中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
微分方程问题
微分方程建模
" C9 I. O; a. W& L4 i" _* i1、根据实际要求确定要研究的量。
2、找出这些量所满足的基本规律。
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
: U2 x7 s7 l2 K1 [9 L  M( i常见的列方程方法：
% O5 b0 v2 v2 b1 l, g（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。
, O, p; c: W% q8 z! Y5 y* F
6 V. S3 O3 s$ ~  c5 y
几类微分方程的应用实例
1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
0 T% M6 o& G6 \. N0 t6 v0 Q2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
, Z% V. F0 o+ F- l) n例题：
7 C- S! N9 H# k' c1 g7 t2 P

第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解


clc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
8 S, E2 Y% z9 _4 E- Ax=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
% K' A  u/ W* T( o. Mx=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
t0=t(1);x0=x(1);
fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
1 V1 u" F8 d6 Acs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
xhat=fun(cs,[t,2010]);
1
& g. y3 j( C+ s2
3
7 ~* y6 ?2 K  {  V) a5 e4
( I, K4 z9 B4 L5
6
7
8
# c6 ?1 H/ {; p9
9 H6 S4 N3 |! K/ K- |, ]1 \* l  A第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）

, A- q1 L9 c' C& D- t7 \

3 \  o/ j" H9 R( P9 Q' g: f( J
clc,clear
a=textread('data4.txt');
$ [0 P% D- z# I- ]x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(2:end)];
b=diff(x)./x(2:end)/10;
% j5 [3 y, P- j! jcs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
2
$ T& p( O* ~$ A: a7 s/ h# Q3
2 _* ?2 l9 E+ G$ x  f6 p8 g4
5
6
7
  t+ j- h% e- Y, g6 s& v8
9 H4 e% P8 W2 t# a  j& L



clc,clear
a=textread('data4.txt');
0 q8 P7 q0 T9 Y0 K0 Qx=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
! O" z4 @5 f/ y/ p  z. l+ D7 R, [" rt=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
* A, N0 g" j* W# Tb=diff(x)./x(1:end-1)/10;
cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
% w1 [3 g9 l. l6 V7 i8 M0 @/ C! Y2
3
4
+ F2 ], m  c3 K3 a5 O. w5
6
7
8
8 r* y( t% E2 v  z( k" r参考文献
. i$ t1 ?3 U9 _* T司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
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