数学建模评价类模型——模糊综合评价

杨利霞

: W# }: l/ [: w7 }/ q: h数学建模评价类模型——模糊综合评价
* g5 m( T5 V* U: N9 ]8 \- T今天学习了模糊综合评价，想到又有一种可以用来评价的方法，不由得开心（我喜欢学这种可以在生活中用得到的东西）
5 `, v7 A# d8 [9 x2 Z5 S* K本文将从以下几方面来总结和介绍模糊综合评价（中间穿插一些个人的感悟）：
文章目录
3 f/ g0 R! |# `6 W& {2 [' p1、模糊综合评价法的定义
2、应用模糊综合评价法需要的一些小知识
& |6 B, T/ i  q5 j5 k  [  J1）模糊集合
2）隶属度、隶属函数及其确定方法
3）因素集、评语集、权重集
3、模糊综合评价法的应用（实例）
. U6 f" }) z7 b) Y: g" r  r一级模糊综合评价应用
" A- V& i* j1 ]) t' j' A; }4、 最后总结
1、模糊综合评价法的定义
先来看看官方标准定义：
' z. ^  H/ v" L/ l7 t) [

模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。


初次看，是不是觉得有点懵懵懂懂的？（偷笑）我来用非官方的语言解释一遍，或许你就明白了。
+ J! H# x2 g) _7 u6 m7 C+ n- T

大家想想，生活中，是不是有很多模糊的概念。比如班级要评三好学生，那评价的标准一般就是学习成绩好不好、思想品德好不好、身体好不好（我查了下百度才发现三好学生竟然要身体好！？感情身体不好还不行）。
学习成绩好或者不好、思想品德好或者不好、身体好或者不好听起来是不是就很模糊？怎么样就算学习成绩好了或者思想品德好了或者身体好了？对，其实这些指标就是模糊的概念。
- i% Y# H- Q9 m! e8 G4 B  K- ^模糊综合评价法是什么呢？其实就是对评价对象就评价指标进行综合评判，最后给每个评价对象对于每个指标一个隶属度。（有点绕口，用三好学生的例子再来阐述一下）


0 c( ?+ q7 C* y% o比如现在有个学生参与评判三好学生。标准假如就是评上和评不上。用模糊综合评价法得到的最终结果就是这名学生对于评上的隶属度和评不上的隶属度。假如评上的隶属度高一些，那这名学生肯定是被评上咯。（反之亦然）
7 A& w) a$ s# z9 ^% e1 g7 f
9 M8 p# k# Y& }
( ?% i, i7 K- p1 j5 [我这样介绍一下，是为了让大家知道我们这个模糊综合评价到底是干嘛的，不要嫌我啰嗦（吃手手）
. e: N  I; ^; s7 b& m1 \" ]$ D! Z+ H
: \  u& g' I2 N  ]* c( P- A
1 w+ I* F+ m4 w2 a! ~- m! f2、应用模糊综合评价法需要的一些小知识
1）模糊集合
① 定义：（我觉得这段话不错，来自360百科）
5 j) k2 L4 X/ D/ [4 S7 u
2 i: S4 y* T. c6 Q4 X
这段话其实就举了模糊的一些概念，和经典集合（就是有明确数字的，高中学的那个集合）的区别及其历史。模糊集合是用来描述模糊性概念的集合。举个例子就是：{可爱、丑陋、富…}


② 模糊集合的表示法
这里有三种表示方法：Zadeh表示法、序偶表示法和向量表示法。（有兴趣钻研的同学可以自己去看看，其实就是类似于经典集合的表示法，这里不介绍）


③ 模糊集合的类别
* N4 P% F) D  {( [1 q4 i8 I& ~
* H( J+ _$ l0 r+ n4 V" l4 h
/ y5 K3 r( @: w+ V
& g! y, d0 m4 |, |4 c6 Y' c) p! S
2）隶属度、隶属函数及其确定方法
# o; c* ]; t- V, K5 @3 H$ D※※※※※※※※※※※※（我标了这么多重点符号，敲黑板，这里是重点）
$ U. n6 g& S' w8 N% p" I. b# T① 隶属度
/ Z) p% {! R! U# J其实就是在0-1之间的一个数，用来表示评价对象（任某）对评语集（优秀、良好、差）的归属程度。比如最后得到任某对优秀的隶属度是0.9，对良好的隶属度是0.2 ，对差的隶属度是0.1，那我们最后就评断任某是优秀的。
② 隶属函数
隶属函数的话，就是用来确定隶属度的方法。（够直观吧，因为隶属度不可能凭空出现hhh）
③ 隶属函数的确定方法
+ {; S, C% d1 I) E9 I1 }" e/ C1）模糊统计法
0 }3 Q# U' I1 g( K; ?这种方法简单的讲就是找个专家或者来个问卷调查，看一下专家给出的评断或者调查统计结果显示比如给一个东西质量打分，优秀占多少，良好占多少，差又占多少。（那实际建模比赛中，由于时间比较短，可能发放问卷啥的来不及做）
, N) g" |; v' X3 w5 X2）借助已有的客观尺度
$ }* B1 F6 U4 Z7 T5 i这种方法就是要找到数据（因为建模比赛中，有时候不会给你数据）比如评判一个设备是正品还是次品，要有正品率或者次品率这些数据。当然，假如有数据，也可以用熵权法进行打分。
/ ?! [1 z3 N* A- S; c  P& r" H' v7 g8 w3）指派法（根据问题的性质直接套用一些已经规定好的隶属函数，这种方法主观性比较强）
每种模糊分步都有偏大型、偏小型、中间型的数学描述（下面这些截图是出自杨纶标老师《模糊数学原理及应用》）
' o' n9 [; |! P$ |0 g; _① 矩形与半矩形分布

! k* X& `( l' L2 a

, N) y& N- @7 L3 Z3 {
② 梯形与半梯形分布
9 c! R5 q: q! _1 Y
  f2 w' w( e! O" D
③ 抛物型分布

8 D2 A3 f& ?  l8 J- O, q. y1 Y- B- E  c
- I8 _; C/ B, j! y④ 正态分布

) K# K2 Z1 t3 I$ O
- x  L/ N+ Q0 A+ C; t4 F
& q3 d2 `9 h- e% Y: {6 W+ `
+ s2 `0 d, R! x6 m2 y8 N3 i# ?⑤ 柯西分布
# r+ F1 L* O" \5 P, ~4 c  l

$ f0 X9 r# i$ v( _/ M3 h5 P⑥ 岭型分布

) D8 e4 L3 n. e7 u3 M
- b5 B* W: s. S7 y5 v& m3 b



5 z. E6 Q' u8 n& i6 U& q3）因素集、评语集、权重集
① 因素集
6 x; U, ?/ D. J8 S. D这个集合就是评价指标集合，举个例子就是评价一个同学：{学习成绩、社交能力、竞赛成绩}
  G9 {, B0 p1 y! ~! h, x② 评语集
9 ^6 Q0 v" |( |* t这个集合就是对因素集中每个指标的评判标准，比如{优秀、良好、差}
4 i) a, b3 s1 @# K6 x③ 权重集
这个集合就是上面因素集中每个指标对评价这个同学占的权重是多少，比如{0.6,0.2,0.2}（这个意思就是学习成绩占60%，社交能力占20%，竞赛成绩占20%）


3、模糊综合评价法的应用（实例）
实际数学建模中，模糊综合评价的应用分为一级模糊综合评价和多级模糊综合评价。这里就举一个一级模糊综合评价的例子（多级的其实就是好多个1级组合起来的），便于大家理解。

: T; O. l' K9 T; H
一级模糊综合评价应用
5 b/ `& _1 Q7 X  M/ Q8 a; I题目：
某露天煤矿有五个边坡设计方案，其各项参数根据分析计算结果得到边坡设计方案的参数如下：
& H: g7 c, C" t2 o7 B4 u

据勘探，该矿探明储量8800吨，开采总投资不超过8000万元，试做出各方案的优劣排序，选出最佳方案。
3 _6 Y) X( {/ Y5 F* U! g
2 s+ x: }' N2 e# ~4 \$ K
解题思路：
; H" g# i) c1 e" l" f2 r. L① 确定因素集、评语集
② 确定权重集（这里使用熵权法）
9 K+ v/ n8 R8 g; H8 O. {③ 确定隶属函数、计算隶属度


% N- q( M) ^  m6 [; S( \解：
+ Q( Y1 p6 U5 r( m① 首先确定好
9 J4 n, r4 p' `( x5 k因素集：{可采矿量、基建投资、采矿成本、不稳定费用、净现值}
评语集：{方案1、方案2、方案3、方案4、方案5}


② 确定权重集（当然，专家评审或者找已有数据确定也可以）
0 j8 d4 Q* O9 Z& J使用熵权法确定权重（MATLAB）过程不再赘述
确定好的结果如下：（A = [0.1405 0.1915 0.1724 0.2618 0.2338]）
8 x! l+ h7 ?' h1 X' R. b

* v  W: r5 ~' U3 n1 W, \③ 隶属函数的确定（隶属函数不唯一、只要合理就好）
! p7 d1 ~# [! I4 ?5 B
- B* Y/ G  b& [4 q
" M, I) X) g: v首先，具体就是对每一个因素进行判断，看它是偏大型还是偏小型，只有判断好这个，才可以带入前面提到的梯形分布。
先来判断可采矿量，这个是个偏大型（为什么？因为肯定采的矿越多越好呀）
) p$ r. j/ s( }; b! ~; z. m再来判断基建投资，毫无疑问，这个是个偏小型（为什么？因为如果达到相同的效果，肯定投资越少越好呀）
下面的三个指标评判方法一样。
# b) k8 w/ I* |% E0 f/ a: y经评判，采矿成本、不稳定费用、净现值分别是偏小型、偏小型、偏大型。


然后，确定隶属函数。我这里使用前文提到的指派法的梯形分布
# X  ^, h2 |, N: F1 E  h5 N. W我写一个因素隶属函数的确定，其余四个因素类似。
写个可采矿量吧。可采矿量是偏大型。找出可采矿量的最大值b（这里注意：题目要求可采矿量最大值是8800）和最小值a = 4700。那根据梯形分布偏大型的计算方法得到隶属函数为：
A（x）1 = (x - a) / (b - a) 即A（x）1 = (x - 4700) / (8800 - 4700)
这样的话，对于可采矿量的隶属函数就确定好了。
" t8 z7 x( m# S5 ]接下来就是将五个可采矿量的值带入A（x）1
3 v2 p+ g0 `9 R9 `" O即得到 因素评判矩阵第一列 [0 0.4878 0.2927 1.0000 0.7073]
; X, ~; b2 A! j8 i

其余四个因素集确定各自因素评判矩阵所在列的向量类似哦！（大家自己确定一下）
我这里确定好的是：
基建投资：[1.000 0.7222 0.8333 0 0.444]
采矿成本：[1.000 0.3000 0.5000 0 0.0667]
不稳定费用：[1.000 0.8824 0.9412 0 0.2353]
净现值：[1.000 0.4483 0.6552 0 0.0345]


2 r2 J- b7 H9 I- F$ u, J& ?( _综合上述所有向量得到因素评判矩阵如下：
8 Y: p5 V6 e# O1 t  k, qR = [0 0.4878 0.2927 1.0000 0.7073
* Y9 W7 j9 ?! w5 p" u2 h# G% e1.000 0.7222 0.8333 0 0.444
1.000 0.3000 0.5000 0 0.0667
1.000 0.8824 0.9412 0 0.2353
1.000 0.4483 0.6552 0 0.0345]
# k9 U1 f: g1 V9 K& ?" @$ m
" [# H) u- {* D: w3 u; I$ ?
" b0 n' i: o& T; \最后一步得到诸方案的综合评价为：
! s% F" K, g8 _9 ^  Q+ s$ g, ^8 MB = A * R （matlab计算）
0 R' m9 t: r3 r, a# F" b3 U

9 c1 t/ q' J: Z- W! |3 b由综合评价得出：方案一隶属度最高（即方案一最佳），方案三次之，方案二再次之。
! S+ ~+ [* v" j4 u' Y) u6 w那我们肯定选方案一咯。


4、 最后总结
总的来说，模糊综合评价就是确定因素集、评语集、权重集（实际中这个比较难确定）
7 W) q2 o9 }% I- P- H8 J然后确定隶属函数计算每个因素的隶属度，组成因素评判矩阵
再用因素评判矩阵乘以权重集就得到最后的综合评价了
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综合评价
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