动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
4 F1 z8 E- g3 E; M
变分法简介
& A, A( T6 M& d. G0 i2 _
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
+ t  B( z; c1 ~9 T1.1 泛函



# E5 J" v" p/ n# F+ [$ I9 _, F% H
1.2 泛函的极值
, R# ?% ~2 V7 y4 k! R. L
$ o& y" [  ?  M0 P

8 a: G6 s+ }5 i0 R7 i1.3 泛函的变分
, a- r2 V) q* U' X2 ~; Q
1 Y: L# o# I9 m. @1 S
" K( |/ k* U  S1 e4 g$ |


# w) M8 O# P5 n1.4 极值与变分
' {& x8 z! I8 E+ v" `% F利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

5 ~2 V: m+ V2 ]) W5 B/ b

% c( b8 Z6 ]' B$ c$ Y: a$ O9 `1.5. 变分法的基本引理

7 o. v9 ?. d( J/ Y+ C9 r/ N

2 无约束条件的泛函极值
6 v; x4 [! [/ S7 k3 `# H

+ \; Q, p. S: W6 }( O' L7 V
( Q% ~1 I$ I5 z& |: c2.1 端点固定的情况


7 c  W) B! T. ~. h9 K7 n
, I$ h- ~/ E, D
/ F0 I# g# z5 c4 _1 S& L2.2 最简泛函的几种特殊情形
. h" D- e; f1 L* k& m
6 u6 _2 {" X! B0 G. o( k/ D7 j

7 V% Z! {. X, J
# [# f/ V2 G5 T  U5 y例 1 (最速降线问题)  
, U- |9 r( b8 |最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
; o2 ]) z+ y# z) ?& z: t7 _( O+ r# C

5 Y- d6 r+ |& R8 N, b' g6 h  `


例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

) Y& A( K( b8 K2 q5 g- w8 T# l（ⅰ）含多个函数的泛函
2 b& \) F3 [2 {2 U" j% M1 e/ I% Q
# _! n( P3 ~3 U' Z6 ]: b
3 V6 c4 S6 R9 Z
（ii）含高阶导数的泛函
4 |% H$ R: E# W  J  y9 A
" ]8 Z1 P) b6 @! t

0 ^% p3 M' }4 J; h# S% R+ ?（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
& a; P% j. _6 Y- Y" z9 K
: O% w  g$ t' p
$ p. p2 K. Q! e" @9 P
2.4 端点变动的情况（横截条件）
* J4 g' H' C$ s% V1 @$ {
; R5 R; R# r# e+ s8 }3 Y  S( O' u


0 i! d/ {* B( s/ h; ^8 w横截条件有两种常见的特殊情况：


% W0 N! n& d3 }6 y
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
0 g2 y5 l/ r1 ]' t+ Z

6 O9 Z) x5 Y) D- _

' c4 x' d* q' P



! M4 m2 X! ]: l* b3 c% \' M% s, L) E
4 最大（小）值原理

$ w; Z& O0 m+ X2 j: {2 M
4 ?' E9 l7 X" T
$ B6 @3 u* _; F6 S# ]0 U————————————————
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