差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
0 T) e* J/ o- d: ^* B
) f! [0 t) t- t5 \1 L5 Q& Y& |
& D+ V2 L0 i2 ]( T1 q1 \. S
" X+ F) Z. l  y3 u2 \6 D
, E/ ]# |# E% v  ^满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

# [) v2 c3 A1 b# ]4 L n 阶常系数线性差分方程及求解


3 w  v8 z) o) M5 |' p# Z
' ?) t' T) `3 C0 \  I

* U/ i6 R" h2 F8 d* ?$ C' h$ j- {两个例题


$ J: a" |5 y5 Y$ G6 t/ M
5 q* h2 e, e' ?) ]
解的稳定性
# {( F) t$ M' x2 ~

! w3 l0 f2 i! U% Z
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
; h* D' Z3 U+ M, c3 {
& [. c3 j8 |* |. h
# y/ \' e9 d( L6 ~3 c7 K, T4 i0 ]+ v
8 [) d+ t& Q3 ]  f1 Y8 f  ~4 G" ]2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
1 ^: b( a9 h0 {5 |常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。


! c1 X* Q# k5 j# K! ~4 L5 p
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
$ q6 ]$ L7 v' p0 E2 p" K（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

% e) P, I8 h6 z9 ^9 g; y

（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
$ Y; `/ g" o# C& {8 q. Z
" B8 R+ {9 ~( r& l; \

（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
; |7 M5 Q- o  h5 Z7 g' w


2.2    Z 变换的性质
9 u$ S5 B( d. a4 x. k（i）线性性质
. l& d- N) Q+ K

5 j! e1 V( M( g: M! `
（ii）平移性
3 e  X, {! z( E, m0 J" q  x


; P4 J, S' S7 U' r7 k
: J' P+ x7 M; W8 W) t% d; I例 3  求齐次差分方程



  f; I/ C6 n# n* X( h, s; h5 x- t————————————————
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