数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
3 Q2 @2 r6 `. l9 t% C
今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

  D9 o5 q) O! U9 _& v9 f插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
2 b% n$ M% x9 b$ e% m6 V/ M5 Q而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
5 j/ F% G: K; ?/ D
( U$ z+ j* p- i9 f$ R. s9 E/ A% e接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
% V- V* G0 j  g8 E' K1 {① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
; k# @% E4 G' {② 分段三次埃尔米特插值：
  x2 v2 b) T. J! i- m6 `
0 S3 b/ l3 U  e7 ~
2）三次样条插值函数
" U# e7 s# ]' Q4 E( x+ t
, B. j, K8 t% x) O: a9 Y3 B2 r# k其次，再用matlab分别实现两种插值法
; X2 `2 D9 {1 m: S" y这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
: }$ e( }8 z: u这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
6 O7 a2 A' S) _5 ~
, n( I( |8 I+ ^6 R+ D3 w' H& z2 [3 f- N接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
  l- J( O* p8 h) O
' N: k2 E) D8 }! E6 h这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：

$ k2 e* r0 N* w: u  K1 _  W（2）运行结果：
; A$ ?' O+ j! f/ V. K5 y: N& n

2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：
( F0 c. O5 A$ R. U
2 g  L2 c  p- y+ g
（2）运行结果：
/ P2 O& e" S) n1 C5 j% S" N# _
+ \3 t3 S( @6 `  ]4 U' @6 s
经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
8 @# o1 ?( Z* m9 @+ m
  x! P4 ^8 U. V注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
' r- K( }0 P6 f# j! f原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
' n( p' ~; @5 q/ ]4 s, S0 |: [

chace

谢谢分享 努力学习
+ ]0 z; D9 k7 o$ P4 x

张迪迪.迪丽热巴

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张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~
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