数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
$ R! }8 s. M4 ?, N( s+ T; x型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
9 O$ v( V4 P9 r性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
1 i4 T; J5 u/ f! w1 F8 s人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
- Z' ?$ }3 d2 C4 c' z) C' g& |4 j预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
: E5 g5 Y1 x$ X. p; k. s/ E8 D一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
; B( H% m8 T- h( g8 N, b往也和建模的目的对应
. V5 O1 t3 `( g( a$ N. z* C3 v5. 按对模型结构的了解程度分： ：
1 l6 `# g, u9 ~6 @% z1 y, q% n( W有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
" B1 ~: }* m3 A7 o, X, y' S国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
( \9 r/ {/ a0 i: L; Q2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
4 T/ E. m1 F* i- R8 u法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
( |& }- u9 y1 V. V4 、图论算法
& Z* e. G9 |9 i这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
) F% B; n, U; [9 k5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
4 F) Q* t8 Z; T2 j: i这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
5 p* u8 u- y4 J( [6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
' {3 K* f. C$ \% ~3 w1 r这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
3 f. a7 w0 ]0 j" K7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
+ n5 U/ a9 @) G" H4 O% u# s0 G( o" b, V0 C很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
/ _2 p( l3 L. }1 H4 i6 M0 v9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
1 C) F1 `& Z9 f3 R+ x& s: r5 g  L如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
2 ^) B2 `& K. L' m: F  c赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
% l5 i; X, h7 j. e/ U1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
) r/ y4 I0 m; Q9 f7 i# D3 J①数据样本点个数 6 个以上
% O5 j, Y1 _' k! x②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
; n, t- ?' B: s9 v$ s9 f其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
  p* B3 p8 r  f1 G- c; G2 i3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
" j2 C, G) p" [/ M- F/ z/ V7 Z化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
* V% Z* p; h" A8 P3 q4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
; Q  `: s4 F* J一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
5 h# g% |; W* S互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
- O$ U. D6 I- K, n( {( i) u5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
( a4 B* @% y, `2 q预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
$ Q' Y) k% I( J- U0 p8、 、 混沌序列预测（高大上）
( Z+ F9 P( e/ \2 p  A' @% K1 g适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
& M, }7 l, Q( y0 U/ R' Y/ e9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
& U3 Y& x% T; ?# x) H10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
) }; `; x; Z3 z0 [' b! v12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
" v, L& Y. ?7 b秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
0 o% S3 J/ s( j7 c2 _1 ?法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
& ]. _& P' W" N; D+ n/ Y似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
1 ^  W" e- I$ H1 O5 i% b5 Y评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
2 X& r1 k6 T" T/ n3 E15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
& b2 u+ v- s/ [# T  t! j+ u来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
/ \) P8 C3 m* l" W8 ^* o方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
0 O% ]) G* h: W- b4 J, m此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
: T2 e/ T# g( G, P: {优解。
* O# v6 J% _3 y& C- L; h18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
, }8 I2 N0 R1 R) `" a非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
2 c7 q( w7 a7 ]' U+ q0 ^. L! ]智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
' i' U/ f; _3 _9 Z, x19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
& p9 v! q$ J  ~$ b4 r7 X& ]; |& e3 `20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
- N3 B$ J: }) C2 D; b. [; l排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
4 U7 J% a% I0 n即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
) W7 H# g2 a' o- j1 y% ?6 I" q7 i计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
# g' S2 }+ z! s( q$ ]9 s般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
# T1 I9 M  @& y! ^3 b2 Y( H4 y例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
6 W8 E8 q9 @# c& \/ U3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
+ u; q5 O3 z  W& D从而达到降维的目的。
7 G1 h; @- o; F/ W" Y# n4、判别分析
2 X+ n9 z) {. e1 w+ \+ @( [5、典型相关分析
4 e* i, t  Q* Y9 U, m6、对应分析
5 I" V' g7 ]* {7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
4 m, K) h$ N% {! A; M& O2、关联性聚类
3、层次聚类
% Z+ s5 e4 }* ]/ l4、密度聚类
& @4 e- _7 h+ [. L; D6 l  Z2 Y5、其他聚类
/ ]! S' v. I; V) G/ O( w5 F6 `- H6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
, Y6 s% q  |; o+ Q. p% ]. Y( K  W8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
" z# F, i. x0 g8 n7 v% J; O4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
8 P* M" E& J/ v' @- C7 Y+ g% p5、典型相关分析
7 b5 w# P! ]0 Q- n（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
( D5 O5 d1 z" x0 Q5 N数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
# E. O$ M/ @: F2 n8、格兰杰因果检验
1 i; u% e. @. V) J& L$ [计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
: i8 }6 c5 s: I( j9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
% s! Q% }* ~; W9 z- r% j: {率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

) }& }# i9 P, P+ [4 E: ~0 P; d, H
# h* p5 i" X4 J  i6 V- K

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7 [* F: Z7 z2 f1 L# i7 Z# s" Q! w
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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的