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数学建模基础学习-常见模型整理及分类(点开即可观看)

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    [LV.7]常住居民III

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    发表于 2021-10-22 17:53 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学模型的分类& z$ F% F1 h  T- K: K
    1. 按模型的数学方法分:
    + Z' ?( A  V6 w" Y- \" O几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模- y0 e" t; w8 v/ Q+ F" w1 D0 }! `
    型、马氏链模型等。
    8 ?, |+ o5 C- L$ a7 B2. 按模型的特征分:! N2 I$ B9 F& p2 h) ^* ]
    静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线
    5 ]+ t( S* Y  D( u: g% |性模型和非线性模型等。- b- N- V& V! }& _: z
    3. 按模型的应用领域分:: z0 }: O$ C# z! v8 r0 f% V) T
    人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。  ?3 Q' {8 ^8 q0 R
    4. 按建模的目的分: :6 v$ f9 p& C3 l& ^- O% g3 o+ R
    预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。9 c1 P" `: o& o1 a+ j, }* f
    一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往2 r! |/ y: G# g/ y; k" d, t5 P
    往也和建模的目的对应. s& b/ B' m' l: r4 i  w
    5. 按对模型结构的了解程度分: :
    " v+ G; w" \' V! j: c$ n' d0 o有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
    + ~. G6 u5 e, M, P比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。
    % w1 I- y/ x5 `' U1 I+ E6. 按比赛命题方向分:; T8 Z, Y; D$ i0 s
    国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、
    & b2 I! t, T. L4 I运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)! Z; V8 ^( \* X
    数学建模十大算法2 }/ |9 {2 G5 Q
    1 、蒙特卡罗算法$ {' I- k' m( c4 K
    该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可
    9 `, g& W% i7 D6 ^以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法5 _9 C. ]1 B  J
    2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法* [2 c! U% _- U) U+ M
    比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,
      U7 a! z. R* F8 a1 @; N通常使用 Matlab 作为工具* l: |3 S* z. u
    3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题) i! S) B) {. ?
    建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算
    : {/ d, J, w5 @* \法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
    # N% n( c( {/ d, D0 `4 、图论算法
    . Y0 d, p5 Z$ U. n0 S这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图; s1 V2 @, U6 l: u$ B4 ~* j
    论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备$ m8 j  ]7 R2 I% A5 m$ d
    5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法2 F! B/ r& C1 k7 \4 D  k; G
    这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中/ Q/ e1 \  L8 j8 h1 {
    6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法4 H% l2 i% u2 m* G' d
    这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有7 O; S2 D! w+ v/ y8 j2 e6 z
    帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用0 E  s3 ]2 q# D1 v! D4 h2 @
    7 、网格算法和穷举法! n4 E. h4 M: P; n
    当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用0 [% W0 ]" U' \! k- I; w1 T) y" Q# n* `
    一些高级语言作为编程工具
    4 t: N' d% l; P+ F8 、一些连续离散化方法
    9 P4 G! S; K4 y6 A( A2 }2 N- f很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数
    " T% C' N; Z. U- M2 O) T据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的% f5 U- ^5 ]: ]( P
    9 、数值分析算法
    / Q0 K' X  v1 i; l$ u1 g如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比& I; n# n+ Z' ]- L5 Z
    如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
    , h- k7 n0 K& l10 、图象处理算法
      o/ [6 G% c* l! P赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片! X$ \* ^5 u  F/ L  W  R
    的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进
    + I- L; \/ x  M- _, s% e行处理
    , p& V7 T" f1 ^8 x算法简介
    4 t) b% ?" T- A9 U. f1 、灰色预测模型 ( 一般) )
    2 U. n9 d' X( ^8 A解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两
    ! j1 M2 V# m: H/ {1 d+ {* Z个条件可用:
    ' E3 t3 h6 J0 E/ I①数据样本点个数 6 个以上5 q% i+ T8 c+ j
    ②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大. w+ b* b  N- z- |; a7 u" z  h
    2 、微分方程 模型 ( 一般) )
    , U+ F/ C& k- g. n8 \  z- T微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但
    % C* O) f1 v( w$ D1 d其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以
    ' y. I+ _+ |$ d, r1 Y0 T找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。: Y5 f8 X0 ?" y3 g
    3 、回归分析预测 ( 一般) )# T- l/ g4 \3 a9 p7 p9 S+ K
    求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变& i. M' M9 t8 S' u
    化; 样本点的个数有要求:
    4 q, x* E1 C2 ^9 U# n①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;' m  ^5 _  x- ~/ y# D0 u
    ②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;  Y7 c4 I! I6 n/ i8 ~5 o; C5 i
    4、 、 马尔科夫预测 ( 较好) )
    2 b; b( y0 x2 }, ?4 V3 V一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相
    ; g9 A" [. B' ?1 b/ F互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的
    ! y5 y: Z7 {6 L( p6 P概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。
    9 W( K4 m: ^# d$ C0 t5、 、 时间序列预测
    2 N9 l* J5 \# R  `# z; C4 F2 L预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA
    3 m5 d5 t% u' }9 e! s(较好)。5 V& U3 q, n9 v
    6、 、 小波分析预测(高大上)
    3 R7 R4 w" E$ l7 {; X0 Y5 p数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其
    0 v) O& G7 |6 C预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的6 L  I+ z2 i4 e9 P
    预测波动数据的函数。
    1 r; P# Q; D: _9 p6 t7、 、 神经网络 ( 较好) )3 y' G3 `9 L9 p
    大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的8 [. G. L3 C2 \! S
    办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。
    4 R1 P# i- e1 {% Y4 C4 s8、 、 混沌序列预测(高大上)
    0 ]* r, I) m- d适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。
    4 v0 p1 I& i4 O' z) v" A+ S, d* ^6 `6 D9、 、 插值与拟合 ( 一般) )
    8 l$ q# f$ T! C0 h) {拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别
    - W7 [& D3 F. N1 n  z在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;
    9 F) ?8 W+ L! P6 I逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。3 p. q8 [" u3 J0 V, O7 k
    10、 、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用
    $ B  U  v* d2 U8 F) }( j4 f/ U评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序
    ) Q4 b$ x5 ^3 k# x3 ~* Q11、 、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用
    / W1 _6 ~( v. a+ I; m9 }4 Y作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策1 [9 {8 u, I+ w! P7 o
    12、 、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) )# F5 ~8 S$ V5 x" x4 l( ]* G
    优化问题,对各省发展状况进行评判0 H9 W" J; f" k( d
    13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) )# n' Z5 N9 T/ t7 g
    秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权
    % X" K& K8 b* [, J2 g- s3 P% y法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类4 h" g5 H) G" ?( d/ R* c
    似。
    # e/ I; {* K2 G14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) (备用)/ I4 j& W2 X+ B! w
    其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若
    % o) \7 F, X1 E9 |& r9 f% g评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优
    6 _0 g. }3 Z  j) M  p解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
    5 s( U5 N- g$ X; Z! r的最差值。
    9 w! \5 q" C( ~. [& O! x# M2 E15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) )+ J7 a; X' _" r5 c
    可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出8 p& G5 A6 j( T9 M) \3 K
    来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。
    2 r$ T' @7 o9 T5 `$ V. C+ ?7 `该方法做评价比一般的方法好。
    / o' S5 f7 x8 z5 g" }16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) )$ ~' S7 t4 }! R5 P+ P
    方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产
    8 B4 f- R6 H) b6 ^* g量有无影响,差异量的多少- ?  ]  |, ]7 \, _3 x- ?5 s& ?6 R
    协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因
    2 }  ]7 y2 L3 U" e5 o3 B; k  V2 n0 V素,但注意初始数据的量纲及初始情况。! R0 h3 r- W1 x/ h$ w
    此外还有灵敏度分析,稳定性分析0 r% c  v5 u! `; r9 V4 I  W
    17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 ( 一般) )6 T5 k" C9 N, T. j. L1 r- A
    模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最
    7 A& R) ~, e0 t$ U" N8 V! Q: X优解。
    / s( D. m$ Q9 b& k- z- k18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)
    ) X0 n! g- a3 ^2 P) T. a非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题
    ! @* Y4 Z: c1 F& v3 \! Z0 _智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
      q& M3 K- w& ~5 [" e算法、神经网络、粒子群等
    9 I5 v: A: {" ^  ^( g/ L: K0 {其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等
    1 }, U5 Q7 d8 l3 e7 {. O2 O/ I19、 、 复杂网络优化 ( 较好) )
    $ @2 _) |! s! R' Y) P/ p3 D离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。+ x0 p5 K& S( C# B1 o0 h
    20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) )
    6 j- I3 @$ N( U, z. g) v# R1 t排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,# M  N, O/ T: z  v0 I7 Y+ g
    即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和
    / M5 R% Z- I! d0 B; V; h. m有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。0 m: R6 ^1 [" L6 b
    计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一
    . x9 E" c/ T$ }9 H9 i+ Y般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。8 \& `% r9 h  D; ~
    21 、图像处理 ( 较好) )
    $ x  O9 `  j- x) q( C. d7 V" S& N$ JMATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。
    1 F; ]3 y1 D) l6 Y4 {/ q' {; p例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。3 d& r2 M: J1 j) a; t
    22、 、 支持向量机 ( 高大上) )% u6 o- s9 f4 U4 S# G
    支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映0 U6 o# R. j  U# r
    射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。! B+ a9 T% ~5 G
    23、 、 多元分析
    % N( N% g, c; X) m: h1、聚类分析、* T; V1 G8 L$ f
    2、因子分析# W/ B4 P% g( w6 p  l: ^$ \3 }/ g7 Y
    3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析
    % ~' t( S/ r+ ~9 X各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,0 o: U- \) z. |# z3 a  j0 {' I
    从而达到降维的目的。& U  K% ]; \- ^$ m8 m. ]: E- F
    4、判别分析
    4 B" v# E4 z9 d5、典型相关分析# q4 Y  I$ ^: y+ O+ J) }
    6、对应分析
    / V, R& M% t" ]) P5 Y- S+ M) ?. o7、多维标度法(一般)
    ' {! ~9 ~) v. u4 \8 h" N: p# B- d# S8、偏最小二乘回归分析(较好)
    % N1 p* ?, s$ o5 P4 ?24 、分类与判别
    4 f9 G, l! C5 Q7 A主要包括以下几种方法,
    ; ]5 L1 j" ?) I) E* }; }$ D1、距离聚类(系统聚类)(一般)! x/ ?+ r" u: _! W& @
    2、关联性聚类
    $ c+ G, C/ H2 B3、层次聚类3 `2 F& Q, m4 B! e0 h" f' t
    4、密度聚类) d5 j* [* C2 B, W* F, t
    5、其他聚类( _, S0 s+ K6 s6 z' y& A; O
    6、贝叶斯判别(较好)% y6 v- r% h! M& l. m
    7、费舍尔判别(较好)
    " p' [# R5 c! V, E+ n# F8、模糊识别' J  y) X# K; A8 |, v& V( @
    25 、关联与因果
    9 b# ^: K& ]! M" ^6 c: I- y1、灰色关联分析方法
    : \' D  o2 d# D3 T' O- P; g2、Sperman 或 kendall 等级相关分析- n% `' ~  [2 E4 j7 A. m: l
    3、Person 相关(样本点的个数比较多)
    # b+ P1 P2 z9 w% n' n/ i& |9 f4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)) N0 z& \- `# H( O* }9 e
    5、典型相关分析8 S: v0 R/ D" l; W+ V4 N/ K1 J
    (例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪# [3 ^% r! A$ X5 b
    一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)% E! X$ i, E2 U! E1 i1 x
    6、标准化回归分析& N- y+ x$ k. q2 G
    若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
    ! v% a; S8 L. n$ D+ T) J7、生存分析(事件史分析)(较好)
    3 f2 h1 N3 c  U: s% e0 y8 _数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响
    ( K% f& O5 _! d. r8、格兰杰因果检验0 ~9 d$ a# n+ _1 N0 c8 U* Y
    计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响
    3 F  C: p# h% k! ]9、优势分析; E3 W. g( Z% S1 V+ x
    26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) )" J. X7 f3 y1 v8 X* x1 J- R: m
    量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速
    5 T1 c4 C7 i  @/ Q率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。
    ! U$ f0 o- ~  A2 h. y
    ) ?" o$ ]+ e) _7 M* y
    # K  }# ?$ P. X, @- i
    $ Y8 e! W9 z1 _3 [, I  t" O/ Z
    zan
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    / O6 E4 ]# }: ]+ L6 v$ D& s
    , L# o7 v5 ~8 ?  L* O4 U
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