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[题目讨论] 数学建模-常见模型整理及分类

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杨利霞        

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    开心
    2021-8-11 17:59
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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

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    1#
    发表于 2020-4-29 15:20 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学模型的分类/ Y* E; B, Q! W# R* N5 K
    1. 按模型的数学方法分:
    : Q4 e+ I0 ~  Z/ j  l* N4 B& T几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模# d7 [8 t2 p6 g. K- y( j
    型、马氏链模型等。
    / }. G) K; J! R" z( N$ F2. 按模型的特征分:, k1 O- b! I+ I/ n0 _
    静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线
    : f7 \! M) d( Z$ z, E性模型和非线性模型等。
    ! |& k% }/ T; `0 Y3. 按模型的应用领域分:
    % A9 P4 C/ R7 d$ g+ I人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。7 Y9 l( I. d  x  G
    4. 按建模的目的分: :4 u4 e) v6 q, I
    预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。) {# l6 e8 ?) O2 R, b( j
    一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往+ q- D6 K  `1 c) m
    往也和建模的目的对应8 g( z( s7 E) s: {
    5. 按对模型结构的了解程度分: :) v0 W1 o4 f9 i
    有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
    ! |/ n2 M, o, T2 {比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。
    6 C- T1 H' k7 K6. 按比赛命题方向分:
    " n) m: C7 b5 G国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、, `9 E- y$ X% Z
    运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)
    / l( k, m8 h& H; X: c& B! \  Z数学建模十大算法
    7 w& r; e9 |: u# A1 、蒙特卡罗算法9 t" x- E1 }# w# B0 ~
    该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可4 ^  Q' E1 M$ z( ^4 q! }" p
    以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法$ u" \3 `: ~; L% W
    2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
    ; H3 f: E; D! P7 z( f, ?) X7 {; Z( R比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,8 S  r; s0 u; J8 P
    通常使用 Matlab 作为工具
    / Y9 v9 ~# ]% h8 C$ n; |1 L- i3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
      i0 c+ t) J8 y4 g9 |: ?建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算* I( F; E* ~" p2 S8 z
    法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现- |7 T7 {  X( _4 y& o! A3 Z* j
    4 、图论算法
    ! I7 s5 {) J- K7 Q' r6 F这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图4 m7 k. F% f# G7 _' s
    论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备
    , n7 d5 U6 s+ S5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
    " @" W3 [4 P4 C这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中
    - N1 U, b7 y( W4 X& p: X6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
    3 m* X. F, a- s: W& Q. U( \; p这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有3 C/ S9 _; ~; E# F# Y
    帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用" z9 d* k( _7 {4 ?* H7 o
    7 、网格算法和穷举法
    + l3 V# m: I* }: ~" J: w当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用
    4 R7 n' v4 V- j一些高级语言作为编程工具$ p5 D  C& Z' O: f0 k9 D3 _
    8 、一些连续离散化方法
    2 {  g8 t: Y$ h3 L, c! e) T: C很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数5 ?/ a6 Q; n$ v8 n/ B
    据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
    & W1 a; k7 J9 P+ L2 ~5 B5 k' x9 、数值分析算法  g& n' ^3 ~- u$ K
    如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比
    : j+ a. H# W- a3 ]' j/ r如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
    : L) {4 H  @) T0 G10 、图象处理算法
    + g9 x7 @9 b- m赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片" `  f: O5 F6 }- \8 ~" L
    的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进
    + L7 t( v$ L0 M行处理
    ' m! H2 M  n& v# V; O; |算法简介
    " ^* l7 w) B: a5 ^+ f# |7 `1 、灰色预测模型 ( 一般) )
    + H8 N' W7 |: V解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两
    . i' W' Y1 \# p9 I: O, D" T8 |个条件可用:2 B. g; V8 P! K3 W! V! S$ D
    ①数据样本点个数 6 个以上; O7 e2 ~$ C$ g" e
    ②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大- L$ c/ o' p- w: n) I, ]* d
    2 、微分方程 模型 ( 一般) )
    5 x( o5 ?# x* ^& E微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但9 ^* X  j% @. y0 B9 e
    其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以  c9 h! [# _5 W( A, I9 d
    找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。5 I: C* }* O9 c& b
    3 、回归分析预测 ( 一般) )2 r4 _$ @7 y5 ^9 S! j$ V$ m( B
    求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变" b/ D" s5 G9 h
    化; 样本点的个数有要求:
    ! f8 c& B  d- [$ ^- d5 O①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;; J3 w: c, G7 M' q" s
    ②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;
    ; B& r5 K* w1 D8 L4、 马尔科夫预测 ( 较好) )
    3 W( l# j. D8 u* |$ q  m0 A4 X一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相# y: j1 T! ]) S9 o' E
    互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的
    % C# e* n  m' Z! M# D概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。5 l( `) z: w( Z5 L; e# Y
    5、 时间序列预测
    + j9 o* K1 b2 I3 o# k" G预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA
    & l0 p3 R. a6 W! O(较好)。
    0 s# v7 U( r% I8 ~. Q3 E6、 小波分析预测(高大上)
    $ E; Z3 N+ [4 z, B* |: g9 ~% v5 e数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其
    ! `4 g4 B5 @. t1 g) a% s预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的- t* @$ g% J1 \' c
    预测波动数据的函数。( c) b- a8 B8 L5 V8 k
    7、 神经网络 ( 较好) )0 \! f- T+ l; U" v9 C- {% `# p
    大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的
    - [9 Q9 L' Q$ k' n3 w办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。
    1 U& n7 ]' p# [$ v- l9 ~8、 混沌序列预测(高大上)
    ' m. Z, O1 N; a9 s) m适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。
    $ M6 F& G* I7 J9 s) V7 u' M9、插值与拟合 ( 一般) )$ u- O* D; J- Z8 d) y
    拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别/ L" |4 g" l% [7 p' g
    在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;% s( O" ]( W- [) Y& T, O- J
    逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。5 t# Q' Q3 ?% k& O
    10、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用9 N. p! _/ H+ R* C8 L& s- W
    评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序
    ' U' g2 a2 Y: h% O- D2 U- j11、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用
    1 _% S" X& {+ i# c4 z作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策7 R8 }; c) N! F4 s, m, J, G
    12、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) ), W& T* j, m4 q5 M# \/ V
    优化问题,对各省发展状况进行评判
    ' Z, [' R( E& W! l1 {5 _) n13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) )
    " p/ A9 G' i7 f: F0 y2 i- a秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权
    2 ~0 Q1 _! R# A; q' }) m9 ~法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类8 `, z- a& N' W2 N3 I
    似。
    2 _1 t' G1 S' ]7 n5 g6 _( p- k14、优劣解距离法(TOPSIS  法) (备用)
    - R5 s9 R! ]* e5 C: F* n9 E其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若) u. k9 f3 I7 D; k
    评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优
    6 n3 k$ j* k- \' F; o: w& {解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
    2 ~3 X' D9 l# o0 n$ \+ K; R" O8 @7 C8 J的最差值。
    ! C* h, [# N6 x, j15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) )
    % F. X+ J7 _# H# `; _, U0 U可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出
    * f) y* T+ _5 Y# S; g6 W# _来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。
    . L: ]3 s- M, k' `该方法做评价比一般的方法好。
    3 l. W8 E, S' P" Y% Z# Y16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) ); x6 Y3 ?- e% E: b
    方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产
    . U# S) `' x% d$ H3 e量有无影响,差异量的多少
    ( g* a) h; S0 Q协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因' s% d$ B( [- F# ]2 @
    素,但注意初始数据的量纲及初始情况。7 Y$ ?4 m' i& |4 l1 H0 r* Y
    此外还有灵敏度分析,稳定性分析
    8 G% O) z7 ~$ k. b' y7 B' o8 @17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 ( 一般) )
    9 h* N6 e8 a& C+ z6 \' p模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最5 y2 L7 o& f3 K) e7 B8 c4 ~
    优解。
    - o( r# U6 V) t2 E1 W2 T! H18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)) C+ f- \5 T8 u- W6 n7 `; l
    非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题8 L6 m3 Q3 D+ @
    智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
    / o6 U* p# l/ ]/ ^& O1 p+ |$ `& @9 o. o算法、神经网络、粒子群等
    8 A! e3 @6 v3 m7 S, J( X" I; E其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等
    $ x4 t. u9 s) T9 c3 n( |+ I# U19、 、 复杂网络优化 ( 较好) )
    . \2 a/ Z) \2 O- f* Z离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。: N7 R; L) h; m1 j
    20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) )# ^1 U! `9 r0 E7 F
    排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,6 F3 \! z) k4 f7 t0 s# o
    即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和! p( y( q* i  W1 x
    有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。
    ' r3 w* ?4 o; `0 z. @+ U7 ^计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一
    ' u& c! a5 r; I1 n# d, [, v) {般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。
    + S+ k5 X0 O& `4 }! k$ }21 、图像处理 ( 较好) ), B. l! p# W( V+ g
    MATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。
    " L  E' ]/ T1 c" n, M% b1 N+ J) _. i例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。+ [- r- I- U' k* R  M+ X
    22、 、 支持向量机 ( 高大上) )3 [* W; M( z9 L$ {" }7 w
    支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映) C0 R$ P. I2 V0 y$ K& u) Z' n/ X
    射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。4 e% m1 [( _/ A; z
    23、 、 多元分析- f5 [' m: G4 P
    1、聚类分析、
    $ f$ ^2 v: M8 S0 j: D! t% c! T+ I6 _2、因子分析
    / w' _0 C$ A6 z  i2 W. l3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析
    $ V' \) d9 ~/ E) c8 a各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,3 `% }# E# q1 z$ F8 e  A
    从而达到降维的目的。
    2 D# e' u2 N$ F' s% j3 E4、判别分析4 l7 g' S: J/ h, }4 l, g$ \
    5、典型相关分析
    # }1 R9 G  |! }  r& g1 [6、对应分析
    . ]5 U" x. J# k' n6 z7、多维标度法(一般)
    3 Q0 v0 n; C1 g1 c( h8、偏最小二乘回归分析(较好)3 F6 y% r3 v) n8 F
    24 、分类与判别* l3 \- V& i! O5 Z
    主要包括以下几种方法,
    " V" j' j3 h. x: o5 i6 k3 v% [1、距离聚类(系统聚类)(一般)$ K+ D- e: O  h( h7 e
    2、关联性聚类" b3 z6 U) d( x# r
    3、层次聚类
    9 p7 X: |0 p/ _4、密度聚类
    1 F& [6 @) a* V& g5、其他聚类
    % [7 N0 m. W5 c8 j& T3 X$ x6、贝叶斯判别(较好)
    9 c. R  y2 }# Y, T" o' g, l7、费舍尔判别(较好)
    ! ^! Z! L- k1 G9 ~/ c' w8、模糊识别
    # V1 z6 E; d' F3 R8 }" `! p' m25 、关联与因果2 h6 G: o% ]  Z( O
    1、灰色关联分析方法% h  O7 O3 p. y4 z
    2、Sperman 或 kendall 等级相关分析# }  e* F3 P3 E) P& y7 ?% {
    3、Person 相关(样本点的个数比较多)
    ' Q- w1 d# z0 `; A5 M6 i. C4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)' A& a9 c; z, C. ^% d! z* M. w' b% y8 d
    5、典型相关分析
    : n: I7 E  S  G(例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪
    ( `4 l) Q6 n9 q3 G一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)) M  ^, t: l- E$ m9 ~
    6、标准化回归分析5 g1 f! y% Y! Y: O5 o5 \
    若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
    0 w% g) k. A7 p& \7、生存分析(事件史分析)(较好)
    9 F3 H& N$ D* B: Y* h) h  @* _数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响4 m5 ?: g) P; c( Z7 Z' n2 F! W* K8 e
    8、格兰杰因果检验
    0 b" Q& G3 c* w2 N- k. v7 U1 \计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响
    3 F. [" G5 M! M$ S9、优势分析
    1 V: [/ O! e, r. z  ^  H26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) )
    ) L, N8 E( P2 h量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速  y. R; K5 {9 }( D8 j
    率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。
    - d$ \& L) |0 r9 H: B/ w' m# U5 ?! f3 L" i& T" H
    原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
    5 {4 ^: U  E" a, z# n% ~% v* s% P
    , u, @; A+ b/ ?. p8 ?
    & V2 l! z! o& g+ @8 G
    zan
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