数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
: Q4 e+ I0 ~  Z/ j  l* N4 B& T几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
/ }. G) K; J! R" z( N$ F2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
: f7 \! M) d( Z$ z, E性模型和非线性模型等。
! |& k% }/ T; `0 Y3. 按模型的应用领域分：
% A9 P4 C/ R7 d$ g+ I人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
! |/ n2 M, o, T2 {比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6 C- T1 H' k7 K6. 按比赛命题方向分：
" n) m: C7 b5 G国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
/ l( k, m8 h& H; X: c& B! \  Z数学建模十大算法
7 w& r; e9 |: u# A1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
; H3 f: E; D! P7 z( f, ?) X7 {; Z( R比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
/ Y9 v9 ~# ]% h8 C$ n; |1 L- i3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
  i0 c+ t) J8 y4 g9 |: ?建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
! I7 s5 {) J- K7 Q' r6 F这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
, n7 d5 U6 s+ S5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
" @" W3 [4 P4 C这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
- N1 U, b7 y( W4 X& p: X6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
3 m* X. F, a- s: W& Q. U( \; p这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
+ l3 V# m: I* }: ~" J: w当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
4 R7 n' v4 V- j一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
2 {  g8 t: Y$ h3 L, c! e) T: C很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
& W1 a; k7 J9 P+ L2 ~5 B5 k' x9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
: j+ a. H# W- a3 ]' j/ r如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
: L) {4 H  @) T0 G10 、图象处理算法
+ g9 x7 @9 b- m赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
+ L7 t( v$ L0 M行处理
' m! H2 M  n& v# V; O; |算法简介
" ^* l7 w) B: a5 ^+ f# |7 `1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
+ H8 N' W7 |: V解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
. i' W' Y1 \# p9 I: O, D" T8 |个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
5 x( o5 ?# x* ^& E微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
! f8 c& B  d- [$ ^- d5 O①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
; B& r5 K* w1 D8 L4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
3 W( l# j. D8 u* |$ q  m0 A4 X一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
% C# e* n  m' Z! M# D概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
+ j9 o* K1 b2 I3 o# k" G预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
& l0 p3 R. a6 W! O（较好）。
0 s# v7 U( r% I8 ~. Q3 E6、 小波分析预测（高大上）
$ E; Z3 N+ [4 z, B* |: g9 ~% v5 e数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
! `4 g4 B5 @. t1 g) a% s预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
- [9 Q9 L' Q$ k' n3 w办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
1 U& n7 ]' p# [$ v- l9 ~8、 混沌序列预测（高大上）
' m. Z, O1 N; a9 s) m适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
$ M6 F& G* I7 J9 s) V7 u' M9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
' U' g2 a2 Y: h% O- D2 U- j11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
1 _% S" X& {+ i# c4 z作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
' Z, [' R( E& W! l1 {5 _) n13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
" p/ A9 G' i7 f: F0 y2 i- a秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
2 ~0 Q1 _! R# A; q' }) m9 ~法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
2 _1 t' G1 S' ]7 n5 g6 _( p- k14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
- R5 s9 R! ]* e5 C: F* n9 E其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
6 n3 k$ j* k- \' F; o: w& {解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
2 ~3 X' D9 l# o0 n$ \+ K; R" O8 @7 C8 J的最差值。
! C* h, [# N6 x, j15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
% F. X+ J7 _# H# `; _, U0 U可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
* f) y* T+ _5 Y# S; g6 W# _来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
. L: ]3 s- M, k' `该方法做评价比一般的方法好。
3 l. W8 E, S' P" Y% Z# Y16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
. U# S) `' x% d$ H3 e量有无影响，差异量的多少
( g* a) h; S0 Q协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
8 G% O) z7 ~$ k. b' y7 B' o8 @17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
9 h* N6 e8 a& C+ z6 \' p模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
- o( r# U6 V) t2 E1 W2 T! H18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
/ o6 U* p# l/ ]/ ^& O1 p+ |$ `& @9 o. o算法、神经网络、粒子群等
8 A! e3 @6 v3 m7 S, J( X" I; E其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
$ x4 t. u9 s) T9 c3 n( |+ I# U19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
. \2 a/ Z) \2 O- f* Z离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
' r3 w* ?4 o; `0 z. @+ U7 ^计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
' u& c! a5 r; I1 n# d, [, v) {般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
+ S+ k5 X0 O& `4 }! k$ }21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
" L  E' ]/ T1 c" n, M% b1 N+ J) _. i例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
$ f$ ^2 v: M8 S0 j: D! t% c! T+ I6 _2、因子分析
/ w' _0 C$ A6 z  i2 W. l3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
$ V' \) d9 ~/ E) c8 a各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
2 D# e' u2 N$ F' s% j3 E4、判别分析
5、典型相关分析
# }1 R9 G  |! }  r& g1 [6、对应分析
. ]5 U" x. J# k' n6 z7、多维标度法（一般）
3 Q0 v0 n; C1 g1 c( h8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
" V" j' j3 h. x: o5 i6 k3 v% [1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
9 p7 X: |0 p/ _4、密度聚类
1 F& [6 @) a* V& g5、其他聚类
% [7 N0 m. W5 c8 j& T3 X$ x6、贝叶斯判别（较好）
9 c. R  y2 }# Y, T" o' g, l7、费舍尔判别（较好）
! ^! Z! L- k1 G9 ~/ c' w8、模糊识别
# V1 z6 E; d' F3 R8 }" `! p' m25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
' Q- w1 d# z0 `; A5 M6 i. C4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
: n: I7 E  S  G（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
( `4 l) Q6 n9 q3 G一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
0 w% g) k. A7 p& \7、生存分析（事件史分析）（较好）
9 F3 H& N$ D* B: Y* h) h  @* _数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
0 b" Q& G3 c* w2 N- k. v7 U1 \计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
3 F. [" G5 M! M$ S9、优势分析
1 V: [/ O! e, r. z  ^  H26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
) L, N8 E( P2 h量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
- d$ \& L) |0 r9 H: B/ w
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
5 {4 ^: U  E" a, z# n% ~% v* s% P
, u, @; A+ b/ ?. p8 ?
& V2 l! z! o& g+ @8 G