【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

  L" e& l' i1 z- j( ]/ X【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
+ G8 z3 I: g0 p. D+ u/ Y 一. 模型
9 M- }9 k4 o1 `) n1 B' H' N1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
. D: ]) j: l4 T& F2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
, y4 J$ S3 m$ d3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下

: Q0 b3 `  e0 K5 S+ X  p1 x
1 \% S) ~+ n6 d3 V$ n4. 建模过程
7 y2 D0 b: g- t' R1 W! l8 O( p3 g: B- L        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
/ Y/ U9 u- c/ d8 n" O0 r  Z; {
6 @3 H, W. I1 e! z
5. 模型分类
5 p$ T9 P( z0 A8 d  i  N/ U  Z# R$ X        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
- e. A1 ?. y7 e4 r; ^. I        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
$ ~% u2 Z& [7 ~        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
4 N0 [$ K$ u- j" J" o& C        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。

( }. O" R4 }  f) _5 u' {
+ ?+ R' K- w) Q* ?) ?' _三. 机器学习
9 a% H# W3 d4 G5 z) X       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
2 M4 {, y: h: J( A- d7 R

        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。


参考文献：
1 |" b, u4 N* W9 J* O1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）

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& g  q0 U* |: h1 m3 e* `, x 一. 模型
1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
* _2 y; w3 H7 _/ }' V4 \) c       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
) {! O9 N8 W, Z5 ^% E        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
) @1 V9 ^* @' x- M# k$ c3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下

0 E# r6 Y5 m; o) ~+ K! v
0 Z) b# ~- S  v9 C* @+ d! l. Y4. 建模过程
  a. \* K8 V" W5 c/ d7 x. n1 Z        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。

6 D- Z, v: d  c; }/ {, r4 Y
5. 模型分类
, K) i7 I* U7 w        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
& `6 h7 c2 O% K) k        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
; `6 L: Y) a! o& n+ Q        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
9 f( Z5 g0 S7 t/ k二. 系统辨识
        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
( {# j+ i% ?; a5 l2 M        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
4 k: B* e3 c9 g        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。


" P  _/ b. P2 N0 P8 `+ C三. 机器学习
3 }6 {6 V, }9 X+ M7 @       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
4 d* t# K+ G# A) q$ b" ]) x用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法

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        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。


$ ^6 p% t) j+ Q% ~参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
7 z- l+ y' E1 ~, u4 p+ c+ B' l2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）
4 L" o* S" d. f; H4 ]7 u
& O: D7 |6 y" Z) G+ \9 K
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