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数学建模之图论

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2020-3-24 16:31 |只看该作者 |倒序浏览
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    . ], x4 l& q* z% D* v数学建模之图论概览1 x7 y- r: \* T

    / h1 R; B; |: ~" {6 T) B7 u问题引入与分析% P7 C, [& b8 Q$ Z
    图论的基本概念
    . n1 E3 e) g5 W  v, ^( C最短路问题及算法
    . I8 c: n. |5 o2 H0 R4 \最小生成树及算法
      O; Z9 C6 P9 t! M9 k6 i% m! w- H旅行售货员问题+ ~& t! l2 v1 L& c( W
    模型建立与求解
    7 F3 U6 Z5 ^$ T; s. x6 N2 G1.        问题引入与分析
    , h0 _% I1 L& z+ }
    ) ^! h% N! U9 Q6 }1 b$ R1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的:
    2 g7 J. C- A. k1 ^2 m% {
    6 B4 L4 N5 Y/ l4 j今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救,县领导决定,带领有关部门负责人到全县各乡(镇)、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线.
    6 L* L/ D6 F' @; ]4 qa. 若分三组(路)巡视,试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。! U. N1 A1 J8 O6 r6 {% J' n0 |
    b. 假定巡视人员在各乡(镇)停留时间T=2小时,在各村停留时间t=1小时,汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视,至少应分几组;给出这种分组下最佳的巡视路线.6 R+ C3 H6 F* N4 o4 `) {1 b: C7 s
    7 I; f9 j0 [: L( V5 }3 W9 B

    * L# \% O4 h7 d7 A1 I- j公路边的数字为该路段的公里。
    " f# }3 L1 \0 P' P' I- l9 d3 u& a7 l1 f& s0 [& t$ o
    2) 问题分析:7 ]7 y/ u0 C5 a
    " B1 j: p' u+ N& U2 [
    本题给出了某县的公路网络图,要求的是在不同的条件下,灾情巡视的最佳分组方案和路线., ~" D5 L4 J8 Q3 L
    将每个乡(镇)或村看作一个图的顶点,各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边,各条公路的长度(或行驶时间)看作对应边上的权,所给公路网就转化为加权网络图,问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题,即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发,行遍所有顶点至少一次0 e8 q2 D2 p5 a% b' V
    再回到点O,使得总权(路程或时间)最小.
    3 m# Q2 \' {; ~9 h5 ?8 u( }! ^8 S/ U$ c4 q" @3 E0 P
    本题是旅行售货员问题的延伸-多旅行售货员问题.7 Q* Z" D9 T  t/ ~) r, Z
    本题所求的分组巡视的最佳路线,也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链(闭迹).
    9 w: [# q+ K3 Z2 }- M  M) v$ h" H如第一问是三个旅行售货员问题,第二问是四个旅行售货员问题.5 J9 H# `+ @7 |* M+ Q
    众所周知,旅行售货员问题属于NP完全问题,即求解没有多项式时间算法.
    . h! U$ [% l0 U( R) P显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此,一定要针对问题的实际特点寻找简便方法,想找到解决此类问题的一般方法是不现实的,对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
    9 s  {6 `! i2 `  a6 M# {
    5 F3 w4 ^8 y1 }1 i& s; U- O2.        图论的基本概念
    2 C# M0 b9 {, {/ p  z' I+ a1 Z1 L) r; K" B
    图的概念
    2 d9 b" u# m3 z8 i8 I; q) Q赋权图与子图4 f3 g1 I. r- c# r, r1 s" F
    图的矩阵表示
    3 b- c/ I3 d- ~: e4 V$ q图的顶点度
    ' _% V5 v/ @+ T路和连通4 j1 L, T" U) u6 m5 D7 P% y6 y
    1) 图的概念. `  z/ {2 N' |. k+ s6 S

    + Z$ d0 R8 C8 P; U) z' ~6 u3 t$ A8 A" `$ k5 O

    * g9 U/ b' ?+ Q" Q7 ~6 A5 C( k/ H  N0 v0 s) Y! }
    8 ?& B+ A: ^9 f1 d8 M8 T& t" ~4 T

    ' T) z) y& M4 h- O  k5 \8 h1 U. M
    # S' O$ o; y# a( F! d# r( |5 \
    . T4 N: u, \+ W8 e; R0 X9 a& i4 z( V) @: H$ P

    * Q. L* T4 b8 g: u- @2 r4 N/ [+ m- z, \" e! l% J/ m
    . g, ^$ U+ K" g: [6 d; T8 t

    % v/ n4 f% ^+ c: q- o0 R! G: \' ?
    # g3 t  W' r, z9 i" N3 G$ I9 H* @( H$ S1 r6 f9 O" Z' I1 o. \) u, K

    " k: L# D: T- y$ p; C/ T7 j3 h& W+ _) {4 `

    % u1 \! i, K1 H3 ~, J7 l& |) T: Q5 S5 x9 j! s3 E1 N
    * \) i( _+ \# G; P
    5 _6 H" \) n- }- i" b

    ' J9 `' N* D8 i$ Y! {- a% h4 u1 {1 P

    * i6 m7 o- ~# B2 l3 t! l) n
    # P. E/ n5 P& L6 {0 H
    7 ?- U0 c$ m1 E! ?" B6 v* g" O! P1 B: Z9 W; D/ C9 ?
    ' }( w$ A% X+ o) C- N: X

    ! Z# Y9 n6 j, P7 j* P
    ' l; u3 B% u9 l) S" g( s3 x9 }3. 最短路
    9 G1 n' B* {. j' \
    2 f3 _8 H) Q1 N4 m) k/ G3 IDijkstra算法
    + X* l* G+ L" j! n8 x/ u
    - F2 y) ^# Z5 `" c4 F5 R" A2 R( G9 C/ q: x7 u  c9 C
    / ?, z3 t8 W+ p& m! P# F7 }
    Floyd算法
    1 |9 ~1 z5 Z% b4 D3 E
    + o( u0 c8 F3 ?算法的基本思想
    / b. p/ S7 X+ y1 Y0 Y( I4 i4 o7 |! |; z+ n* X$ }7 }9 T
    直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν),使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵,同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。
    0 W  }) A3 n3 S2 A(I)求距离矩阵的方法.$ [7 n# W$ Z3 T' w
    (II)求路径矩阵的方法.
    ; w2 l2 E) _  y0 ^& U1 V(III)查找最短路路径的方法.4 u8 f* [2 g+ B( L  z  |1 g5 t
    & y5 [$ N7 Y3 j: [
    Floyd有两个矩阵,一个是D矩阵(代表距离),一个是R矩阵(代表中介点)+ m. N+ e& I2 [7 N6 H2 m# a

    6 h5 k3 g9 _5 n  f, d7 {$ }; Y
    " T+ |% ~  H* h2 _4 ]( T2 L+ @1 Y; f: y; A1 N1 x. }/ [
    . m- r2 h) @# \$ a
    在这里相当于v1 v_1v # Y4 j0 E/ b- A0 c7 ~, f
    14 w% \2 u8 j! ~$ b6 R: \6 U+ `
    ​       
    ; C( H# b6 z) S 被打通了,此时v1 v_1v
    ' V; N# I, u2 \1' V+ v+ v6 ?. Z" C0 s
    ​        ; o6 F4 l- c* g. s. k8 m( o4 b
    就可以作为中介点连接。% v( t& \5 A) f" L" f
    于是遍历和v1 v_1v
    1 U- v; R# ]$ j6 z. T% E6 X% l15 m) \% c. I6 n4 F/ ~( s8 A; J' G
    ​        . ]4 x- U0 }; }9 A/ h+ G% P
    连接的点,例如此时遍历到v2 v_2v
    & T; h0 h% w+ u9 [9 g; C* c1 b; n2
      Z( G1 o* u6 ]​        , Y# n1 X# v! a
    5 h( [) y/ E+ ^2 ]: A9 `
    然后再以v2 v_2v ' L5 G% {$ t( \# ^
    20 B/ m' F- w5 f" V& E
    ​       
    9 B; a9 F7 ]- K5 k* ], X 为基准,遍历和v1 v_1v
    8 W: c  h2 i! u+ @, o13 A2 X& X# p6 p% y  P
    ​       
    + M! g; C% [8 B: d1 D 连接的点。: i( K' k0 g) E6 V% s
    所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵,如果可以变化,那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。/ s) ?' S5 x1 d( ~9 ^- F( ^9 R

    1 F  ~/ d7 P. N6 P- s, |' B+ t. p6 }+ S# a0 a
    / x2 K/ n& M; Y, D" t
    ' ?5 w- o" B; `6 Y" _# K' Z
    * V/ o" S: t& n4 w' E

    % q2 e# R) D. _% w- {# Q
      b. Z% b' V" J8 V) s4 D( r
    * S7 Y) ~( B5 N! F+ p4 C+ \4 C( z. e9 q, w. n
    这里的逻辑是这样的:0 P5 g! l$ M$ L* A7 n1 ~" E; O
    最小生成树
    & \: R  `' c: c# K1 V
    0 ~( O  R: ?. P* w" F7 B; x. N: D$ k3 k(略)
    ' L1 B' p# I9 Z+ f6 B2 ]/ ~5 _————————————————8 k" }* P# L, s5 q5 ~7 k: g+ j5 x
    版权声明:本文为CSDN博主「Mr. Water」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。; K% B+ [+ r4 J  Q5 N6 l
    原文链接:https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/100022182& T/ o1 K3 S. {1 g* Z0 [* c. I

    " ]. t% z0 b- ]" V' X8 p
    + q0 G+ b# S1 {/ k4 L* ?+ b
    zan
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