数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

) y2 g- x. }6 ^' ]数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
. ^: U3 E( e9 V几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
+ @: p% e6 A+ t/ S/ u型、马氏链模型等。
0 _0 P: O5 ]! ?! a3 X2. 按模型的特征分：
- N  Q9 ]- h! w# v0 q* A9 I8 @, b静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
9 p' K0 ~5 I/ |! `/ i) D; V, k性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
. s' ], c" n; q- A预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
3 @7 B- K. i$ _7 t: L5 A/ i6 w  a比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
) E" m0 y6 M" {3 ?国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
9 _* C4 D7 y0 q运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
5 G8 g8 g% v- E  e2 J7 C  V数学建模十大算法
/ g- d* [; Q& p5 G) f1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
' K5 |' k. z; ?3 }( m/ A) l* l通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
, F6 N* f+ Z8 s/ I6 j这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
8 a8 y3 X- p9 r" _5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
$ Q2 f+ |/ g, Q% C这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
" o; J  ^8 y" z6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
1 u9 {, x% E" I) R6 R  U( i这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
+ ]( f9 y0 m7 j* O1 ~+ r帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
: x  y; y$ b! m( |( b& w& z一些高级语言作为编程工具
2 |& y8 B9 u6 M3 w8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
* x/ J9 M- C9 q' T( ?10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
* u! W0 K5 W: b7 X, b, P的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
8 m7 c; o1 S; _5 {* k行处理
3 F  l+ K( u8 G( m0 `& ?0 K算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
! J9 o8 f, R. t* X解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
5 a* S9 m5 V! r+ J( r7 m①数据样本点个数 6 个以上
/ s: B' J$ n# f②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
/ _8 G" p% ^4 W) S" q0 V4 x微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
$ s. V1 b6 G6 f6 I$ b5 b- p9 p  }* @求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
! @4 |' M6 e( R+ k0 ~②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
* T9 |/ ^) v1 l3 M, f互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
& D' L  R" a5 P; C5 N, i/ }0 `数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
3 s& Y" P& h; j" x  u# n+ [大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
: A# Z6 Q& b& i( Y5 T' _/ a办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
1 S# E& z8 g4 T8 }6 H逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
2 V! B$ @7 f8 O# N  p10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
' R5 e6 F5 X6 A# g+ E7 t3 C* I* C8 u: q11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
4 I6 q6 N1 f9 z/ W! G作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
! P) l/ a  Y% n6 W4 D; H: O9 o秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
+ q3 W. x5 C  z法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
6 A' f0 |8 r" a14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
, s; f) S  I$ T! G; j评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
3 a1 c0 p5 i  I- v15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
# ], L* t+ l" i# L8 Y! T+ w$ x可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
* Y- z1 \' I. p9 i% \  A来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
, J$ n& O  c, k; A16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
6 R1 x  U" D" S3 m  C协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
4 P" z4 a2 ^3 P! }+ ^此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
, ?: l4 k9 ]. d: }+ e% r) c8 a模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
; r8 e: `, e% G1 O9 G' y& c19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
3 D6 y7 \6 Z  ~. F6 o+ I离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
- Q& L* @2 M  E2 u6 U. x; ~20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
* c* \) I. d; W; u即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
. R/ M7 s+ v0 f$ G- b3 D9 V般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
* I: q6 Y7 }% I5 d3 @2 F) t21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
4 y0 F6 w# Y1 l22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
4 E+ _" Y& }2 S射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
  J, r8 j+ ^/ _, `2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
! K) I% Q/ z6 ^7 `( t4、判别分析
6 A- O, }& J$ D; c5、典型相关分析
% n7 ~% S& b# P3 B4 _6、对应分析
- U6 c# y) S; F8 _7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
& X5 F* q5 R& s2、关联性聚类
3、层次聚类
4 g- |! {) ~( q$ ]4、密度聚类
5、其他聚类
4 M+ a" C4 M+ F; Q2 e5 Y6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
1 m/ z( U7 @- @3 [3、Person 相关（样本点的个数比较多）
  t- A3 o  d7 M0 e! v8 ?4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
: X- o8 @  _6 t# @7 u, M若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
; S: P5 X" ]. ^% S! |- x数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
; @) Q" }! x2 M. C; q计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
, ]$ e- P6 r. {+ M, h# }26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
, l3 P, X5 [1 E# X量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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