数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
7 x: E" L( e9 T1 u  q1 i几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
& `5 r0 P8 I: V5 I, B' |" q. x1 R2. 按模型的特征分：
! f2 a+ P+ \! d; Z" k静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
% E# b% l/ u, U2 H9 [/ D4. 按建模的目的分： ：
- w( H+ w) A3 b3 N2 \预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
: B2 K& t3 s8 H: w; `( t5 M一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
. A2 f; o# }. E1 ~; _& c- \往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
" C/ m0 P: h* Z( d1 V  M# w" M比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
& p3 M) r, {7 i% d4 i& z6. 按比赛命题方向分：
) m0 K5 q( h' X' ]" X5 S; a国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
5 q% ^& j% o# n% Z: ~: Q运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
! P% j/ e7 B) s  b- p+ N1 K该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
6 {3 P2 t! |# n0 \/ j' K9 ^% M+ b以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
; M* x" C1 G6 d3 ?3 P5 \2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
$ e, o9 A- h, p: K4 B" B  M比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
; t: `4 O' k1 P/ \通常使用 Matlab 作为工具
5 i7 k' f- G, \7 A8 @3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
* u$ x/ b% b, y, M建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
2 R& w9 Q: n! E7 |, i( O+ v. L) ?$ s4 、图论算法
: X9 U$ n' V( I) m这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
  n# W$ c/ L3 i$ l* K" ~2 S帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
' ~9 y$ U# X9 |7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
2 H5 L# M; M" E5 f! D  V3 ]2 ]" R- I一些高级语言作为编程工具
' {5 m, b! }2 w; c8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
: j9 r; P: T$ b* O  b据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
3 o  m( H9 f3 `" \) A" z如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
3 y4 Z1 f4 t  `算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
! e# ]2 O( {+ q% g3 l0 p个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 z& N  V" L+ c3 A1 l( u7 E8 j2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
! Y  f+ w0 ?& F+ C8 Z  ?0 R  h7 R/ c微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
4 z: Y: {8 k/ l其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
( T6 D% Y: ]5 z7 j$ Y9 \  `4 {求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
7 L' }* c4 }# {& H5 a②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
% t, Z) K8 j! \  w. @7 _4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
9 ^) g/ T2 Z5 J9 f" G. z  x! F一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
) n% g! W; ~. t' n: o4 t! u/ X概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
" \$ s2 V9 P- ^# [% u5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
1 r) |6 B; d: A( i（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
! p: z+ c% j+ A0 y7 _2 _* G3 M预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
$ L! p$ o2 u3 x) n: l2 ?- }, ?预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
; W4 E$ l+ h+ _$ v: ]办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
3 I7 u7 ?& K5 A0 _0 X6 p. t, i) S8、 混沌序列预测（高大上）
0 t" ?; U# P0 ?, I* p适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
3 {% X1 w; D0 L- Y8 r: s4 k! h拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" y$ E% \0 [) ^% h+ N评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
9 Y; J2 L7 u4 r& Y! R% y& u7 G作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
: X2 V) i+ V# e) Z; U优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
0 Q5 G+ y- J' P1 F5 {, ]秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
; H) O% n  p6 g' O. {$ ]似。
2 f- L0 N* B+ q" O( c/ W14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
2 K$ O# H' z- e6 a" S6 @其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
( ^; v3 M# J" o  y9 A' O9 J15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
) f% c5 H2 W# W# a2 M9 n. t可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
7 w; D! U8 i/ D) @1 X) P来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
! p5 n& R: {4 Q# {: I# K该方法做评价比一般的方法好。
2 B- ~( H8 D+ S. b16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
' T& i- l. f+ h, |- L量有无影响，差异量的多少
2 o$ b: g1 ]# u& D" S5 }协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
8 \" a# Z/ Q0 w' K3 k& w* D0 S8 w2 ?& y模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
' H: N! S9 Z) F! d, b18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
6 o0 @% Z4 y( E! h6 b) K+ G6 V非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
& R) p1 `0 \6 d7 s% C; G7 {智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
% j; f$ ^- k' d2 s3 h7 W+ |$ U算法、神经网络、粒子群等
+ c" @' H% ]% U4 F9 U其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
1 i+ ^0 c& N* g离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
& W& {8 ~0 p) w$ ^! E有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
, V( W( m( h9 e. {% L. _) @0 e3 F计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
& o$ [' v% B+ `+ t: x2 F般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
* I! K3 W, Y/ m2 b7 H支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
2 A% E, l8 L. a* o0 j3 f. S' `1、聚类分析、
2、因子分析
5 f! R( `. b/ R. c$ L3 V3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
( ?4 G* E& B+ o- g! L' B各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
( N+ x$ V& x, L- ?; Y/ e/ o1 ]4、判别分析
5、典型相关分析
5 D/ U. a" h; I0 F2 Q. u6、对应分析
7、多维标度法（一般）
" U; Z9 x. C7 l4 x! O! `* J) z8、偏最小二乘回归分析（较好）
/ E7 o( j2 m) N7 ?! N, _/ Q24 、分类与判别
- i* _6 ^5 j; P主要包括以下几种方法，
, T! _6 P# N, O: t4 R% ]1、距离聚类（系统聚类）（一般）
9 f+ T  l* E/ Z5 j3 N2、关联性聚类
3、层次聚类
; B5 S5 f0 ~; _& |' V4、密度聚类
5、其他聚类
9 V1 o7 f" `5 E* G- R; m9 E6、贝叶斯判别（较好）
# p; w6 e4 F: l' ~! y. Y7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
3 Q0 c5 ?1 |( [% u1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
- q$ V1 w6 s; V% z* b3、Person 相关（样本点的个数比较多）
6 q9 r6 m% j. G* Y, C1 \7 g- G4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
0 d" L7 |7 t# Y+ f3 |# H一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
1 S& z( n: ?! w6 j3 T若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
+ `& v* `* Q6 p1 B7、生存分析（事件史分析）（较好）
3 q  K* p$ e0 t% ]数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
3 T4 e" ?' F/ f! L3 P8、格兰杰因果检验
5 }; c: Q" X8 O) h3 v计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
' H- ]9 H" k0 C/ r26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
, i! A" O: U* ^4 R率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
% E9 O9 H' k; V: v0 \
0 O: z) u, V- A( h/ ^3 x: s原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
3 Y5 d4 n- B9 J0 n$ W, Z, Q' `/ I

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