数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
2 [, r5 X) k: }1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
* U" }* z/ P* ?2 K0 L# o型、马氏链模型等。
! W$ `& t7 e; F2 y$ I; h2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
- \" O6 i% T4 P! \' B- s3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
( ~' E0 ?9 W. `( Y4. 按建模的目的分： ：
4 a+ v& P1 y; W预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
' n! w& j* g. {% }/ w7 o比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
/ u( X4 T) u; G; j1 N7 _+ z国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
/ X4 ]0 K9 w$ f1 f6 _; I; L/ k. L; o) e1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
' W5 r& a3 S; b& f7 K以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
% D* t* q% q! r4 x$ d0 h) R2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
$ e- N) {3 W$ U比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
9 [: z# t! p! d8 u# n3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
+ Y  W6 V, z; A1 y, s建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
  j7 a% D5 j7 a6 k9 o0 R5 D- w法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
: q: n, u+ l# n4 、图论算法
9 }$ b4 |8 g6 N+ O4 ~这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
; l8 k- X+ k# K5 X5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
/ A# @. n  }" @. R# Z这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
3 u+ @; l* g+ e& m帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
$ d9 [6 g+ ~6 r+ }当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
2 C. d% d% v" T  K一些高级语言作为编程工具
5 d5 X& x3 I4 C" C3 X7 H8 、一些连续离散化方法
/ a9 I  r) h4 B6 `& H很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
" l7 M+ F2 d$ }' c9 、数值分析算法
3 x- Q; I  a$ e2 T( @: w& e, y, t如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
6 y0 r! `) ?, I如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
& l& e! Z4 Y9 p" K10 、图象处理算法
4 L9 i- U! E6 K赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
$ j5 ^. |0 {4 r9 Q0 P的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
% Q. B2 d% `) @  a# Y' y行处理
7 c6 _' P# j' }2 E+ G算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
  J% t7 Y( c  m& E5 h. d! @①数据样本点个数 6 个以上
( ?8 l; j8 b: e0 [6 p②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
0 j8 w6 q  e% i/ d6 U6 D" \: z5 k其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
- }  }7 x) F. w" x0 D, ?- [& p找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
" c$ F+ S( o+ o* {3 f2 s3 、回归分析预测 （ 一般） ）
' h) m6 [0 c1 X+ W9 R' `求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
+ h2 x* I5 [& _) n2 W, k4 c①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
2 ^* f$ U2 W; A' l8 k②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
7 D+ G  Q! R' }! i; {9 p& ~4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
' x7 G' {# I) J4 k4 T4 u一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
2 \5 T2 I6 |  f; E1 C% g; g9 A' F预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
# g  m" z. A* U3 Q/ W! m2 s4 y6 T' \（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
2 u+ N# |& S( {& g数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
9 \+ A7 L: c1 p$ g( C; F5 u大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
2 B) |7 s3 Q' }6 G8 J! _办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
( @5 z6 a- w* P8 D% u适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
" H, y+ s7 J4 _/ ~9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
5 y' E2 g* V0 a7 U在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
* {. b- X& F' Y+ {- }逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
7 B6 x' p9 A1 D) {) T. H10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
8 e# ^+ U: `. E6 p: a作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
) w( v6 u. T' d秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
4 m" U5 j4 {  O+ {) D法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
8 O  h  t4 j5 d) ^" Z7 X+ `似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
; p, D+ |2 P. @; t# |1 W$ {其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
1 |* q7 z, T6 w; F$ \" [" j0 ]评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
. k' t& q+ @; R9 m8 ?解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
. [* i( r9 u  ~$ Q0 j0 [的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
% `* x/ ]) F. V4 N方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
. k, ]5 U( C# h, Y' {, `  x* x$ t协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
) |' B& d" k4 Z3 F: z此外还有灵敏度分析，稳定性分析
  }# J  t7 G# n% T& J; u; Y6 A- H17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
! E0 g/ E5 o4 U5 E模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
3 n% Y3 _- n6 \: f/ X优解。
0 L' B9 L: Q' C  M( K: t4 {! p18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
) U+ _( t( Q/ |6 \; l算法、神经网络、粒子群等
, L2 z; g2 j3 d, q3 Z其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
. F% F( R9 ^. u- g7 Z19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
+ _* o0 F* M( f0 P4 h& a+ b离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
; }  A* N1 z) w! ~即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
; \5 L: }9 E3 t% _( ^6 H计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
( B% `- P; v% D. Y* j, ?. g21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
( Y- K3 Q' L% H3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
3 p' p$ e4 T" l5 D7 P. _1 i& Y& S! C5 c各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
' p* N0 {# M7 u8 O! i8 W( Q6、对应分析
7、多维标度法（一般）
" I: k; i- U' ^% \! J9 U8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
0 z& X0 n# s" }1、距离聚类（系统聚类）（一般）
0 t$ `  ^3 O( O! O2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
" o+ x4 z) T/ Z25 、关联与因果
9 l; p( J' N' g% ?1 L1 v1、灰色关联分析方法
% A: E9 x# M( x2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
5 Y8 m2 v* O7 ~( ~. s$ A! ^: i3、Person 相关（样本点的个数比较多）
" P4 l: N9 o: }& t4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
* }; r& ~$ Z; M+ J& D1 `( x( u5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
! L9 a; \% `  U7 D7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
3 n4 {7 L/ Z' D* \5 f8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
: R0 \7 p& z" g& j7 l1 Q6 z量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
: I& w1 ^7 W5 h" [/ i率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

, l8 }) G/ i7 K# `
/ @% [' r7 J5 [3 H) v1 W

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* Y/ i0 k! Z5 H+ g. z' \111111111111
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$ C9 Q% H+ \3 X# ]$ ~

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的