数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

$ {: [* |+ p3 M& F& G数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
# I. R- \; h' l( v3 H1. 按模型的数学方法分：
4 x6 i: u6 H) \几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
! N' X1 D& i0 R. Q) L* N型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
3 i0 E. h' @  ?, t: K5 Q静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
4 G2 V: ?3 z) D$ V' r性模型和非线性模型等。
) I& z+ ^6 d: _2 W8 Y; }3. 按模型的应用领域分：
: _. ^- W7 q. P/ M- g/ b. v人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
$ H, X* w0 @9 `7 C) U一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
! D. M& l( r. x往也和建模的目的对应
) u) `" O% s# D* W3 y5. 按对模型结构的了解程度分： ：
3 z! }) L7 N: D: c0 c; y6 O( D有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
# h, p5 G" e' `- A国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
" C) b4 L3 s6 A6 N运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
2 ]/ b8 O4 h- E3 u5 Q数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
: z: h3 O8 E$ @/ s1 U  h+ }, a  s该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
: ^* \, `3 S; D; w0 d* @9 E3 u2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
; p# Q0 X+ @3 X, S2 J# H) V2 N+ |法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
: p4 L7 j# }0 z) A4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
( m6 Q$ B9 R+ _* o9 e- @论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
2 k1 Z& ?& x) h7 Q5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
) g+ r# w8 U6 \* ?* _4 b8 K6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
: t* y: P" |+ c; M: H  }当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
0 D+ q* y8 Q. r! s1 K一些高级语言作为编程工具
& W* D& x2 C! f$ S6 ?5 ]5 `3 X8 、一些连续离散化方法
* Z9 V3 k( y$ _1 l1 o很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
. I9 l( u) [. [8 e. H1 W% y9 、数值分析算法
- q/ Y  @( [8 O如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
6 G) a% N& R# t1 Z& l: [$ w+ A1 Z如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
/ _' V) x4 R: m8 o的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
. d; O* {/ C/ y$ d9 m8 s) v算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
1 [2 j6 c7 a% `! J个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
( E. y5 M3 i' t7 ?7 }, U1 r微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
0 ^0 D4 e8 j# G( r其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
, Y8 U/ M$ A1 }6 d求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
6 L2 w1 r( w' H! k化； 样本点的个数有要求：
$ A- S8 M# v6 @/ \- S/ a①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
# `" A$ l9 ?' ]. |& T②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
3 s+ [; H0 x# \3 q4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
, U# M% `8 A0 @& s' |( M5、 、 时间序列预测
( a7 v/ m6 V1 k! C/ k7 m+ ^( ~, ^预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
" l. b0 d2 R% T0 o' o; c0 A（较好）。
+ w0 ~: X# o" z% T; j6、 、 小波分析预测（高大上）
, Z1 ~8 Z2 H* G% x2 q- u9 R& t数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
: n& D% P4 H4 c' [# Z预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
& }! `; y9 o3 Z$ K/ w1 `预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
( G6 g; w) l- n大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
8 u: A: F! T) t  A0 z- P4 n办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
% R: k! |+ b) X! {, ^/ o4 g, R$ ?9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
/ r, r4 u/ t) _& M7 k8 W在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
  ^; m( m5 V- H6 f7 b10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
+ Y/ S* o3 N/ `8 L5 ?11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
+ O2 A" k; J4 N12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
' ^8 d/ y1 J4 v6 _5 I优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
3 p) }0 R7 T( u: I似。
! [! k! J. |; y14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
  ~4 B9 `& _: n1 d+ Z$ u! {+ w其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
3 H. i* l( ~* J0 i  m( |评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
4 p0 |- \) S3 U! v/ E& x解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
' \- y; `4 a$ v! U的最差值。
: N7 N8 |8 r& `: V15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
& o7 y% z% D( ?. b可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
% C3 E# j! Y+ l+ n  t$ p该方法做评价比一般的方法好。
  a" _; ^4 l) Q9 G" k16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
$ W% H# O* ?  A# a, o9 N方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
  `- l, N; {( P& t9 Y$ x素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
* \1 |3 Q+ k% _  ^3 m) w17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
4 U( k) ?/ L0 o5 Y, M& e) u: t0 z18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
/ b. s! B: \/ n9 A5 }7 F智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
2 Z. c1 u/ M; ]5 W3 U6 [8 i算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
% U: x  ]6 U; q% z) v1 ?- i8 U19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
. M. m# R0 O4 k& ~) `/ P离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
  r9 I* `0 q- J% O. |# Z# R* o8 o排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
( Y% D" `# E4 @! y7 J4 {有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
( Y: o, D1 b+ [/ T般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
8 |+ {' m8 V% o3 M( o  T4 ^21 、图像处理 （ 较好） ）
2 @$ b6 G2 r1 vMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
7 L( a8 ^6 m- @( p7 w  \$ L/ P! k* H例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
! b3 U# g  f% ]" \: g2 W射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
5 {8 w6 b; D, j( j1、聚类分析、
- r+ O# z. @+ A' u2、因子分析
3 H0 Y$ W. k# ]$ v3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
/ i7 T5 N/ a: U; e3 Q8 R6 h* p4 v5 S) h4、判别分析
) i0 z, f0 b2 X  w+ [! f5、典型相关分析
6、对应分析
0 g9 h" z3 p# g. i! J$ O7、多维标度法（一般）
: K: T) S$ F3 {2 A6 U8 P, h8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
/ u5 t+ S  T8 |+ u9 Z0 N主要包括以下几种方法，
, ?3 c5 W+ @7 r* z4 w1、距离聚类（系统聚类）（一般）
5 O- b- y- i- e( ]! u/ y( T: O2、关联性聚类
! j8 Q2 }* }& a4 U- K7 }: G3、层次聚类
/ y; D3 b2 q2 z9 v0 h, r; {0 N4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
$ ]5 o& L$ F5 I6 o( L# D- h# r7、费舍尔判别（较好）
1 S- ~% E  W" C& {/ w" l) k: A8、模糊识别
25 、关联与因果
- j# t6 x- O% c: X% ?1、灰色关联分析方法
, K# e- J7 L$ n9 F0 E: S9 f2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
) W: F! p( e9 U# z; z0 S; I! G4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
/ Q2 K: z4 v/ `* w9 h（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
# z3 q# k/ @' F1 u9 O  ?8 C# g一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
+ ^" y% T8 |$ @0 u5 O6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
' w! [$ L' r$ S) i/ i; ^1 @数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
/ i5 C0 N5 V& {' S6 X计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
8 q; v( e9 i6 i  C, b- U8 q5 m9、优势分析
3 A6 Y" Y0 ^) E, l% B6 w0 i" ~4 \3 v26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
6 Q1 }3 J/ D* [2 t# }# d量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 _# S$ ^4 b2 L1 H0 b& n————————————————
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; r  \! j1 e. v原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
! a/ A$ Q6 N1 z' N( Z9 r
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