数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
' n# [% f: Z  w! u/ {$ b/ L1. 按模型的数学方法分：
, G' G0 A) P( a几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
) E! K. D3 y, r0 Y0 {2. 按模型的特征分：
( P% I' S" ]  F6 c& f0 m静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
' E7 z& P( n+ ~: X8 R" f  a; ]性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
1 F; d% l. }: @7 d& ~一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
# _, V' m% D* g+ m# C往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
  _# {! t4 \  f; O$ z% n有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
8 P2 c2 S) h! d比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
5 n: d% X3 y$ G运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
* O; _7 q1 p9 v' }3 W数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
" V  y: x& `* X& J% I3 r该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
2 d# ]- y: [- A  r: O. _以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
( a* Q0 u9 D/ |  a2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
, u) |7 N. D' B( b( |6 I* e通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
" ]' l! T- L# C建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
# Z7 ~/ M1 h5 V  ]5 ^" z+ \这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
' G! d& _- b& e* _4 d1 d" A2 z& o% r5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
3 [5 ?; k. J! u9 I6 E帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
# L; t. s/ S! G8 K; E5 w一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
9 \+ S$ f3 q3 ~+ `6 [很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
: u: o! P- N1 \3 O+ Z' A如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
, T( L" a3 ?$ H! j如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
. a) ?2 I5 k# @# ^5 j/ t赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
, F4 P; t0 C+ u5 X2 t6 k2 w行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
( O1 G% p  i" I' L个条件可用：
0 P0 B# K  f# F4 B8 Q1 n$ G- g: i% h* o& [①数据样本点个数 6 个以上
. z9 @1 }1 {& a) d②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
  X! U3 c! b: _0 P找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
- i) t  p" b- ^2 p化； 样本点的个数有要求：
. @. w3 d6 |! p% ~+ V# a①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
2 F$ n& e; `7 y7 J& \! Z5 R% v' V! i3 e②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
6 y1 m" |/ H4 @. d8 `4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
- a* |& B' r1 Y& U6 T, x- H一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
# G# T& t2 \+ Q- h; g互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
& s1 ^2 z8 {6 q: X1 N( W4 ]预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
  H+ W& B, H, Z. L8 \1 f( X数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
9 Y. D6 H3 G( d8 g* N3 r( \$ K6 E预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
  s0 H) E! G/ B2 U7 k3 r4 b办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
: t9 ]( n9 S0 k9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
; y* _5 f6 a" d1 F/ X在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 D, h" @3 F9 c- l  U% z! w' d逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
2 Y3 m+ e8 S. N11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
: @* B+ B/ W$ P/ h/ f12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
+ J1 L) C5 G' C7 ]& ?! ^优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
1 S8 s( J7 ~1 I3 j$ r5 J& p似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
0 @/ [( ?1 @" Y/ k2 J7 a( g其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
3 l2 z0 {" h8 {评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
3 B" L; x- i/ D# r# f6 N解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
: T9 |1 l) l4 R/ g5 I/ i( A的最差值。
! _. H2 X  Y  L; {; f. H15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
' u/ A, E6 g0 E8 K9 F3 I该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
' t$ A' w% ~% c! F+ j% [! r% l' Y方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
* P. m7 b: ^. _# m" K- A( t量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
- ~) Z0 O! n$ h( I( o  A素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
* s" y$ H; r. l5 r/ C此外还有灵敏度分析，稳定性分析
3 f+ L9 ?5 V% h17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
) B9 O/ C/ z5 J0 i# N! o模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
( {# F5 A' t) U% e! C: F. i( D: ^: r18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
/ R$ w9 y  [7 B. v6 i2 ~& R非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
5 G+ W' m8 V9 i智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
/ i" m* ~' n. z" @2 P: ?7 a算法、神经网络、粒子群等
# V$ T. W5 Z; j' y* @# c) l其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
" K- P$ [5 U6 U- }5 g20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
# m4 ]( C( U0 b2 J排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
+ O/ ?+ R4 P6 g; y& O" `即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
& R6 `% P: A+ P/ d6 F% |有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
2 d) H6 ^" j" ?0 M8、偏最小二乘回归分析（较好）
6 j! ?2 }. Q7 @/ |! W6 E; b5 A, N+ D24 、分类与判别
; a2 Z1 l' a9 P3 @主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
% l  @& G; a4 V3 C* v' x3、层次聚类
$ z$ l# q8 N6 e& k4 l) i% H4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
, X$ Z& ^0 D5 ]3 S  W7 u' o: L7、费舍尔判别（较好）
7 q  k0 J( V/ K( B8、模糊识别
2 n5 S& A3 X5 c7 b) C/ v; R& e25 、关联与因果
( \5 B1 G2 }& X" `1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
- {5 L0 H1 Z" [+ ~3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
  y. j% d0 u# ?% @4 K5、典型相关分析
$ Y4 F) o; J) n& n' d（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
4 P/ Z* j  F, l4 L; r: q# O# ~- q一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
/ A5 Q- _! @$ p' Q' U5 i8 u: u6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
1 G* h# v% u1 A7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
( Q& y! f0 q: U, P! |9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
' A7 @9 |' d2 _9 _率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964

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