数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

/ [$ s4 z- ~; K数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
& |) T& N8 [; W% n- h+ C几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
9 M1 g  W* |1 x$ p- [  V静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
1 |$ @5 n( `" F$ t( \6 h性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
2 A2 [/ i1 L! O人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
3 ?6 P6 t9 \5 M; _! V% M预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
7 A. q: |7 d0 l. W" U7 W一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
4 V+ p! H8 }5 o0 V* W* z6 s4 C5. 按对模型结构的了解程度分： ：
! m) A3 o' _& d9 [6 b7 i& }有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
. R, x1 b1 K2 Q% J! \3 m国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
, a8 o2 o6 G5 `9 S运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
  z/ I# o1 ?; C" c) H$ |1 、蒙特卡罗算法
' Q7 A! Q! M6 d- j/ u该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
7 g0 q& `" {; U/ n8 V, @) t以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
5 U& r6 U+ q" i& L+ x2 W7 w比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
' l. G7 w2 y9 Y- g通常使用 Matlab 作为工具
1 h0 c7 ^: o; n* R5 `% g3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
6 [4 z/ a8 C# }5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
9 J# m% x; ]! i& o6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
, ^+ ^0 T4 L' [3 K  h5 |9 、数值分析算法
3 z/ k0 J% ]: [( t6 @! q如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
" d: W4 V  }- ^! d/ w10 、图象处理算法
5 ?9 P7 P/ j- @0 l! M# q, t$ v8 g2 D赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
8 R0 q6 Q7 c$ x& W% K  c# U解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
, ^4 }4 b6 [" @: Z( s, e②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
, x, H3 [0 r$ G. t8 M% h- O  r4 ~2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
5 s9 k  P2 M0 X, d微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
5 G( W  y% ]9 G. m- F求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
" X' t; x# r0 [& A化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
! Q3 z: Y. G8 q( b; n: X4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
; i& S% D  J+ R: U一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
4 ]- p6 ]+ h2 f& R" h概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
$ F! A. W" ]2 c! @: G预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
- \) s, j5 G+ j% s数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
$ g4 F6 M9 A8 _( b8 x( u# f预测波动数据的函数。
; Z6 D7 H7 D3 r+ `; _# u7 i& H! _7、 、 神经网络 （ 较好） ）
( P; ~4 T1 M, e3 A7 ]3 J. b大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
6 _, O! w/ k5 H3 m适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
. l6 s/ c7 w: j* q/ a拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 S5 x" r/ X6 g0 W1 D* v# c: `逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
7 @; [2 @  [/ Q10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 ]5 @# w! h1 U6 z4 s* `' P2 B* h0 f; m评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
7 F: O5 o3 ]( n6 U# x2 d0 _% w11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
! s7 W( L& t" c3 P13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
6 K! P  \, a# l似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
* g/ G, k/ {9 o. @  r评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
- j: b, O$ f& X+ F" Q$ l& R的最差值。
$ P# }; Q3 ]- C' ~15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
$ X- p. z; Q7 S  S' @1 U8 B量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
  }+ Y' f7 [7 D. }6 b此外还有灵敏度分析，稳定性分析
2 N' z9 Q9 y- q/ e" b17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
4 _4 b) P" M6 z: s8 V" R2 F模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
% {* T1 L" z9 m8 m, e2 Q/ |优解。
8 S/ G; a' B4 S18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
& p8 S$ i9 s* F* O2 s智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
8 U  k# a) s6 S$ N# a算法、神经网络、粒子群等
4 y3 _# ?" i/ r) }' X其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
+ U) p+ I6 b/ O# ~) ]20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
% `( T; r' e9 j+ y! R即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
# I. E9 G9 l  |3 @& @  _  Y6 t般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
, j% b% ?9 y) U3 B) @例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
; }, ~+ t0 w4 A" J6 A射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
9 D9 l/ ^7 @( T  A1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
: b; O# a' Z3 w! v. }* R. {6 {从而达到降维的目的。
- C7 w6 ~; e; J# E  [6 T4、判别分析
5、典型相关分析
: K; N0 r% M0 R4 t. H5 ^' d; Q6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
- V- @) M- H  L+ q24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
5 W3 \" N/ }/ J0 N' I, q1、距离聚类（系统聚类）（一般）
& m: S/ c" [' Q6 }% V2、关联性聚类
# a# m% Z6 L, f6 J- |3、层次聚类
# U- E! w% v9 ^( I4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8 H9 R- K# Y* I( `& P8 r3 e/ `% m8、模糊识别
& D# G9 m7 M! Z0 y* W8 E  {25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
; P; }; l& a' w. X3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
# F( [) z7 J9 L' \7 K- p0 M6 B（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
4 T* Q3 z, P! ?( }8 }( h6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
- \3 |4 B/ x4 z- R数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
! s: N( U# ?: h3 P8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
: c0 G! c: R  Q( ?) H/ X9、优势分析
* L3 c& j. `5 @0 \  n) b26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
) v. _6 A$ R5 u, R9 d量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
1 I* l6 @; E: I. t- l; i. _% ]率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
  `' Y) Z! H  }9 l) u4 v" u————————————————
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