数学建模方法（一）预测与预报

杨利霞

数学建模方法（一）预测与预报
  J# _1 S6 a# _（一）预测与预报
1 j0 x" |5 U- ~) [/ z
灰色预测模型（必须掌握）

满足两个条件可用：
; r! s  \( E) [# _' H! H' D①数据样本点个数少，6-15个
②数据呈现指数或者曲线的形式

概述
+ m1 p& t$ A' G' Q! h8 W5 _( @关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。
/ ~. A; s5 D; y( w/ g
* ^. c( c( f9 e; X8 `5 h7 F6 a( ^原理
灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。
3 ]( z7 i$ p" k
7 W" N2 R4 b4 s0 L$ f  T: v$ O分类及求解步骤
: t1 ]* K# R. |6 X! f1、GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：
; C& ~7 p/ ~* k
8 [! v. N8 O) H7 ~, x/ ]
) I' P7 T# |* k) P( a
( C% R1 M0 _4 f3 F) G2.求解步骤思维导图：

% h1 _5 A8 |2 `) A7 d+ q( i
9 M- _/ X: L/ ]

• 实例
  1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据：”

  
  9 L4 B+ ]' c! [9 X' H$ }3 S2 s

见下图：

# F% W" s8 w+ {2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：
3 J' p: M. q6 I& X3 M
+ W* U  B; P8 t) Z3 _3.灰色预测模型GM（1，1）
# o5 `: \# B; D9 I8 VGM(1,1).m

& U7 p* l( k9 G%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
syms a b;
c = [a b]';
( K9 q, l5 r0 l; l1 H
%原始数列 A
$ S" B% [5 g5 `A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列！
n = length(A);
* w/ B, b5 H' P2 e' x" V
%对原始数列 A 做累加得到数列 B
% b9 [  I" v" q$ d7 S! |0 Y% BB = cumsum(A);
) u% X/ \& A! f; b7 k
%对数列 B 做紧邻均值生成
for i = 2:n
, C$ z$ e6 o8 {, O- x    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
end
C(1) = [];
' h2 g2 F$ Y! M! I' P
%构造数据矩阵
' N' j- v% |4 q) t1 ]# J( R  u9 qB = [-C;ones(1,n-1)];
) y1 d/ k  n8 ?4 I; @) L; Y: a# bY = A; Y(1) = []; Y = Y';

%使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)
1 L9 k% U! S% G) V! cc = inv(B*B')*B*Y;
c = c';
a = c(1); b = c(2);
* w( N. a5 X3 B8 X. K2 Z
4 u  _6 m- T, [$ ^3 L. u( q%预测后续数据
F = []; F(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
    F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
end
& D3 U/ E) W2 U
%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
4 j7 x" s4 l' e: Z$ _( ]G = []; G(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %10同上
    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
) e4 \& y4 r' p9 Eend

2 f5 h: T- `; m) qdisp('预测数据为：');
G
2 w5 i: K+ a2 A
%模型检验

H = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
( v* j! \! n5 T%计算残差序列
epsilon = A - H;

%法一：相对残差Q检验
%计算相对误差序列
delta = abs(epsilon./A);
% U+ Y  M/ v* U2 A+ ~( ^, Q%计算相对误差Q
disp('相对残差Q检验：')
Q = mean(delta)
% ^, x& o; J( E3 _/ H( E5 o
) J# g) ~. {2 ?& \" i/ V" v3 t* o%法二：方差比C检验
disp('方差比C检验：')
$ |6 l# r+ b$ a! E2 p8 mC = std(epsilon, 1)/std(A, 1)
3 I7 R5 o) y4 T4 g4 V  T; P
2 @) `6 c. X0 ^6 Q: Z%法三：小误差概率P检验
. e5 n- J+ ?) E% ]3 ~+ iS1 = std(A, 1);
tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
7 ?" E# ?! {: x/ i1 E# Tdisp('小误差概率P检验：')
+ P# S! g* A# B! sP = length(tmp)/n

%绘制曲线图
! [% ?' e* o* s/ M9 kt1 = 1995:2004;%用自己的，如1 2 3 4 5...
t2 = 1995:2014;%用自己的，如1 2 3 4 5...
1 O( e' A2 P3 \4 K7 }/ i8 a: M8 D
plot(t1, A,'ro'); hold on;
) ?$ ?! o9 g  K* z. yplot(t2, G, 'g-');
xlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');
legend('实际污水排放量','预测污水排放量');
6 c  M# C+ T+ y/ E4 u# Dtitle('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
3 }* t7 k/ G+ V2 n* s( w7 E1 F7 O4 Agrid on;
1 V, l$ F  z: O2 d
5 ?8 @4 \% `/ [; V/ F) c2 V
" H9 s5 M- w7 ~- G# S

" w; O7 m4 p/ \3 U  H
+ b& R! A! N, T5 ~* {