. _1 Q" u
•⑧混沌序列预测

( [& c1 H, k, l8 }) G/ @+ C
7 A# W  q" C/ ~; W& ?  m
+ R; M: s  c4 ?# [1 @（6）优化与控制

7 b4 s7 K" O1 {1 `; J6 c•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
- h6 \" b' Z: K+ c% H3 [
% L0 _$ ]  N- l•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
( B% y8 X+ m: d/ v
* s0 y7 r6 N6 u1 c. K•④动态规划
5 K& v/ v; ?8 s* i/ }3 D: s
3 l8 B1 l4 d% I•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
( ~& P. ]* I) Z5 Q+ ]/ ^/ n5 @
2 ]& E# Y. P7 i: G# f& U% m•⑥排队论与计算机仿真
0 ~/ G6 j$ p! z9 F. e) n5 g
$ n) `) `% S6 t- V" z0 E! S  R* S•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）

8 l6 v( X0 P/ n+ o