数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1 A, S5 w2 P' C& D# m& ~1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
$ ~2 \9 }3 Y; o' Q" a% X人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
) G/ x3 R1 f* t预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
" x1 q/ S& r" G" D1 l3 i往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
9 J+ e: V+ |( r; L3 \7 d, ^有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
7 f8 U# Y6 q/ K9 M6 f: I运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
$ J* O" O: A9 p3 e8 G1 、蒙特卡罗算法
* k5 J- J! W7 V) F6 Y' e" _6 S该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
/ P. ], q% ^5 w' [, w比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
+ V3 Y- p% W, `3 S( i9 h6 N通常使用 Matlab 作为工具
3 ?* \( `' j8 f# }, w3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 N% n; x7 Y" e! \, ^* Q建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
7 x# w% G1 ?( u% s4 、图论算法
2 l/ h8 `% j' c8 l: S5 }. g! G这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
4 k( u. Q9 l' h# K# k/ P( `6 y2 }5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
) D2 k7 w! F+ Q( e: h2 X+ y: p6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
% X$ t0 Y; h4 r3 f$ ^帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
' c( P- K9 ~0 q/ V0 Y当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
. T+ h- f5 Q- n/ F一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
7 d8 ^: ~/ a# T; W: D9 D! [的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
& ]8 y  G+ s) G行处理
算法简介
6 D- d0 X2 s$ k6 Q$ b; J; x( \/ e6 ], I1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
4 q* U) Y2 g2 ]7 M, Y  N: N个条件可用：
2 U$ a; T9 c% C  r5 Q& D①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
$ k5 y, d9 q5 X. Z( ?2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
5 q8 Z" o* e9 ~其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
; Y" X3 ?- b  H1 x  t找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
1 ~, }3 ?  t4 P1 A3 、回归分析预测 （ 一般） ）
6 X( ?" V2 ~6 p* a8 e/ C- O/ X求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
' c: k1 ?8 R% y化； 样本点的个数有要求：
6 ?5 M' D# p: W# y8 V: N4 j①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
& v2 O) w4 M( X7 u2 y3 B一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
2 H) A* j* r3 h" ?, n$ X% v概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
7 ~0 D: \* s" R& v3 }（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
( Z  B2 G) K: P+ |: ]. k% B数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
0 y8 q# r' z8 p2 r; N) `# r7 D7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
! H  n7 u6 W7 U, x4 y& r2 b办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
. p1 h" h( a7 h; `" m) U7 U4 I5 V8、 、 混沌序列预测（高大上）
: j# w- }4 C$ r7 |7 w适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
% P# m$ m- _2 L* d* [9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
: j& F: ?0 A% c' f& t2 g  b10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
8 @- u3 m7 y0 ?( l11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
2 e6 K$ S) @5 z/ y! X" M1 e优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
) E, d$ U: c' b( n3 N. m  ]" F5 ^法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
/ B; E& c* [6 g' k* S1 S: A似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
- l; v3 b" n/ \评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
2 p9 _  h( M: k' s的最差值。
! C% \" a% x3 N0 `15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
+ P& O$ s/ x. d8 N0 L该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
8 _5 E$ N; h2 M  m* d0 m2 U. Z协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
* ~4 m4 E, e  N3 r' g此外还有灵敏度分析，稳定性分析
0 f& n7 n' i: r" ^( M1 Z( d17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
0 Z" q, z6 k% i; h' `18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
4 O) _4 ^3 ^9 R7 y! w智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
: B* q7 K( C( X- X算法、神经网络、粒子群等
0 w/ V0 q2 ?) d7 d0 A其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
. f  {% l& k; ?4 I4 q/ l离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
% N- k5 u* O7 Z/ c) G' G5 v20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
5 @5 q( ^4 i7 D* r5 C; l+ }计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
: B5 S  _1 _9 x! u+ K2 l般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
5 A1 z! A" T! n+ a21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
" d9 o+ z& {  ^* z/ t9 e例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
+ b: f( W" v& x2 t23、 、 多元分析
/ [9 f) S4 m+ s. x1、聚类分析、
% A2 T- u, D3 ^0 v2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
! O4 t; S) C' {  Z  q7 E7 N3 y! a4、判别分析
) N6 [# F2 F4 ~/ |! Z5、典型相关分析
6、对应分析
4 j% O& `6 h1 A& n9 X8 c7 v7、多维标度法（一般）
1 ?+ n+ r- l7 n8、偏最小二乘回归分析（较好）
$ U( u3 U  q7 s" U" z: N5 |24 、分类与判别
  l, M0 W( M6 ^7 d4 I" [# M2 Z主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
3 d) B) ?1 t6 ~8 V! [' u( @7 K( l2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
* N5 h( b3 v0 B. l7 j0 U& A2 S# a8 \6 [7、费舍尔判别（较好）
" s4 ^5 Y( h7 j; {8、模糊识别
25 、关联与因果
# A( h) b5 ~$ @3 ~  h8 h: P1、灰色关联分析方法
7 _( Q$ G+ F) m7 p1 |9 x1 Y( Q2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
+ Y9 G+ S+ o6 F: U（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
- a( V# _2 d1 _1 r; j) d6、标准化回归分析
2 D6 k$ A6 Q; {1 P+ c若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
& Z/ u9 J1 t, J9 m: t计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
; _" U( I: Y7 W2 Y26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
+ H# _) ?1 |% ?1 E3 E) v率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
6 T. }" a0 V) ^  u————————————————
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6 O/ P& H8 F' V7 h  X4 \原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964

1 k4 T: X/ T8 B; P3 d1 E4 \
* v+ D3 _& @/ C* D8 B