数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
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插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
! X) J7 m: M5 T* F$ ]; c: {
一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
- [- w& r- ?" W3 x
接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
6 z8 g' e$ J/ B1 P/ l/ \1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
8 |& P/ A  E. S7 p! @② 分段三次埃尔米特插值：


5 n2 C7 f  L  D7 {" u# x2）三次样条插值函数
, P4 R% H  |8 ~6 K/ C5 c2 ]; ~3 N
其次，再用matlab分别实现两种插值法
2 c& z3 ]" K  A这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
% L6 j) w. a+ y+ n% F5 @这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
6 r4 X2 S* h  {" k2 R5 o
. O; i2 T) y# y, A. h* {接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
( b4 Y( @. i  \8 l) @. _' d（1）代码部分：

/ \+ H! ^# d+ U2 C# A（2）运行结果：


2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：
0 _5 M7 l( J! n

（2）运行结果：

5 ?- }0 B/ s8 m" }) d* r
经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
1 p  ]9 X& h4 L0 r原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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chace

谢谢分享 努力学习
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张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~
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