中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
; C, e* K# E7 p2 e' y微分方程问题
  k/ Y$ I; ~! A+ Y  m微分方程建模
1、根据实际要求确定要研究的量。
2、找出这些量所满足的基本规律。
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
常见的列方程方法：
- Y- h% s- B9 z9 N0 d（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。
7 }' N( y8 C4 [$ F# x

& e5 Q( n# a/ y% i! n. S2 @3 L几类微分方程的应用实例
1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
# V1 r! J! w) m  c* l2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
( l" d9 e" `5 W/ E例题：
- i; C& E3 y* z4 ]$ Q1 d

3 ]% K. D' z, t' r$ U第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
- W4 K' z5 z  `, s
) B" i) f7 Y) N: e# e2 Y0 D
' p! c& x7 }. E  z, Eclc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
x=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
+ l  x  I4 l, j& a1 f0 d$ l) Xx=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
t0=t(1);x0=x(1);
4 g3 ?/ h" v' Z+ o8 y: qfun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
* {7 j$ p- D# }$ Axhat=fun(cs,[t,2010]);
1
* W2 q% t; `% ~2
3
4
5
6
7
8
- n' c. {" R& ~$ O$ \$ Y$ I9
第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
& y% x, b% N& C. Q' ~
. i8 p* a4 x+ t0 O9 O2 n' f- {" _
* M8 x6 u2 X! N2 j5 }
! f9 f& R# u  q# N
8 f) x8 f5 D+ R( s0 z) [clc,clear
a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
; L! }; x* d, C- J% K9 N6 M3 Sa=[ones(21,1),-x(2:end)];
b=diff(x)./x(2:end)/10;
! m7 s5 m3 k  rcs=a\b;
' d4 v% p6 r5 e/ g9 S$ `6 ]4 l( jr=cs(1);xm=r/cs(2);
1
- h, i: `$ r& f" B+ J+ b/ x6 N2
3
4
5
$ w) o/ u5 c8 z+ i1 ~# A8 H: |6
; D* l  A: M1 _6 Q, J7
6 S" x& B0 R: Y* {4 w8
% b4 x0 O4 Z* A/ A
2 {/ u6 k/ K; I

3 \1 L5 K$ Z. V: W4 k
, ~5 {# Y5 g8 ^& O& y6 b' kclc,clear
) |; Z# I, R+ m+ {' S9 Y9 Ma=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
/ w% Q1 z% S5 P1 D, h! T* A& fa=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
% _7 ~. h$ b) K7 V1
2
( Z0 M; r" f/ ]5 U3
4
5
1 m: V0 y- v3 c! S: X1 L6
3 F2 O( S" B4 s& F% U6 g7
; P* \$ b9 q# L4 P9 ?( A8
* h# e8 \& x% U  \参考文献
3 A) \* N4 {  Z, x" O( l" s5 E/ m司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
. b$ K$ k! b( S5 z————————————————
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