匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
# I4 ^# ?' D9 J& ]' a! @8 G% a7 g" j若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
' g. F+ D0 r4 Y1 C# c' B1 P
" M6 D4 F3 C6 \; S6 M若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
0 g& A% ^& d" P% X
! E2 ]# K8 B0 r【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
% j; ?+ j6 ^% A9 M
【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

0 `2 @  ]! q' @; I% y9 o由上述定理可以得出：
9 }9 ?2 }: m! q
【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
2 K2 z. X' L: i; w# W
由此推论得出下面的婚配定理：

2 {6 {+ @- c8 `+ @. Z【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

5 S: ?4 M2 h4 l$ Z2 J6 O! P人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。
$ \5 V  e! s1 U' |0 q) Y
4 M2 t, F! O4 s& L! V4 q) u  P; K

9 J8 z! U" Q$ h- w& r6 Y+ o$ l解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

匈牙利算法


/ [8 O0 P; M2 a, A5 L' r3 [把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。
0 E( O2 g  c) U) P
最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

; X- j  B& S! ?# p9 m可行顶点标号、相等子图

. ~/ N: E& C! G- ]/ e$ Q
【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
' `/ b6 T: ]6 E1 e: e
, ^+ \+ f2 ~, S2 T* Y3 J库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法


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