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TA的每日心情 | 开心 2021-8-11 17:59 |
|---|
签到天数: 17 天 [LV.4]偶尔看看III 网络挑战赛参赛者 网络挑战赛参赛者 - 自我介绍
- 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
 群组: 2018美赛大象算法课程 群组: 2018美赛护航培训课程 群组: 2019年 数学中国站长建 群组: 2019年数据分析师课程 群组: 2018年大象老师国赛优 |
2 Q, |2 r3 x# k' t7 v$ Y$ s
偏态分布及其数字特征(R语言可视化)
. D8 ^( |. V [3 P目录/ z2 D6 \: g1 J. P q7 D& Y
0引言
! h6 J, Z1 P* X% d" K; Z1、偏态分布的定义$ q# E7 r2 a7 C
1.1正态分布
: m4 r4 I% @# n2 b1.2偏态分布
% s1 _4 a% r% r9 F9 m2、偏态分布的数字特征
9 _- @+ k7 H6 q% |8 |% q) c2 }8 _2.1均值: V, [" Q3 m8 [% ?
2.2方差
: J7 d7 i" ~: {+ q/ b3、不同偏态的偏态分布——R语言3 M7 t0 M; L$ W3 }1 ^- C
3.1 代码
8 E4 T- Z: p3 @2 t5 E$ x5 ]3.2不同lambda的偏态分布图2 E4 p1 w" o p+ u7 C3 C# V: c/ G7 Z
参考文献) @) m! Y0 x! j+ e
0引言7 J6 H X0 ?2 r. W
偏态分布是A. Azzalini1在1985年提出的,本文主要介绍正态分布到偏正态分布的定义,主要展示偏正态分布常见数字特征均值方差的推导,以及使用R语言对不同偏态的概率密度函数进行展示。
# A- ^4 M% b$ G/ h
: {0 x8 o! Z- q. O+ E1 O2 |0 J, ?4 g4 d# N H- H
1、偏态分布的定义- P( p K/ E3 a R! L: ~. l
1.1正态分布
9 p7 R+ L/ m8 j3 C正态分布2,又名高斯分布,最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。9 Y( v7 {3 q8 u; P
随机变量X XX服从N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ
' R, Z& s6 u0 k2
9 z# H8 x# G+ N9 E; v )正态分布,我们分别记ϕ ( ∗ ) \phi(*)ϕ(∗)和Φ ( ∗ ) \Phi(*)Φ(∗)为标准正态分布的概率密度函数与累计分布函数。
# y; _' ?$ E' X+ Y4 n% w& H, d定义为:% t9 ?4 f) T% T: g! ?8 ?$ {
ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}& B0 m7 x+ T8 X
ϕ(x)=
3 A6 {- a! |/ Q E) S2π
6 l% K- t8 y: Y5 S4 K" P( l , T3 ?* }$ `6 W- _/ w
9 p% K/ N2 S; |9 s3 d/ g% ]
1* {5 c8 n* k; I1 q' M
8 k7 T1 Q8 M) j4 ^: s. S
e 0 _, _# Q c, k/ M% C+ X) v1 H4 {; b
−
8 Q" {, q. P: p0 a* V, ?6 N6 v- x20 I$ c. }* N" \( {
x
; d# g0 |& p' [+ d2 W) Z2, B' X+ T0 o4 K
2 R- R3 j+ W6 H4 i. _ ) u5 b. S _0 d
% U( Y3 v! B1 C7 L$ w) G- I" x
7 x/ l9 K2 _* Y9 L, L8 ~
q7 l6 d4 q1 y: R3 ?% o. j4 U2 x( C5 H. F8 u) X1 @8 ~: i) y
Φ ( x ) = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t \Phi(x) = \int_{-\infin}^{x}{\phi(t)dt}
; @4 G& Q8 l5 cΦ(x)=∫
" y4 D8 s1 r- ?−∞$ [, H* n9 b& ?1 b. F! U
x; I, I1 z+ _* q* P
% x& N$ F2 @! C- m. X L ϕ(t)dt
; N6 w$ {" c, i6 N+ i, V- @% e) A- F% w
4 h7 t6 ` V; d( q% y1 b
随机变量X XX的概率密度函数和累计分布分别为为:
9 [) Y1 l1 ]# ^( |$ y6 q6 k& rf X ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
% }4 T4 ?3 x1 [' G! m4 r" Y( Sf # [0 z/ z' U/ o1 O7 ~, |, g- D
X
; W% k8 A2 [5 \1 R* J$ m " E1 s( W- B8 Y" a
(x)= 7 @9 h R1 o* `) I* f- u
2π$ s4 g+ V3 [4 o
/ n T. M% x. z( W, ?% m
σ
7 u6 B$ w. i: c' V( C9 w16 [7 O& U2 ]" U* l! W/ U
; ?: E1 B+ h, H& L6 i e
: E! k3 @, Y; i$ A; v! H−
* u/ c0 ]- P! b2σ
6 C, G; j5 Z& R+ T" Z9 Y% @2
% g/ Q; o. v) Y* y. B. _. U1 @' L: E ! ^- O( A$ a3 j
(x−μ)
! q0 o- b# S# [. p2
. \, j; C0 a4 \ - a, [- k4 b$ z) B
0 Q4 d: }# S+ E ! I2 W& s; Q0 B( C1 C
: D5 E7 t% w" `
. k+ h( s/ _: {& ?
+ [' ?0 g1 L6 \! W; k; rF X ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F_{X}(x) = \int_{-\infin}^{x}{f(t)dt}
$ Y1 C7 f% q5 a7 W( KF ( z8 d G1 T2 |. k& k: y- Y
X6 e1 z. q; O/ o# C. Q8 i+ M
, R/ X5 Q z) J, D6 z
(x)=∫
; p$ n: d9 A' [+ ]7 A−∞
4 Q1 v6 Z4 u& I9 s' {) J6 sx
; L; x2 w) Y. l" J2 Z3 ` * A0 E; w h, j; d) |) B
f(t)dt! F \, a) _' Y$ ^9 G, Y
2 H8 _( b F' b. _
+ L5 k, j% r7 h
1.2偏态分布2 P6 {% T/ E- T
A. Azzalini1在1985年首次提出标准偏态分布S N ( 0 , 1 , λ ) SN(0,1,\lambda)SN(0,1,λ),引入了偏度参数λ \lambdaλ,其概率密度函数是:: f2 f$ [: J: M0 i4 x
f ( x ) = 2 ϕ ( x ) Φ ( λ x ) , f(x) = 2\phi(x)\Phi(\lambda x),& C* E/ ^2 w. g0 e- R
f(x)=2ϕ(x)Φ(λx),/ F8 A- ]1 X9 f- M: A _
5 v+ }7 y' v3 A3 @* I2 K
- |5 ~& k5 N) A; e8 eY YY服从S N ( μ , σ , λ ) SN(\mu, \sigma,\lambda)SN(μ,σ,λ)的偏态分布,类似的概率密度函数有如下定义:
- H0 q+ ~ F2 ?6 Q( r" yf Y ( y ) = 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) . f_Y(y) = \frac{2}{\sigma}\phi(\frac{y-\mu}{\sigma})\Phi(\lambda \frac{y-\mu}{\sigma}).
# J/ ~( p- o7 Y/ l8 A+ o" Vf * f: c5 E! d4 T0 E/ B2 x' e
Y
7 B. N8 N# A6 e1 ] a2 w
. A2 r' G% s* W( e (y)= / R' F$ J q" b( `) a& I& e8 X7 R
σ
# o; E3 g. G) U0 x+ D25 G S' v) X# Z9 W6 I, b
d, w! O n; H9 S9 d
ϕ( : j6 L6 J; N$ _! ?( L {1 U
σ
p* p0 Z! X5 _3 ey−μ
* W; G( h* O4 b2 T& ` / \2 X7 u% V3 e: f. A/ u$ Q: z0 A
)Φ(λ ; A9 F: V) \8 w# V5 |1 ?" @+ ?9 J9 p3 E4 L
σ) f) M! s( ]$ P/ h9 L% A1 I
y−μ2 b) {! Q* A9 @+ b
5 ?1 X% m& M- s. ?7 ] M+ c g& U% F* E
).4 ?0 c8 K$ V+ c }2 `
* J8 [; e" q, J. u& k0 o# s2 Q2 ?! N; S4 E+ ~
可以看出当λ \lambdaλ为0时,该分布退化为正态分布。下面我们来随机变量Y YY的均值和方差。
+ N, \" U, X6 G# m8 J% C/ I! E# Z: K: g
& K+ Z4 @( j+ K7 w) i9 R2 H: X
( T) @# t& x9 G; v" l2、偏态分布的数字特征! Q1 k* z, b2 y- T. I6 u9 J
2.1均值, p7 `& X5 n- \& h0 r5 u
在1.2节我们定义了一般的偏正态分布,这节我们推导偏正态分布的均值。
: ^* H |0 x6 i. GE ( Y ) = ∫ − ∞ + ∞ y f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t ∫ − ∞ λ t ϕ ( k ) d k ( 变 换 积 分 限 ) = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 t ϕ ( t ) d t = μ + σ ∫ − ∞ + ∞ ϕ ( k ) d k ∫ k λ + ∞ 2 2 π d − e − t 2 2 = μ + 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − k 2 2 λ 2 ϕ ( k ) d k = μ + 2 π λ 1 + λ 2 σ8 }+ W d- ?7 D3 {; k9 Y
E(Y)=∫+\infin−\infinyf(y)dy=∫+\infin−\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫+\infin−\infin2tϕ(t)dt∫λt−\infinϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ2tϕ(t)dt=μ+σ∫+\infin−\infinϕ(k)dk∫+\infinkλ22π−−√d−e−t22=μ+2π−−√σ∫+\infin−\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2π−−√λ1+λ2−−−−−√σ: p! o2 n, J7 a o9 N' S
E(Y)=∫−\infin+\infinyf(y)dy=∫−\infin+\infiny2σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)Φ(λt)dt=μ+σ∫−\infin+\infin2tϕ(t)dt∫−\infinλtϕ(k)dk(变换积分限)=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin2tϕ(t)dt=μ+σ∫−\infin+\infinϕ(k)dk∫kλ+\infin22πd−e−t22=μ+2πσ∫−\infin+\infine−k22λ2ϕ(k)dk=μ+2πλ1+λ2σ
$ A# m8 H( P" v4 kE(Y)1 E5 \3 N: @) g! {( [3 W
+ Z# I y1 p- M' o8 K
3 ~/ N+ p8 I& j5 ^) d
=∫ 9 {9 | h% O* C" I8 t) \
−∞4 A j% [; s& M- Z. |" Z* f
+∞
# {' e* ~: b7 ~; j( H
4 M9 c/ p/ W7 O% {4 B7 @ yf(y)dy$ l& M; L% r$ G
=∫ . o+ f, n$ x$ [" }
−∞
+ e/ J' m7 q) R+∞
, g w/ ?9 V5 D* p6 ?/ t% f 8 Y+ v- A3 A( e9 ~9 a2 {9 Z8 i
y [ r2 S0 M: l: [' r
σ$ L: v) M, {0 x5 H0 k# ^7 k
2
8 a* ?' B1 c; y2 B
* s F) \' r z# G5 _8 Z& h ϕ(
g) D; Y' p2 h/ Qσ* D/ I5 p3 D- |: @/ ~
y−μ
" w6 x+ l* b! X3 o
, [/ ?0 W! B( q% O )Φ(λ
1 Y8 W" d4 V8 G8 {4 \. bσ
: p8 j4 W9 M1 i3 Iy−μ
$ T8 S( ^# K" S* [1 ?+ w) y " y1 d @/ {0 M. w5 L( J) b R3 I, X
)dy(标准化换元(t= & r- }4 w- g: `9 t& } U* d
σ
7 D. Q6 r; B( Sy−μ
4 j5 W" W7 W0 c& {! w8 e5 V9 p / \# z# X6 X6 m/ C0 b$ T
))
+ U# I, l9 E* B9 f0 p2 K1 R: W! a=∫ . ?/ q$ K" Y- m D2 |' ]6 P# `
−∞
o8 w, t0 Y k5 V& X$ C+∞
3 y! z5 d5 q& {: y
0 p, l0 L( T" I2 x7 A1 N6 v: F 2(σt+μ)ϕ(t)Φ(λt)dt% I/ ~! b- n0 X2 G u
=μ+σ∫
* [; U9 I: h i−∞
, ^7 w+ d+ @& m& Y+∞0 m: w; ?! p, ]5 @8 O
f/ ~9 `' b3 }3 O# _
2tϕ(t)Φ(λt)dt' b/ T4 R& ` `# p
=μ+σ∫ 6 R% ~% ?7 e! N! A
−∞- V" P* |* e$ L& i
+∞. o. @! K& B( {/ N
- B( w9 D8 [. P* }$ h
2tϕ(t)dt∫ ' e/ W: o( ], d4 K2 B1 n C1 f4 D
−∞; g: D/ A$ s' c# e# ]: ?; E5 Z
λt) P& ~' M7 s- Z- f# r# ^
( `3 s' J* |( b. }* X* P
ϕ(k)dk(变换积分限)
9 J, J6 ~2 ]! s1 L% c, e=μ+σ∫ 8 }/ O* W( _2 j/ u9 N
−∞
) [8 W8 Y) F# v9 s; A, _6 h+∞
. |" E. _% v- g" ]- B
; y _, i3 J; }0 Y ϕ(k)dk∫
5 V& X/ ]9 ]; d0 |0 U) ]# S9 sλ8 Q5 P; A$ a1 D& _
k
! y6 ~5 b& }- U! R. U2 _* E. a6 b / E$ Y6 `$ k9 w6 p
" ~3 Y' E \# W! _9 X
+∞' l4 q1 G$ \2 G- Z- P0 [6 I- F- d) X
% ~" q/ M" w6 g7 T( b0 d$ G 2tϕ(t)dt
/ j1 t. B7 W+ U: N6 y=μ+σ∫
: L0 U( ? O; J, ^0 b1 j−∞ k1 a" m. ?& d% C
+∞' R9 ^, z) q0 m, P9 _
! j. ^. e; E3 T5 V* t2 M
ϕ(k)dk∫ 3 m s4 k' C4 B
λ
$ y) B [) u) b6 \k
, d3 L* ~- t' S9 G
; M5 T% d( W% M9 L# |5 F+ e) H
2 O0 ]# I8 l) X& o& T8 r+∞
" ^# g# {- n% n3 g; i8 n) w4 @% R9 t
% R4 j3 G" @: E: l/ O* t : ^) ?: ^# R4 w; ~
2π
& [' u6 y* o3 E! A% D$ S, J/ l" w; a
6 S- R! b( L5 U8 `3 X+ D6 \
8 x6 T% {9 v& Q( I, r9 n6 E0 l2
& U. X6 K* n$ n0 Z7 `7 x % R1 w1 m5 n, @7 p) d
d−e 8 _* b$ [" \6 Y0 ]9 Q' R
− , [3 G, V! j5 F4 x
2
" \$ `+ \' A: M {6 p* {, Z% ]3 Vt
# p: W* e7 z" b2 x27 {1 T# j- r( L' v% f5 o/ ^# N
% X( F: l, V) {& k# X. W
! W) Y% F) W- l' a7 J. q l ; M$ I t1 N0 S5 |1 E
/ i+ a! e' c1 K, d, w0 V3 \
=μ+
8 i6 z. c) o$ ?4 c9 Kπ
0 f5 ]( H5 }9 U- n2
# p2 X0 X! j3 G* F2 b 3 ]9 u, p2 e, e3 I) g- l
9 L. f" n: W. L0 b9 h: k7 e
$ s3 k( @$ D; z; d: E
σ∫
& a, i# V8 f! d4 |1 L7 ]−∞
* _3 K3 w: F8 w4 l S9 o$ ?$ `6 F+∞3 G6 b r. G3 r, h- T
& f+ R8 v7 j, J; L3 s! O; Z e
4 `" S7 B! S/ e7 h0 l( c−
' e0 y+ ?8 A( [. M) h7 ^6 T4 P; _2λ 9 `4 |: _! M. V( H& d
2, l3 L% l, A* B( R/ E3 |
+ j( X# |$ P" B
k " a) e- u i2 x8 x( L; n
22 Z( v. a" g# p% f% g: T
5 J9 F) r. E7 K* N* G, F
6 y8 e9 A6 h, R- i; ~8 \. s
; y0 t( C& I. C8 U# P ϕ(k)dk% _/ Q; q! `6 O8 g' {, b. |
=μ+ - d9 H! H$ N2 }2 @ l: N; f
π& `6 m3 s+ [7 Q0 w# f j
2) i, d# y0 M! H2 |7 a8 a! w
# n u! }; i* Z$ v: }* P* _ ! N1 D o+ a7 J$ B' \" [2 K
_* ~' z9 c9 l6 H5 f$ t' H' h9 F
* j! h) ]6 N- q- Q! r
1+λ 5 A; R- Z, F" z k+ n0 R8 A
2
/ U0 b/ Z# ]- P! x& {- y# _' K# ^- l
& `3 o5 `- d" ^( M2 t * O" u; z6 T! C4 a. P5 T
5 o+ U+ s7 y+ z$ _7 A; @6 x" {λ Z8 J6 @' F6 D( r5 q+ S G
: j" E" Y# d2 P/ X
σ* }7 v' V9 ?" k7 _2 l# e( v
D, T7 R% U% c) O
N. A, \( B3 X! C# G: [令:
* s( R+ h- C1 @- t1 [9 W' Rμ 0 ( λ ) = 2 π λ 1 + λ 2 \mu_0(\lambda) = \sqrt{\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}}1 ^, Q/ i! i9 k. A2 `
μ
8 q+ B& f' v. K. \& I0
5 b* j! ?, p% c/ ?& N! H ' T/ ~" e! v3 _# s
(λ)=
; M" A& `: I" W$ y: N Yπ, L' w& e+ U6 Y. Z+ D
22 Z$ c9 z* ~8 R/ p( k2 C
% p' P, H+ L- Q& T0 u( F
3 o* U/ i& X s) x
, W% z' @( o" w5 G" A9 { ( J3 N8 y3 |0 M; \2 L% Q
1+λ , L! ] m: c( S& ]$ S6 b( L: R
2; t2 o1 Y0 y- D
& o: r" w5 D) D
5 m* F! ^2 ], A' p. P/ {' z- |
H+ l$ A7 t/ Qλ. O- p4 ` ~' K. D
4 @$ `5 V) j9 U2 {6 C* c
7 D+ ^( Z! n; G0 Y1 W
1 S9 a3 P# W. q6 Z: M! ], L; }) i. |8 U( ]( j
有:2 m- K4 h4 _3 j. @% T) P+ ?; F2 m: [' e
E ( Y ) = μ + μ 0 ( λ ) σ E(Y) = \mu+\mu_0(\lambda)\sigma3 r- R. F# W' M- G" Y8 l% ?% M
E(Y)=μ+μ
. H8 Z) y' k) T6 k x! @+ `4 U* h02 J! s Y, J( D& l6 i3 H0 t" r
1 z9 c4 R+ t0 Q. G (λ)σ$ W+ A* {1 V( b1 n. @ I9 o8 X
% j/ J; G( Q$ i: Y0 s$ ~! v! ]6 I9 g
2.2方差+ B2 t8 T2 A6 t( {% [* \
按着正常步骤求方差先求二阶距离:
) v5 a- H$ M+ ZE ( Y 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ y 2 f ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ y 2 2 σ ϕ ( y − μ σ ) Φ ( λ y − μ σ ) d y ( 标 准 化 换 元 ( t = y − μ σ ) ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( σ t + μ ) 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ 2 ( μ 2 + σ 2 t 2 + 2 μ σ t ) ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2
) y4 _6 o7 \+ S5 hE(Y2)=∫+\infin−\infiny2f(y)dy=∫+\infin−\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫+\infin−\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫+\infin−\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2
U$ F; s/ X' @' P$ f HE(Y2)=∫−\infin+\infiny2f(y)dy=∫−\infin+\infiny22σϕ(y−μσ)Φ(λy−μσ)dy(标准化换元(t=y−μσ))=∫−\infin+\infin2(σt+μ)2ϕ(t)Φ(λt)dt=∫−\infin+\infin2(μ2+σ2t2+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt=μ2+2μσμ0+σ2
: u: F4 U: w6 i# K) UE(Y
; j6 d1 G9 e* F: J& |2
5 l" c% j5 ~5 B* d+ D )
' D6 v8 f6 E) I; g* { $ t1 U7 C/ e& V$ ~
$ Y! O: ~; _5 r: B; A
=∫
, n3 m- q$ h( b$ m−∞
2 _0 o) R1 D& [" _0 J+∞$ x9 e' I7 E. W
2 z r7 ?4 o! ]3 M
y + Q, U- g' D( M' ?* n! \5 q, w6 {
2
1 {# q+ J7 G; R8 b" F f(y)dy
* f7 t7 E( p* }% V! U=∫ 9 @0 B% ?! n) B) J/ C1 h; W1 A) T
−∞
+ w7 L T: ?( c: X: |8 ? C2 r+∞
0 q- M$ w" {! B 2 W' r# [ _5 \! @# t1 f
y + A3 N0 q4 A$ T
2 ^& H6 v8 c" F
5 W7 W$ Q: s& D9 f1 g' i7 M6 y1 X
σ( `! k5 X' H" f# ^0 z M
2
+ N- w& D6 c6 r2 W8 Q# \; A 8 V( m* I/ U% E$ l; R5 ~4 H
ϕ(
. ~9 X" u" c3 X* U* eσ6 A! @& x# D: a% J: k- d3 _
y−μ" ?1 J/ \1 ?1 b6 Y
" Q3 p7 Z% R$ E G! X )Φ(λ
2 ^: k# e2 u7 ?σ$ b: M% z* H. h! @/ U
y−μ
0 m% T6 b+ i5 s& d( C. b% R
6 m. G% v- _' b" ?9 R )dy(标准化换元(t=
; w C; [! f6 @3 n5 A6 w6 ?4 wσ; F. `% B+ ?/ y
y−μ5 w1 O Q7 A$ u$ n+ [
8 \" @# o& F3 `2 k
))
$ H m1 Z6 b# L=∫ 1 J e& \7 A1 M/ r: D1 L" j8 a
−∞& |% m: q4 w2 f: N8 S, A2 [8 c% ?) w
+∞
- V* @8 c% H/ j* L
6 x& W& r) s- A8 x! E- H 2(σt+μ) 5 Y3 H8 u. H, V# f3 S+ w
2
" \1 ~" h7 x6 o% Q ϕ(t)Φ(λt)dt/ ?4 Q, y8 r* V8 X
=∫
. a+ t& G, y! x% n, W/ R; `−∞
) Y, n ]/ T3 C2 j0 q+∞; _# c* S" O( n y: } {
, N* i6 P$ C1 L 2(μ
4 M- _1 r- D9 \- Y, @29 H. C$ y2 h6 E! R) z+ t+ P- X
+σ |7 \" H) d5 ?4 d# C+ _% ^! B
2; }, M' i! u5 z
t
4 d+ p) p5 W$ ~2/ t! g% e5 Z5 Y- o; H0 v5 w# z
+2μσt)ϕ(t)Φ(λt)dt8 D) A: ^. S9 _' A6 [, V# g( Y
=μ
j, z1 m. h! } O3 g6 O28 v6 f0 e; P7 ?% c3 N K# ]: p
+2μσμ + r8 u1 P, z% N7 y" f
0( n8 x0 n+ ^" E
1 j7 Y2 _7 R% }* b/ d) @
+σ
2 A; F8 c9 v. R2 L4 s2
/ G* A# L* _% W2 ^ ∫ 1 Z% a" U( a8 l4 Q
−∞
. D' ^ q+ q+ U, A$ b7 b+∞+ H+ Y1 s; j0 B i4 ]! ~
: [" o1 y! |0 K7 F9 r. f 2t - I, ^. ~0 f" h
2. E2 {0 j. k' C8 j, _5 H
ϕ(t)Φ(λt)dt7 S2 A4 U: T! K7 b8 x( y# b( A
=μ ! P6 ` m) w+ ]% |2 p1 v
2
6 d% v T( i9 p; a0 x +2μσμ # s8 M) ~9 w( |" I6 Z$ w9 B
0! ]# |& H0 n7 }2 j* a
3 g* y, T: {# `6 V/ Z5 @( h
+σ 6 ?+ ~2 m$ U/ [$ t
2" B) B% [8 h4 Z
1 L& h" U# @: f: J7 S2 Q5 P
) E" ~. b" c& B6 W$ ]3 P
' G7 y- a8 I9 V! i' R; M6 m9 F
+ A9 L0 | R8 J7 p3 N8 [( P4 h. I8 ] g& c7 }* b2 b
方差为:5 v d" a: M2 I4 x. y& G
D ( Y ) = E ( Y 2 ) − E ( Y ) 2 = μ 2 + 2 μ σ μ 0 + σ 2 − ( μ + μ 0 σ ) 2 = ( 1 − μ 0 2 ) σ 2
; k) ~7 e% X# xD(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ20)σ2' a/ V, P0 b* u$ z
D(Y)=E(Y2)−E(Y)2=μ2+2μσμ0+σ2−(μ+μ0σ)2=(1−μ02)σ2
# o1 Z8 S9 u/ v) N4 OD(Y)% z0 [1 f3 V+ r+ M* V# \ [
% C) U0 v5 Y! I9 \
3 V8 Y; I B, R=E(Y 5 V8 h$ Q }% r) V) C
2( `2 [! A5 o, g p5 i# X7 Q9 ?# k
)−E(Y)
B& z6 H2 z9 {2 C% ?* D2
( ^! m& V4 }. b. g2 }' z - Q" L3 h$ K, U
=μ ( h4 F6 Z3 l( O J) F
2
9 K$ q8 X. m4 F8 q5 [ +2μσμ
# y ~5 a2 X. p) I2 {4 i. m02 [& X( v, A3 a& F7 y% E
4 P) I& ^4 e- o +σ
6 K; F9 F- e' O8 y5 e9 X21 a1 o, c( z: {
−(μ+μ
# }* ]7 }# ]6 \- C0 w8 P05 d z- W# C- Z' b/ s) x
! \3 f; \- R" N$ y( W7 f7 L0 d; S
σ)
% |8 ~) `9 `* N+ m( x' j20 A- [6 c; O/ I
' a( X7 L3 r& ~/ Q=(1−μ
U* u3 ?0 O) s# O0# I8 M3 g& o. T/ i5 W& ]" Q0 M
2# T6 V7 ?8 F- o! Q: H) r3 c
; M- t ^) d3 o' g
)σ
8 Z- W0 p a4 k2
& Z/ R; v5 y# O% q9 h T3 s( b ) c5 M; m. |8 k( Z. u' B0 P) q
6 q* W& `! h8 e- o/ ~2 U
2 g# T/ a' K* B6 T+ U" Q# Z8 B
, g# o* S% C0 s- F" \3 }8 C
令:0 o6 I; d2 d6 M& G! ?4 _
σ 0 2 ( λ ) = 1 − μ 0 2 = 1 − 2 π λ 2 1 + λ 2 \sigma_0^2(\lambda) = 1 - \mu_0^2=1 - {\frac{2}{{\pi}}}\frac{\lambda^2}{{1+\lambda^2}}
/ I% t3 U+ z6 y9 F) zσ
% o( x+ L" M" V+ X0 ]8 [* w; H; S
2
; E+ [5 w$ i; K% K ?
0 O) m7 b. ?# s. r0 V$ P$ N (λ)=1−μ
' O6 R$ \! M: I4 e( b03 p( d( a X$ N8 z( q
2
# N5 a6 e6 B. o& g& h3 Z( ? " N+ S# I4 q6 k* y: ]* o- E4 f% f4 X4 P
=1− - B* E/ ]& A8 ?5 I5 t- h8 L% j6 b
π
O) L3 H& i- n# t2 j$ D ]. M7 T$ U% W
4 p/ P* c. \% v; ^$ s1 s$ E
/ K( Q8 {6 b$ a$ `& H1+λ 5 ]+ y2 ?% N z8 V: w" |" T
2
* a7 F6 i! ^ H4 k * B# h9 V9 p7 ^) F
λ
" W5 o: X, g5 p- Y& c& o2
0 ^7 L/ g% i' p
& ^4 ?+ p) n- K7 M! R% p. { {. U, g& r. c
1 K3 k; s( S8 V6 Q2 b6 B) p
" k. o& A3 @9 W( `: q
; q3 A+ _7 l0 M8 l
有:
: g! ?3 R2 B1 z4 q$ UD ( Y ) = σ 0 2 ( λ ) σ 2 D(Y) = \sigma_0^2(\lambda)\sigma^26 Z4 w }: \- ] J) _
D(Y)=σ , b. F, h* X) s7 W: U5 [9 |
0
8 Y# O( s% E! D) |24 g. Z* G( u6 @2 x) i
8 V) ]/ [1 j. j2 B! u (λ)σ
5 h$ J5 x" b1 q" D/ W- X* n25 B: k- @% Z4 i4 C/ S
1 D+ s, U% g5 v* r+ p
; p4 q3 b" b8 |1 F, {
8 H1 A, @6 I3 |& I注:
( l+ W* {7 f/ O% T/ g; ~$ g9 ^( Q% S1 p1 x1 ?$ f; o$ \
" c7 {4 a6 z2 I, I9 [- ?在推导中会把μ 0 ( λ ) \mu_0(\lambda)μ s, K) q# C( O' F: q
0
: G* D: ]2 ^3 P% W5 ]" b5 U4 h/ t
1 e/ r* k b3 k) a (λ)记为μ 0 . \mu_0.μ
/ i6 E' h$ n3 T& `9 I3 ?0
3 W3 {0 E- O: @1 ]: ^# e/ c 3 \+ t& }0 I4 x' g& O$ k
.9 I7 V& r; R' W8 J" |/ W+ {: h
在推导中用到K = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t K = \int_{-\infin}^{+\infin}2t^2\phi(t)\Phi(\lambda t)dtK=∫
7 W$ ~* s4 u8 k! p" L−∞9 x% b0 c9 r) ~! @ V0 {
+∞4 S x' B2 N0 v' c
- R J7 N. q- `3 K6 y9 \7 p3 j) B
2t
; M4 O4 D' X# n. {' u1 Q2, p) T1 n1 K! d3 r5 W
ϕ(t)Φ(λt)dt = 1,最后我们补齐证明。
: V5 X1 E, u4 }9 g1 z( I, cK = ∫ − ∞ + ∞ 2 t 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 改 变 积 分 限 + 分 部 积 分 ) = ∫ − ∞ + ∞ 2 ϕ ( t ) Φ ( λ t ) d t ( 概 率 密 度 函 数 具 有 规 范 性 ) = 1- V0 K3 m3 f# W
K=∫+\infin−\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫+\infin−\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=18 o$ S$ x( t' h) ^' Z& R3 }+ s
K=∫−\infin+\infin2t2ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)=∫−\infin+\infin2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)=1. y4 {8 Z" N0 |) J* i5 I7 a
K0 P5 S5 g0 F/ f; ]# y5 _4 p
7 i* I. V: W. V ; y5 x2 a8 n6 w: R' H
=∫
: u3 O, ~9 ^0 R% J$ A9 _! q2 K−∞! [$ ], q2 n2 G2 {0 o7 ?
+∞2 p1 C; P0 i" U) Z& x9 p
, v& M2 f; w& _ z
2t
! T r3 {+ C3 r% g& V2
/ i7 j9 O! v( s9 j7 ^ M3 G1 C ϕ(t)Φ(λt)dt(改变积分限+分部积分)
# y1 o0 V% w, `' o=∫ & o/ c6 x8 ]3 i* t
−∞
+ I2 z& c: ]9 Z* S9 X% E+∞
' m: Y" p, S& W: |6 t: e* x! ]
% q3 i& _/ [4 P4 y* ~% k0 L 2ϕ(t)Φ(λt)dt(概率密度函数具有规范性)
# |+ T1 h0 I: R! ?=1' b# `' p; c5 y9 J1 X, C; M
$ f2 G9 W4 c2 x2 V/ A& C8 X 3 w' l7 l5 w9 Z$ b( b6 o- q
" U! B! N5 x* M3 v. P* p5 D3 S* n: v. I
3、不同偏态的偏态分布——R语言8 X/ p( j( ?2 c: i) Q
本文代码主要用了闭包以及ggplot2包。下面贴出代码和图片就不具体注释代码思路了。
?- ]+ D/ l& R( A$ J: m
/ N0 }+ M$ y+ ~* q9 h7 j
3 H4 k% O8 a- ]( b3 x0 j: }! w9 O& I3.1 代码( s% e- x! |% F3 }$ A0 Q
library(ggplot2)
. u+ A3 ?9 _1 g, D5 N1 k; I5 n+ Annorm <- function(mu = 0, sigma = 1, lambda = 0){
2 J8 x. S6 w% j T function(x){
" B. v( O) W9 ^" y) ^ x <- (x - mu)/sigma9 |6 z2 F. z$ T; A( y/ b. P
f <- 1/(sqrt(2*pi))*exp(-x^2/2)*pnorm(x*lambda)( w8 U' E- i/ q4 v" P
return(f)
7 V+ y; u" t% V: H% e; B5 F }0 @ s4 X) d5 E
}& w8 t ?4 H P% d2 ?$ m. o
plot(nnorm(), -5, 5,ylim = c(0,0.37))
) I8 r4 U$ F e0 i* fplot(nnorm(lambda = -5), -5, 5, add = T)
$ B. L' L" W% n7 {+ J {* U- Iplot(nnorm(lambda = -3), -5, 5, add = T)' x ^/ q* [) E3 `( a! `$ R4 o
plot(nnorm(lambda = -1), -5, 5, add = T)
3 _/ T: v: H0 P6 S( r4 Vplot(nnorm(lambda = 5), -5, 5, add = T)" L$ T! Y- C$ i
plot(nnorm(lambda = 1), -5, 5, add = T)) k9 k6 z" @. B/ s! I
plot(nnorm(lambda = 3), -5, 5, add = T)
7 g2 x; l2 }+ K3 r. `2 N$ k6 {6 @9 G+ G- e3 D
% U1 z& Y. F/ N1 V5 H' Jx <- seq(-5,5, 0.01)
+ S9 v1 Y4 R. C* S* w) fn = length(x)8 w' [6 o& v/ S* G. h, B0 h
Lambda <- c(-3:3)) } \" z; A/ w, ~0 c- u
Data <- data.frame(
+ p9 e3 |7 z: B! [- |/ m5 ?! H% f( q% z x = rep(x, 7),
* f0 Q2 Q8 H0 F y = c(nnorm(lambda = -3)(x),nnorm(lambda = -2)(x),nnorm(lambda = -1)(x),nnorm(lambda = -0)(x),
+ H" ?! e! [/ V1 Y3 N4 L nnorm(lambda = 1)(x), nnorm(lambda = 2)(x), nnorm(lambda = 3)(x)),
6 K5 b8 j7 w+ N' a! i: P# \, v* h z = rep(Lambda, each = n),/ M$ u0 ?' p$ s; N0 E* e( k
z1 = as.factor(rep(Lambda, each = n))+ y J/ a7 A- [7 m8 B
)8 n0 H/ V6 E) @
qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z, geom = "line")8 @- h) c% }. k1 T
qplot(data = Data, x = x, y = y, col = z1, geom = "line")0 N+ W( t5 U- C5 I4 S/ E2 E: m
1
, D% e' p; q) t3 P3 C/ x2
8 S! X( L9 G# E& L8 T- v7 o3
# W: i8 J6 s# f+ ^) T) n4
, K4 G3 @6 J( n0 H, O/ t5* x( G6 a4 J8 S) [
6
$ y t! w$ `4 I* U% ]1 l2 w( E7& e4 [, M/ W$ t% E1 V
89 X4 }: u% O0 L3 ?3 l7 w
9
4 U3 _9 P# A( N; x; `) V: s10
6 z; _1 j0 O7 Z( a11
/ Z4 N; K! M! w2 v1 S, N) ]# w. W124 s9 t) E! Z; w9 }/ g8 s3 r$ ~
13
7 j: p% H& t. f% a4 e5 H14! s3 z) D( ~8 |: {
15
: U% _6 ^* ]( w16
4 A l2 i6 i& H4 @# b* `175 c" k% ~: e+ ~% o' ?7 B0 {1 ?6 U
18
$ f" C0 k# I5 F9 x) F; @19
: j& k' W9 T; a: T" A2 M' R20
9 R- K2 h0 y# D$ A& C212 c% x: [& e% _ G/ F3 i5 i8 w
22! G# ^' L$ O# o, T9 c
23" Y, _7 g) s3 I5 j* r! V% v
24
; K. j+ |+ q% r25
3 |& u2 @& _" b# Q2 \/ U. S( h' w0 j26
% v5 Q$ ~# Z5 u, V. J27
) F5 z; k- W6 Z* T) {28
) z7 p6 Y; j3 h9 j' {7 G3.2不同lambda的偏态分布图+ l6 \& ^6 A4 s |- M, O
( J% u; D7 F% H* Y3 p e
4 ~5 W. ^! K. S0 q4 @
, e+ F) Z9 S, c/ K- g9 a) s3 c2 `
/ X, x( F. Y$ O& j" t& h
! T6 q4 g* F9 m$ N5 O! p' \; T
; M7 v' Q+ i E; N参考文献
7 N7 }) m$ a# o! j9 d( h) {% TA. Azzalini A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones 1985, https://www.jstor.org/stable/4615982 ↩︎ ↩︎5 ^# J" k0 d; D" M8 G4 S9 t& f
! A; S- x! t, S( h2 I4 {, q8 F. l3 v H; q, J' ^4 A
https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 ↩︎9 o' q7 r* }9 M" ]
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2 _2 y$ J: ^& @+ z版权声明:本文为CSDN博主「统计学小王子」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
3 X4 N6 l' @) o4 Q" t原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_46111814/article/details/115607036; M& A" o( l& P" G, v* F5 X- Q
# \: w( v( f8 }0 k# D% u5 y
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