有瓶颈设备的多级生产计划问题

浅夏110

问题实例 ：在制造企业的中期或短期生产计划管理中，常常要考虑如下的生产计划优化问题： 在给定的外部需求和生产能力等限制条件下，按照一定的生产目标（通常是生产总费用 最小）编制未来若干个生产周期的最优生产计划，这种问题在文献上一般称为批量问题 （lotsizing problems）。所谓某一产品的生产批量（lotsize），就是每通过一次生产准备生 产该产品时的生产数量，它同时决定了库存水平。由于实际生产环境的复杂性，如需求 的动态性，生产费用的非线性，生产工艺过程和产品网络结构的复杂性，生产能力的限 制，以及车间层生产排序的复杂性等，批量问题是一个非常复杂、非常困难的问题。 我们通过下面的具体实例来说明这种多级生产计划问题的优化模型。这里“多级” 的意思是需要考虑产品是通过多个生产阶段（工艺过程）生产出来的。
  L* Y* {2 U( T" K5 o
例 1  某工厂的主要任务是通过组装生产产品 A，用于满足外部市场需求。产品 A 的构成与组装过程见图 1，即 D , E,F,G 是从外部采购的零件，先将零件 D,E 组装成部件B ，零件 F,G 组装成部件C ，然后将部件 B,C 组装成产品 A出售。图中弧上的
, `; T+ z5 A/ a数字表示的是组装时部件（或产品）中包含的零件（或部件）的数量（可以称为消耗系 数），例如DB弧上数字“9”表示组装 1 个部件B 需要用到 9 个零件D；BA弧上的 数字“5”表示组装 1 件产品 A需要用到 5 个部件B ；依此类推。
- z; \( G  z, O8 t# \0 F3 Y
2 Z3 h' Z6 {, f7 |- N: d7 L* y
- \: c+ r2 {+ @2 R: d3 e3 a& {3 c- _
假设该工厂每次生产计划的计划期为 6 周（即每次制定未来 6 周的生产计划），只 有最终产品 A有外部需求，目前收到的订单的需求件数按周的分布如表 1 第 2 行所示。 部件  B,C 是在该工厂最关键的设备（可以称为瓶颈设备）上组装出来的，瓶颈设备的生产能力非常紧张，具体可供能力如表1第3行所示（第2周设备检修，不能使用）。 B,C的能力消耗系数分别为 5 和 8，即生产 1 件B 需要占用 5 个单位的能力，生产 1 件C 需 要占用 8 个单位的能力。  



对于每种零部件或产品，如果工厂在某一周订购或者生产该零部件或产品，工厂 需要一个与订购或生产数量无关的固定成本（称为生产准备费用）；如果某一周结束时该零部件或产品有库存存在，则工厂必须付出一定的库存费用（与库存数量成正比） 。 这些数据在表 1 第 5 、6 行给出。

按照工厂的信誉要求，目前接收的所有订单到期必须全部交货，不能有缺货；此外，不妨简单地假设目前该企业没有任何零部件或产品库存，也不希望第 6 周结束后留下任何零部件或产品库存。最后，假设不考虑生产提前期，即假设当周采购的零件马上 就可用于组装，组装出来的部件也可以马上用于当周组装成品 A。 在上述假设和所给数据下，如何制定未来 6 周的生产计划。

2  建立模型
0 s0 Y. a: |" a$ `: w. t
( Q$ b5 p* \/ O3 z: A# ]8 S（1）问题分析

/ W1 U) K) i4 W3 [这个实例考虑的是在有限的计划期内，给定产品结构、生产能力和相关费用及零 部件或成品（以下统称为生产项目）在离散的时间段上（这里是周，也可以是天、月等） 的外部需求之后，确定每一生产项目在每一时间段上的生产量（即批量），使总费用最 小。由于每一生产项目在每一时间段上生产时必须经过生产准备（setup），所以通常的 讨论中总费用至少应考虑生产准备费用和库存费用。其实，细心的读者一定会问：是否需要考虑生产的直接成本（如原材料成本、人力成本、电力成本等）？这是因为本例中 假设了不能有缺货发生，且计划初期和末期的库存都是 0，因此在这个 6 周的计划期内 A的总产量一定正好等于 A的总需求，所以可以认为相应的直接生产成本是一个常数， 因此就不予考虑了。只要理解了我们下面建立优化模型的过程和思想，对于放松这些假 定条件以后的情形，也是很容易类似地建立优化模型的。
/ ~* }9 B- D2 n3 B, M
（2）符号说明

* e+ Z* q& I2 A1 }: w为了建立这类问题的一般模型，我们定义如下数学符号：
. [5 r! p" R, J) Y2 _* f& T
3 c, b# a7 g' E, H3 \- k1 p* YN ：生产项目总数（本例中 N =7）；
/ i# }. u0 e/ _2 M, R8 S; Z
/ `% {$ ?' ~  b# p$ }- M7 I# wT ：计划期长度（本例中 T =6） ；
# R1 V! ~* Y9 h# n' A6 z
* {- h$ Y( y$ s6 W, o) QK ：瓶颈资源种类数（本例中 K =1 ）；

M ：一个充分大的正数，在模型中起到使模型线性化的作用；

; y% u4 r( \% k4 Z1 p! ` ：项目i在t时段的外部需求（本例中只有产品 A有外部需求）；
4 R1 T& j; J3 b7 B  I
：项目i在t时段的生产批量；

8 n. [; [3 Y; d: {$ d& R ：项目i在t时段的库存量；
7 S6 G& P3 @# `: Q/ f
：项目i在t时段是否生产的标志（0：不生产，1：生产）；
8 R' z2 v0 K: O! \# ]3 v
：产品结构中项目i的直接后继项目集合；

0 }8 K6 J& B, C. Q  R ：产品结构中项目 j 对项目i的消耗系数；

: X+ H8 p2 b& g8 T1 F# G: s ：项目i在t时段生产时的生产准备费用；
4 f6 t# n7 O* \
& c8 W/ ^4 X9 ]/ ?  ：项目i在t时段的单件库存费用；

：资源k 在t时段的能力上限；
. O; c$ i% K! A1 ?0 V1 o
：项目i在t时段生产时，生产单个项目占用资源k 的能力；


" E' q  n+ Y' B6 S+ t
" F" ?! }$ a. h' D( Y0 F（3）目标函数

这个问题的目标是使生产准备费用和库存费用的总和最小。因此，目标函数应该 是每个项目在每个阶段上的生产准备费用和库存费用的总和，即

                                 ( 1 )
2 [7 a6 i9 V$ e5 o3 p0 C- s8 @
（4）约束条件

4 E5 p* e% L4 c& s+ D这个问题中的约束有如下几类：每个项目的物流应该守恒、资源能力限制应该满足、每时段生产某项目前必须经过生产准备和非负约束（对  是  0− 1约束）。 所谓物流守恒，是指对每个时段、每个项目（图中一个节点）而言，该项目在上一个时段的库存量加上当前时段的生产量，减去该项目当前时段用于满足外部需求的量 和用于组装其它项目（直接后继项目）的量，应当等于当前时段的库存量。具体可以写成如下表达式（假设 ）：

2 J( r9 \- j' C                       ( 2 )      

资源能力限制比较容易理解，即
0 ~3 ?$ D' B. ]7 R! r5 r! w- F0 @
. U, P0 {, R! M                      ( 3 )         
  d9 `$ Q  \. `7 j- h' H# k  Y

6 o( n; x* C" V$ K) X: N* K
3  求解模型
. [5 Y+ k1 r: P( q, W% H: c




! Y1 `' L# m3 q
% P. Q, G; t9 }) L% D
MODEL:
! t. v" L  Q6 s- O0 S1 w/ DTITLE 瓶颈设备的多级生产计划;
SETS:
7 E! `) E, V8 y' i6 @. l! PART=项目集合,Setup=生产准备费，Hold=单件库存成本，   A=对瓶颈资源的消耗系数;
PART/A B C D E F G/:Setup,Hold,A;
! TIME=计划期集合，Capacity=瓶颈设备的能力;
TIME/1..6/:Capacity;
) r  X- B0 Q6 x3 i! USES=项目结构关系，Req=项目之间的消耗系数;
6 S1 T7 }9 B) @; V, }& _USES(PART,PART):Req;
; k; V- I6 ]. z) }& F! PXT=项目与时间的派生集合，Demand=外部需求,   X=产量（批量）, Y=0/1变量，INV=库存; PXT(PART,TIME)emand,X,Y,Inv;
ENDSETS
! 目标函数;
[OBJ]Min=@sum(PXT(i,t):setup(i)*Y(i,t)+hold(i)*Inv(i,t));
! 物流平衡方程;
# v0 w$ E' f, q7 E! p8 T8 L* c. S4 b1 f@FOR(PXT(i,t)|t #NE#
1:[Bal]Inv(i,t-1)+X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req( i,j)*X(j,t))); @FOR(PXT(i,t)|t #eq#
- W- H; ?+ Z9 w  q/ l) y, l7 ?1:[Ba0]X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req(i,j)*X(j,t) ));
! 能力约束;
+ F; r+ t$ T$ o' }* P8 z@FOR(TIME(t):[Cap]@SUM(PART(i):A(i)*X(i,t))<Capacity(t));  
! 其他约束;
M = 25000;
@FOR(PXT(i,t):X(i,t)<=M*Y(i,t));
@FOR(PXTBIN(Y));
DATA:
4 U' W1 I# r+ lDemand=0;Req =0;  
Capacity=10000 0 5000 5000 1000 1000;
Setup=400 500 1000 300 200 400 100;
Hold=12 0.6 1.0 0.04 0.03 0.04 0.04;
A=0 5 8 0 0 0 0;
ENDDATA
. `7 h; N7 D; A, fCALC:
) r% w4 E4 C' e6 e; r( s" L" ademand(1,1)=40;demand(1,3)=100;
demand(1,5)=90;demand(1,6)=10;
% @" O0 t) W# R" qreq(2,1)=5;req(3,1)=7;req(4,2)=9;
) F0 ]. D9 B5 w3 a8 Oreq(5,2)=11;req(6,3)=13;req(7,3)=15;
+ d; l+ I/ ^1 ^9 b) O1 _7 @; P0 c- wENDCALC
END

) B0 J8 s- q! i, Y/ f0 y  f
习题：
. k8 q( e& I! N6 p: ]% Z; ~" V
% T9 `& `, {" L+ v1．某农户拥有 100 亩土地和 25000 元可供投资，每年冬季（9 月中旬至来年 5 月 中旬），该家庭的成员可以贡献 3500h 的劳动时间，而夏季为 4000h。如果这些劳动时 间有富裕，该家庭中的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时 6.8 元，夏季每小时 7.0 元。
, F1 f) ]/ G' d7 k7 m0 @
, [/ E6 X9 k4 |, x5 N现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。 农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要 400 元的初始投资，每只母鸡需要 3 元的初始 投资。每头奶牛需要使用 1.5 亩土地，并且冬季需要付出 100h 劳动时间，夏季付出 50h 劳动时间，每年产生的净现金收入为 450 元；每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬 季 0.6h，夏季 0.3h，年净现金收入 3.5 元。养鸡厂房最多只能容纳 3000 只母鸡，栅栏 的大小限制了最多能饲养 32 头奶牛。

根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如表 11 所示。建立数 学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。


+ Z8 E( Q  d; V4 i0 d
" A9 R7 G7 n; y# w2．如图 4，有若干工厂的排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居 民点。工厂 1 上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂 的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量 成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。 处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水 浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。

0 ?, Y9 k! J- a. ~



先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题：

（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费 用？
, x. ]8 n; S4 D5 U1 |————————————————
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0 e8 G7 N1 ?* v
; Y  x  O9 }' d) g) ~) l6 R2 j. q+ w