数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
- ~5 N; C7 k/ B% A型、马氏链模型等。
2 s' @3 _7 {) Z% p/ r: s8 E2. 按模型的特征分：
' {, b4 G+ w+ ?, K" u静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
$ T9 o5 ~$ K/ N' ]一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
) h2 N; M# x! V. @" `- l5. 按对模型结构的了解程度分： ：
/ Z$ w) V' J& i/ e* W有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
& t# _! B5 m9 T% k4 E国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
* b, p1 ^( Z+ B  f运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
. V$ G6 k% }& y该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
" L' v2 D; ]& C+ D6 _/ R2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
6 z+ S8 |, i6 f( ~, k比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
& B7 O' T: O( M; I  n$ d: W通常使用 Matlab 作为工具
% l7 H5 i% a0 S& q+ h: J3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
, x' [" K+ D* P5 S, V5 n- S4 、图论算法
$ i: U. a7 a2 \7 b1 D. R1 N" H这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
- H$ Y  ^, f  x( o; X: ]论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
8 m, d; a4 R; W2 [! J5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  J5 g* T* v8 k/ V7 E这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
5 m; }+ ^8 P  z$ n/ j7 L5 D$ l6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
1 N$ H8 `: [- l, w8 E4 c/ C帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
( d; u* b; H- e8 ]% I9 H1 v7 、网格算法和穷举法
$ S; r# N7 E& P当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
8 C" X# h$ r3 Y6 y. b一些高级语言作为编程工具
4 L$ `2 i6 C+ J& r2 F) @8 、一些连续离散化方法
# u" ?' \! _) b: l" C很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
0 H! Z- y. x9 i4 l如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
% P2 D" s1 m! e赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
! ^) g  v4 s/ h0 W0 M/ ~- h% Y/ `* ~的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
# P4 Z( D, ^- n9 ?2 [4 N①数据样本点个数 6 个以上
: H+ G4 x2 S: q; ^②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
1 u# ]. t3 g! Z2 P) z! R微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
; J) ?3 V( L$ C/ v8 i0 R其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
) D4 x4 t" b$ V8 H找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
0 R. A5 E! z8 ?7 k" g3 、回归分析预测 （ 一般） ）
: E4 E3 o% D3 q  n+ {- ~4 l+ P求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
, e! ~3 i/ }- T. B% C, _" b①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
1 J: v9 I& E' y4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
+ c5 L0 c. }5 x% _7 k" W5 q5 ~  b0 m/ }一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
9 ]9 [$ b2 Q" F9 |7 L预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
; _- [! e$ p, q0 y7 c% `- M数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
9 O! M# U9 O" p$ I3 Q预测波动数据的函数。
7 ?$ o* e# n$ _  {6 `7、 、 神经网络 （ 较好） ）
  W& x; l+ K8 |大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
, \8 I, M$ K1 o+ V; [  g9 e0 k办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
9 g" h$ V  v% M8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 n& _! E% n0 \0 I评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
% P0 p. Q( L; j4 s/ j+ ^作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
# z) N' k" O* E: @12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
  u9 o9 m+ Q; q1 I, j5 C8 m优化问题，对各省发展状况进行评判
9 M5 O2 k. K  U3 g% {13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
( \! [6 A$ E, S其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
6 B/ |! Q% p5 W4 i解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
8 D+ a( d9 m- b7 R  H& j( z2 M2 o+ p该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
2 ~" s  u  P2 [9 p2 q方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
5 l% m2 A& S7 h+ }量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
6 ^: b& Z+ ~0 y; e1 o5 _素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
7 j9 e3 A& t$ b此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
$ [1 E# t. {# x; M; x6 x" L模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
8 q! m2 t+ b0 L5 D; v) l1 q非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
5 N/ h' O) A' ~- m; H# b智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
2 E0 [% g/ a! z% B$ {离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
, a8 U" U( \) m$ O" d+ C9 ^有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
& _+ S) ~# b1 G' ^- L& U! M& Q* V" m般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
, o& t. N# D2 S5 [" S3 I/ [23、 、 多元分析
1、聚类分析、
/ p; t' c6 _" I7 @: O  K3 s. c2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
' ~' u9 \; d7 {* W9 r9 E0 I! j8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
, S' s6 w" b7 g" S6 ?$ r+ [2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
" |5 e0 r: V; u/ J: n2 m1 I* h4 t% [: X5、其他聚类
0 \9 y/ ?0 |$ d4 I, }0 t6、贝叶斯判别（较好）
, ~6 l3 Y% I- O# L0 Y- {7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
  D' A; P1 e  n9 A' M& K- e  W- N25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
9 J' {( }+ m/ `1 z0 _% ?+ j5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
5 e6 J9 C! h* w8 [  z( |一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
2 n/ D- J4 M  ^% a- e* t6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
( n1 q- y& l( x( o( E' o8 b7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
% {- q# L0 X+ c1 s! `* c9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
. l* t2 B/ U$ m% H/ g+ n2 A量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
8 U& y6 k  X/ B$ Z! `: ^! p
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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的