数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

& S$ e: c# w+ }5 d* y' V数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤
: U- e. [4 @8 J0 Z

0 _  s! c: T7 Y: B
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
, U+ g4 S% d( x) m- @. U- z
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

3 V7 X2 w! {2 n模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

5 C" e  g( W) n# j3 m$ c9 x$ [（1）数据处理问题

7 t7 r4 S' R+ O2 @" p1 X•①插值拟合
+ F- q. j+ H9 ^1 e7 q) Z+ p" s
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

; {8 d5 V9 r! Q6 v$ a•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

. d1 P# M& g0 u! C: Z- F9 h•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

9 Z) _) Y# t- D! L0 y4 `/ r•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

$ q8 S, o+ v) i6 S0 f' Z+ r•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
- O6 N( E" O( v: j* M$ P( ~* p3 J# t
5 S$ O2 h5 ]3 @2 K) n
, W3 A3 ?" E2 Z
（2）关联与因果

( W1 B6 k" |+ w9 c3 |+ t•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

3 \+ F+ l; {- `# N; v•②Superman或kendall等级相关分析
# c" l* {& ^6 E6 w% f9 J: w! f
- Z$ a4 E9 ?) q: ?•③Person相关（样本点的个数比较多）

+ s& f2 [% u( s•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
) x, h. m: Y* `$ [, A
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）


$ D, H0 X2 L4 \) l8 h! i
& V5 j, {8 J3 n) ]. U（3） 分类与判别
% v6 O' E: D* b( T& N, x" K
•①距离聚类（系统聚类）常用
- m, I! {$ ~+ A9 E; U
6 a# o3 x+ E% l9 @6 E" F7 B8 n4 C•②关联性聚类（常用）

- P! Z+ `' x* ]•③层次聚类
9 Y) V: j; x: g; r/ D3 t" q
•④密度聚类

  X- ]: H2 H. X) _•⑤其他聚类
( \4 r2 A/ e5 S: ^# [
' f  H' V. }* H•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

: d5 l1 A  ?: p% t- F- [/ v1 T) m•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
7 {' @' T% X: m% c) [% l+ s  K
$ J8 E. B3 o, f/ n( Z5 \

# c0 y! w) b3 z, p
' p9 T3 A8 a( X' h
（4）评价与决策

. T5 \6 V; s2 q  @3 G# k. |•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
: Q8 k# N/ r4 E6 s0 u
# \2 \4 i( g' i8 A( F•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
4 Q6 V- B0 i5 ~7 ?; Q
8 I" Z, c; d; j1 J7 ^•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
% C* j2 \" S3 q2 n. ]; @
  Z2 u# {1 g3 f0 b$ B•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
: N. b* T0 h. f7 g
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

; k7 t: z& Q; ?4 H2 B•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等

" ]0 q% |, l, w- t$ a! Z9 J3 y( o•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
* X8 G6 k8 w  C3 k! T& m: R
9 F& s. o$ Z/ [: w  s
+ z+ W! f: S" V, S

7 J9 A7 [, S+ ?2 L0 s& c
（5）预测与预报


- n% k3 z# a% |/ {9 O" m+ ?- l
•主要有五种：
2 j7 |; u! r2 u# e% T
; U$ J0 d4 O5 G% L; }. r4 Y0 w( @•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归
" [1 l0 S2 F6 [: g$ A; `
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
$ `' X2 f# t3 R& R( v" R% l1 }
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
' K- _2 t% n7 S3 Q) z
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
( e" R2 B5 T1 j& m  m% R( |

9 |; a, h+ a8 c
2 l. u; D( o7 g7 s# `•①灰色预测模型（★）

6 @: J8 G  q0 U. s•  满足两个条件可用：

6 j# Z0 f8 p% Y6 A•  a数据样本点个数少，6-15个

/ [) K# J# M# ~% Q•  b数据呈现指数或曲线的形式
$ J7 z9 U/ |# |# F
( X* N/ ~  S) k2 F•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
% Y) I3 V9 D; ]) p1 W0 G3 f+ J
6 S- d. `" ^& w6 \3 \" R

6 T3 e+ D. ]( W  @, q7 l•③回归分析预测（★）
9 }9 \+ R5 O2 y7 M
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
, ]7 x( b& [3 ^% s5 l
•  样本点的个数有要求：
% z' ^8 b; U& k( }  p
1 E( C+ z% |$ t3 {0 h  j•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
, O8 m7 m, v, e6 i3 j6 ^" @% _: N
•  c因变量要符合正态分布


0 {4 ~' ^- `7 t8 l  o3 Q& }
•④马尔科夫预测（备用）

0 S2 ^: l( l' X0 d# f•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

" T' i2 B3 a( J5 d5 J1 y4 X

•⑤时间序列预测（★）
+ t' P( y4 T7 R/ V. u; j
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

- Q7 ?) r$ z2 x! T•⑥小波分析预测
2 v; ~: j( _7 E8 j% H6 U
$ a0 F, {5 h" s" {3 h& i•⑦神经网络预测

7 A  S" j& @* R, |. F! ^•⑧混沌序列预测
' C2 j. m5 p; ^5 Z; i2 @7 Z
4 @# u0 h+ z- t0 ]1 G% e: X
$ L) Q! B4 j  }/ d% ^7 R
  C5 c* L) F- L5 ^3 l（6）优化与控制
; j; o) d/ U+ U$ E4 j/ Q2 S
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

•②非线性规划与智能优化算法
  h( u. q. ?2 ]) \
+ l" Y& h$ L7 @•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

5 `- e- x& s4 ?  k% Z8 r( e. {•④动态规划
" c% m+ @0 w- m* J
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真
, \' x2 f: ]( }3 h/ X4 C
•⑦模糊规划（范围约束）

4 D" `1 k* B6 _) `/ W( ~  B: {•⑧灰色规划（难）

: P8 N" c; _! X
0 U1 I( S. k2 L, [8 |& p---------------------
# _/ j0 f7 X. z5 A# I作者：ItsL
  m" `3 R0 {0 X5 E8 N( f# @来源：CSDN
$ b3 ?, v( t+ Z0 k

0 \2 P# n, A* R& ]
7 F# B# b. G1 p( Z3 f0 A% P6 M