动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

  ?0 \% M- t1 x9 t5 p0 ^- Y( g变分法简介
: H7 d% a9 n6 D- \9 ?& r
2 A  N+ z9 [7 H( v) x变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
5 q5 f! \4 o% S1.1 泛函

1 ]" |1 V/ B8 g* P

: b2 ^+ r* H  z/ w7 \9 Q: @& L
; A# q: p; ^( h, \! R1 Z. u( t: G6 K 1.2 泛函的极值
3 J4 @! G$ e" R


4 a/ @9 Z& a0 C, C; W, a1.3 泛函的变分
" Z2 I( \4 U2 G3 z& i$ [! n# [9 [2 h- M

' x9 H" v5 m/ b1 k) J5 n3 h# Y2 {
+ D( m( ]- L/ e6 V3 P. d5 T2 Z
* S+ J# t! L/ @9 ^
$ \- ?5 M- f2 z: s1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
( v* x: V+ Q6 F4 o& D. N2 L
* ~5 G( i. @& P6 \: Z  C

1.5. 变分法的基本引理


8 r9 H6 R5 x$ A  H
) h) I! ~3 x8 }( `& c1 o- n2 无约束条件的泛函极值
! F& I' @4 q% X4 u; X0 c. G
9 W4 m( D& o7 }! c7 `
7 L( T, o# e, U
2.1 端点固定的情况
; t) ?! P) ]& H3 X( [$ x  P4 X
3 f1 A: f" t& T) l
7 _9 ]' ^5 S* ~& w
* H, `3 P, K, M% }1 d6 _
2.2 最简泛函的几种特殊情形


5 N5 a0 T6 O% h2 D0 \8 U
3 w; G$ q* q9 P( a0 L
- I9 q1 j$ v# ]9 q- j4 a例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
8 P1 ]1 s* A+ t

+ |# s$ V  X2 f# k

- s! F. u/ c$ M* ]' ]( G& y$ h
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函



（ii）含高阶导数的泛函

+ t) C  l2 n2 ]

（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
, ]7 T  ]) A* r  {/ }  I9 x


2.4 端点变动的情况（横截条件）

, w$ e  R1 F- v2 S
. k3 v* g6 G' X$ c

横截条件有两种常见的特殊情况：

0 c$ x8 D, c% Y$ D) A2 J
  {2 \3 Q0 W9 `( \4 f
3 J! o+ z% L8 M; w注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

$ \6 H0 K0 O8 i* ~! _
: W' r8 C+ p+ j2 I8 y7 i; h" D
7 u* ~: x. O4 c' k' z5 {; U6 a

3 `; R  o3 |" A4 `& P$ L8 g


/ x3 I; J/ a1 }
& S+ L3 l: w' z. c5 q" f$ ^# z- P4 最大（小）值原理

% D* V8 S- @& B' a1 {  D5 ^
3 z( [; _  S' ?& H  L1 l
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