常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
& e1 U& f' D+ V9 HEuler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。


1 l/ g3 l  U" l  M4 A  Z5 T
, _% W& i. {; w: H2.2 Euler 方法的误差估计
. _3 P$ e1 ]6 ^  s# \1 U" b对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
9 k: m4 F8 Y/ V0 C! u

$ U# x" `6 V: L; D) n+ `8 u$ G1 e


显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。

§3 改进的 Euler 方法
& C" O+ C" F; y+ ~; t6 e  u+ }3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

6 ^9 R8 [8 N' `+ F, e& I

+ K" H. F: R0 R# U" Z这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为

- U5 h! B/ d3 t6 i. Q! N
3 r: n/ I+ p  Y2 l" h
/ P7 Y8 ]8 X& {7 _如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
/ P7 ~6 ?- M! T, |
( u! h. J; C* U7 S4 T3.2 改进 Euler 法
- r' }5 P' R" ^4 u. ?按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
) }/ r9 h, B, @6 Y- m8 m% j! n- R

2 s/ C( f' k1 I0 o# o1 [- A. ]
式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

. [# W  D2 O# s) F. L) C: K2 s$ M  c为便于编制程序上机，式（11）常改写成
4 o8 f$ V( d) T( ]

2 S# a. f5 g. m9 a
, E% K' t7 r  }" V) e; u! X. S+ E改进 Euler 法是二阶方法。


  {5 x" b! u, a! H$ u: Q————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703276


" Z( @5 U7 x6 l