匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。

3 [, l2 B2 J2 l& k5 ]. C$ P$ V若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
5 e8 F: J% s1 o% @* k: p/ L/ A
" S/ o$ L- z/ Y. N0 [' S【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。
" z( r" o3 b! \9 z. N) b, Q
1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

/ j$ z- M- p9 r【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

+ ]3 J( R  `, n7 p. ?∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
2 ]4 x& A* t* s1 w: z0 r0 M
由上述定理可以得出：

【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
9 n# Y1 T' k5 r- p0 U5 u1 |5 X7 p& i& h
由此推论得出下面的婚配定理：
  |6 |' A9 H1 a+ e. V; i% `
; p3 \5 u. Z* B7 J( `- M; @; w【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

( |1 E& @6 C- y$ [$ F: u人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。

5 u0 h& _+ X% p
, y7 d# b4 r6 P5 z2 T2 R, r
解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

匈牙利算法
- C$ ]' w; q  ~1 a

* `# ~' @9 ~. y  X- j( d把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

可行顶点标号、相等子图
9 q* `: H  N, r( \

【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
, v& J) \& |! }" q8 o( e! h

" [+ h# f6 A8 T; m————————————————
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