数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
6 J, Y4 R5 j7 h8 F! {9 K1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
* f) ?& t! _0 F2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
8 _& {0 ^* O& ~/ c. k+ N( D性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
( O; P( S. [( L+ s  u往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
& o9 y, B* K! u# j: H6 F; U" ~) p比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
' j- d3 ]4 R/ A8 `4 I数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 R6 u4 ~2 p. D4 b" k+ O8 {2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
# k# V# F, Z7 A- g7 C0 E+ V建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
& p+ e5 s6 a* `! `% \1 V法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
  l* {$ c$ |' t6 g# K8 `) f3 F这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
3 b- W8 E, p8 o& Z+ Q这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
( A! m* V1 i% b! S  q# a" }6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
/ ~: ~. B9 ?5 b+ }很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
7 F+ F; v1 M3 N2 {" {: o# S3 M10 、图象处理算法
8 f8 D5 M( Y1 e1 q赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
9 i$ z, s  q8 b" h$ T( S的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
) Q% e' X- M3 O/ z2 j0 L行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
8 N1 X* ~4 X9 {* [2 }①数据样本点个数 6 个以上
" ^% M; S! x/ p% ?' z8 f②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
& E1 G3 @: M" t; A2 `" g  _微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
& {8 I, m# z- O其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
7 _' |: v0 \5 Y8 h求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
. _& c4 n; {' {+ Z  M6 Y2 _& g- |一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
  g5 B" r; z+ X: U; `) o% _互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
. \. t9 |* V/ O& v+ [概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
2 s# B% {5 B, F4 [5、 时间序列预测
( z6 `4 M+ U* s6 v  e: I/ N预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
# V7 [/ X* W) b4 T- p. ]# S- j5 u6、 小波分析预测（高大上）
3 j9 s# y+ C  Y) h2 G8 _2 n数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
7 G" u2 C+ B! P+ l% R2 d6 C& [7 J  H预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
% ]! w# o1 }( G- {- T( c8、 混沌序列预测（高大上）
7 p3 b3 U( ^$ r* j( C& J; w  @适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
* E& o( a" E' R5 ]9、插值与拟合 （ 一般） ）
! y8 I% s6 t. z拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
/ y  r7 I8 j) |4 |: R) p在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# D- x5 i5 T( U5 D$ ~; K作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
  u' L, i1 u' ^/ F6 g0 ]* h3 `12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
( u& B" [% G! n9 B% n, z* G2 B! J0 x优化问题，对各省发展状况进行评判
) o+ {# \2 o) w4 o, C- {13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
9 ?) H* o. t. \( Q; i! a1 W法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
7 L5 y" x( U2 y# o+ {3 c) `其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
" Y+ }0 l( I6 a" U: R# Y9 }7 F4 A评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
% @# }2 j% i5 y6 Q3 \. }9 A8 |5 t! M解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
! N3 I, c* Z3 Y15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
' ]2 S2 y( M6 O5 ^7 v, ^9 g# s来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
" w0 L! o- _2 a( M0 a/ j16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
. d: k# Y0 }2 K1 D方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
2 z+ a6 y! y6 ?" y量有无影响，差异量的多少
+ z% D4 c, [4 \2 W协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
: ?% h  Y* J6 M3 a9 b# L$ V7 G( M/ D- j素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
2 S  d1 ]2 ?+ @# R5 x0 c智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
. \9 ^, a& T1 n2 D3 B9 u其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
: ^2 E' J$ Z' ?20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
' x* ?0 ]' E# o2 Y4 W' m) {有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
4 o3 {% ^6 Y4 h& n般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
8 |8 a8 @$ l1 C. x! Y21 、图像处理 （ 较好） ）
* ^* r2 v3 V# q9 O8 A( P: M8 iMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
4 N6 Y8 k, w* T+ X* k6 W+ J例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
( f1 b! m1 k: l% T8 B22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
; Y3 d3 O* l' \4 G5 v23、 、 多元分析
8 g" A$ e: r" h0 v% L  R1、聚类分析、
/ i2 U6 K8 x* _& f# h+ o2、因子分析
' O+ X8 L$ r+ r) _' a3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
6 f2 Y+ {" Y  t5 I% O各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
0 E: c$ g( {/ ~" R: S7 T4、判别分析
: n# Y/ _3 {) R6 d% h5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
+ F& z" g* @9 B! t/ q主要包括以下几种方法，
: e# E  Q, B  }: C# v& [1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
) W/ T/ S! m; D4 P9 ?4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
+ V; n5 F, G1 l  r, g& w8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
! s3 M! H7 X3 E( [2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
; K9 H  a, P, Q0 K" ?, S+ V" U3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
0 P( G: n3 O7 s2 g4 j" H5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
+ e' t: @5 Q3 S- o6、标准化回归分析
- ~+ y7 B9 a: G4 H' P( k0 m若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
% @6 S& d- T* v- Q  R7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
. c) Z5 [4 t1 c' ?* d. P6 t计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
0 _8 I) V3 {; b  B5 ^, f* B9、优势分析
# {( l, v" u4 n. c' `) Q$ E26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
! t2 }& M2 x" T% v量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
( R5 P8 z3 B: _* h& W1 Z率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
' e1 X0 v$ p$ t% S. B& v7 O
: s+ M, V2 [6 L, t原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
4 c6 i+ k! e6 ?# W