数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
* I1 K5 y& {) |4 X6 Z! V& g8 q静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
# `" F4 o# z; |% A/ a0 u3 O* v3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
  V" ?) `: d% w/ B- y4. 按建模的目的分： ：
4 P* @' q2 Q' o预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
, x! @, _5 Z3 m3 g$ u1 D1 ]$ g一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
/ E- r& V# h" N( F# J. h5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
) R3 T9 o- ?" Q1 j$ {比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
5 i3 J, ?' I6 V$ `9 w, w2 a% H  c6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
6 w. Q+ }. {0 w0 F  G: y. p* ]数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
7 {6 C" O; U  y+ B  d0 `7 v该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
3 K" Q. F, c0 Q8 V# s/ w- g2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
/ x+ i) U* K0 Q  y比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
7 W* r8 {- M+ F8 y% j建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
% S5 e) {9 G: W% p7 Y, f法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
0 ~8 Y+ }0 Q% Q- m% }这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
/ ]2 u, q5 M* `0 q9 V5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
6 N) C$ J4 {, l5 A: r. g3 Q6 w  X这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
- g+ J8 J3 }9 O2 [6 a3 D( _这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
8 d# H# K& V' P- y* u9 E当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
0 ^2 `; P+ x# i! _8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
! T! ?& [& I8 H- X" z9 、数值分析算法
9 Y$ U1 K: u) t! y+ p$ P如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
6 [5 z8 o: s7 @% T+ ?4 k如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
" E$ u. ]% I3 m0 k  E赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
4 v2 [9 M/ g" |1 H) U" m: J  n行处理
$ L- g! f- S# i& V0 {算法简介
# U# Q1 h. z! O9 F8 e1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
' j, q) b; x( u8 x% e# _' |( M②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
' B3 a/ f# D7 ?$ ]7 t8 a% b2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
$ X2 S) w& Q( A; \; ^微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
& d% @. k; U$ Q* \其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
4 g* d; \( ]# M0 G8 v! D+ Y求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
( f. ^; Q- |  F/ ~  \化； 样本点的个数有要求：
2 H0 C5 {6 |( z+ ^) J①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
/ P% H4 j* T- }. R②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
# c. P! R8 t5 t) k% f1 s; O4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
! w/ H, Y6 s1 _/ ]4 g4 r, a* R6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
! Z) M, f$ B! m9 [: M+ L% R: Y7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
, ^! F; w0 \3 W; f5 d适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
6 e* W+ p3 R1 ?/ ~% O! G9、插值与拟合 （ 一般） ）
) j$ h5 Z# z' H" C& @0 C拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
+ v, Y6 z" \8 W+ L' i- P2 I4 H& n2 y逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
3 b7 ~, {- d  E4 h0 H- m6 [10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 L6 f! s) B# K9 ]11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
2 f/ H. ^1 V1 d2 ^7 Z12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
. U) s3 p/ t/ I& c% }9 @优化问题，对各省发展状况进行评判
' Z" o" j" J' {/ j13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
8 F# o# T! h0 b3 ^; b$ y秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
" s7 e: _+ a( G6 q# O14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
- ~; F; `, h3 O6 x: ~1 P8 U9 u可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
3 }3 O, }' z( M& s7 f3 f" u来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
, M" K0 k, F2 c2 b  D该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
4 P9 M% n# P3 V, [1 B2 E. L方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
' b1 S7 H1 ^5 ~量有无影响，差异量的多少
1 D$ U1 W! F& y. A" s协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
: r. p8 }+ H! E" ]& u2 c素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
, x' e. `; F& V8 k3 @3 F" q此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
- {, j$ J) k. ]7 S7 i, F. ]7 v模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
8 G3 \4 {( }: G& o& O$ b18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
" h8 g$ ?' z" X+ m8 A非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
1 Y" g4 d& Z+ F. M/ E智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
% W1 p+ O/ p+ p5 U& U其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
' u; |) J! c% E/ R- c0 r6 n: _19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
2 j" H4 V+ w; K离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
, H6 D$ |, ]7 y5 Q8 z( i+ d; a( T20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
+ `- {3 D1 ~5 ], O9 y排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
& M+ e1 @$ r9 o' V21 、图像处理 （ 较好） ）
" U3 ^% W. v3 K8 cMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
! j" H) n: S( F* V22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
1 n. ^$ @- m; N, P' X支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
1 h, u5 w% ?' l6 w3 z0 |/ B射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
# t) p' W; f9 h23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
; B1 c5 z& |% y. ~5 ~$ E3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
" D1 ?* r1 x& x2 C  u3 B- P9 {6、对应分析
% R% ~- P* E# @5 A# i7、多维标度法（一般）
7 \# W" A2 W$ i$ n! X$ t8、偏最小二乘回归分析（较好）
% ]" E; |' ^" g3 i4 ?24 、分类与判别
  ?; V; ?: s' C3 ?$ E. O5 e2 `2 K主要包括以下几种方法，
9 ]% z6 O, k; F% D1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
+ R6 q" {: a- O0 ~, H& Y* Y0 H$ h3、层次聚类
4、密度聚类
" J5 J- N% }* e, X& g6 {  r. p5、其他聚类
. h* y6 v- U) S( j6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
. q8 R- C0 R$ _( V. W8、模糊识别
25 、关联与因果
) g8 K5 V$ Q# H3 M0 p) i  E: ^0 ?1、灰色关联分析方法
/ e4 Z* B5 Z, u9 @* N; Z2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
: }* _* [- X* r. S9 p% s3、Person 相关（样本点的个数比较多）
% A1 [2 B  M" L3 r4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
9 S& ]3 O/ p9 Q一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
& q  U$ l# A( n* _, `9 j3 E; i6、标准化回归分析
# N6 x  M4 q0 B9 [' G若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
# n2 {% Y6 L2 k  R7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
% Q' j3 a0 `8 z, z, l+ n/ D8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
$ v5 q1 T% x# r9、优势分析
7 Y( h  k5 g% }- a. n4 u$ w, s* g26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
' r" R9 _! T- U# Y3 s9 R量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
+ _1 X; Y' W3 i2 P9 |6 A" c  O$ |率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
# n% n* s1 b2 G+ w+ q
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964