【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

3 }# \5 o: f, q6 r) `3 I& d; I! F- p【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
# v: v5 W  N: _: Q' ?! w6 t 一. 模型
$ G2 S1 C( y' J* u6 R1. 原型和模型
5 s" y9 B8 @( p6 @5 i        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
/ P1 j) R2 k0 y) c# P# ^: v" @       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
4 K6 A' x" F2 L4 x  V) p        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
3. 建模步骤
5 `9 V& T! h( m! q. l5 I- r        按机理分析方法的建模步骤如下


6 `( w8 T* @- s* O, ~4. 建模过程
6 J2 z& F6 S, C1 `        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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: i' h( J" f* q( ]5. 模型分类
  k" a" y: g6 @' ~+ t        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
; L- k5 t; H+ w$ h        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
& Z: o! `! ^/ b( V1 j        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
2 b' E3 H( [2 \        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
4 _6 \9 a2 K8 e; `& T. J        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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. k! o: P$ t$ ?, a2 u1 U2 {8 N
三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
8 g- `0 f* D, v6 ]4 f' @* [2 _        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
* d7 f0 N& P& R# Q
( i# w& m7 H% A* |0 e0 M
0 c. [7 N8 o# r! h. E2 u+ E- I/ m        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

" \, ^% v4 N% A, n3 v( v! m
  V, c+ _9 E, D- i& M3 R6 h参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3 _# G8 A4 `; J* g) n. k3. 机器学习（第九版）
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一. 模型
1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
2 g# s) J1 ?0 ~& ^       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
" g' X( d- x1 v) d. _       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
3 w7 R2 b( _6 ^! r/ v4 m7 r1 t0 Q" e3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下
' l5 Q- M- k% _% z) w) F; G, Z& H

# b; P: G* J4 b9 w: g- B4. 建模过程
2 F7 ~7 Y; Y' Z7 j        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
; b2 }9 A% {- i. S3 }+ E: p

5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
, A- H; Y. C0 N        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
3 Q, d, I4 L$ Y3 ?        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
0 B) u" d) p0 d$ h% O        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
* A: V  S3 i& h9 q( d; ~% e二. 系统辨识
        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。


三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
/ ]3 O: E' q1 R9 |( @( g        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
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4 g& s% P  T( N  j8 d        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

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参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
. }9 S, P* E6 U: x6 }) v2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
5 t) r% h7 s# d1 Y; Y0 K7 y. F3. 机器学习（第九版）


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