数学建模十大算法漫谈

杨利霞

数学建模十大算法漫谈

作者:July  二零一一年一月二十九日

/ ]& u5 [$ t1 o# x! A本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
/ r/ y- a1 g' r9 I$ Z& O. n6 L; qII、 本BLOG内 经典算法研究系列
0 f6 ]/ a, S& u4 E+ _( S* u3 |III、维基百科

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博主说明:
# |) w5 h9 o3 o! f/ l0 [! I7 B- V1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
2 e& x$ o9 f( ?3 G1 v这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2 Q  m7 G* ~; x: \& l7 T2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
: i0 U# j0 r, |) Y且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
# n* c% f- o. i$ E4 I3 W1 h, g3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
+ \  C: b& t- `% o谢谢。

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, ^& t/ X: O9 I, `; e" _7 T


0 H) K5 }" r) C$ J: G+ S) ?% I! d一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
9 |+ O2 F! }7 g+ L2 F& p  I
5 b: H" I/ L' `: j
, n& l: s% L" T3 w此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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0 t6 x9 f. h# ?
4 X. R4 i& [3 O6 h4 |3 v
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

法。
9 O$ J/ p. W( {" e  a
- N+ `+ x  t7 S4 P8 g8 V- j/ J& i

由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
; i/ |1 m( X& m
4 n2 Y, a9 h' S蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
* M9 h! F0 [: \9 D( ^3 B9 \, i当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
5 {" s3 b, C8 I/ s
. E- T. i6 @' r# e，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

0 V$ ^% ?6 N  j6 d7 `& r2 y为问题的解。


/ }3 |6 Y2 ~, `. i# Q
& ~- k0 r. b8 g有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
% K7 n; A. H* W5 L8 n假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
8 h, x: l$ w5 X" V+ ]- ~
5 t, ?& k, O5 \& J5 w: S后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
, j3 B  J+ S7 }; Y7 h4 l
近似解。
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, B$ d( ]4 a# @* d% l/ n+ M
( o4 V+ T) }8 Q# p+ r7 O
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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7 o6 D7 A" M8 }  u4 P% N% J蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
/ ?" N6 h7 A6 V; MII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
6 _& d1 \- t% z* ?: SIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

0 `$ Q7 c; H) i1 G7 l此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
. ]" A  u' j: C# C) R

% j% i! j* F& T6 e  ?% e
% w' U9 y. W9 w3 t9 i9 x( \
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
/ S: o, R- h) s' x* A2 b- V$ r我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
; `: p, x$ L+ H1 a% _0 G  G) A
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。



此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

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* H0 y& v$ p) O4 B/ R% w; T6 \
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
+ L2 r6 I) |6 M2 Y$ r9 b3 a1 R数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
% j  e# t2 W/ _6 J$ y
6 m7 |' y2 D+ O; d# s+ c& M) x、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

' B, M! Z4 J2 m; W( F完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
* f/ V; `  W! q7 g( g- v
需要熟悉这两个软件。
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3 H. J9 m" f; g四、图论算法
" T# ?; S/ F0 k, ^0 ~1 a) e( |这类问题算法有很多，
* }3 H" d. x* O2 w+ l% j包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。


0 x; G7 ~# }9 R0 H* E
$ a9 z+ L* ^: t关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
) k8 t! P( i) b' d同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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* z1 H0 w4 y6 @, U" d# x经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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" M% c8 Z0 c1 i1 F  d. J- h
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
2 S; t0 A6 o) t. z. a0 l. O在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。

: B) L5 l6 z4 I# z% U
5 R5 f4 R: R$ i# Y这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
% w- i" x) T! Y5 E4 U推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
8 N0 C3 G6 v# e& K9 L. B
& H+ M/ G3 l, s( q


六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

& D4 e6 a" ?. ]# H0 v6 f3 \以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
" l+ _. K7 n# W* A; m: t& V03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

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另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
8 j0 Q) j# W9 o" U0 x* {http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
" u5 S& s/ A, y( ^- X; K6 N

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其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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, K. J# }7 a! i- l* F( T+ X7 y

0 M- ]  p# E2 t% t4 g" B七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。


# W4 z3 Y; M7 Z8 E" {在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
* C6 G9 o: l, v" T
快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  


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八、一些连续离散化方法
9 G& T2 @4 c1 v大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

' u6 s# A; ?, r) S% H* ]) k中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

3 B# w  x$ W5 G6 f& r' O
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
# O1 e3 E( G: F8 ?6 P$ V3 T3 A+ Z7 r$ Y4 p事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

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3 t% i: X; Y9 L九、数值分析算法
% L- V) }' \+ |3 [7 c# K7 o; K数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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# k- U& {$ ^4 a, ^算法。

. F# `' Y8 s* T3 q& y如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

8 a$ U4 O; j; n/ t! B. K8 v

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十、图象处理算法
1 d# C2 a7 z# I1 n* {2 I5 g1 l在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

/ |/ ?* s1 q: L/ S计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

6 S5 S/ }2 m9 c0 ~% p  B  ~因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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# U5 @7 H0 q. N' M1 {. N

5 P- C( a9 b; @2 |9 {3 s$ A此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
http://download.csdn.net/source/3007336



- [1 ~) Q2 a( P- i本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
完。


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  G2 `6 P9 |: U7 @  R7 v作者声明：
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6 q9 e7 T6 O3 P: r( [转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
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总结的很到位，言简意赅

chace

谢谢分享，总结很好
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