常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
7 [; ?! B. X, I" X* P. v 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
6 N* c# i/ x8 B! A+ JEuler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
0 P2 Z. L) l3 }9 M* p  u+ U. j4 {
/ E2 S/ \& {3 P

2.2 Euler 方法的误差估计
) H: d$ F8 C  B% ~2 s, d9 L对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。


0 a; p7 J( v% T, N+ ]


( h" e, w3 l6 C- m( G& a显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
; d0 J" u. G/ i% @& F0 ^- r
§3 改进的 Euler 方法
1 t% C# N. i6 r1 j3.1 梯形公式
! k( L* \1 g4 A" V1 S0 g0 c利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

2 O. Y3 M7 \! A+ ^. F2 J

这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

( g: N, ^# I$ g& f直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
: r/ o5 R/ ]0 ?6 G3 a. N' D. h) W
" q2 ~  h, v. p. t

如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
/ |) J( n) R! t# f) {+ x/ o( Z
- L+ i3 V% @1 x* u: ?* d$ R3.2 改进 Euler 法
+ U8 L" `" _9 Z" ]7 _3 j按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即

9 n4 ]3 j# ^% S4 ]
! X4 Q* ^3 Q" a- K+ M  K" s; `, P$ X
* h  k, T* L% X5 B7 u. l式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
/ U  Y6 D* W" r7 s
' S  s; r7 a2 f为便于编制程序上机，式（11）常改写成


$ C4 u4 k9 K5 A9 k9 C! S; v
改进 Euler 法是二阶方法。
! Y; }) l4 s* U' C0 V
% U9 D% d$ {9 F) l8 @) z( o+ {, B9 s% o
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