数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
; p( A& \) y2 t) N' n* k 1、建模步骤

/ X8 ~1 K& X* W9 C$ j2 G9 o' ]4 J+ U

; K7 C/ t: T2 f$ I0 A0 A% O0 k模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
) Z0 U& W2 D! \& R# P/ D4 p
2、数学建模问题
; `% B! L8 S" Z: I
/ {1 Q, w7 g3 X. a6 Z6 L+ Q, ]$ x  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
" t+ t+ p! t' L; w7 K; J: ]+ T
5 Z/ H4 A) E: n0 S: \! Y8 K$ ^（1）数据处理问题
' y$ i- ]9 d( H/ b2 F. I+ |
•①插值拟合
0 }1 J$ k7 ?+ `5 [) E3 r- M
+ l! @) D1 S- ~$ r5 p' x. E" z$ V•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
9 v: @% m* ]' |
& u! N/ C$ k8 M( w•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
  i& L, F0 [5 I
; k2 y5 r0 B8 k8 Z•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

. V3 X, M+ n; X' k3 V- j•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

4 A% w9 X# D" O3 ]/ ^•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
& o7 W0 _: t9 l6 e' R2 X% O
% ?8 N3 q7 U% R' T+ Q/ ~8 K( c•主要用于数据的截取或者特征选择
  H8 Q' B% b% ]* C7 `. d
! e& E- w# T" {- [7 x0 ~, Z8 Q
% w8 @& R* w- F& L
# L: ~4 i! t! s7 f, `6 w) X（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

: `. e. v6 {% R" q•②Superman或kendall等级相关分析
) O$ `+ @* F2 a- m
* x9 z9 U" F( q# c! j( p+ n- i•③Person相关（样本点的个数比较多）

' G* v! Z. d/ m8 Q•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

& w/ u, Q& n  o: H3 m7 Y•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
8 \# c6 f' k6 N: N( [" H+ Z( D
" O' ]) l$ `: p! o$ f: W
' A. w6 f; ^: i) x: m; q" E
. N0 ^8 B( X1 L6 l% ?, s（3） 分类与判别
# ^7 r- d7 Y) U
& @3 `" {( R! T; }) t% I* X•①距离聚类（系统聚类）常用

( ~7 p) J9 c, V& b•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类
/ j9 Z5 ]' ^4 o6 T2 |2 q4 g
•④密度聚类

9 _5 H$ ~- x4 K( [# u) ]•⑤其他聚类

' \6 b7 r; y4 C4 q0 ?•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
" B2 a% \( O& k' n- N
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
# b6 z1 H. Y/ m; x
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）





（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
. P0 {! b! c, E$ f( |! w, P
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
* [5 T* |  e- ]) s) ]
" E# x) h7 ~9 K/ }1 M7 _3 B•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

3 S' _7 G; P5 u* i9 c2 s" N( m•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
( }' q0 x1 C, _7 E" |4 k
7 o9 X$ x' w- a5 {: V) j0 Q2 ?' |% A•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
! K0 T$ j. i( ^. \
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
. J+ M+ t* T& q
: B: L- d( ~, g3 W9 i4 v+ E•⑨方差分析、协方差分析等
# n" l0 m9 c# w8 C; K- r# l/ p
8 ~) Z8 A: n7 I9 p' \8 Y2 _. U•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

/ V: z& w1 |( ~; d- f! ]# q* ^( |  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题



: j: X/ l7 T- `/ C
1 P& m: ?6 O  Z  F4 ?2 R
2 I5 J, s8 t. [( T（5）预测与预报

7 j( U: y/ B1 Z( C- ~; v" x- G+ L# E
  Y4 `( h, l5 L9 w! m* t
•主要有五种：

/ Q- t( K2 y4 G* R3 h: J•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归
3 ^' Q8 [9 `2 w9 L0 V" u5 E  Z
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
" J0 z$ B$ p/ S" I0 |' u/ ]  ~
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
  l5 V6 E$ {# ]8 Y% V; f' J7 R$ ]3 |
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
1 L. N2 W. ?3 z$ b

4 x6 x7 q# P# }: z" {- M! U
. a: w0 O5 H" `; t* F- W# B•①灰色预测模型（★）
+ h0 Y. k7 M, _/ s9 r7 `% d& p
: }' o0 n/ r; R5 b! N3 v( H•  满足两个条件可用：
% {' e7 m" h6 A# q1 |
•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式
( m5 }" U9 s6 s3 M4 w
" H. @" ?, Y" R& G; c. D7 T•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。



  F$ e4 D* z; k& A& E! |& Z•③回归分析预测（★）

, K  |" h& o) s7 q# ]•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：
/ T( @: q5 k; }/ T; h& ~- T; ]
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
  @' f$ _' e; p! G. j# g+ ~+ [5 C
•  c因变量要符合正态分布


3 p2 E( T  I4 ^
1 K% X2 v/ G) J( H8 z•④马尔科夫预测（备用）
; A1 U7 z# S% T' }7 v6 ^/ e' Q! _& l
* d; d+ Q; \$ t1 P& a1 @+ A  @•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



, f# R- l5 N7 Y6 O" s•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测
1 b6 V0 p8 O. h3 \/ l
•⑦神经网络预测

# y& z8 H9 p+ Y+ F' H•⑧混沌序列预测
' P% _4 y4 T8 n( K! v$ ?


4 |- s, U8 W4 a5 F7 _（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
6 z. X+ X0 o1 b2 F2 N
" d3 @2 z2 }( [% [, r# P•②非线性规划与智能优化算法
2 v3 \$ r# L9 F0 L7 {: z
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
# V- j! l2 L  i- P# Y2 K
! f8 k9 j( a# M* D' m2 c$ b; e2 {•④动态规划

: W1 F, q2 |0 u4 ]* K7 q•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
/ z, d8 m* J% l* P9 o4 C" e% r
•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）
; v3 N/ ~% h$ F
0 g+ @/ ~4 V, O* P* s: |•⑧灰色规划（难）
& F" f* R  f- ~5 z

% k# Z: i& B# {/ t, ^---------------------
作者：ItsL
来源：CSDN