动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
- }" ?+ a* i" ~$ n1 b& U4 o8 p
7 ?7 \0 t7 [( e$ {变分法简介
0 B/ n% R5 c! l7 J8 W& o9 N# y
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
. b7 O: R- S) W6 f5 l1 H' `9 `
1 变分法的基本概念
7 l; b  ~1 R: x( r, m2 A/ B1.1 泛函



$ L! Z& N) d' A* M* q! I
" x1 s$ R+ p: o; P0 ] 1.2 泛函的极值
( U4 ?. x: Q8 }  D, Y' Z1 |
+ x% Z( O6 f/ t5 i2 S

$ \4 ?  r. v& U7 d- P& q- r5 X1.3 泛函的变分
( F. @" b( e+ ^" f+ i* N
1 v, Y* `+ a1 b/ g& p8 T1 ?



2 [4 Z; S7 u: n* \8 o1 _1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
, t4 s; B' k$ \: |- ?, J& J5 X


2 v: G% n* e) _$ n1.5. 变分法的基本引理
- {- R. A4 E/ O! J, M+ Y( {6 @


2 无约束条件的泛函极值



  ~6 }. k0 K+ G4 F$ g2.1 端点固定的情况
  U, E4 C# w+ S; l( e
. n' o- q( M+ K3 R5 |; t


, u$ z, [, y" Q) A: h2.2 最简泛函的几种特殊情形


' \. x. m+ p9 b6 G; }) F- z7 V! L

0 k4 s2 v$ R3 Y/ M1 _! c7 |0 x  P* ^3 ?例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。



% t. Y0 }8 K8 m, [/ O5 P1 O$ Z

5 L* Q9 S$ H+ x& q  |9 }例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
& U! ^, N8 Z( l+ e: p6 `2 ]0 F+ h& m

7 u+ w& G) |: b$ u' M
2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

# a, a5 D" j  M2 z+ `- F（ⅰ）含多个函数的泛函
  y, a* c+ B) [& n' b

$ @. C8 ~2 |2 x: K! d! r1 J5 X
8 A* ]; T9 E6 x( u1 ?3 E（ii）含高阶导数的泛函



（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
, H/ m+ b$ M$ S2 g) Z

4 g. }; p! o& ?! ?/ u
2.4 端点变动的情况（横截条件）


( j) b1 g; f# Y: v# E% d1 I

横截条件有两种常见的特殊情况：
% ]4 E/ U  N+ G0 Q4 x
0 W6 @$ L" L/ e4 B9 d4 D
4 c3 I% Q2 f; z+ N8 [' e
; @9 s4 i' L2 a2 W& S注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
9 H0 H( K3 S; k3 w
( ^7 |; j% C3 ]5 F1 A1 f 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
5 o- b2 [; L# W% {

( ]! z/ }9 L1 x' m$ l$ i- \
9 ?8 E, O+ k, j2 D" P4 Y- f
" \4 r# [5 I& U' C; ?$ ~
5 t* `4 \7 d/ ~! \/ M


  I% y' H( u& d' A4 R% M4 d! y
4 最大（小）值原理


# J+ i0 Q7 j+ E$ H6 i
+ W% r! V7 N; y1 O  m, s0 [. i————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497
( a7 i9 V7 K2 G

+ Q4 d- N' O! c% s8 {( q" c