数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

) l+ S' L- b9 V; F$ k; i& u" u今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

1 D! b; h9 d  F插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
7 z+ q8 T! m4 D5 |" \这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

" {* b; r  I5 x6 N/ f/ m) l接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
9 m) K. I1 _5 ?1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
  J. c8 @3 Z3 @* k' f) R（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
8 Q. M# o. B7 Z0 ?0 _  N② 分段三次埃尔米特插值：
( {% E. g5 m- f  a% j7 U- v3 N1 ^

2）三次样条插值函数

其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
6 \( Z$ {! [9 y
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
& V7 t! C  v7 t& L6 @1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
( l9 r4 P/ V1 o; D$ ^) H/ H. ~% L* u（1）代码部分：
0 Q* Q/ a! f6 h2 q
（2）运行结果：


2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：

8 P% {2 L% ^9 Y% ?7 G) k
. {, B9 C6 u9 _( m0 E9 y7 J1 k- o（2）运行结果：
6 e' h0 L. w& x: h

- t+ i. {- t0 _, S# ]4 L- s7 F经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
+ N9 V; A$ [& M: V0 F( i' _2 I
9 w* s" f7 X/ \, a" T  i3 X注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
7 ~4 m; J* J* l1 q* d原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616

chace

谢谢分享 努力学习

张迪迪.迪丽热巴

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张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~