动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

: Y( S1 S3 ^9 D* @5 _2 d变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
  `- k9 t7 H- k
1 变分法的基本概念
4 Q1 R5 V& s  @: L1.1 泛函



# C" S2 n; T% Y- m' {
1 [* O9 `1 V* g" }! s 1.2 泛函的极值

, I# I3 O2 B1 a5 q7 f  c9 U% _) v
4 e$ H* D1 M1 ~# O
1 [0 w8 a' F  _6 b1.3 泛函的变分



. S4 z& l; h# s4 G& Z) v! `0 ]
, L! G6 f5 u7 e$ G: O6 Z
1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

( K7 K; N. C; m* m) F  G' f

  M  f) @, o2 w+ A% i1.5. 变分法的基本引理

: C5 B  K5 F, w. I$ l

2 b- L% r7 F9 q2 无约束条件的泛函极值


+ r3 ?; Y8 Y4 ?1 @. R2 }: n
2.1 端点固定的情况
* U, }. |5 E! A; ~3 b

8 c, Z/ [, s% l  e0 z

2.2 最简泛函的几种特殊情形
3 t( y6 R; \4 a! B0 Z7 o6 m& @
% @' s& x6 p; |" D( Z' o
- R  h$ p, g% ^+ }1 {4 h) @) D

例 1 (最速降线问题)  
# T1 j% i* B( k9 Y+ R8 J7 N: U9 ?最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

9 O! c3 n. C$ Q5 C+ W' v9 z


5 `* B! d  l- y' ^) z- k) M, l
0 C9 D4 H, }1 b! w! M+ j例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
$ p/ s: P8 N& b, L" u) b


2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

) m0 B# k7 B0 T2 |, f: U/ `（ⅰ）含多个函数的泛函


7 Y( y5 w9 a6 w( \" G: m
（ii）含高阶导数的泛函

1 t) f3 a* V; X3 Z# |
, O6 ?$ }) B6 H+ ^
& n6 T8 Y* I) w  `3 \; {  v8 K- E0 V（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程


, i! {8 B1 z1 b3 C+ V
2.4 端点变动的情况（横截条件）


) W( W; K4 `( h3 s& t' i

5 {) q% Z* X- Z! n+ r/ h7 x4 r横截条件有两种常见的特殊情况：
2 k) X2 Z. J# x! j: X6 _& [


2 t" x/ }. Q. n6 o' X' T7 d1 u& d注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
0 O( T; }% }0 A3 Y) B
+ _0 G, ^: Q9 n4 g- f5 R 3 有约束条件的泛函极值
: P' l; Q6 A* U0 h2 {在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
8 r  O7 @' J5 T" U" f1 V% W
+ {% ?! l3 q. E( j9 _" e( f
7 A9 D, b2 e# _9 N


; z! o# K7 U' ^' ~+ Z



) P4 |. `$ h6 |4 最大（小）值原理
* ?$ [1 t/ ]0 T  C, _# n8 ^


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