中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
- h+ j6 ], z( {# B$ V微分方程问题
微分方程建模
1、根据实际要求确定要研究的量。
6 u* }* W. l( v# n! y- ]2、找出这些量所满足的基本规律。
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
$ G. f  I1 Q( i常见的列方程方法：
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。

$ q% f8 h( l4 |
: Y+ \  S' K4 Z2 {2 C# X* k( N几类微分方程的应用实例
' ]( d2 t  `, J1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
! o- ^# r7 t, A; T; E. U2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
8 j& g6 W1 E6 X% [9 p% ]% F# a# V例题：
! y# R. x0 M9 s" K. Y
( m5 s2 e0 e8 x4 o  {+ z
& N( Q4 w4 ?3 C+ T' B" V3 g1 \第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
- a, c' [7 v" I) q

: I) Y$ d+ h3 v$ K& Cclc,clear
) I2 R. ^: O8 h' t6 qa=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
x=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
: O" y. Z1 Q' zx=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
) h/ j8 O+ y) _" d% |8 `( c' e2 jt0=t(1);x0=x(1);
! m0 ~- M! y* r; p1 Nfun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
9 g8 F9 m9 K6 J: Y% I8 Kxhat=fun(cs,[t,2010]);
1 b6 _: g, c: Y0 S1
2
3
' f& H3 K9 L! _! D4
5
6
7
8
4 S$ m8 X: C% q& J5 `- S2 X/ ]& F9
第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）


# u9 U% ^* M) x# z$ [  _) q

+ e/ B% B- ~4 N- Jclc,clear
a=textread('data4.txt');
8 L6 ]+ i) d8 ^$ r3 J+ x! Dx=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
! `- s# O; D9 H2 ft=[1790:10:2000]';
7 }) ^8 c/ D# y7 m; D1 ]" da=[ones(21,1),-x(2:end)];
/ H6 s( G$ b: Fb=diff(x)./x(2:end)/10;
  e* c  p; d2 ~( E2 ycs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
0 \" W6 F1 O! `9 d: N4 j: N) S1
# }! D0 h5 K6 j" G& o: O2 [$ Y2
3
6 i, L3 m( }. Z" I' y/ V4
1 f4 A" U; p; m5
6
7
4 F: s0 m8 m, S$ n8

3 ~; U8 o# [# r( y; Q9 K" r

4 E7 @, d5 v: U( ]' \, G
clc,clear
a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
: U# ]. P# l7 U7 q/ J! S" Ba=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
1 w( \1 ]# c9 `b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
3 t$ ~+ c* C$ n  B! ]cs=a\b;
: S' l8 y; z, d  T7 Cr=cs(1);xm=r/cs(2);
4 y& I3 Y* U: R( s0 ]1
/ ^( D, K9 s3 V5 K4 m( R2
" |, K8 h8 U. A  v0 h3
4
# w8 g4 ^) T3 @& q# |5
8 S7 w; X: o. @0 d8 o4 @6
% u/ z( E/ e# x. a: I4 {- C: T# w1 Z7
8 w  R% q; R7 }4 m7 S8
1 J! V# K0 c! N! q参考文献
, [$ T* h& A3 |. o司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
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