数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
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今天学习了插值法的matlab实现。
8 R. g6 P  d# z; t4 p7 q) U我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

, w1 u6 O1 C: a( i/ w7 i一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
7 d$ p& g. x4 ?' O# n. g' z
) p8 s# ~8 R/ Z+ u( Q( z接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
' ~5 J$ B) Q2 S6 }9 Z! [' P（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
( Z! X  d0 L7 E& Q$ y8 S② 分段三次埃尔米特插值：
+ t2 g- o! \0 V1 N
! m: ^7 l  I0 z
2）三次样条插值函数
& ]9 t1 j2 M' [. |5 H4 T
其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
6 P+ m" O. t/ q2 `  {4 Q6 L这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
& d2 @) C1 r/ @) P$ l
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
  x# B) G$ W  ~  ~; b1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：

（2）运行结果：


2、三次样条插值
6 Y$ r9 e! B' i  d; d' [" Y（1）代码部分（pchip函数）：
: S6 @4 y1 ?  y) Z6 D8 G% ]* `+ Z
- g1 ^+ K1 S( o8 Y; Z/ g
9 G* T+ h' g6 B4 O. \5 d+ r+ j" ?/ ]（2）运行结果：

( C1 K8 W& B0 w6 R& k* N9 j3 w
! M5 f$ }4 c0 F4 o* |/ n经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
4 C+ K# w" G$ T9 q. v
注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
: M0 f$ {  z6 x* K2 p原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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chace

谢谢分享 努力学习
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张迪迪.迪丽热巴

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张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~