常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
( i' E# e% I* k! W' L6 tEuler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
& F, l$ w* n1 \- f' c

. L0 }6 a( \" D6 I5 L
2.2 Euler 方法的误差估计
9 m1 A4 J) @9 ]! }, v; w对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
+ o3 j) N6 P% ~# a- f9 F
% y* v5 C/ i$ r! Q& v
2 \0 U: x3 `$ N5 u* [

2 H0 `& u% P' W, h- z- R4 Q* F
! t8 D( C5 W' ?3 j4 [1 p( Q8 _显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
' U! ^* |( a; a! {
& Z( q! ~) s( ?" }. P. D8 D§3 改进的 Euler 方法
; ~, |" a5 e$ O, d! r! d+ N/ [3.1 梯形公式
# a' H  |  U5 F: B. ]) M利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

4 F! ?, Q# L7 j

& t+ E, e. w7 J+ [8 Y这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
: X  F& M1 m2 z$ }. b+ m
直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为


" z+ S( q% g8 e. N. d9 e$ i
如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

% K9 T( j4 H2 P. [: `- y3.2 改进 Euler 法
* [* Y8 `# R$ X2 j按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即


0 N+ K! y; D  `/ @6 }
3 F" h( y, }  M( o5 n式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
! B& I& r! m! H0 m" b; T7 N
为便于编制程序上机，式（11）常改写成
* o( T# h# U% X3 `% P1 k& S9 y
$ ]$ i+ E/ |+ N+ o2 l- _

7 V  O7 w- j6 H5 b( x改进 Euler 法是二阶方法。
+ H/ v3 L$ R6 o" {
1 V; ~+ B( ^/ N$ _6 _( |
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