数学建模方法（一）预测与预报

杨利霞

数学建模方法（一）预测与预报
（一）预测与预报
3 W9 c. j: t# F- ?, p% n) T4 e+ c. \
9 C9 u0 \$ s% S3 _灰色预测模型（必须掌握）
$ x2 @, j- q# C  o  ~' M. d
满足两个条件可用：
①数据样本点个数少，6-15个
1 S4 O( v- R5 Y②数据呈现指数或者曲线的形式
4 A# c. l7 o& d! t
概述
/ B& x7 q* y0 q. \关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。

原理
/ x* s% {9 o; d8 F9 V) d% G灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。
6 j* o" n8 s1 _6 U. J
分类及求解步骤
$ [! y& x. R+ ?" ]1 r. V9 X2 D1、GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：
1 W4 |" |0 a* ^  K

# [9 l7 }  L  ^) L/ E) f" W
& f$ |% l8 X  C+ M0 g  L2.求解步骤思维导图：

• 实例
  1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据：”

  
  

见下图：

; b* Z* u* U! r/ v  ?0 t
2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：

7 j/ `/ m! V  [; {) W3 D3.灰色预测模型GM（1，1）
GM(1,1).m
7 e) P; z) |6 A6 o7 a, W; [" e
/ z% ?4 W2 |+ O; ~8 g& c7 d' \%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
syms a b;
( L/ h( N& C, r3 M* w# W/ pc = [a b]';

5 H* ^) O& n- @, w' l" }! d%原始数列 A
A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列！
n = length(A);
' N0 U) k2 V3 e8 ]9 i( Q/ e
%对原始数列 A 做累加得到数列 B
7 O! C1 S; e) PB = cumsum(A);

; C/ J! A' a6 y%对数列 B 做紧邻均值生成
for i = 2:n
    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
end
C(1) = [];
4 D7 j* s3 |3 `; F4 `  k
% X) V% V( ~  q, ?6 h: S%构造数据矩阵
6 _0 O6 k% G9 m( m& UB = [-C;ones(1,n-1)];
% G6 T% Z' q8 s+ C9 nY = A; Y(1) = []; Y = Y';
# Z6 q, g1 p: W6 C$ U
%使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)
5 y0 j2 q5 m' Y" J* M; _c = inv(B*B')*B*Y;
c = c';
a = c(1); b = c(2);

' [3 Y" Q( j, [2 C; q4 f%预测后续数据
F = []; F(1) = A(1);
& S- K9 k% h9 u2 v4 J' z: tfor i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
  z: k( e. |7 l* l3 n    F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
end

%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
G = []; G(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %10同上
    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
end
! m- E1 t" v/ J0 K
disp('预测数据为：');
G

%模型检验
6 n6 M% Q# J0 W- }# Z: z
H = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
7 e# q: `" y! D/ m%计算残差序列
epsilon = A - H;

%法一：相对残差Q检验
%计算相对误差序列
! F8 E; b9 l0 udelta = abs(epsilon./A);
$ O8 F9 i! G: I; l8 d2 l%计算相对误差Q
6 g; s4 K  a+ L5 Vdisp('相对残差Q检验：')
7 E' Z9 K1 z; Y1 H" xQ = mean(delta)

%法二：方差比C检验
disp('方差比C检验：')
+ p5 D. y# _/ H# S% `C = std(epsilon, 1)/std(A, 1)
& n$ r! _/ b, |% a9 t
  _0 v6 \* [  }) G%法三：小误差概率P检验
S1 = std(A, 1);
- h5 x) e' b7 O0 a3 q8 V8 P$ O2 btmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
( Y- Y! T$ S: Wdisp('小误差概率P检验：')
  l# h: G3 N. o3 kP = length(tmp)/n
8 E. S* u1 `* d! `0 X
%绘制曲线图
t1 = 1995:2004;%用自己的，如1 2 3 4 5...
5 c7 s, y7 S& e0 Q% `t2 = 1995:2014;%用自己的，如1 2 3 4 5...

plot(t1, A,'ro'); hold on;
8 N5 `9 s* h1 z/ ]4 hplot(t2, G, 'g-');
& h3 _. H0 K! c; |xlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');
legend('实际污水排放量','预测污水排放量');
title('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
- N8 E6 r  s- Y6 s2 I: ?; o, t& }, ogrid on;

  T+ b. e3 l: T) ~0 d) }


5 V' z5 X0 y' l6 t