数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
# b8 S$ Y  a/ ]- b1 t! E型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
: j9 n0 A9 K2 c7 y0 w/ D0 S静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
. q! O% c3 D4 v0 s3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
% s% }7 C: M8 e# _4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
" q8 \  D3 ]3 c一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
% S9 }5 H  [+ k! \往也和建模的目的对应
4 U. {4 U( C( ]7 s8 [% t( v5. 按对模型结构的了解程度分： ：
+ A% ^7 I/ P" I2 R. g8 _有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
8 W8 y, e+ t9 S5 {" P+ G1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
! Z1 W1 |( o' T, V以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
% y  S- v7 @, H" K1 b2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
! _5 i: i' ?& i0 Y& e比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
8 c! N$ o4 q6 Y: ~; E9 n- r通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
  G( _2 q) r" ~3 k$ L5 f这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
7 `3 Q  s3 i5 ]0 n  }% Z. m/ N* P这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
: L2 v) T" Z" Q# v0 J6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
. p1 _3 {3 [& ]! z7 R+ O这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
6 l4 D/ J! s3 d8 d0 |% i/ x帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
2 B/ t- t8 |6 w1 x# ^当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
/ I2 Y2 a  @. O- ^# D7 H$ `一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
% c# z! R, J# |7 F, S7 j5 |据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
3 H( F' Y+ W" |# {如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
% j0 ~& f" u# r& Y3 F( H如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
) ^5 _% S" j/ _2 V10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
7 o/ |" i/ `/ L: d2 n* J  z; w的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
' u* R% Y7 m$ n3 h2 r! e; I算法简介
# m; e, Y! f/ D1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
* B  z( Q( e0 T% h- V* [解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
( N) e* ^1 ^$ f: Q6 m% F个条件可用：
( n  u% A' Y6 g* U+ \①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
% P1 m' q) G- \/ G微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
; Y3 h  |% p  Y, a; `/ I$ t3 r1 U$ b化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
; Y  T. c3 g4 e+ d+ W$ Y②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
9 T2 U9 c- N# a$ U4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
1 Q/ ~% G) l, _3 o! F5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
! S! Y) _) B3 ]9 H7 ]: M$ e! i: J( H0 t1 G（较好）。
5 E' D' e7 O1 `9 o* L5 Q' F6、 小波分析预测（高大上）
; X: k/ N( p) S数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
0 h, J6 f. a2 X预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
/ g) y  F9 a. C) V" Z7、 神经网络 （ 较好） ）
" V4 ?6 }. \  G* J大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
( a  E' S8 G9 W8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
/ t6 `: e3 ^7 _在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
: b* h( R7 n2 s( |' X) S  X" p- V10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
0 P$ G; j; D7 g  H7 v4 k! q+ v# A评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
& O: o0 a) G- v1 n9 M12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
0 u4 c1 f# T* L* S& k4 b% M优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
; |6 A% W# Z* Q( R! W/ G! v% S3 Q+ A, I法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
/ o5 |4 H. h1 m8 C- w% d- t似。
& U# r' U; |) m1 @! H7 W3 d3 L14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
) H" Z% T2 ?4 Q8 I% q2 F评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
3 Y: T$ g3 b; {! K解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
/ s5 A( k  o4 k2 p) }( L  s该方法做评价比一般的方法好。
7 s, ]0 J- c# p. a16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
4 S5 U/ ^6 _% B# a+ E* W! R量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
5 u! X0 t0 I* c& T; A4 Y/ D17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
; @6 J8 _6 B7 }; |6 i模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
- h& U8 C5 }" R' {% C优解。
: i. J: D! P2 b0 M. y: Y- i18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
4 Z9 `, M! X- {/ o; g5 B非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
2 Z1 U! a  R& D  q智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
4 i0 _: U" y6 x3 F3 C其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
4 o  F; g( Q. V* @7 r20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
8 z5 z7 g' Z  o8 p4 K* _排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
+ S( ~, M& v1 x3 q/ x5 ~3 I9 r1 H" B有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
  W6 p8 T9 g6 ^# C: [% Y计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
# t0 s5 m, O: a) V/ k7 O21 、图像处理 （ 较好） ）
. @2 Y/ f+ K3 b! A: N: x+ g/ `MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
7 F" y2 H, B1 _5 }$ m  P0 @支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
# r) k# Y, Y! l9 v3 Y" V3 J- K射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
1 V; q; G* i" t. A* e# @23、 、 多元分析
7 V2 C% H, J( s1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
! y) e8 I) U3 j8 d从而达到降维的目的。
% Y- i8 z7 Q; J. R$ J& z4、判别分析
5、典型相关分析
+ Q. e4 ~3 \! E$ P  H6、对应分析
7、多维标度法（一般）
# m9 `3 N- A2 N  S) n8、偏最小二乘回归分析（较好）
) R0 c2 `$ ]8 m4 r# w: g# `  ~24 、分类与判别
* c; J# ~! ~* w2 ~( B9 G8 t# }6 P主要包括以下几种方法，
1 [5 q- V! H4 @; C8 g8 g, \% F+ [1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3 F+ b2 Y, a0 J: u& Q* ~3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
  C$ M0 O8 A% j: m6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
: ?, E8 V9 E- T# R1 I+ K1、灰色关联分析方法
7 E# l; d/ g7 q2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
. M" Q% L( F5 R8 r: a6 K% f26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
) Z$ v% V( V* m  B- v量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
9 o9 f. G1 R: e$ G! P6 r6 Z率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
' P! f( u) a/ [$ h0 N
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
9 ~/ }0 z+ P- }* v& c3 \' H2 f

7 @8 n; c+ F3 n7 _! s% }