数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
2 L$ t' }7 l* y: R3. 按模型的应用领域分：
. u* c* g  f" @  R人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
" l  Q- w" z( m一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
. L/ [# [% {( }# i往也和建模的目的对应
4 c* [8 G, E& w5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
9 R% L6 A6 ?2 D1 B1 s比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
9 s" P& a* B8 m8 ^: M- d数学建模十大算法
) h2 L8 B/ M9 a/ o. x1 、蒙特卡罗算法
" ^8 b: T4 e" R; @% O0 h5 Y6 u6 A该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
: ^( S& s9 Q' m! ?+ |% e/ |7 V2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
: c9 w  e; r/ V+ s比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
, I! o' m# N6 F+ |% D3 D通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
8 @0 ~6 J/ E2 B. g# I建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
- k: H9 B( X. a/ E& O( p$ S. M法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
# S, I$ J) \  p8 `1 s1 K4 S4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
1 W% p- G: A- F+ J6 v5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
7 D8 V7 h9 T6 E' H2 s8 V" s6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
  ~( e- Y. F3 k" _4 f# U% ^一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
- M* n" z4 Z! d: o. d6 G7 U如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
* Y5 d: Q" h; I+ i; C1 I如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
3 C& x7 C2 H& k! e10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
' n  ]( Q) A, j" x2 s% t行处理
9 a% z5 \# ]+ d  }1 A% k+ k% ~, X算法简介
2 E3 X7 o7 b7 {0 D1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
: q* q! q; Z" v/ p. q( N( ]! d解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
6 J- e. M! ]! U& P①数据样本点个数 6 个以上
7 A. I1 [/ x/ r- P7 q) x1 {, _②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
# M  n& c* F2 U( h7 m2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
! h+ C: v& Z# K0 a* z' |其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
4 O3 E6 Q* S" _9 E* p! H) F1 `6 x找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
" ?; ?- e+ c. h# X3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
. B2 G) k+ P; N# y化； 样本点的个数有要求：
8 C1 G/ i, X9 X①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
/ ~4 p( X7 S0 N; J, l% N- ]②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
# D* t8 j7 Q3 z8 y2 r1 B1 u, f一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
1 [& Y5 C! f7 O, P! I6 x7 Q  k/ e概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
9 A+ G/ H  N$ H/ C* i5、 、 时间序列预测
: P  c) g( [9 a- U; l( K5 f- U7 \预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
/ A- p8 c2 {) Y- ]+ X8 J& s* J数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
$ @' ~" _6 ]1 \# ?! M7 A& Z0 \预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
/ F4 F, a- A/ \$ v4 f4 D  n9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
" s  n: [# D$ N0 \1 D& P8 L) v7 }/ `5 y逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
$ Q! U# _7 @2 d评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
) P# f/ z% M9 @- l* s优化问题，对各省发展状况进行评判
9 y4 D, U. J$ y  m* w3 G% `* m13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
' W- G" Q' @$ [秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
! X- G0 L5 V9 d0 @( z+ P& H9 w( E  T其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
% f/ y  V" t/ H- _  l( b) I来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
" o: E" H) T0 g* A4 b0 w该方法做评价比一般的方法好。
1 Q/ z& I7 o) a& W* j" R! T16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
7 _  F9 b/ v( g5 B; @1 l量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
; [" {7 G4 b; a此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
; R6 }6 M' Z/ d: j优解。
2 U; p. E* }3 ~) q% ~! R7 r2 c% N18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
% L1 B$ ?5 T) a" J. @! j& m7 ?算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
$ ]% j) z% `3 m19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
9 l/ ~8 ^% x+ g离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
- ~! t) `; ?9 q! W2 R/ h有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
, ?+ _+ a% K9 I1 p2 g计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
6 u8 m, @: q2 ?2 kMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
- k" I: H& w- O22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
3 {1 N0 o/ z6 w; w+ D, r; G3 p' b支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
5 P4 {% g$ E  V- z! d6 X' ~: S) o23、 、 多元分析
/ i3 d: W7 l2 W3 O, C1、聚类分析、
2 \$ O; \# L9 ^2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
" |  }- ^4 ]3 ~  q各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
; S7 b9 |! g* C% C4 p4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
0 ]% S! U0 g) K' D2 d, A7、多维标度法（一般）
+ l" p7 y/ z8 r) H$ R; j8、偏最小二乘回归分析（较好）
5 b1 ~1 V4 i/ V24 、分类与判别
7 C0 ~0 p; H3 y; W' L主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
% D5 S! ]! l; X. G8 }) v5、其他聚类
3 @' }7 p$ @1 l! |6 |7 k6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
8 Z$ M6 A- q" g; C! _! w2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
! g# j6 V4 M% q" g. Y3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
0 \6 s' m/ J/ A; m0 {* O5、典型相关分析
  w8 B* ~' X( {* @4 t（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
6 V4 `, I) B# Z9 H+ Z9 d1 O计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
: N: R7 W3 b; E1 J; K9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 {9 J; U! u* O+ g( M7 e. a5 \————————————————
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