差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
% j5 G8 ^6 @* y$ M+ H3 C3 S; t

1 g# ^: ^7 l) B
0 y! |4 c9 u# w8 Q
6 V5 k. ^, J% a满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
  r3 t! ?3 W8 B: Q9 n3 H
n 阶常系数线性差分方程及求解
* |: t  b, ~( n$ W4 z

2 k7 v" h; U; E7 J; F% a: N$ `
  i5 X$ h/ \! `* D- K, S) e- A# b

两个例题

$ z! c8 T5 l9 q

8 m5 m) B, |/ N/ s3 N1 K0 v* R
' C' j2 \$ A3 n: _7 S解的稳定性
( _! e( O' M8 _9 R. w4 M% ^2 U
% X3 R0 J2 M" r0 L) P

程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
* p- h3 T. f! I, b: N, F

! a3 R4 r3 `4 B2 S
2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
, R, l8 y1 ~7 u常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。



6 Y6 ]' K- r2 t) H* F2 ^! h2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
$ ~( C1 N0 R5 y$ k' Q3 T（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换


% I" x9 l9 D4 u1 c
" o& S' E' W( l  d（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
8 h$ c9 Q1 n8 v3 d/ @


; i( [* J0 h  M3 Y7 [2 `/ K（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）

1 g. o0 m7 @% m( ^! `. q
% F' F* D. ^/ J5 Q5 n) P
2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
& p. F9 a4 g0 M" w; x


: A, j' W3 x2 N  i0 ]( u1 {$ o（ii）平移性
8 v! e5 \) r) y" F3 t4 a" T9 v

- ^- K1 n; ]" c1 S% ^
! [5 M: Y1 a: q3 E. l3 m3 F- T
例 3  求齐次差分方程
/ T2 f. L$ @# t4 p% Z
2 y0 K. K' l% Y8 Q6 B
7 ~6 @9 K! _* l  J1 c9 Z1 J
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