匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
7 }9 z2 c1 w+ X' J1 U
若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
( b6 W8 c3 M. A" m
7 N7 N, ]5 P# a7 k7 e8 B3 @' r( `4 z【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

4 L. ]  J6 \8 \, p, s8 W1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
; l& Y, F2 `7 R
4 A) f; T4 y' \1 g. \- Q1 y【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

2 J7 Q9 A2 f- D  S6 A由上述定理可以得出：
; `$ O% d8 z+ I* x; g: d" v
【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
2 @: v5 r( @  L$ G& y) ]" z, t. U2 T
由此推论得出下面的婚配定理：

【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

& H4 e, u  k' Z/ t3 v5 T+ u人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。
/ O; h. ^" r$ A' [2 g
' V; y6 Z$ _* g1 }8 F; F
0 h$ n5 m9 {9 k+ x
解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
7 p# j' l# j6 k' ]$ i
匈牙利算法
: v  C* l2 C: ^9 z) X1 H
- L! a2 H& b9 k
把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。
% X! c0 G) E  g5 r9 d; ^
可行顶点标号、相等子图

, K- f3 G( t# j5 B4 i( A; ?
【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

1 f. l9 H' X# r3 l库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
, e% [7 D% }* Y6 l/ |2 v! S/ j

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6 Q& k! H" q. A, C9 z" L; v$ d! [+ m- P