数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

' t! T7 V6 I2 W( p1 H0 L数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
6 `% _, v: [( c3 F4 s+ h* q 1、建模步骤
' h  F  |) _2 M  B# f
0 A1 Z$ X3 a* g5 k

模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
% n5 I  L+ I9 t& [- X8 N( w  \0 j
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

" x- B1 r1 N4 x. m5 V模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
% `0 m8 x/ w( V$ S; U4 _6 I" n' K
; e( s- H9 k$ E2、数学建模问题
# e/ D7 H8 @5 J2 D0 Y8 E: O4 b/ Q& P
' A! t9 `- @( I+ ~6 i+ V  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
# u9 H) b( t1 G, B0 v
6 s3 N4 W- G0 n) |  V6 M（1）数据处理问题

•①插值拟合
3 x4 z. @1 Z2 }: q* x
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
& h7 s; ^, G3 F% N/ C% i
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
! H3 J! _1 j5 `, M
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

9 L# W5 `# r" Y: D& [•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
  ?8 A7 p7 K2 r
3 V0 b; F6 B0 Z/ j9 l•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
* ]8 v0 I5 v( E% g& {  H: M
& _) G( T/ q) Z% F( D•主要用于数据的截取或者特征选择

8 ?1 V  t' u1 c/ e  }" Y

（2）关联与因果
, z* q" M: h5 l$ H
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）

•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

: D' d0 H3 D; f2 i: d•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
. O$ `! T0 j2 F
6 p! j% M  T1 L5 x. j

6 X2 z$ M. r( N, g, t3 ?（3） 分类与判别
' F( O! u% {3 b$ g5 ~& E9 Q$ X
- n" A% q. v0 Y7 i- w6 r/ v" W2 h•①距离聚类（系统聚类）常用

$ u1 v6 _$ t) r9 X9 ?! m5 p+ M7 u•②关联性聚类（常用）
7 [/ ^- f+ L7 J% S" o; M4 I) k
) X  d# D. C$ V( _8 n6 r5 Y% y•③层次聚类
9 j3 J* f5 n+ c5 q9 v3 k
: }& \9 F6 J4 f: s•④密度聚类
& O# X, U6 g8 r# C7 `6 Z* x- N/ N
# L! r% ^) O4 O3 V$ e. t8 s/ s•⑤其他聚类
4 i" {' {& O4 I: t
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
5 @  ^9 k/ S5 f7 R& X$ u9 S* _4 ]
6 f6 ]. j) L8 m" Z•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
# I5 e" ?4 L1 Q

/ T) O" r. E- K; c8 _5 L# {7 I
0 S8 c8 Q3 a3 P# ~' x' {7 L5 H- h
& `% s; n+ V+ A" J
/ ^! h- b% T, P! T! b' B（4）评价与决策
, g( \) F7 f' k7 F& ^" i
4 r0 _& n  r( f( {& B•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

: t+ _9 q- e$ Y# d•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
" G- A2 {# ]1 _+ C( K4 R& t+ X0 r
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

3 F- J* A9 X) C* `# M* V/ m% t•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

, v( K; M% l' t- k3 a•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

" T- Y) i! i; j( r2 y•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
  k5 \1 s# L1 p
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

; u; z9 I" {  w, f' G6 J" s•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

, J  L/ `, X! X7 \•⑨方差分析、协方差分析等
2 d8 x, l4 T+ F; Q4 j$ A
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
8 Z9 Q: D! W2 e- N0 u. d4 U
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
/ ]/ P; T8 n* x/ g



' p3 T( N1 H& r. H8 K
! ^( P- x: ^% q, V（5）预测与预报

. W! |; O) N% S2 w' H. X

: d: J6 j. u& [* V! X•主要有五种：
1 w0 [3 Q8 h- `. B
2 S5 m# {! Z# X7 z5 p' `4 N•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
& K9 F$ m7 Z' {" J/ a$ x+ ]2 ?% N* \
•大样本的内部预测-逻辑回归
7 V. S; k" s7 k/ M6 H
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
1 f0 W9 i/ y3 f( s
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
# O; A( R+ u) t& V4 Y, I! F
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络



3 Z4 v$ M/ N5 F! k•①灰色预测模型（★）

! s( A- j" H$ D3 r: u1 x•  满足两个条件可用：

5 Y2 V' q: F& F  d$ Z•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式
% O, j" T6 M: ?/ O- o" Z7 e
•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
4 W" E% E: A% T2 n1 D" x7 I$ Y
4 x4 Z% a0 M2 `0 X

•③回归分析预测（★）
- t# T+ M' r4 U  o" o
/ N. ~' t# r& f2 n5 L4 f# L& }4 f3 L+ D  f•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

% T2 h, ~& O; ~•  样本点的个数有要求：
. @* Q+ G% r( W( g3 w
3 b1 y* H  E6 s# v1 w! L  f, Z•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
* l- J0 o; g: n- a+ I. `- d
8 Q" Q+ n4 i5 d•  c因变量要符合正态分布
/ j/ T" C$ \: n9 `

7 g5 a- o# e+ D2 k& K  x
2 A/ l" {7 q% q! o•④马尔科夫预测（备用）
' e0 U2 O9 @% D# |
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
0 s: M  P$ v9 x" g# w6 r* q9 Z

  r. w  F( S$ J6 O* R# W# ]
•⑤时间序列预测（★）
/ `. D" X; y+ R' Y
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
7 g0 H0 N2 b( ?# q! a% C) m1 ]
•⑥小波分析预测

4 J, a  T; o4 S5 ^•⑦神经网络预测
. m8 {5 I$ g2 O" {
•⑧混沌序列预测

- R; K- V2 ^( m9 m+ @* a

) y& L1 q  t& ?; g0 O" f（6）优化与控制

; P6 D/ ]2 W; Y2 y' k! d•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
! ~& l7 U9 i" s) l6 A+ l1 u
•②非线性规划与智能优化算法
: O5 @; Z8 a; }6 K! m3 `* X
, U6 j, M6 h7 r2 m•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划
+ |9 [+ r0 ?' U. y  w0 p4 w
3 {3 ?& F1 S% V& [  \9 t" C8 `! b•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）

; ]+ M/ M6 H+ |8 O4 c& g' L7 n1 M•⑧灰色规划（难）
* i  d$ z5 `& D$ @
: G6 S" V  i- q- y! h; S0 c2 U
# @* g1 S8 T; b5 N9 m8 o/ H---------------------
作者：ItsL
4 M9 w9 C$ c! U: c  M0 F来源：CSDN
0 }5 i. V( L3 U9 Y0 H' i# q
2 d+ q) C$ b5 T! O
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