数学建模十大算法漫谈

杨利霞

数学建模十大算法漫谈

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- U# O- L7 a/ ^9 d作者:July  二零一一年一月二十九日
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5 I: R8 z0 o8 x" S: F* l3 f1 k0 f! F本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
* E7 R' p3 Y3 WII、 本BLOG内 经典算法研究系列
' J0 Y* ?% @! E, C3 w  t% X; x  K% IIII、维基百科

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博主说明:
4 h. d7 [% x% y1 K1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
9 g) B. x2 y" m# c2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
. n, A+ c0 j+ I/ y/ c* k7 ?: P毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
  ]* ^: R; L5 e+ D且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
, Z% W! R7 w: G. ^, f. ~若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
2 S; R$ X3 W1 |

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) `  O7 X, z$ Y$ N, v( w% t9 B
, r' s" e  `2 z) H) c5 u/ H一、蒙特卡罗算法
4 i( u7 E- {9 b8 `7 f) K1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
) m3 z3 d. B  J2 G5 J1 O9 T共同发明了，蒙特卡罗方法。
: S: F  O3 D1 k1 s

' k4 r1 q2 a  B' R此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

! p+ D" Z: u. |$ M+ @- W的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
% d- u+ }1 W9 c: \
法。


; l: a5 w# @  [* v
& O4 V# v; E$ Z. ~1 |9 U由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
* d$ b! W) O- Y# H% O
实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

) G$ S( y  ~  B# `" G% Z# b1 I, i蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
- N* S  M$ C3 `0 [. p当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
1 k* Q) ^6 N+ r
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
# W8 \4 }  y7 X5 z1 d: |9 T6 d: T
# ]& u$ {; t3 k3 s6 }为问题的解。
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1 |0 {* j, s; o有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
6 q$ c7 X; |2 i8 |$ b0 T假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
3 G- A- x+ C0 |: I# S8 Z  ]# X7 B; j1 i. P
4 {0 E' p; E1 h: z: _度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
- Z; j" u! U) v
( O+ w0 G  R6 L3 ?后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
8 `% u8 K; J1 @: H5 b在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
. x/ ^! N7 }! V& I6 Y. K
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

" W0 O# B: W" l2 Y  C近似解。
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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
/ e  T& \& x  A2 S- k4 D! aIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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! y5 {' Z- d& v7 L/ M: a: d

& N, M! U) h  o; C" ]( F
  \' |, E% {5 i& \二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
2 k) v' Y6 _- Y  j$ f1 H$ S) G
6 I4 V+ v) I6 M& T8 \$ @数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
: E" J- U1 h" w: k4 H
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
$ d. M6 R2 N0 F8 K
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。


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; A  m7 h8 a* c此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
$ m4 z1 H4 B$ V( R

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( H8 c, Z' l+ e2 D8 x1 R2 {' p1 G6 C三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
9 A' x; U5 [, }' M9 D数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
7 i8 S- J; h/ E$ t; _
、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
) j; d, u4 C, y/ u
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

需要熟悉这两个软件。


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四、图论算法
. b* u; q2 T- M" |5 u% ^" U这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。


8 A+ I$ b* Z1 r, {& C3 b% i7 I; r# `
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
  k( a+ E9 \6 E$ M$ ^% x同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
$ L3 I% R7 v1 |4 |http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
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更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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+ ]& H& I, p1 O3 S, U; d, \五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
, r( t, |& i1 B' c7 S此外 98 年 B 题体现了分治算法。
! [4 n+ k( F% ^1 K. B

这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
# a. [2 z! k6 Z8 i( c9 f5 u  }推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
0 K& l: r3 b" F  ]
2 x8 y9 S' i) U$ ]* S9 K! K5 o( ?' U在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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+ s. Z5 ]  F  C+ F- W说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
( x. |2 m) q; K; ^; R% r03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。



另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
: b6 }8 A3 d# c; ehttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx


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其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。




) ]- ~8 \3 N" \+ p7 ]# i七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
, W" h/ @% y% |) ^* j比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
) p3 h' {- o3 ~' {6 Q0 {比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
$ j1 w6 C2 e5 z5 |8 n
0 [* Z* d8 ^! d/ c那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。


在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
; s8 Y3 X& P: W  T$ x3 w6 r8 s
0 A3 Q" L: [0 @快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
5 I% W1 F( Y% z5 e5 Q( \
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
4 {1 x7 l1 j4 Y7 @2 n, ^. W7 M3 N


$ G' q# S7 c3 h8 g  _% Q5 a
" {# l  [- ]8 |) q0 K! @4 }1 K: S" w八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

) j' Q8 I5 w  e: h! ]5 O/ m% o中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


( B3 N7 B  a  y$ v( ^' L( q这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
1 a+ B* s9 K; k# ?* g9 g, i* ?事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
3 }: r2 H2 j( o; g

; m: T: X8 h( V% F- L( x
" F6 y. g! P( p/ A  p- {. ?" N9 `
; q( V% e. i& W# ]0 n: j九、数值分析算法
0 L! l( U5 i6 X数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

* @0 Z6 }! p8 U7 G) x$ E* s算法。
5 c4 o* l4 v% L$ Z
- o% T- `. j6 u! n& q6 B7 `9 i. g如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

  \7 @% Q2 y, c4 T, c9 e# [, |$ ]函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
+ S( E# n- s, ~) T4 {' X因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

. U" A5 e7 d8 m. _+ u
% ^2 o+ ?; E1 o% o" A* U9 {

: O6 u- ~/ s. c: L; h十、图象处理算法
+ U8 J4 {/ L4 N在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
. v2 U% }3 O5 D* _/ c# _
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

6 |; `: K4 S) d! w8 _/ ^. K' A% P0 u因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

6 D& x# S0 r& b

7 F  B& ]+ |% s- j此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336
- N( f% F8 T1 Z: O% }

  }6 ]0 O4 q* J$ ~$ f
本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
完。
" T- n# X' [- w: x( b

; A1 y4 f* q8 @8 O0 ^1 I0 z' l


+ I/ Z1 Z& a* n- H作者声明：
$ S" [& b2 a1 s8 u本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
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2 D! C  I& \0 Z& h" I( j$ f. j( x原文链接：https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6168683
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总结的很到位，言简意赅

chace

谢谢分享，总结很好
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