中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
/ ?* |# m. k. m! A* [- [微分方程问题
微分方程建模
8 N5 ~: v( P/ g' b1、根据实际要求确定要研究的量。
2、找出这些量所满足的基本规律。
* {8 u9 n1 i; a+ b3、运用这些规律列出方程和定解条件。
" ~" b! p7 P. @7 a* L常见的列方程方法：
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。


* }8 }9 t; o+ K; P' _( O1 i几类微分方程的应用实例
1 B0 w4 V5 ?' W. K' o) b8 _1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
" }6 X: i. X: N# R2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
例题：
, n0 k2 g7 }" f: Y2 A9 o9 X

' C# I; c1 P/ R. v' C0 j第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
6 G+ I3 ?$ a& m8 |; j
0 Q& e% o( O( b4 c& q  z0 @" }
clc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
x=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
) U: C+ ?3 s5 G! c8 Y; F8 b; Ix=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
% G( `# V  X. h# @8 `) A' P: ^t0=t(1);x0=x(1);
fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
  {, t. N& x9 v$ I. ]3 axhat=fun(cs,[t,2010]);
1
2
3
) ^  v& J5 i2 F6 s/ q$ O( K4
5
! \4 L6 h, F  h- j" Q/ S6
7
+ d" p, X( J' p( J# M% n7 v+ i& i8
9
第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
$ m3 m3 F) ~' y6 ~( o+ T  e8 C
) ^/ k$ h/ `% F/ c7 G! E( g
# L. ^5 K/ h  ^6 _$ Z

clc,clear
a=textread('data4.txt');
' d) a  @" [% b4 n& M8 E' |7 ^x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
0 e+ ]1 h  y8 M- X6 ]t=[1790:10:2000]';
5 J7 ?& E# n; ^$ G" ya=[ones(21,1),-x(2:end)];
# P# d9 h: y4 g5 q7 D8 [( Tb=diff(x)./x(2:end)/10;
cs=a\b;
; V9 R6 p' q" ], o- @  E- tr=cs(1);xm=r/cs(2);
1
# S6 ?5 g4 D+ i  L" n, H* {2
/ B8 _8 D% T4 E. M. n! o3
/ i/ T" G7 u8 {4
5 ^& ~4 y  q- r3 `+ M2 F5
6
7
8 }8 G, H1 {$ P% T7 ~; L- N8



8 |" d7 h9 s- k
. ^# I+ x/ B9 I" p" A. Pclc,clear
! L) u6 l* m: W$ Z9 x& Za=textread('data4.txt');
6 p0 M; v7 Y6 A6 n2 }3 L7 [x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
, s5 X# d; z* J6 P- _, ub=diff(x)./x(1:end-1)/10;
cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
( o: G6 c- ]3 U1 G; {8 U# E2
- d/ s5 u/ f! C0 t5 l1 q) l* I9 p3
1 i& v7 J  U8 U+ F1 l/ k' l7 D4
5
6
7
4 @& A# U8 F. M. p$ H8
参考文献
9 P( O/ J. h$ ^7 G4 o司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
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