本帖最后由 数学1+1 于 2017-9-29 13:23 编辑
& n# Q' F8 F! y
4 t P9 {& v! u5 l+ b' Y在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述: 4) 二项式幂的展式: (1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯ +[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯, -1<x<1 (13) 其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数. 如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数. 为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1:- G5 U- b: T0 R. e9 { y
S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+ [m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯ (13)’ 问题是要证明S(x)=(1+x)^m . 为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内) 得* I! }8 E, u. i4 m+ m( F* X
S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯ +[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯/ b2 M5 n0 u7 g$ r z8 @
或
2 Y3 b5 k9 s6 v$ b2 U0 W4 T3 B S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯
7 k3 f/ _4 a$ r; Z; C: P% M2 m 把此式两边乘以x,得 }: x4 F, h) F2 ?: P7 y
xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯ ' @0 r1 n& }! F. I9 O
再把此两式相加,得% x+ }: f6 g$ f8 U: R
(1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2 +[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3 +⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! +(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯ j. q" L/ O" g+ o, j
=1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+ [m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯ +[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯ H! M; H5 O% x; n" w
而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:
! ?3 c: J& [0 N5 g; _* [& a R (1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x)
( h3 L s! U7 Y d- b) Q" o4 B两边求积分& w' J4 A* C# f1 n0 Y
∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx [size=15.3333px]即% b( @' z( } a! Q% R4 O
lnS(x)=mln(1+x)+C 但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而 lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m% h& R& d" f% ^* ]4 n' f5 A, k
这就是说,+ E! ^* I* Z( W. {
S(x)=(1+x)^m4 J4 r9 I; s+ P8 q: l
上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有 [size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C$ q* D! z# t' Z0 ]/ ]- v
由于C=0, 比较上述论证, 得' O5 y% Z0 g8 W9 @8 g9 p
[size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx% c3 j$ }9 ?4 N
即. L5 t Z" P5 r- W* d
S'(x)=1
9 h( {, P6 P1 W$ y8 Y这与% ?! k# h' e E& W7 [1 n
S'(x)=[m/(1+x)]S(x)
2 H* B: F$ R. X6 c8 {0 d不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式9 G* s0 M# F5 r _
[size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m
2 Q! Y% d% Q' [) d5 u' _1 N或原式
5 a, U4 ]$ P# P! ~7 \, p3 l S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯' ]& X0 l" G9 J% p8 O
% k' J% V7 j( r; b这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.盼武汉大学数学系在再版数学分析时更正.$ N$ @5 U8 y5 a" p, P5 j0 V
, }- g. W+ b; }/ S! o4 s
% F+ y4 f3 A5 i" @ I" \1 S
) h3 a2 a& [5 A* L$ K, j) ?) Y) }2 B. A8 u1 N# n1 c' f0 U- @: l3 O
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