数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

1440359316

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
& }7 x, N5 ?6 G+ r. C* U% A4 x几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
+ i0 T! w) p- P型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
! J' o) I% U+ b! @静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
8 _! d  ?, R5 ?" v0 b6 v1 p3. 按模型的应用领域分：
* m& q% ^% @, A人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
0 i* m7 G+ H9 c& t. _4 Y9 A6 S4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
& V  |  G9 K; q) U6 t: J) c1 |5 f" E一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
' O+ X8 @7 N/ N0 y有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
8 p8 `$ n1 `; v) [比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
3 d2 X5 @4 O1 Y. j; G# y, ?数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
; E& b3 @# e* s; N, j该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
) R$ y. {: e: m" ^) H" R. L以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
0 h; `% ~# J$ w/ |比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
- u: t  y* F: @  T9 v5 g# J& Q8 P3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
* ?4 q# b) u/ h% L法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
& E: q( v8 I* ]7 d# z4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
( a4 a: V& N' J+ X论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
4 N& ]2 z: M2 W+ m  A" q5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
8 p5 d5 X- D& N$ ^/ D, f这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
" }0 a; \# w+ y8 r0 `1 N  i# U6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
$ H2 C" d% J  f7 、网格算法和穷举法
# N' @8 ?& g, }9 h( v当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
, u5 G/ v: g% X2 ^% z( g- f5 T  ]8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
* `. g/ A- M3 P# a9 w' I如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
1 f; f$ X- Q& B如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
, w$ \" ~5 j0 ]1 ~( y10 、图象处理算法
+ ?& W; G4 x8 m- N% _6 @赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
/ k2 K: Y5 K2 X5 u& g的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
; ~9 k' f" k& M) \( H2 ~) S' r1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
: J+ L' V) J" b8 E' d9 q7 v解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
4 Z: @8 j# ]( E1 o0 Y个条件可用：
6 k; ^6 u3 L# q/ z" H% N* w: g①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
0 u* y( s6 N0 A0 Z4 A" q, c! I8 k其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
$ U/ ~7 Q- x. Y' N7 ~找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
5 M$ A- N( B" H0 ]3 W  _3 m% B- l①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
2 A- Q. x1 j; Z②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
- u/ U  |7 J/ S3 s! X5 @4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
! y0 v& ?0 `) G2 j$ |! y1 U, a5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
9 T  m  H% Q. q0 l4 S6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
  A! U( z0 K0 \( a$ i& ]% y7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
; A0 w) M0 ^* M% x0 i3 g# ]拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
! i! b' F5 l; t% z在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
+ _* O. }9 Y% w& R' \8 f逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" e" }  q- O0 O, ~0 h评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
, I0 S# j! g& \- x作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
2 ]. o6 y+ }. z3 _: p. W; x/ ?优化问题，对各省发展状况进行评判
4 }( ?% Z  U) u+ y5 t13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
/ Y& t8 `/ Q/ I7 h5 F% [1 H秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
  B) `4 u; v' d( F+ J似。
& {8 O' a+ E( x1 U14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
& m8 N9 _9 w5 Q解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
1 X3 c4 _7 {5 g5 c4 d. v1 T0 ]的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
; W: Z# I* e; C  a* D/ m1 U$ W8 ?( ^) `可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
' K" f) E8 t; n# b3 p& `& p4 ~  w来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
$ h) b1 {$ X0 `协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
  m# E* \3 i4 A( q% o) G4 f18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
2 y3 N! H# `. X* u非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
0 [, V6 g+ ?, u19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
6 b1 g2 H3 l3 ~& t8 T/ r) a; S离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
" X+ \' b, k- S# o20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
2 `* H6 M1 ?, j0 s& V" Q7 U9 W& \# T即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
* \0 v( i; k& `/ J- K* b有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
5 W$ p- E- ~8 e计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
+ w4 I: Y' N5 c1 }, J! T- o般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
# }8 E. w. P8 t例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
$ T4 }8 V$ s3 K- p1 \6 a22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
3 q+ q" n# s2 y. m射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
' y: Q0 V  k% W) a# Z7 \- B8 e23、 、 多元分析
( k0 t5 T# d7 \1、聚类分析、
0 v) y* F. E" M& N7 a2、因子分析
5 l- I; p5 F0 \8 ]: i$ w3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
" b" a  {$ F! a! e; L5、典型相关分析
) R$ w1 V" g4 ?* m  w/ `5 @6、对应分析
8 I+ B, c2 V) |9 A7、多维标度法（一般）
$ X/ o% H+ F% `3 {) x; G: o8、偏最小二乘回归分析（较好）
# \: \( d+ X5 o& m3 a2 q24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
# b7 Y6 M. p* W( ]( w4、密度聚类
  p2 H% g8 x  F0 C" p5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
$ \+ O+ R: u) Q" D& n* _7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
- a! \3 t8 [: \9 x# K" [3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
+ R( ?4 K: Z7 s8 U+ `（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
2 V1 F1 ^# d0 ^7 S; b% t一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
' {8 B+ P2 C$ Z( J7 r6 }  D若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
# o( S1 T- K$ N数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
- x0 \( ^# M. }# K. G8、格兰杰因果检验
0 P# U7 x. V) U# f# P/ G- w/ D计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
' \7 S8 K* u4 s' |量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

7 m" S. m# J+ Q( H7 m& K
. L- W9 t- H; T$ l( B  \1 I% w

sjlxdn

1111111111111

Ads00119

1 t0 A1 f0 n$ d3 u- g) W6 s
6 N3 }; l. E0 [0 L; x. {9 H
111111111111

Ads00119

111111111111111111

3256953614

1111111111111

1213330206

个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
0 ]3 L9 c: I5 o. ]& P/ ^