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二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信)

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    发表于 2017-9-29 13:18 |只看该作者 |倒序浏览
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    本帖最后由 数学1+1 于 2017-9-29 13:23 编辑
    1 i- m5 c9 u: x/ O# ]& D# x
    6 C* v$ h) Q& E1 I
    在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述:
    4)   二项式幂的展式:           
    (1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯
    +[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯,  -1<x<1   (13)
    其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数.
    如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数.
    为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1:
    + w* O4 a5 ?! J! r) f$ V2 o( W) C+ Q6 s     S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+
    [m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯   (13)’
    问题是要证明S(x)=(1+x)^m .
         为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内)
    # D3 N& T* @- U/ B6 }) R9 l     S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯
    +[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯
    / ^7 Y7 H7 l6 s
    - `* f$ t# {( ^% C* S! S3 g     S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯
    +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯            6 \7 j. a0 L" R, S5 F0 j
    把此式两边乘以x,得
    + o% y$ J6 T. A6 Q9 c( v0 ~        xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯
    +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯           * _6 s  Y3 b- f. e# L4 F
    再把此两式相加,得
    3 R# g0 K8 g0 L2 o% f# B( S         (1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2
    +[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3
    +⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!
    +(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯ 6 A4 ]# }: x$ [2 z( {
                         =1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+
    [m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯
    +[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯7 S3 ^, m* \5 Y2 q
    而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:
    , c2 w" n! c, R+ O; G1 w, m          (1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x)   
    , E) Z, u; Q4 O( }2 Y4 T两边求积分
    1 ?. S9 u  ]$ a( x2 Y+ C( ^                 ∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx
    [size=15.3333px]即
    / o  {6 H0 B7 I$ q
    lnS(x)=mln(1+x)+C                     
    但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而
    lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m
    # Z7 w# O3 U7 b/ m这就是说,) }& L# f3 n5 }1 W) c
                     S(x)=(1+x)^m
    1 D& P; j( M( Y7 V! k* J; Q! i7 G; }     上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有
                  [size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C, {2 U# d3 `3 L
    由于C=0,  比较上述论证, 2 J: K3 C2 }. f9 b) K  D' @; P# O" x
                   [size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx
    ( T6 w2 P8 E# i+ _: I2 x
    ! @$ I  h* I5 t+ [3 l/ F. v& H- T* o                  S'(x)=12 o. p, R' E" O: k; J/ @3 ?# v
    这与3 j% v+ F( O4 Y- ?1 S
                     S'(x)=[m/(1+x)]S(x)
    . F' I  [6 F4 g/ w不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式$ V" t- f0 X3 y& n5 J5 ~4 Q
                     [size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m7 V7 ]3 J& E# u, m2 [; X! X7 i
    或原式
    / N; X8 I" {# A: p                   S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2++[m(m-1)(m-2)(m-n+1)/n!]x^n+0 k" C9 T1 c* @5 l' A
    8 ^' E3 w: d7 y& X1 [! S3 V% K
    这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.武汉大学数学系在再版数学分析时更正.6 `" r/ i  a0 x+ C; w2 q. s
    2 O! }) m( F, h& s; K
                   
    0 H0 G9 G7 y- p, E5 w/ [2 o) G
    , ]- w1 G5 [1 K" H. ~( M& R0 q9 o( d6 K
    5 [) d& N, j) [# z, y
    zan
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    显然,原著的结论正确,看来问题在+ g$ N9 a6 M" |
    20200324100250.png
    . N- y' G) E; E: S( d3 b7 c2 E. e那么,这一步在论证过程中是否可以省略?
    7 H3 i5 K" c9 o# X# Z% l( {! e  u& J- l, e6 m  \9 u* a
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