数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

1440359316

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
5 L6 J9 N2 m4 ~- a* t型、马氏链模型等。
+ ?* S. T: I) s4 A% C* a" p2 A2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
4 M. f/ ]) {% w& C人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
$ q' S' P/ y9 j) V* Z8 d6 |$ K8 U; `7 X' D预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
, \2 }+ U; x2 V# t0 ^, z一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
1 O" d0 r( Q1 z4 `9 W- Z! I% {  B往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
' F  F3 u$ X) j) K4 p- m有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
" |& A4 U( `4 O8 F; C7 p4 S: G6. 按比赛命题方向分：
, d2 j/ q3 h1 s/ A# J国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
% ~& O6 S  \! i数学建模十大算法
4 _: T* }; @$ J$ W1 、蒙特卡罗算法
8 T: F1 v  z" H该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 q5 w& Z! M; k) D) _. c2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
; f# j2 E5 Q! q; k+ f* e3 A通常使用 Matlab 作为工具
0 h9 a7 ?# v# N, a( m3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
4 o1 T$ u% m) Q4 s: b% \这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
" u1 [# }, p+ m, J3 \5 q论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
7 l2 W3 X- f+ e这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
, q3 m+ H5 @5 U; n6 q& a当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
# b3 i  t8 i  w% U# U/ x一些高级语言作为编程工具
* v: M$ a7 r  |( R- S+ }3 p8 、一些连续离散化方法
1 B6 T4 L( I/ s3 D- S很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
) ~( S" O  `( s4 o6 Z9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
7 q6 `9 i) d2 P; o" ?% k赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
# b& N1 d; w; w) q, L, l的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
* Z5 M2 a$ M; p行处理
' _& C7 X5 {! V$ p5 q0 h算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
' K5 e9 m( @& K0 g3 j( Y8 a2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
' H" L1 }8 _0 ?- V4 R找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
2 \. J( g9 T7 @) P4 e, n  G求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
4 o3 k) ?& B# D* o8 Y( e( f+ l①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
  m3 l" a' k( ?' C$ i2 k②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
$ {& B& Z2 T9 b, n9 S; k一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
" ~1 B: c- L) ~$ k互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
$ F- S- z3 T) f5、 、 时间序列预测
+ [3 i1 _" A# W* x1 e* F: n预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
* \/ n. m  d+ `. P/ }8、 、 混沌序列预测（高大上）
! e& E  @( Q$ n适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
3 I; A1 n& E/ j2 }0 d逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
! \+ Y; {1 U6 z6 A, c8 j& q1 D10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
! E! M( L; n1 K& B4 B( R评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
: g, U* O, Z) q9 P7 z8 m优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
' s+ b6 N8 {; P+ u, {/ I! I秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
. b" H6 t. ~- d  S) W2 b法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
" o8 u8 V! s) M5 A" r似。
4 J0 \4 P( h8 S- S: {4 `# g- D14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
7 E% m' K, F& A$ _& C0 a其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
3 D! [$ C. w5 D5 N3 H# v* m* ^* D的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
( W! W, R0 A" @- q可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
) P/ U9 V. U0 w来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
0 v% g: d" A/ ?0 J/ f. B+ x: K5 k$ `素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
2 M7 ~/ f% o9 B# {6 [17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
9 y6 u  q! b+ G! @3 t* ^18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
- `# v& L9 _; O算法、神经网络、粒子群等
$ N$ R1 Q1 l; Y$ ?& ~9 n# O, [其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
, I8 ~* r7 {' G# d( Q20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
' }4 Z) F0 W  m4 z; J( m! \( _排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
4 W7 q; X' b0 v$ n即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
% x" q+ |& V7 g; P) A( _6 H, R( X: A有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
' I7 ]' k1 v- z$ Q' l8 C/ z计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
2 ~8 V5 Z( q& w3 Y21 、图像处理 （ 较好） ）
" m1 Q& b( P2 N. Q1 j8 W; Y3 d+ aMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
9 y$ M1 b0 f. ^( K' M例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
6 Q: M# C' s6 T6 ?$ _# x) z射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
+ V8 H6 c# O: N7 X3 Z23、 、 多元分析
8 M% B; c& o' g$ \/ e1、聚类分析、
. [6 Q+ t6 x) _! [- V! S2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
( U* @9 |8 o% v& Y2 v从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
  t6 [1 {0 w, ~7、多维标度法（一般）
$ f, x. R1 N" T& {" K: V8、偏最小二乘回归分析（较好）
2 s% ^+ N  K; o: l& T5 V. a24 、分类与判别
: f) t8 P" W7 \9 J$ m2 r主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
5 Y# a# H9 q& I! D) y2、关联性聚类
, K/ o/ d' J; W& T% d: q3 |3、层次聚类
7 h; l/ c( N: Z4 x( ?4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
. c/ q. Y, d/ {8 A- v- S7 F7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
! f- j; u2 I) c. d( K( G, e25 、关联与因果
9 C2 Y1 m, l! l( K# q( @1、灰色关联分析方法
/ I% l& R. ~7 L4 I) v$ s* P2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
& s! a4 p3 [+ X& o3 T: G* d' q4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
! a$ h/ A" v+ M5、典型相关分析
7 u" N# {- ]- b+ q（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
6 `  q$ J2 J/ i# I5 M一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
% T8 U0 _8 b: |7、生存分析（事件史分析）（较好）
. z% U) h3 e/ F$ ]  c$ Z# F- t% x数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
" ~4 n% i- G+ o$ K! c4 _计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
+ B& H0 u  f0 p( V1 E  Y26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
1 z3 N. G1 U  a8 \7 a量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
' r9 }/ Q  R; I, R  I# P6 r7 W, W/ T率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
# l( j8 G4 N% l% y5 `4 E6 }
9 F, m( o2 w6 J4 T

sjlxdn

1111111111111

Ads00119

) z! i6 F! \" a0 a2 Z
8 m0 Q; Z  x6 i# Q  d
111111111111

Ads00119

111111111111111111
0 k- o5 d% \5 T4 }, V  d

3256953614

1111111111111

1213330206

个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
7 P. M! Q# |4 {. o( k( C4 g& D, a