数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
+ Z' ?( A  V6 w" Y- \" O几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
8 ?, |+ o5 C- L$ a7 B2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
5 ]+ t( S* Y  D( u: g% |性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
" v+ G; w" \' V! j: c$ n' d0 o有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
+ ~. G6 u5 e, M, P比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
% w1 I- y/ x5 `' U1 I+ E6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
& b2 I! t, T. L4 I运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
9 `, g& W% i7 D6 ^以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
  U7 a! z. R* F8 a1 @; N通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
: {/ d, J, w5 @* \法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
# N% n( c( {/ d, D0 `4 、图论算法
. Y0 d, p5 Z$ U. n0 S这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
4 t: N' d% l; P+ F8 、一些连续离散化方法
9 P4 G! S; K4 y6 A( A2 }2 N- f很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
" T% C' N; Z. U- M2 O) T据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
/ Q0 K' X  v1 i; l$ u1 g如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
, h- k7 n0 K& l10 、图象处理算法
  o/ [6 G% c* l! P赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
+ I- L; \/ x  M- _, s% e行处理
, p& V7 T" f1 ^8 x算法简介
4 t) b% ?" T- A9 U. f1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
2 U. n9 d' X( ^8 A解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
! j1 M2 V# m: H/ {1 d+ {* Z个条件可用：
' E3 t3 h6 J0 E/ I①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
, U+ F/ C& k- g. n8 \  z- T微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
% C* O) f1 v( w$ D1 d其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
' y. I+ _+ |$ d, r1 Y0 T找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
4 q, x* E1 C2 ^9 U# n①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
2 b; b( y0 x2 }, ?4 V3 V一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
; g9 A" [. B' ?1 b/ F互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
! y5 y: Z7 {6 L( p6 P概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
9 W( K4 m: ^# d$ C0 t5、 、 时间序列预测
2 N9 l* J5 \# R  `# z; C4 F2 L预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
3 m5 d5 t% u' }9 e! s（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
3 R7 R4 w" E$ l7 {; X0 Y5 p数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
0 v) O& G7 |6 C预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
1 r; P# Q; D: _9 p6 t7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
4 R1 P# i- e1 {% Y4 C4 s8、 、 混沌序列预测（高大上）
0 ]* r, I) m- d适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
4 v0 p1 I& i4 O' z) v" A+ S, d* ^6 `6 D9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
8 l$ q# f$ T! C0 h) {拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
- W7 [& D3 F. N1 n  z在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 F) ?8 W+ L! P6 I逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
$ B  U  v* d2 U8 F) }( j4 f/ U评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
) Q4 b$ x5 ^3 k# x3 ~* Q11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
/ W1 _6 ~( v. a+ I; m9 }4 Y作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
% X" K& K8 b* [, J2 g- s3 P% y法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
# e/ I; {* K2 G14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
% o) \7 F, X1 E9 |& r9 f% g评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
6 _0 g. }3 Z  j) M  p解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
5 s( U5 N- g$ X; Z! r的最差值。
9 w! \5 q" C( ~. [& O! x# M2 E15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
2 r$ T' @7 o9 T5 `$ V. C+ ?7 `该方法做评价比一般的方法好。
/ o' S5 f7 x8 z5 g" }16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
8 B4 f- R6 H) b6 ^* g量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
2 }  ]7 y2 L3 U" e5 o3 B; k  V2 n0 V素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
7 A& R) ~, e0 t$ U" N8 V! Q: X优解。
/ s( D. m$ Q9 b& k- z- k18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
) X0 n! g- a3 ^2 P) T. a非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
! @* Y4 Z: c1 F& v3 \! Z0 _智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
  q& M3 K- w& ~5 [" e算法、神经网络、粒子群等
9 I5 v: A: {" ^  ^( g/ L: K0 {其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
1 }, U5 Q7 d8 l3 e7 {. O2 O/ I19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
$ @2 _) |! s! R' Y) P/ p3 D离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
6 j- I3 @$ N( U, z. g) v# R1 t排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
/ M5 R% Z- I! d0 B; V; h. m有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
. x9 E" c/ T$ }9 H9 i+ Y般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
$ x  O9 `  j- x) q( C. d7 V" S& N$ JMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
1 F; ]3 y1 D) l6 Y4 {/ q' {; p例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
% N( N% g, c; X) m: h1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
% ~' t( S/ r+ ~9 X各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
4 B" v# E4 z9 d5、典型相关分析
6、对应分析
/ V, R& M% t" ]) P5 Y- S+ M) ?. o7、多维标度法（一般）
' {! ~9 ~) v. u4 \8 h" N: p# B- d# S8、偏最小二乘回归分析（较好）
% N1 p* ?, s$ o5 P4 ?24 、分类与判别
4 f9 G, l! C5 Q7 A主要包括以下几种方法，
; ]5 L1 j" ?) I) E* }; }$ D1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
$ c+ G, C/ H2 B3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
" p' [# R5 c! V, E+ n# F8、模糊识别
25 、关联与因果
9 b# ^: K& ]! M" ^6 c: I- y1、灰色关联分析方法
: \' D  o2 d# D3 T' O- P; g2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
# b+ P1 P2 z9 w% n' n/ i& |9 f4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
! v% a; S8 L. n$ D+ T) J7、生存分析（事件史分析）（较好）
3 f2 h1 N3 c  U: s% e0 y8 _数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
( K% f& O5 _! d. r8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
3 F  C: p# h% k! ]9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
5 T1 c4 C7 i  @/ Q率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
! U$ f0 o- ~  A2 h. y
) ?" o$ ]+ e) _7 M* y
# K  }# ?$ P. X, @- i
$ Y8 e! W9 z1 _3 [, I  t" O/ Z

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
$ y% v( B# e/ s& N; U% M