差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
" O( h2 z7 v; h; ^0 ?

' z0 i2 o* D. X# u" J

满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
1 `1 ]. x* C' j5 [7 r3 F0 ^' i5 V6 t
n 阶常系数线性差分方程及求解

: W8 s$ q# t" y2 M$ v- S0 L% m/ D
+ Z1 v8 V7 g' s' X1 {" y+ X* \
! b! Q- Y' u, m3 s% V$ s& h2 x/ w8 C# M

两个例题

& w6 }+ b' U$ s( T$ Q5 {' W' r2 g
7 _, }. _; k" h+ N3 _; ?

解的稳定性
' L+ c7 H- x8 R3 X
# ]& K- N5 _4 x+ }/ @: j' X2 x6 ]

程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
. H7 ], S6 p' q2 M* X1 ~
) X7 e: E. y0 F/ ?
: n: H; d  ^0 q7 z
2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
/ n  d9 m  N( d' s" t常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。


3 s7 M1 k$ Q! G3 N4 G6 L% V
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
2 P' T' |8 r. ?6 t+ _（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
& S3 x7 E  b5 R! G2 v: L
: d: L- {/ j, R, ]  j& ?" n
. V/ k5 I' v8 D- b
/ N; ~  L6 P( z# d( K（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
- P( r, @3 g" i' t( ~) A& K$ A
! `, ], U3 b3 j# ~% z; E

（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）

0 w7 P) u$ U. h4 t* m8 c
# @, C: ]% e$ U' t0 {
- l: v' U- T1 ]% a% s2 F' ^/ v9 B2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
8 E9 W9 \  C! @' t4 v
. u+ g3 ]  L9 I. I/ F1 s% D" {
6 K* V- @0 I! L; u. I. Y
（ii）平移性
' ^" ?6 ~- L' I



例 3  求齐次差分方程
8 k$ X6 {+ T' A  d2 e; k  W


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