【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

& O+ o( W$ a' a* A) I+ [4 u! y6 y【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
8 b6 V& ?* u0 y2 y" P9 ]. w- H  j6 b 一. 模型
5 {4 e( |1 r6 W& r, I1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
' O& C& B' D4 U/ S, g) t( t6 {- h        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下
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7 D5 d" L- V5 @! c
" ?: _; V( I* s0 P% a4. 建模过程
. R9 Z) q6 z* ?. I: f        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
7 D# V0 _( [1 w/ U% X        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
: r: ^0 O; w/ N7 W        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
* q' E2 Q7 p2 L! s% o        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
4 ?1 c# ]& z$ S        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。

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( ~: ~! F0 E; r" b" h% K: J" f三. 机器学习
- g  J: [* j3 ^1 P# B+ Z" {* X       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
0 @3 A( U: A: L; f8 H2 L" X        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法

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        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
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2 A5 K: B+ X% ?/ b- Y参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
  ^# l6 L3 q; R, v' Y7 d2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）

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一. 模型
1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
$ i- ?, j. k. w  w5 y       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
! t7 d3 ^( {* l8 T& ]$ {/ ]        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
) g) H5 G/ Y, i6 Z/ q! K, `3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下
) U* U6 W0 j/ `6 Z( A" k. O
5 T4 {2 g. @3 ~+ ?- w5 \8 }
4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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0 F6 Z" m, U% k( M- Y5. 模型分类
6 P& Q& @/ L5 C- ^5 T! w# m9 R        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
( Y: D$ D- f2 f3 i3 O' U" m        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
$ _- o) U2 \* @' ]6 Z6 z# f3 O% Y二. 系统辨识
+ l- L- V# {4 {        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
) e! p* y- h) }1 Z) q        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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三. 机器学习
% s/ ]8 V3 g7 d9 O" O       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
( n2 p0 h/ m8 p3 w' Y        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
3 J" }1 J! r' l& I1 s# e1 B用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法

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, r3 U# L, E. d4 q9 ^/ z        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。


- }2 m' C: X5 O参考文献：
) ~6 F. H, N; y( O1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3 }' d# P4 e. f3. 机器学习（第九版）

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