常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
8 ^" l; Z. J% h; r8 ~- T

- V- O6 I* o- A8 r, S. y* ~7 T
2.2 Euler 方法的误差估计
9 u! A1 t8 C1 @8 J对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。



7 m. D' j& ~* o2 g3 Y4 Q9 |
7 s6 Q% k2 U7 {3 S8 R/ Z; y$ e
显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
: H5 f: Q. v3 O9 D5 o6 \
  W" B! }" \, X) `; \§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
' p! u- g  x, j, J- S- @" u利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
  }# D/ D4 Y$ r/ x2 L$ k
/ h$ u6 z$ c% l; Y3 l1 j0 ?' L
1 s' H* _0 E4 A2 F  U9 I; e
9 ^7 B4 q/ T% [3 S. p( J! B6 ~5 l这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
! X) v/ u0 k1 Q5 R$ ]8 ^
直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为



1 y  l9 B) ]8 J如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

% M0 m9 J+ G8 D5 F( z) h9 v0 g3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
. E* c! J! Z' X
& I% z$ b% g" }+ {! a! G; q
6 t' i9 Y2 ^$ V( o  ?6 p7 V
: z! S9 m, P* X7 P9 v式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
! E) o1 t/ W3 d) ]
为便于编制程序上机，式（11）常改写成
: _# o# }1 x! z9 l


改进 Euler 法是二阶方法。


# e3 F5 M, B2 d0 t4 E4 `$ t————————————————
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