数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

, q$ z- V( w$ J" K数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
/ c5 [4 E" m& E% f  X5 H2 r4 R7 a 1、建模步骤
: ~$ c2 F1 o: w0 p* S

) W. M8 Z9 v* m/ n. s0 a& Y" [) I
! ^4 d* G. M- ~4 D3 O/ O4 [9 a模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
. l8 a6 j$ f! v* B# {% C3 |
& d& B! V( e  H( q) T0 T* t模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

  P, c: H7 w" Z9 F7 _" C模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
# t% j; F7 x  e: d( q3 _  F
2、数学建模问题

- F: V5 J1 b$ i7 H# f) q5 a1 J  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
% b* M- A& J" ^: n5 c, Z) N
（1）数据处理问题
& V9 I. n' T+ V, l9 U
' r" o3 r9 z6 I' |•①插值拟合
" |$ V, S1 d1 e* x2 M* @
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
/ Z+ O0 j! ~+ n7 E
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
) @$ h7 G( U5 i' Z0 W, P7 ]  ?
+ g5 b: B0 F& [" e) b•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

, w0 `" x' ~( M8 ]0 _' q: L+ z4 U•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

& y7 x# \& k' Q9 c•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择

( F7 X" L) U" P0 Y- ]7 `, x
) E  r) t* ~& V5 `6 N
$ E8 n! M" k8 G5 ]! g; q0 o. r（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
- |/ Z0 Z. E% D  d6 Q/ e. h8 m
- y0 n: B. _! ~, M•②Superman或kendall等级相关分析
  P4 v; p6 ]2 d$ n, b
•③Person相关（样本点的个数比较多）

•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

, F& l! c7 N7 W0 j0 Y$ M: ]•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
. Y4 e" m- h% e* k1 t9 {8 v2 G
; _, P& v/ H* Q1 ?
- O. W+ o" D/ K: U# N( O
（3） 分类与判别
" l( T7 F2 W( _
$ m' [: z" D4 V  i! r- C  c! c•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）
6 r8 H. ~) }0 d) Z( b9 q
( K) O0 @7 \+ U) Y3 a  X•③层次聚类
9 T! {; p3 M+ H. i3 B( D
•④密度聚类
' d9 O; \. e7 S' F% [5 N8 L
/ y4 w$ l: ]7 r" M, G- f•⑤其他聚类
$ a3 f0 w5 P6 s# ^( r
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
; L$ a# B8 ?3 o. _8 A
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）


. x# J+ Q1 d5 J2 I


（4）评价与决策

+ s1 q  Q/ l$ G8 x/ u: T•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
' o5 f6 U" \% U# K  `5 X5 Y& `
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
: I! [. T* p: g0 I
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

3 V3 c$ P2 A* C, x) c0 |•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
. {2 G# ]0 x' e8 v1 t) \; W0 J
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

5 K5 @# E3 n& Y) \' w•⑨方差分析、协方差分析等

•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

' i' t. H& ?! t# i/ p7 c  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
& l: r( {9 n5 r7 `6 h
) H! e5 J9 {" A
! o  B) B  ]8 A4 c7 D

- S; J. u! ^4 t$ O6 a
# A  l' H0 |, o  S- @; S（5）预测与预报
: n: x; I* N1 }$ n4 H" t: W6 K
6 |( M$ P5 }- R3 q# [
, ^1 C5 Y1 U: v. j
! B9 w  }  R; @/ U5 V7 K•主要有五种：
  I/ ]- x1 T: E( d
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
5 p1 h7 N6 K3 e3 @
. ?4 s* \8 ]. `6 S- v0 M•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

0 H/ A6 ~: h) ^0 e5 M4 {% `9 H•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
1 `# \6 }; ]$ a
9 t/ z" ~" I9 ^, H: e2 S

•①灰色预测模型（★）
6 i$ c5 N; m' `: {
•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

' q9 o) w- G6 H1 s8 U2 w+ h. w

- k. Q! w- Z; T& d- \•③回归分析预测（★）
1 H9 Y( e9 e, d) O* G) b5 {) p) \1 i
8 U, ]; ]) R7 v& ?4 b+ m•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

8 C% O0 s7 V2 R•  样本点的个数有要求：
1 L% l0 x8 T7 D, `4 I9 d
; K; T0 r8 ^" }( e* ]* \  Q% j+ r9 W! I•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

. O- o' _' Z# W! U$ C9 |% q6 w•  c因变量要符合正态分布
. b+ }% D" A9 P* x) Y' F* H

9 b6 x9 V) ?4 c$ }' N6 `; A
9 F  X3 H2 |+ p•④马尔科夫预测（备用）
4 d; `- T5 j' k# H7 f
7 u4 Q4 P! |' H6 F6 q# z•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

' `, R' I% ]% L- v. r. N8 S2 F. |
5 Q% o* t2 A+ V5 Y
•⑤时间序列预测（★）

5 W! ~& |! j& ~•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

1 |) U1 V. O  E4 S4 _, G2 k$ z: k•⑥小波分析预测

1 `$ `, z" F& J0 i1 Y' U, x( |•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测
' ?* b5 `- Q* j$ K: W. n
3 I( s8 v/ b4 q2 k
+ s; T: @3 `1 T, `. i$ c
（6）优化与控制
. H! S; p+ H- `$ k8 I, R
, @; ~9 A( ]! |$ F' O•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
% [! I, u8 Q) z% g" z$ {+ G
, Q) z3 c2 {7 T; P" @4 ]* K( @$ K•②非线性规划与智能优化算法

8 d6 ]' H$ Z. B•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
9 r0 c# ~) g& x7 A
# v9 x$ B9 J/ \" i- a7 n•④动态规划
8 y9 P$ b, |* A7 ?
& i& i, l2 h+ C' B& G9 Y/ Z$ f- S2 B•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
8 p+ j( D' Z; c- w* G9 Y1 G& ?6 v
•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）
6 R1 u. l1 c/ M
•⑧灰色规划（难）

) m* C$ g0 n+ ^+ S. q6 ^
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, z6 F# ~& C/ c9 ^- c作者：ItsL
来源：CSDN
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