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偏态分布及其数字特征(R语言可视化)

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

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    发表于 2021-6-24 16:20 |只看该作者 |倒序浏览
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    ! G4 Z6 ~* f- E偏态分布及其数字特征(R语言可视化)
    ; T7 M, A- u5 O0 J目录
    ; o9 C# i. P. f% C# E0引言
    # I7 G1 ?7 n: S1、偏态分布的定义
    1 ]9 M6 B$ L# w! R1.1正态分布) Z( g: L; {; i( g2 _  x
    1.2偏态分布
    7 [5 g) Y/ Q5 b2 i2、偏态分布的数字特征
    ( [( I# a% Z' {3 [% F2.1均值! A, ^4 a% n5 ]3 k+ u
    2.2方差! j( P0 f  j/ w  F5 x0 N8 m
    3、不同偏态的偏态分布——R语言  I: t; i! k0 f
    3.1 代码' n8 h/ u5 H4 L
    3.2不同lambda的偏态分布图5 V; p4 ~( b7 {! L( T1 z/ g# L
    参考文献
    3 S- s7 ]5 K( L6 a7 m5 R2 o0引言
    6 s' K/ w+ `; p: a/ i* D7 _偏态分布是A. Azzalini1在1985年提出的,本文主要介绍正态分布到偏正态分布的定义,主要展示偏正态分布常见数字特征均值方差的推导,以及使用R语言对不同偏态的概率密度函数进行展示。" N4 L+ P' m. ?: \( W. m8 i: J
    7 F( u4 D8 ]( ^. A% l
    7 i- e; H. O" {! t
    1、偏态分布的定义  k/ [% ^! n+ B( Q9 j  V
    1.1正态分布& a. r5 ?% I, |2 u9 |
    正态分布2,又名高斯分布,最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
      [  N' i, P( a  X5 C随机变量X XX服从N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ * c: a" R7 @' i+ Y& q3 i3 ?2 j
    26 }- C* M1 K4 K/ o6 d
    )正态分布,我们分别记ϕ ( ∗ ) \phi(*)ϕ(∗)和Φ ( ∗ ) \Phi(*)Φ(∗)为标准正态分布的概率密度函数与累计分布函数。
      @# _* u" d% m. ~! @定义为:
    - ~! Y; x8 d) V& S) K  I, Oϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}0 C( r! J1 D; y1 \) H% L
    ϕ(x)=
    7 l# V: e+ O7 u6 Z7 c+ r5 q4 s( Y' x: Q$ @- I$ N$ E: z
    ​       
    $ ]" ^  d, D7 }& {% X3 T , {1 u! R1 e' g* }9 V7 O
    1! z8 g6 H8 `) G( J" N8 @% \# Y. S
    ​        1 v- p7 d# s( L2 W0 D2 e0 L6 S' ?
    e
    $ e  A1 W/ i. ~; @
      G; X" c+ ~. X# \2 P( v2
    . @9 L( v+ [3 ?- }5 l7 }x
    # C% d+ l" e6 W8 Y  y2% X+ ]7 P0 y; |; J' B

    & c6 D! H) Z- u) T5 J​        / Y6 j$ p) M7 _+ P4 C) o! d$ }& D
    - u+ F. V) J* D

    9 y( d# F- w/ }: w5 O! n# ]) r; U
    / j$ S; y; `5 a2 e9 z6 x! j
    4 O6 e  k- L9 v5 D9 i6 G) n
    Φ ( x ) = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t \Phi(x) = \int_{-\infin}^{x}{\phi(t)dt}2 J  ?. o% N9 z# p/ r( i
    Φ(x)=∫ : I, j  U. f4 \, i1 q9 ]
    −∞( |3 }* c+ @2 s' Q' L. K+ u' C
    x4 A* J+ ]2 E$ @
    ​       
    " Y3 Y6 ^' O3 v% `3 F9 e& o ϕ(t)dt
    ! P  g1 o5 y- G( w3 p. \. q# L/ \1 |0 A8 B
    / c2 c" x9 Z4 H$ v0 l! Y
    随机变量X XX的概率密度函数和累计分布分别为为:' @: |$ x+ t( Q$ G/ }' V
    f X ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
    ( F  ]( `0 k3 Q* F% n3 i% @# yf ) l5 s5 |  ]2 O9 l
    X
    * X4 L" _  o0 ]9 ]3 \​       
    ; k" ]' X+ e% F (x)=
    8 s$ W# o4 {3 v4 y5 d5 A: h, ]+ \7 m- X, T9 b
    ​        # \9 x  V% W, p" R( q! L) d
    σ2 B& l" }7 r5 y) \- A3 t9 X
    1
    ! G# r7 M( e1 u2 |: v3 u​          h* H8 k+ [9 u0 ^  y+ F  g
    e 8 h+ e7 G! d6 M) i0 W

    4 o! _1 V+ Z8 T& b% R/ G; @; B, H! I) U7 h% g
    2+ `$ S; Y  ?2 F9 v) D) g

    ; [! ]4 K4 v" h0 S& P(x−μ)
    ; r9 D- ^5 L8 d- E; D29 @! V! b! b: N, W: z1 w3 l

    $ v; v8 w; Y3 T​       
    2 ~: R8 l0 G- I: S) T; B$ ] " m  z, S* g) g9 j6 p
    6 A2 H5 S0 Q* V8 U2 ~' Z

    3 p/ \1 f/ x: J) c
    + \' ?8 ?/ ~+ e5 G$ k5 b
    F X ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F_{X}(x) = \int_{-\infin}^{x}{f(t)dt}
    ( I6 v# Z, J$ [4 O; H6 WF
    & c' l, n7 u0 W: SX  c: l2 d  f3 x
    ​        ) S) r! E. q2 x5 O4 ~7 i6 ~5 m; l
    (x)=∫ 5 t# |# _  N% a2 y
    −∞
    5 k6 D1 l1 e8 Z( |, l6 T, zx
    $ g6 y; m* M) P  ~  H​       
    4 p2 l8 G. p& ?6 b6 ~' j4 z2 h% Z f(t)dt4 K% V) d% h4 m0 Q, X
    & K/ ~# D5 J9 e/ L
    9 k2 R" J/ R1 [1 p5 |9 j; ^
    1.2偏态分布3 h7 Y. j# u' \5 o9 ?, a" m' t
    A. Azzalini1在1985年首次提出标准偏态分布S N ( 0 , 1 , λ ) SN(0,1,\lambda)SN(0,1,λ),引入了偏度参数λ \lambdaλ,其概率密度函数是:
    ! _  Y, r7 f# af ( x ) = 2 ϕ ( x ) Φ ( λ x ) , f(x) = 2\phi(x)\Phi(\lambda x),
    . a) ~4 y( x) V, l& If(x)=2ϕ(x)Φ(λx),8 H3 m$ p1 H' x$ R. c
    " U4 f9 Q. S5 [4 d( Y* K4 J# U
    " S: \7 J& E! p, d! {
    Y YY服从S N ( μ , σ , λ ) SN(\mu, \sigma,\lambda)SN(μ,σ,λ)的偏态分布,类似的概率密度函数有如下定义:& G7 d* _# v/ c4 t7 v
    f Y ( y ) = 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) . f_Y(y) = \frac{2}{\sigma}\phi(\frac{y-\mu}{\sigma})\Phi(\lambda \frac{y-\mu}{\sigma}).- q7 w9 y% a- F) P1 ^0 o
    f   R( j7 O( B( @3 m
    Y- P8 Z3 P  K2 w; B0 `
    ​        ; U& I. C5 L$ p6 \0 l4 n/ s
    (y)=
    6 x7 i) b* d  R/ t0 _& C$ wσ7 u/ }( g* [( y( ?6 r# s$ A9 p1 ?( D5 T
    2: f1 V6 O2 `- i- y
    ​       
    ! y6 ^( }) C$ Q9 p ϕ(
    3 D- J5 x0 D3 M: ^# fσ- x' e# s; ]( @$ ]: D# X2 ^% h6 T
    y−μ
    ! P0 ]* Q% J' A# j% q' n: m! C1 H( |9 J​       
    . Y9 T1 i( M) \ )Φ(λ ; P) O4 f# s$ [% |5 [% Z
    σ
    * Z4 I+ N4 z+ z: K* y- x$ Wy−μ
    1 P( t! N, k# [​       
    7 Y6 s: m& V) l" W3 P0 D ).7 y1 ]3 M/ o4 A. m9 y3 g% W

    6 ?9 P9 z1 }: `  R

    + [# L+ ~1 z4 v+ o# c可以看出当λ \lambdaλ为0时,该分布退化为正态分布。下面我们来随机变量Y YY的均值和方差。' ^+ m3 D) g9 b( q' `
    6 [  O* D# @# T$ p& X

    6 ]" Z: V0 n8 P7 n7 M) Q$ }2、偏态分布的数字特征1 c& ~5 l0 a/ B7 }- l2 [
    2.1均值! |- U1 b& ?  C
    在1.2节我们定义了一般的偏正态分布,这节我们推导偏正态分布的均值。1 z% C: l: ]. j& o7 g# @, X# j
    E ( Y ) = ∫ − ∞ + ∞ y f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t ∫ − ∞ λ t ϕ ( k ) d k ( 变 换 积 分 限 ) = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 2 π d − e − t 2 2 = μ + 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − k 2 2 λ 2 ϕ ( k ) d k = μ + 2 π λ 1 + λ 2 σ
    1 q& ?/ d( {% O9 t! vE(Y)=∫+\infin−\infinyf(y)dy=∫+\infin−\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)dt∫λt−\infinϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ2tϕ(t)dt=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ22π−−√d−e−t22=μ+2π−−√σ∫+\infin−\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2π−−√λ1+λ2−−−−−√σ, i, N6 h2 W0 m$ X0 \8 l9 F; l9 q2 {& x
    E(Y)=∫−\infin+\infinyf(y)dy=∫−\infin+\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)dt∫−\infinλtϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin2tϕ(t)dt=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin22πd−e−t22=μ+2πσ∫−\infin+\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2πλ1+λ2σ
    ! i/ Y$ L' a8 C* ]6 mE(Y)
    " g* O* b1 p/ g7 X9 X$ n- \( x! d​       
    $ C4 @3 E, K1 @9 d% O9 Y6 ^  # d: _- g+ s& ^% G5 k+ ~( c/ l. Z4 V
    =∫ / t& K. [$ u. i% v9 h* G
    −∞
    ; _/ P: s* |2 N' E! m+∞
    7 E1 ~4 Y. h0 w/ w( l+ J: {​       
    / Z! I  i9 ]( @ yf(y)dy
    * p1 o* V  T3 g& ~/ H1 |  C=∫ 9 l2 t2 k' Q$ c, U  ^# B: q  |' {' y
    −∞
    , n% V0 K& l- f+∞, ?  o7 E) Y; ^0 I
    ​        2 j* o6 G1 P6 p! M& w  ~6 w
    y
    , ^* D, I5 m: Xσ8 x9 o7 D" y! F4 K' D8 g
    2# E5 U3 F& F5 M' M2 h4 {; i# U
    ​       
    2 d$ A# n9 w& k. q ϕ( / w" w+ A6 V- S5 T' F" P3 m) Z
    σ
    * j: c. B- c7 c- {y−μ: U' e4 P: }3 E, c* [  D9 J
    ​       
    & ^" {$ V; N) v+ P, L/ i )Φ(λ
    7 W2 X* t0 L6 N& h5 |σ
    : |7 S$ j7 r, My−μ
    & f9 [/ N$ g+ D4 C' t- f% b​          x3 V0 _0 c* z9 P5 d0 w
    )dy(标准化换元(t= 1 l5 I$ g# w8 r$ ~1 Z3 G4 E+ \
    σ
    ! t3 s6 y$ q  @1 e! D& By−μ! V/ y9 X  O9 ?) ~; l, C4 G
    ​       
    7 Y, J. s6 t. u" x) n% } ))
    9 O0 Z7 G/ b7 U+ M2 ~8 s=∫
    2 y" ~( L) ?4 g' P−∞
    8 a0 ~+ R1 N) o* Z( _( A+∞
    ) |  c$ \# g3 R. [​       
    : D/ t' ~& l. |* I* Q- B# @9 i7 | 2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt: [0 \9 Z# S7 R# A$ h9 D# R2 `
    =μ+σ∫
    8 J/ R) [, w  b0 ?6 d: \  x- G−∞
    ( p6 R0 [! c0 O( H# \- i+∞+ D) @! f8 D$ {( M0 c6 @& f- q
    ​        8 F  `. x9 g2 }9 e8 n/ R
    2tϕ(t)Φ(λt)dt3 F& V: u( D# t, i
    =μ+σ∫ . f  Y6 m3 g+ }  Y% H
    −∞3 v" H7 T* `3 m: a' D& l: f
    +∞1 n; V5 O# Z0 L4 `! r
    ​       
    ) n- j  b1 [; t2 [: G( v0 x0 t( f 2tϕ(t)dt∫
    * r, {  C# c) Q% r−∞% [8 {' S& d+ C  G% L4 X
    λt
    - h% C" k3 Q) m* ]# j% ]​        9 m9 q  y/ T1 B/ k2 j- j9 O: O
    ϕ(k)dk(变换积分限)
    " p! k2 d! u6 N1 P% |=μ+σ∫
    0 O, O* \5 H) G−∞% h; h! ~0 Q7 b- ?
    +∞) m+ h# ?: w' }$ l" B
    ​        ' q. `, j) v  T, x
    ϕ(k)dk∫ + l' n  o, i6 e' l
    λ% _8 m' [; j3 S1 o: \( N' O* L
    k
    ) j/ Y. y5 F8 C8 t/ J​        : }$ F4 z# F, {! i( s/ z% T# I

    ) R( t1 w1 F6 b- q+∞& e0 d1 W7 p# w0 i( {  L
    ​       
    . y  A  t' G" V 2tϕ(t)dt
    9 |% W: f/ G/ ^* g5 J: U  N=μ+σ∫ & E! I% H" f: b
    −∞
    1 h" Z; {: c- b5 T; {+∞
    " K+ V7 {  Q& |- e7 E​        $ o, ?* w7 [: z# w
    ϕ(k)dk∫
    3 o# E3 K0 u6 F3 ?! J7 Zλ; S  X# {. e9 H
    k7 F/ c: ^+ L( {
    ​        % O7 ]( N6 Q5 l/ S* ]7 \( o3 v/ P
      j! E- g- a+ m8 f) N! I. P
    +∞
    $ Z7 V" |2 C) _$ i, R, t* D​        0 V3 E1 I# P$ ?, {" L2 i
      6 |2 K6 z. \" D9 w
    5 A: f* }3 f0 q2 q6 X
    ​        * j, G! b6 E: O, B+ P4 k
    " X" z* }5 R/ y& F# U
    2( U3 ^2 L9 Y0 N6 t3 c  H, n0 _
    ​       
    6 c+ D5 @" ^5 N d−e
    2 f7 ^& x* K* J+ L' a" G5 A% D0 \
    2
    2 ~  I( E7 l+ ?7 u4 Dt
    , R; J$ i9 }9 n  E- m1 Z: Y0 H; A1 f2+ j) n% A, }6 E; M
      h3 h, B6 N" U* [
    ​        0 g1 O- V+ ^7 U. |" M" u/ k

    - Y, m3 v1 @  S, e0 s) e
    . u8 f! f1 F0 q. a* A; @=μ+
    # h8 v" ~) j1 j  i! ~π
    9 ?( [: l( O0 z/ s2
    # A- i  v, a; X! g; `9 t: M​       
    ! U- o$ Z" e: G4 C( h/ N' A4 O3 p
    / D# |8 i* |+ S0 T* ~" n​        ' j5 m" t1 w4 X
    σ∫
    " M: E8 `6 q7 t−∞
    8 C; p2 Q  M) O% a+∞
    ) A1 j9 O4 {% p/ @# Y5 Q​        6 g3 t4 T; F6 P: |8 {; r
    e # X7 ^7 Z3 |$ F' g

    6 l2 C. m( F# f" }9 c4 ~: `
    5 ~# n- u6 j) v2# y# f- }' }* C2 H! |( h$ i5 I4 ^
    ' l; u' T( J0 |7 X  [$ M- \
    k
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    9 [5 \% R' F  X  p/ V% i ' J' d9 }6 i2 {/ X9 H
    ​       
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    0 b0 ^& B% w3 @& S6 X; f ϕ(k)dk+ H6 \6 [4 _2 ?) t% s, ]
    =μ+ 7 K+ o4 M& ^% L8 v
    π
    6 b8 E  c3 K% b6 n4 \# t% u27 h4 ?5 U* U" i; M& A- p1 |+ k- \& f3 [* F
    ​       
    ! r8 w. W; _: x+ e: S  g' b* P' W & m5 l5 e, [8 ]. H% ~9 `
    ​       
      b5 A  }9 _( x# l  3 b, I/ @, z6 J$ Q" j* C( U
    1+λ # _7 z' Z$ u1 z" o2 \
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    # `" X" ?1 V' @1 K1 T- }0 U​       
    , y! i% B) I" A0 w& \
    3 [! r# @, U* Y* U* |4 `λ
    / e2 B2 U' J  k$ r​       
    7 l1 G+ A0 X" l% X/ { σ
    ! P5 c# E: ~0 r" n8 ^6 n5 I" W​       
    4 Y) T& m0 z  d$ A5 t4 q! ~8 ^/ L ) A/ Q  Q: Z) v7 ~9 O4 b2 Q( |
    令:
    ) ^4 b; j# t3 R1 v, A$ Gμ 0 ( λ ) = 2 π λ 1 + λ 2 \mu_0(\lambda) = \sqrt{\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}}
    . v# C" a# R' r& l& I8 jμ
    / `, {" q( A7 K0 o04 }: i, C; f4 @0 P* g0 Q
    ​       
    $ P: T0 b  _' m! w0 ?+ Z4 q1 I' R2 D (λ)= 1 V- W6 Y4 v8 A( y
    π6 m/ ^8 ^) J% |) e
    2
    * Q# J# o0 w" c8 C: c# L) l​        ! n4 F7 w; b6 _9 i6 {

    . I$ }7 i; z" y& |+ T​        7 A& u1 G% w  P9 F  a# Q7 [# S
      5 n- f3 x: _2 Q# t! X
    1+λ . R6 i! s2 u" ^. y% B
    29 t- ^3 K8 _8 f1 k, N+ y: O

    4 N- `% {) W8 P; t  y- y7 G​        ) i. w4 h3 }. d( t. R# W
    2 x; y: ]. F2 `4 \
    λ' s( D3 b5 g) D" Z" ~
    ​        6 n9 x+ F7 @- W% e% U! Q( u/ s
    : I' K0 a& k2 f1 X

    7 x3 F) ?: O7 f# [1 q
    , E4 U4 J( }+ W
    有:
    , z7 w% S  p. F& dE ( Y ) = μ + μ 0 ( λ ) σ E(Y) = \mu+\mu_0(\lambda)\sigma
      r" \, B) L& }* g; Z! z& YE(Y)=μ+μ
    ' ~- J$ l1 Q# f6 ^" {3 k9 i04 t' J$ N6 {) F% E# T0 o' T; N
    ​       
    1 B( K' t* M4 y& k* F$ k) J, M8 D (λ)σ* Y) ~' C) b. T& s% i
    2 H1 H8 M! n# \! _7 L  j* ~% c5 v

    9 v8 c; o8 A5 @2.2方差) J2 [2 R6 @0 v" {9 v
    按着正常步骤求方差先求二阶距离:8 R6 Y  k" }! Q$ h  e. A8 O
    E ( Y 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ y 2 f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( μ 2 + σ 2 t 2 + 2 μ σ t ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 26 m5 x, k& _3 ~8 Q* z7 D* w* E: _
    E(Y2)=∫+\infin−\infiny2f(y)dy=∫+\infin−\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫+\infin−\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2  U  I. x# t, y2 A2 ?# ~& j
    E(Y2)=∫−\infin+\infiny2f(y)dy=∫−\infin+\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫−\infin+\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2. ^+ D* Z: i9 \7 ]$ C7 q" n
    E(Y
    8 A6 w. U4 V7 Y2
    " F6 j) l5 m' ?) P) Z )' ]' E( A" b6 Z
    ​       
    7 \! X* R# p% r& M% i  # W5 J& q& _  m  w+ J/ O* D4 V
    =∫
    2 I* ?4 C4 h  J4 E6 w−∞7 M+ I# B5 i4 @( q
    +∞. d" _8 c1 e6 x; h
    ​       
    ( {* ~! p# I% P% o$ U  d y - E/ _  s+ n; a5 U. f+ b: o/ n
    22 c% Y( g) F5 T5 [) q* i& O% L* U
    f(y)dy4 o; K  z( O: w% `5 C/ r4 ~, t
    =∫
    - u1 P7 k7 v8 N, n: ^/ t- x, [−∞" b) \! p$ q* X9 E# {+ Y
    +∞
    ) q2 o( i/ P2 t- F" ?​        0 r3 @* |' q5 [* r. ]& P! ^1 X, s
    y
    9 J0 U+ F; T' J2 {9 k( Y: V- J: x' n2: e3 D: T: ]7 z; U6 i
      
    5 u2 x# S$ }8 u9 b1 H! u2 j& L9 [σ
    - s! v+ Y0 u" A6 Y7 o4 p20 E! ^; i; L  ?* E; i! V
    ​        0 D7 c+ q- O# s
    ϕ(
    4 _( y1 @8 h: z/ w  j6 Hσ
    * C, p, p( C% {8 dy−μ
    # {( P5 @, s2 n$ H, E! a) R  L​       
    & T* N, S* }) `/ v- t1 G$ c4 b& b )Φ(λ - \: i% o2 B; Z4 e
    σ, k! }( M: Y* {3 L! K! f8 C
    y−μ
    % ^% ?) X8 P. S1 |$ R8 n& _​       
    ! u; h4 B) P, t* N )dy(标准化换元(t= ) `7 c0 p" q9 ~2 d+ E. B# P
    σ
    4 @8 e" D* C* e7 L$ vy−μ6 I- p8 u9 F, @# M
    ​        , }) r: D* ?$ C0 A* A
    ))+ M) ^2 q) m) r! S
    =∫
    $ }; m: l5 c$ `+ h$ ?−∞
    + N! D. N: L: ~% y# u. m+∞
    $ R# z# {+ ]3 j0 t6 u) K​       
    * P0 S. A" O7 T$ M  B 2(σt+μ) ) y/ h8 U0 x8 e7 _. o
    2
    - q4 r' e! N, }- M" j ϕ(t)Φ(λt)dt
    , m4 Y; l9 s: U3 n+ }2 [=∫ 2 ?- b# l- t# K* r, G
    −∞
    + O2 i, r* \0 ?! n( o; F+∞, O- ^/ R" L% @9 x4 V5 z, T* g" P
    ​       
    ; f5 r! k; H+ C, E 2(μ
      w  d/ X4 j. k0 h2
    * u, j" e2 R4 g+ J$ h9 B2 a2 X# G1 i
    2
    ( e% W- ?1 T/ X/ V# s) o t
    3 \8 a* U& {' h2 t: F1 J# V2" I# X2 ?- z1 y( X$ h" n0 G3 E
    +2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt% j) k- f. _; ^, S3 K

    7 h2 |. s9 ?6 q7 @# ]! ~2
    $ N% f! E, n7 c) p +2μσμ
    " X, M5 F/ y, r; D0$ C9 D* C0 c+ E1 |
    ​       
    & a1 Q, u. j) |" |0 ?/ o/ o
    5 ^4 `: G/ G% m- R3 {2
    : p/ ^9 U" W! I7 e  l( ]: {* `- G1 U
    −∞
    3 [% P2 v  D9 r( }+∞
    $ j% j0 `/ o* M6 _- x% D, t​        9 J# q8 O/ }& ]3 `- |
    2t ( m2 y: m, t1 ^7 ]+ d6 b7 c
    21 o; k' @& H( E/ o8 O8 T* S$ J
    ϕ(t)Φ(λt)dt
    0 M- b! V" N+ f! O% ?
    1 Z. L+ {/ H& Y! U+ O2, H6 x; C* ]7 e
    +2μσμ ; y2 N6 U' f; g. b5 g( ^
    0
    8 g4 G0 @: {7 s8 a/ w$ A2 p7 v6 z5 h​       
    2 H. a$ [- `$ d1 A; \8 e/ W& Z
    : a& a0 D! Y4 C2& x4 s+ p$ y! F
    ) }8 C& x7 F( v" P
    ​        5 R# }3 _. z+ M, M& Y

    , S6 L9 A9 d8 |' A/ q7 t! o2 Z; z, ?" L! }7 [

    # Q6 Q( B  k- Y/ z* G! B3 F& _方差为:- ?4 C6 A1 F' E
    D ( Y ) = E ( Y 2 ) − E ( Y ) 2 = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 − ( μ + μ 0 σ ) 2 = ( 1 − μ 0 2 ) σ 2
    " F: R5 y/ e' cD(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ20)σ2
    5 Z0 ?; X) V( l) kD(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ02)σ2( F$ y  ^. ~+ s& y8 {: ^
    D(Y)
    : `" A) V5 _' E2 }4 I/ m​       
    , }* w0 B( S& g: w$ J3 Y  
    : Z: Z$ N4 e1 q=E(Y
    / I9 u/ g* ]% D+ T2, X% D2 L8 \0 g/ n* L7 f  s% O) O
    )−E(Y)
    3 [8 O1 P7 ~! W7 L6 t8 j* v! o  p/ S+ q9 w2
    . G' t! W7 O3 V" c% Z9 w
    . r, o( g  ?/ K- y( M) Q& U; G8 x$ [2 ~0 H5 }9 u
    2
    + x( d3 p3 F% L$ _7 \ +2μσμ 4 V6 y9 ~: d4 [: ]+ b
    0" @1 T; g3 S! O2 @% x% ?
    ​       
    4 Y* X, F- U. k. r% E# _
    . b0 ^8 Q- B  J* x$ H8 p) s+ _! I2& y+ D' _, U) I+ Y; B9 v* R* n7 H4 P
    −(μ+μ
    ) Z  X/ c9 R% o# f3 O0. n5 ?5 C& |( O9 q6 Q" H6 W
    ​        + Q( K3 |9 A$ d/ B
    σ)
    1 |4 A5 ^/ A4 j2# Z+ A6 {: r( Y/ f

    1 I, x! f$ W/ c0 ^7 }( H1 H=(1−μ ; Z' j- Q7 N7 q8 u* p' ~% Q+ y; z6 |2 |
    0
    # I& b- x* \8 ^. z. h2
    * v1 Q/ g, P$ _5 ?0 L% C​       
    % S9 X4 q9 G: w. @8 o' p! d
    " k# L+ \2 B2 F- L; C' q1 Y2' j* I1 s; S# ~5 E8 I: U/ ?3 s: Z

    ( A, z6 R! a. e: k​       
    3 k( j# F2 ~1 T6 b5 _- S7 [ " [2 B7 M8 i4 o9 n0 p/ H$ |
    / i$ e8 _9 _. \6 N5 F8 f

    8 m6 e5 t: d# ]+ u( Z. f& [* h4 {令:
    6 \+ b0 r" O7 V+ V% T" _6 yσ 0 2 ( λ ) = 1 − μ 0 2 = 1 − 2 π λ 2 1 + λ 2 \sigma_0^2(\lambda) = 1 - \mu_0^2=1 - {\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda^2}{{1+\lambda^2}}
    , P0 S6 R( @& @/ S- X" gσ 9 C( F7 a; X/ ~+ z
    0
    , L% o9 \+ z# L0 f% i  x% v; p2
    " z  M% p9 q6 c6 E) w​       
    6 i! ]( b' {" {; u+ _ (λ)=1−μ
    : Q! X  L9 x6 \& y5 H0- @8 Y, z; r& B4 V: Q/ `0 G
    2
    1 ?$ J7 ~3 q  t​        * d, U: U& }& W- l9 l& i( Q" k  r
    =1−
      e# N$ ?* y( |: a+ m9 Zπ
    # P, A$ o/ n" @* o2
    9 Y# r0 a9 \; v8 [5 w​        & X8 O$ F# d- p6 E4 K; A
      & Q- @- C- X* `6 D- e4 O5 f, Q
    1+λ
    " o- y9 f$ R! E& t. T2& H; V5 U. N7 b8 i; ?6 m; j

    . O- N9 T; `# v0 fλ 8 `) J9 j+ a2 T1 a! l
    2+ b9 m( _$ s( U; C* k
    + m" {" H. }8 I$ t% B) r" d$ W
    ​        ( ~  \1 e% O7 l4 K! A5 k

    8 k/ D6 U& x! i+ b4 p0 S/ B" D4 _/ x) ^( U0 N
    5 A: P" W4 K: P  q3 {+ \; {$ V6 S2 Y
    有:: I2 h4 u& o3 s9 D  j/ V; ]
    D ( Y ) = σ 0 2 ( λ ) σ 2 D(Y) = \sigma_0^2(\lambda)\sigma^2
    2 D5 q) V4 \2 v: ^& w7 o! e, K+ VD(Y)=σ
    ( v3 F6 s7 v0 U# ]0
    * K- M2 Z2 N' }1 Z5 `  A, W2: R# y9 u) d3 i4 ?; z, r) D% \
    ​        . n/ J* L) F# U. U2 m
    (λ)σ
    ) |6 o+ m- {9 x2
    : X$ U) P- U( T+ I: v; { . `+ y% t7 T, }
    6 |( A8 p' x" E8 b2 I

    2 ?1 C+ V. q; w8 [9 O- P/ k2 b; d7 v注:2 a& P. v+ Z+ `1 w9 e
    0 _0 m+ {1 F4 N  z5 m

    . w/ [% o1 I+ ?4 |在推导中会把μ 0 ( λ ) \mu_0(\lambda)μ 4 z2 v$ n' ^5 G3 _  A
    0; w& ~3 `7 e+ R& t& {
    ​       
    4 }" _# Q5 [5 Z2 e' \ (λ)记为μ 0 . \mu_0.μ , c9 e1 i) N, j0 d9 x! I$ R
    00 d# j" Y' B2 B* _  \
    ​        0 F! q' Z( [7 I8 s
    .
    , H& G: y; @0 i在推导中用到K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t K = \int_{-\infin}^{+\infin}2t^2\phi(t)\Phi(\lambda t)dtK=∫ : d( F8 \. r% B( F( R% F8 Q+ p4 Q
    −∞- q7 J/ g( `: l3 g% i4 X
    +∞
    # ^& Y- N% _& t5 L​       
    5 K- J4 X" k9 f. {* q 2t
    2 o! N4 S$ a" e9 B; r28 z' }. G5 l/ Y/ R0 [( F7 ~
    ϕ(t)Φ(λt)dt = 1,最后我们补齐证明。" F9 Q, F2 m/ w, F8 S# }, ~7 k1 x
    K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 改 变 积 分 限 + 分 部 积 分 ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 概 率 密 度 函 数 具 有 规 范 性 ) = 1
    7 ?& J% `# @8 ]5 }( GK=∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫+\infin−\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=1
    6 m5 s4 S, {, T& J* E; RK=∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫−\infin+\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=1
    4 [2 G* U) |7 Z0 c- F5 [K( m+ w+ Z7 p* A( q0 B- |9 n) n! B
    ​        ; u$ E) T" p  H
      2 r: \5 U0 O# d, K6 z
    =∫
    1 a' P5 O" \& s( {−∞
    6 t3 |; M! b* n& n2 l2 O6 w+∞
    - p! S/ E5 e0 Y7 ~  D! M​       
    : T5 U" s+ u0 J 2t + `/ B( g- D5 B, F
    2
    8 o7 K- ~" F9 k. H+ W ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)
    ; g; R* s/ F3 Z=∫ % r! P- C% Z/ m
    −∞/ _! N: _6 b) O/ S
    +∞" j3 c# w3 j1 x- p
    ​       
    : A* m6 K  \$ U; D/ u 2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)
    6 T: x% N% J9 o6 W# f=1
    ; E' A8 b. e' J​        ' P1 k7 Q- K$ K' Z6 V

    ( Y  g6 ]: g8 R0 R7 @
    : H  s4 G+ s  d( {" }" Q9 |
    ' ]1 H3 e: }, k& }
    3、不同偏态的偏态分布——R语言
    & Z  l3 a; F8 |0 a! k1 s0 N2 a% j' b, M本文代码主要用了闭包以及ggplot2包。下面贴出代码和图片就不具体注释代码思路了。
    ; X- F7 P! q: U2 I
    % k0 E: d0 v( m0 h" n& m

    ' i9 K' I# F+ u6 T. r3.1 代码
    9 b5 A/ l) s7 m1 {- l: i: y- plibrary(ggplot2)
    # E) Z1 U, \) V: x: @6 G: Dnnorm <- function(mu = 0, sigma = 1, lambda = 0){
    . s6 d/ p2 m  x$ c4 k  function(x){6 g/ V# A8 r* V" r0 p- M
        x <- (x - mu)/sigma' {( r) _7 r. w. F; f7 J6 `9 h
        f <- 1/(sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2)*pnorm(x*lambda)% I$ u% ^3 C* _; Z' W: G( ?
        return(f)
    1 w/ u- m; B' \  }$ V7 d# J& Q4 _- k! o9 K4 g
    }
    5 h0 B6 }6 D4 Iplot(nnorm(), -5, 5,ylim = c(0,0.37))/ O6 r' _$ \# \
    plot(nnorm(lambda = -5), -5, 5, add = T)
    6 f7 M! x1 ?/ j5 D9 a$ i, h5 @plot(nnorm(lambda = -3), -5, 5, add = T)
    8 s" T- L& l) m) [! x# splot(nnorm(lambda = -1), -5, 5, add = T)
    ; o3 ?) J# [% c7 q2 eplot(nnorm(lambda = 5), -5, 5, add = T)
    5 Q$ b. q3 y8 Q4 g, qplot(nnorm(lambda = 1), -5, 5, add = T)* e& ^3 p: |% L, z
    plot(nnorm(lambda = 3), -5, 5, add = T)
    3 [4 v7 H  J: }7 R
    9 M" A4 E( F, f, r
    + X. c& o* A8 A2 D
    x <- seq(-5,5, 0.01)
    ! A' E9 H; |5 d$ o( X# l* vn = length(x)
    - y, ~: m- P+ q# G# JLambda <- c(-3:3)
    * a+ J7 w. g7 C4 z7 @Data <- data.frame(" R- L- ^8 c, }  U8 {
      x = rep(x, 7),$ Q; j$ d6 j" i
      y = c(nnorm(lambda = -3)(x),nnorm(lambda = -2)(x),nnorm(lambda = -1)(x),nnorm(lambda = -0)(x),
    3 e2 ?3 ~: v" D+ }1 H3 Z  nnorm(lambda = 1)(x), nnorm(lambda = 2)(x), nnorm(lambda = 3)(x)),
    ) O/ v( s1 M$ I! a7 X( W, G* F  z = rep(Lambda, each = n),
    1 {0 q. _" o( Q# F0 @! n  z1 = as.factor(rep(Lambda, each = n))
    1 R" [3 y7 z$ x! B3 q7 a: W)+ `+ |- ~; i* b3 P; r4 c9 p
    qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z, geom = "line"), ]! n- `" {$ ]: Z' w
    qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z1, geom = "line")5 B6 x; f6 E7 q  M" b( B
    1
    ( t4 X8 j* |0 _6 R% v- a# a2
    " h; ]& r. P. ~- }3 w( K3
    : Z! F0 C3 P3 V+ G4
    1 y7 _( F& g$ k5& r, e5 O0 y% r# D6 |
    6
    , A5 P1 y- D: K: \% l7& z3 x0 J  g& S9 {* Q) S" j
    8' r2 S! G: k/ s8 K' j* M, G/ X- A
    9
    ! ]+ D& |1 ]9 F9 n: p2 `10
    ) G& @2 t' y0 p1 j; D11
    8 X5 A2 U% h4 V' W6 o1 A" j- D120 _- S8 ?3 g1 L1 G2 L
    13
    % T/ o- h- U8 V& c. y5 x3 v149 M2 m1 g# @& K7 }
    15* @' X$ u- r1 n6 E
    167 A, K5 f7 y( j  O5 x+ p, M
    17
    7 {2 x2 y4 _9 B+ t/ L0 v# p1 \% O18
    % V; y# `( {; h# O/ A194 Y- Z8 `1 @5 G
    20
    , _. ~* |; L; y; X, i# I( G# H% K* D4 ~$ o21
    3 h$ }* ^# W9 n5 \8 D* _$ i7 X22- u) O! m& g  @$ ^6 Y% A8 a5 V
    237 M  X1 Y7 ~# n( [0 U3 X% E- k
    24- w4 Y- n8 z" ]6 v9 o7 g
    254 ?; C* F0 V  n
    26
    ' q  c2 q, P/ i  o. r% n: e5 X8 h+ J27' W2 e' h$ c1 @. e1 c7 y: r
    28! G- {% f' T; }8 W/ {, O
    3.2不同lambda的偏态分布图
    ; G0 w- D4 t; t- v! l$ e# W+ F
    * P5 H) b9 h& g5 _5 R# Y* E* {& O

    & A, g$ Y7 S% {+ F! k! o( z9 p/ c6 M. i  n8 c1 m$ H
    6 W* {' q8 `9 h# f. ?

    9 [4 j% l5 O4 u, F' R
    / X. w5 X/ `1 v* D( E
    参考文献  h' I7 _0 e2 {  E( S, e6 ?
    A. Azzalini A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones 1985, https://www.jstor.org/stable/4615982 ↩︎ ↩︎( f) U6 Y! u6 l
    * U; F! @% [& {; C: ]

    ; f; {5 _4 \. E) O4 Hhttps://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 ↩︎
    " _" m* |9 L( s————————————————) L, s: u' L: N
    版权声明:本文为CSDN博主「统计学小王子」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。3 Q, Z. O- i, M+ K9 M
    原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_46111814/article/details/115607036
    ( K- m8 A1 m6 h: l  J" W
    . ~% r% Q+ f! p: ]
    ( c' b% r$ w( @* S: J( ^) L! `, A
    zan
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