数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
! ^( M$ \) C7 v: q0 @" M几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
  N! Y) Z' t( A5 D2. 按模型的特征分：
- F. h7 W2 ~8 G' \静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
1 S( R8 D" v2 P+ ]9 c9 C  P7 I性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
7 H8 F2 Y) [. D" E& o( z人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
  S+ g% I& G* a) F# C  b7 H5 c往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
- `1 m# u9 n& k" D4 _/ O; n有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
) G1 e7 i' {* v比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
: X& ]. _: |' i/ Z# s. g" W3 C/ Q/ c$ d6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
/ {" ]# s* m4 [# w8 l5 M数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
4 m, W3 r* M' s. J) f  _8 ^, q6 b该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
, l, U, v6 E+ a2 ~( A& F2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
' F2 o  j6 w; X% ^) j0 R0 _/ g比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
% l* H; R* G6 r8 i8 b通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
& }. n) q0 w' t9 J4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
/ I7 p* Q4 Y% g论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
) a$ E' v! i8 g3 J+ k: w5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
( }& |! [2 ]2 M# J) E6 A9 @4 b这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
1 t+ y5 O1 m, v1 ]# q) V  {一些高级语言作为编程工具
" v+ P: @) t$ k8 、一些连续离散化方法
- x1 E9 Y' n" i. G. N' m; F" Z; a很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
# N. L, C5 i4 i+ G/ Y5 E9 、数值分析算法
& q) T" d" A. x5 k+ S/ D+ A5 L+ v* n如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
9 @- s! B: \: q/ J& P1 @5 B% n如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
$ ]/ N3 V; s& r9 F10 、图象处理算法
' z' c7 f+ b# q* u赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
/ I% v7 A' u- M9 |9 l) `行处理
% j9 E# D) k# y0 ^/ D. h算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
0 ~& z0 [) S$ S: Q. _& A解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
6 P7 O8 M8 ?* W( |$ x: \①数据样本点个数 6 个以上
; k& O! B7 P$ c; c! t②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
  u/ N- |: m8 H2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
. I& g+ \" a: s9 h0 W求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
4 u: m$ A( g8 ^9 o8 f①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
3 k+ H) C, k& c! }②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
7 m& D: U8 u( \* E4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
4 v) r& }+ k" J$ A" P7 b一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
( c9 ~0 v3 v# N. E5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
. @* o3 e4 H8 x5 Y6 X/ c  H6、 、 小波分析预测（高大上）
" s2 c/ I: X/ Y1 U" P: a: v数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
' W8 v$ X: u; ^; n4 E预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
3 b5 C% q: c- g$ o" s" }" A预测波动数据的函数。
  r0 S0 P$ H7 S& ^7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
. B2 W4 W& }) n5 z8 K# t" d办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
& ?4 e# ]% E: b9 Z" x9 X% L6 b; b适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
9 z( ~1 w' c% V" j( M拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
4 i1 i' K, o2 `, j% W9 y! z# l在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" h1 l5 N8 t: r0 j; W评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
# u: Z) ?0 }2 S6 _: P11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
9 q. b9 a: z4 ?0 f作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
# M$ u5 J7 ]+ l+ _* w1 K5 [13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
% s; P" W6 d- Q; Y秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
: [" d3 N' [5 ]2 W% f5 |7 o7 N法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
; L0 e$ f+ t! X, e# o/ c* G+ A: G其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
+ M& M# _' B  W( K* F" D- Q评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
" L% l9 J9 B% W3 L/ R0 [; a- H* {的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
- C3 ?- r+ h1 h8 p! r+ ]可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
+ o# i- P  e# h" q% ~6 |. P8 M. ~4 f该方法做评价比一般的方法好。
$ W" P& l1 l$ y' g# D16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
8 N6 B* R  h7 e9 g6 ?  R- J方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
! f2 f1 ?: s6 O1 j协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
( U; c2 Q4 O1 K. D- J0 V7 E17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
' J9 P1 ~+ Q( U6 E# k% }% {' ]模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
5 \) \9 `- x4 i& W; T. y% t优解。
. D' d/ F3 e, N- g18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
+ i& P& U1 Y" t3 I; R( S, X非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
3 m4 ?. h+ a& B  I% |# V  C算法、神经网络、粒子群等
+ ]2 o4 X0 M; R" B/ j其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
4 I4 x7 ?& G* l; @$ x离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
' H- t; n* R5 h$ l/ t. d- x9 \+ n20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
0 g$ h! w0 I) M" S3 @  Y计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
7 Q! {: X7 P3 j& A9 }$ ]+ l+ S21 、图像处理 （ 较好） ）
+ F! E7 b. n+ b% kMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
+ R$ v1 d1 z- Z, \例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
( H2 m% ^: \3 Z3 L22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
+ k# r5 m6 B- [( u: f, h0 T/ A1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
8 v5 g$ O2 o" k' {- e各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
$ O+ z8 G' C9 t1 X从而达到降维的目的。
  d  s3 I0 z3 t: L' S( y% t4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
' U! H4 _. a+ D& m( x8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
) r. w3 l4 A( G, V主要包括以下几种方法，
; @6 m  w9 @. y7 V7 d9 K( E4 W1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
( ^% m4 M2 Q% H( a1 N$ g5 F4、密度聚类
, z, U- @! t1 N- C( F5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
! m6 Z9 ^+ E* g) F5 K7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
" T" `/ }: U4 s+ V25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
9 H! |( L1 K# M# x2 N9 Y% n3 w2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
7 z/ @1 H" e2 `0 F# y3 x& v) i3、Person 相关（样本点的个数比较多）
0 k& D0 w: s' u; P4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
7 x4 ~5 F( ]7 r/ g0 K5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
9 S$ p9 N  M, G3 ]! M) W若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
) L7 c8 x  ^$ C9 Q7 J2 Z, H7、生存分析（事件史分析）（较好）
7 q  E' @( U& U3 E( t- h- T数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
$ f0 L! n( [7 x; E6 E7 K& |  p) f/ P8、格兰杰因果检验
3 ]6 X. d/ _& U1 Z# r5 x2 f计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
( B3 x& V7 ~& b1 k( r26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
, Z& W5 g/ r* j9 F9 p量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
: ?4 F" s' p- R  i2 k% N————————————————
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5 ~1 ~& x0 O( p3 c9 S$ @原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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