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数学建模之图论

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杨利霞        

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    开心
    2021-8-11 17:59
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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

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    1#
    发表于 2020-3-24 16:31 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    $ A/ ^" h7 q4 [2 ]! A' g
    数学建模之图论概览+ k8 Q& Z$ C/ g
    % r; y& B2 P5 |2 ]8 l
    问题引入与分析* R  U3 e- n9 G' l5 O  C: o
    图论的基本概念
    ! I( ~5 \" g9 _8 \最短路问题及算法! R  ]  P4 z! c" |
    最小生成树及算法
    7 }& z; F% @+ {旅行售货员问题
    9 ~- \' {6 [6 z  W8 W- [6 ]1 {模型建立与求解7 y# E' X4 Z! P; P/ F
    1.        问题引入与分析
    + D/ h- s' \8 }3 ?" @
    $ l4 G1 N7 q" v7 e+ x4 d9 U1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾情巡视路线”中的前两个问题是这样的:! p- z2 E" D* M. f8 N

    - `% [% S$ c# `" N; s* ]. |今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、组织自救,县领导决定,带领有关部门负责人到全县各乡(镇)、村巡视. 巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线.
    3 _! d0 R2 V( k5 b, ka. 若分三组(路)巡视,试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
    . t5 W( I7 d9 K/ |9 t0 {: W7 L3 Ub. 假定巡视人员在各乡(镇)停留时间T=2小时,在各村停留时间t=1小时,汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视,至少应分几组;给出这种分组下最佳的巡视路线.
    ( g# n3 C( D+ k/ e/ \$ s, m; P3 x6 V' Z3 a
    2 Y; d$ D2 W1 W3 N' h) h
    公路边的数字为该路段的公里。
    $ d* M0 |* X( M9 N0 j
    * a; s/ M8 e2 T2 [& v2) 问题分析:
    0 `% w, M1 a) }0 t8 l# X
    * e4 t8 J' a+ K# S) o! f8 ]. }+ z- U本题给出了某县的公路网络图,要求的是在不同的条件下,灾情巡视的最佳分组方案和路线.
    0 i* A- D3 J( v9 T) }将每个乡(镇)或村看作一个图的顶点,各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边,各条公路的长度(或行驶时间)看作对应边上的权,所给公路网就转化为加权网络图,问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题,即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发,行遍所有顶点至少一次( ^+ \) K7 Q1 ?. J3 H
    再回到点O,使得总权(路程或时间)最小.; f: \! h6 q4 \; ?: t# T
    0 ~1 K8 @# s0 ~& H- |- d4 S
    本题是旅行售货员问题的延伸-多旅行售货员问题.) j0 Q3 k5 V/ Z* b) @
    本题所求的分组巡视的最佳路线,也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链(闭迹).
    # o, [7 v0 d3 P- A* t' s7 Q如第一问是三个旅行售货员问题,第二问是四个旅行售货员问题.
    ( [# `4 a- q" Z众所周知,旅行售货员问题属于NP完全问题,即求解没有多项式时间算法.
    9 h- {. m$ [& {显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此,一定要针对问题的实际特点寻找简便方法,想找到解决此类问题的一般方法是不现实的,对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
    ! L7 q# r* j& t/ s
    / j3 Y7 C! t* ~; j2.        图论的基本概念
    ( e! d' R* d+ M+ Y* U; w
      {0 X7 J8 l0 T' N3 K图的概念
    , E9 b2 {5 y- k6 M- d赋权图与子图2 J1 k' ?5 q, _7 i
    图的矩阵表示
    ' b8 g; t+ n( [4 Z1 }& M图的顶点度
    & R+ o6 N  O! [% j# |路和连通8 ^/ W+ T  S  R
    1) 图的概念
    4 N, {" @( y1 g: F9 u1 _& k. f- w9 J+ v4 H+ b

    , o5 n& V6 G- R2 q# a; Y7 c+ C5 G6 r3 @+ A3 G& w
    ; o* o3 u! B4 M: F/ g

    ( f3 X8 |2 L' z. Z) _. L4 Q) C* I' R
    $ n1 G6 E+ r9 I6 g) Z4 A+ m- P
    ( l6 Z& k% @& c( F: e( }' E/ o
    / W4 g' [. P" A1 Y0 m* y$ d" d8 |
    / `0 S& p$ G# L" E5 `" X) l- i
    & Z) R8 o1 w: \# Z8 X) ~
    ; m4 J% n3 w3 A* R4 Y# j! q( o0 J* b
    , U6 D& l4 [# s$ ?
    6 `" \- l3 D4 x# S+ w- s
    - `# C: Y& P+ r/ p3 x9 k& G

    1 f: c8 b% `9 y6 V5 e$ w2 z2 }. V% a; q2 q* M8 `: c% r
    , O$ T0 J% p; C& [. ?9 x
    , b7 \, T# a  _( z1 j5 t* W
    9 g1 I( f7 Y, t) E% K

    " K) ^1 X; X9 k2 ?: A' }
    ! H! K. e) z* a8 M4 J3 U1 O; m9 C) w6 v! z% t

    3 H0 c) H& E8 a' w" X' y! q; y7 \- a' M$ z8 `
    ; M0 z8 ?+ V  W8 s+ y4 x

    9 p& P( h* x) r  C& _5 a3 z2 ^/ m- B2 B& G% g% e8 e' e  H

    0 Z3 [' d9 Y' f' ~: c9 Y  b8 \
    & O5 R2 X1 B& G. w1 O3. 最短路6 T" Q6 i- C- _! r/ |

    2 T6 ]' v" {5 o$ ]. {! }# K5 X9 g( IDijkstra算法
    : C: Q6 I) d( q6 Z7 @- t4 f& O+ n* h6 e+ I: r! F5 L
    / A3 c9 u9 y- A" ^7 ^: O

    ! v" j& Z$ P1 SFloyd算法
    3 a; ?, M) N0 a' N  Y, _1 ~
    ' Y4 o1 s2 D5 k" F算法的基本思想
    ( b5 e$ a& Z. U( r: f; R* ]
    3 ~7 j/ a8 R# z$ r( F直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出ν 个矩阵D(1)、D(2)、…、D(ν) D(1)、 D(2)、 … 、D(ν)D(1)、D(2)、…、D(ν),使最后得到的矩阵 D(ν) D(ν )D(ν)成为图的距离矩阵,同时也求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径。& {/ e: Q2 k+ f
    (I)求距离矩阵的方法.3 {1 [/ w, S/ @; _
    (II)求路径矩阵的方法.% L! W& `$ l  j2 r( Y0 Z, v1 b
    (III)查找最短路路径的方法.. `5 @8 v$ R5 }: i5 f% P

    # J$ ^/ c* h0 ]% y* J2 @Floyd有两个矩阵,一个是D矩阵(代表距离),一个是R矩阵(代表中介点)
    , p9 m7 c" i- w7 z1 F% a* Z" M: o5 g0 E8 \/ z. A! _6 Y% B6 P" `

    : O2 U2 t6 `6 H, U" N8 u& W
    % G) I/ Q; S: e" k6 A/ Z
    ) c2 A- \9 P" n在这里相当于v1 v_1v
    + D5 [: o. r9 }$ K. {4 f1
    ; ?7 h& O. E, [9 a/ P1 F: Q​          w3 T8 O5 t# a# U
    被打通了,此时v1 v_1v
    / q4 p2 ]; u" ]4 S% \* g8 D1
    1 d6 R: [1 h8 b; o​       
    : }( \8 [, w2 I% u- ? 就可以作为中介点连接。
    ' M) s2 @! ?+ Z# e% v1 s: k) f2 [于是遍历和v1 v_1v
    - E% H0 A4 e4 v, _! u1
    0 W/ z, Z( N# l​       
    : Y- I" [$ G! b. k 连接的点,例如此时遍历到v2 v_2v
    7 c5 g5 }8 N$ d4 M; |! I4 T4 n2
    ! x, Z4 u$ X) B0 h& x6 ^7 H. D​        3 Z0 U( P: w& w/ H7 E

    - V- I% O7 D' X6 w, T) W然后再以v2 v_2v 1 B/ U/ L; k4 s# x( _5 G/ m& t
    2& ~( p: Z: q% f& `6 R- E/ z- y
    ​       
    1 S, q7 i) H* `# G% W8 C 为基准,遍历和v1 v_1v
    % z: X1 s+ E* n4 q1
    1 h: u( o8 u9 W  y9 `1 q  ]​       
    ; M$ p3 ^/ L, u) j# V# h( N 连接的点。
    : @* ^! l7 e5 S+ v) ~: x所有遍历到的点都尝试一下是否可以变化距离矩阵,如果可以变化,那么再他们的中介点矩阵上打入"1"的标记。
    ( u, T; H) }, s, Z2 v6 s4 x/ f. c: ^2 T) L1 i

    0 z& l3 b- l( ^0 [: b
    / {9 o$ s4 x3 D5 t+ w1 g- h5 O
    + G+ b/ W5 H) ?" x
    & {2 P) S+ g) M2 h& \& O- d6 X: J7 d% K/ @

    % z, ], ~6 d- p4 ]% c
    ( r, l' j  @' p, `. n8 d' O
    ; L% w0 }. T! K0 R5 g这里的逻辑是这样的:
    8 V8 R. K1 r" }最小生成树
    " Z  k( F, W0 i5 p8 X9 o& s) J2 H, O4 i$ L/ Q
    (略)
    ; O, k+ [7 I) D( Z; D6 J————————————————
    ' ^- g0 p5 k( y/ N' b) K1 x% r版权声明:本文为CSDN博主「Mr. Water」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。  t% h, t4 |/ e( e
    原文链接:https://blog.csdn.net/narcissus2_/article/details/100022182
    : Z( P& G& V1 v  x- q! r3 Q; L2 g! G! S0 E! V% g4 Z* N

    ) ]# E1 `5 d  y' J4 F
    zan
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