2-7、规划问题的Lingo解法

杨利霞

2-7、规划问题的Lingo解法
) _0 _# K: t) ?( E# g6 _+ k8 N' s一、 从规划问题引入
- F8 w: \9 n. v4 X
  在我们学习探索的各个领域，规划问题都是无处不在的。通过列出约束条件及目标函数，再画出约束条件所表示的可行域，就能在可行域内求得目标函数的最优解以及最优值。当然我们在高中就已经学习过线性规划的相关知识，对于理科同学来说，大多数同学应该感觉难度不大，或者说是送分考点。然而到了大学阶段，一些规划问题的求解已经不是人力可以轻松算出来的了，必须借助于计算机来进行计算。那么对于规划问题的软件选择，又应当如何进行呢？
9 e4 J, g" T0 r
二、 软件分析与选择

  Matlab相比之下是一个面面俱到的编程软件，也可用于求解规划问题。但是如果一定要去和某些“针对特定功能而开发的软件”去比的话，Matlab有时也会稍显逊色。就好比一款顶级的耳机能通吃高中低音，但是去和另一款顶级的为高音而设计的耳机去比较的话，也难免会被比下去。这也就是为什么在规划问题上，很多人会去使用Lingo进行求解。

  首先我们来区分一下Lindo和Lingo这两款软件。Lingo是在Lindo基础之上做成的软件，处理解线性规划问题之外还加了非线性的求解器，更关键的是还追加了集的概念。可以更方便的解决复杂的问题。所以本文只对Lingo进行讲解。
9 T; o0 M, D/ u& p  而对于Matlab与Lingo的区别，就好比手动挡与自动挡的区别，有针对性的专业软件会对用户做很多的优化。这里引用知乎上大佬 花开花落 的回答
8 A% F. T! x$ @3 c( h6 nhttps://www.zhihu.com/question/49319704/answer/165923451

  用MATLAB求解线性规划和整数规划问题，需要先将问题转化成如下标准型，其中X只能是向量，也就是单下标变量，然后用向量和矩阵来表达目标函数和约束条件。
* a; t2 w% r- r( C$ W  然而，许多问题（如指派问题和运输问题）由于参数和决策变量是双下标变量，必须在基本的数学模型的基础上进行变换才能求解，这样得到的等式约束和不等式约束的系数矩阵规模就非常庞大，当然由MATLAB计算问题不大，但转换工作完全要由人工完成，工作量大而且容易出错，因此在这一块效率不高。
  而LINGO有自己的建模语言，在建立了集合的基础上，能够高效表达目标函数和各种约束条件。所写的模型基本上可以看作是对数学模型的翻译，不需要太多的转换。

" @! w3 |# e6 V; O% W  那么现在我们基本上对LINGO和MATLAB对规划问题的处理方面有了初步认识与了解，至于是执着于MATLAB还是选择开辟LINGO这片新的领域，取决于队伍自身了。

5 t: j0 h! j2 ~* X9 s3 _( `三、 如何上手Lingo
" `6 P: I2 h- }5 z5 e& V
  有很多人对于Lingo的评价都是，非常简单的软件，很好上手。
  “简单”一词我觉得还比较恰当。Lingo的各种版本几乎全部都是免安装版本的，界面很简单，功能用法很简单，处理问题的方式简单快捷。确实是跟“简单”一词挂钩的。但是任何一款软件想要精通，都是有一定难度的。如果你只需要用Lingo处理一些简单的线性问题，那么2个小时不到，0编程基础的朋友就能上手。如果你认准了Lingo就是你处理各类规划问题的御用软件，那么还是有很长一段路要走的。当然这也取决于用户的编程基础。如果学习过面向对象的程序设计课程的朋友，对于类与对象概念有所了解，那么对于集这一概念也能快速理解上手，学习起来更加轻松。

" o& W, o- z9 U* B" o5 K: Q# s四、 Lingo的基本语法规则
0 s- B1 ~. N" S1 z5 D: ]
- l3 S4 r  r9 j1 H3 u, |8 @1、求目标函数的最大最小值用 MAX=MAX= 和 MIN=MIN= 来表示；
2、每个语句必须用分号“；”结束，每行可以有许多语句，一个语句可以跨行；
3、变量名必须以字母A-Z开头，由字母、数字0-9和下划线组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；
4、可以给语句加上标号；
5、注释以“！”开头以“；”结束；
( [% K2 j% {: J+ g6 Z2 R6、默认所有的决策变量为非负数；
7、Lingo模型以“MODEL”开头以“END”结束。
8、Lingo把相联系的对象聚合成集，借助集，就能够用一个单一的长的简明的公式表示一系列相应的约束。
9、Lingo程序会包含集合段，数据输入段，优化目标和约束段，初始段和数据预处理部分。
10、Lingo函数包括有数学函数，金融函数，概率函数，变量界定义函数，集操作函数，集循环函数，输入输出函数，辅助函数等等。

五、 谈一谈例子

; ]3 t/ ~; |$ R9 d. L  那么Lingo用起来到底有多简单呢，我们来看一个例子。
6 e, x! j9 E0 |- e7 M7 n9 t
6 U, q+ D$ X+ h例1:某家公诉制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种:木料、木工和漆工。生产数据如下表所示:

$ S) c% G# V& e6 \         每个书桌        每个餐桌        每个椅子        现有资源总数
' j2 s" T* _" k4 n, ~) q1 R) J木料        8个单位        6个单位        1个单位        48个单位
漆工        4个单位        2个单位        1.5个单位        20个单位
: O; _' [$ E2 `9 {$ \7 g木工        2个单位        1.5个单位        0.5个单位        8个单位
  |) p0 b% K$ Q" `2 o) s成品单价        60个单位        30个单位        20个单位         
6 C9 W1 w/ F" p. G1 l8 m' `  若要求桌子的生产量不超过5件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？
% t( s% L, K+ k9 s7 U) V$ w5 R
解：代码
5 r% I$ [; N' ^7 U0 u# r* |9 k9 \
max = 60 * desks + 30 * tables + 20 * chairs;
      8 * desks + 6 * tables + chairs <= 48;
2 H7 m) b4 y8 \4 k6 u& A      4 * desks + 2 * tables + 1.5 * chairs <= 20;
7 x: p# V9 {$ w( R' }      2 * desks + 1.5 * tables + .5 * chairs <= 8;
+ q+ z1 Q  r, X* \( Vtables <= 5;
1
2
3
4
2 Z  D" u+ \" N/ j: E8 ]8 b5
可以得到结果:

  这里的 Total solver iteration 表示一共迭代2次得到最优解。
" o, {, N0 I2 L3 w. {# A  Objective value 表示最优值为280，而取280的时候各个变量取多少呢，底下的表格给出了答案。
, g# |* R1 L7 [6 ]  可以看到，没有定义变量，简简单单一个函数一个约束条件，迅速计算出了答案。Lingo看上去就像是为了非编程人员量身定制的一样。

/ v6 T% {* G' c! [% H例2:给定一个直角三角形，求包含该三角形的最小正方形。

' C% t! z; J7 i: P- y' w. c我们可以作出如下正方形:

, ^% D. d# F5 |/ D- W% e
  CE=asinx,AD=bcosx,DE=acosx+bsinxCE=asinx,AD=bcosx,DE=acosx+bsinx
  转化为了规划问题那么正方形面积最小的时候即为最优解。
% o, `2 i$ c, r5 U% \  代码：

, z6 a, m0 `- Xmodel:
$ b6 ^* n, X# S. F# `& T- ]* z. asets:
* D+ {3 g, C( G( w    object/1..3/:f;
endsets
data:
    a, b = 3, 4;
enddata
* {! k' A/ t1 s- X  a    f(1) = a * @sin(x);
    f(2) = b * @cos(x);
: [" n) G+ F# Q- e7 w) n8 e    f(3) = a * @cos(x) + b * @sin(x);
& J( ~$ p) a  t# Q! y9 w4 _    min = @smax(f(1), f(2), f(3));
8 M/ y; ]& e' d2 |    @bnd(0, x, 1.57);
end
2 E; r  M: v1 S: `: ~1
2
* A# p  Q" O0 g" j5 V3
4
0 A5 K7 W3 Y8 m' B# j, [6 ]5
6 M8 P- \& G- {% l" V2 w% T, R6
7
3 ^7 B  K& `; |9 E& c# S# i8
9
10
11
12
13
  得到结果：
. g, q# T/ \( A: L- ~2 v  H3 J

  这里需要注意，lingo中如果没有代码说明，是默认 xx 的值大于0的。代码中用 bndbnd 函数限制了 xx 的范围。
8 R+ o) Y+ ~: d7 C4 @0 R6 \- w  那么再进阶一下，Lingo在处理TSP问题的时候表现如何呢？
( H1 x  f1 n. L7 y8 [
例3: 现需在一台机器上加工 nn 个零件（如烧瓷器），这些零件可按任意先后顺序在机器上加工。我们希望加工完成所有零件的总时间尽可能少。由于加工工艺的要求，加工零件 jj 时机器必须处于相应状态 sjsj（如炉温）。设起始未加工任何零件时机器处于状态 s0s0 ，且当所有零件加工完成后需恢复到 s0s0 状态。已知从状态 sisi 调整到状态 sj(j≠i)sj(j≠i) 需要时间 cijcij 零件 jj 本身加工时间为 pjpj。为方便起见,引入一个虚零件 00，其加工时间为 00，要求状态为 s0s0，则 0,1,2,…,n0,1,2,…,n 的一个圈置换 ππ 就表示对所有零件的一个加工顺序，在此置换下，完成所有加工所需要的总时间为
∑i=0n(ciπ(i)+piπ(i))=∑i=0nciπ(i)+∑j=0npj
$ u  @- {- s0 [∑i=0n(ciπ(i)+piπ(i))=∑i=0nciπ(i)+∑j=0npj
) ^- x  v  o! \* r+ Z  ^由于 ∑nj=0pj∑j=0npj 是一个常数，故该零件的加工顺序问题变成TSP。

' b7 Q) A0 E9 w代码：

( ?& a- y/ z% u5 c7 V/ O!旅行商问题;
4 m# _# Q) s) Umodel:
sets:
    city / 1.. 5/: u;
    link(city, city):
        dist, x; !距离矩阵;
endsets
    n = @size(city);
6 G$ ?4 X* Y% L7 c3 y3 V3 fdata: !距离矩阵，它并不需要是对称的;
    dist = @qrand(1); !随机产生，这里可改为你要解决的问题的数据;
/ o0 ]0 L3 Q3 e# ^enddata
& o4 J) X' |# T8 Y& k; g    min = @sum(link:dist * x);
) U& U! v6 T( O* S    @FOR(city(K):
, D" v8 {' d( l: M( ]        @sum(city(I)|I #ne# K: x(I, K)) = 1;
        !进入城市K;
        @sum(city(J)|J #ne# K: x(K, J)) = 1;
    );
* V& q" G9 [( }3 I3 U2 h0 `    @for(city(I)|I #gt# 1:
        @for(city( J)| J#gt#1 #and# I #ne# J:
             u(I) - u(J) + n * x(I,J) <= n - 1);
    );
@for(city(I)|I #gt# 1: u(I) <= n - 2);
@for(link: @bin(x));
end
- n8 s) j; H( {: k1
% ^4 a/ e+ R* ^4 @2
$ u) q4 e+ W0 h3 k" O6 ?, n3
. S* i% s2 T3 N4
5
6
7
8
- ], F, g: F% S" w3 L9
10
11
4 ]# Z3 o7 E3 q. e; ~: @12
13
14
3 E4 K9 o$ R0 w2 K& N15
16
17
18
19
! P  X+ \( W! R20
21
22
23
24
' f8 N& b$ X$ f可以得到结果:
% G3 N7 W5 s! z, }/ c
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) F" u) P! g  W3 V! `* A$ s# Y