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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
% z, Z* y0 y7 h2 L; }边的结构体声明如下：
: S. n* s* Q9 ]3 S9 M% \! _4 ?struct Edge {% ^4 @, u' Y- v
int u, v, w, next;& [0 `; L5 P: F
Edge() {}7 S; |( q5 k$ S( p& `0 d5 \! a1 K; p
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :: @/ h6 I; x% Y2 z
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
3 K8 e3 q' l1 Y6 B$ c& E# k {  A  U0 Q  w; ?0 b
}
6 W# R; d4 K' f# b3 R}edge[maxm];  ^/ {) G/ q& K6 I  m- s
1
4 ~4 q0 b$ E+ K& ^2( D) ^' q- I- N) V0 g5 N) N) a+ }$ {
3. H6 J# R8 f; G. w
4
+ L. U/ T+ S" K+ w* K5
2 z' G3 M" t, q1 n6
# t3 D, z' @3 i* ~, |& Y- O- t5 L7
) G1 Y& l; I6 o: b- M" u8/ L% v1 g. v' r9 h
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
$ Z" P# ?: b. X7 ^每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：! S8 G: G; b; q8 z  g
void addEdge(int u, int v, int w) {) i1 m0 l1 V. ~! P9 A
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);3 c/ o7 W4 U  N, `' M
head = edgeCount++;# x2 M4 ?! P& u' h
}
, ~/ s, @. |' v8 _16 X) L9 P, |$ f" P  {, E0 _
2
9 V# E' t9 D1 o: U30 L1 x" @8 N$ m
4
* W7 j/ M% l5 `" d: k这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
6 ~+ M" A7 _" F9 e5 F  b调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。6 h/ `  W9 U. p6 c
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
# R5 d/ W- H9 D8 m int v = edges[e].v;
( Z- ~, p) N! @ ValueType w = edges[e].w;% ^3 J" s% D0 P; f/ a1 G
...$ k3 U' w  q$ ~7 w  @
}5 q/ T$ B/ k2 d3 B  |% R8 t
1
; Z+ J! |% q) Q, ~. \. e' B9 \, L2: j) t8 F" `/ J4 s7 Z8 X* F1 V- [4 R
35 x0 o, K) o& n
4
; G9 `: |, s% H  K; ~5
" |2 ?9 k2 R0 e% N/ b文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
! v3 g1 |2 y8 N* ~. G8 c7 d4、算法入门
5 f8 _3 w! Y9 r# v6 c算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
$ y; u6 E/ I6 R, g0 l2 o6 ^3 `* k+ b

, O  O0 @9 T# ^% V7 ^# q入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
3 G3 z  _& Z0 O; m对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
5 [  W" H! R' E2 \- `( b1、枚举
( |- ?+ t) f! G/ X枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
& k. B7 y1 @' f" a, `' f对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
2 f1 P) n; H9 q5 A, C2、排序# E3 Z) ^" f1 u, k
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
& A% a6 x5 b' X( ~. W7 ?9 _冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
- B* H% W' q5 w+ P7 MC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。0 P( N) u+ n$ G6 v, O" w7 T( ]
3、模拟
0 |4 y% j5 |0 }( |模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
) J5 C; ?# [5 S4 C3 N6 i- y- v- I不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！) d+ k( b: j# N9 L
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
2 d) o- U" a1 u+ t/ d% h4、二分
3 U& T8 O9 q1 o, J) L二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
3 `+ M) O$ l) J例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
- I1 x! J' E# @9 y1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
- e- B" G9 c, w% {$ H( S: d" l3 @2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
, |! N2 S# _) f; `! T" U 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
4 v+ C5 }; W* b8 D- [% U 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；% k3 l4 k4 R8 I1 Y
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
- n2 b; z) p% _3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
7 s, @9 E; W+ w; N# M, W5、双指针7 e# ]6 D$ A6 g$ o( q1 T$ W# c' R
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
3 L  f1 S2 a! T$ s& O" `
' F7 i- e4 Q" W5 N* `" M* A
8 H- I. ]/ F  H+ Z6、差分法: n: B0 d- I% Y% t' [' j0 l3 X' b
差分法一般配合前缀和。
1 l* K0 j6 @3 Z9 t4 y: D对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
( j8 T9 ]) `- f5 s  c5 X: h假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
8 G; F! C+ ^9 o% lx( E0 s3 |) H6 O4 x) ]' T- c1 A2 O/ H
8 P% V7 z& P: i( U6 \
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
+ p1 T% i2 U! b" M3 f1 l( rr
! @0 e! g0 H. W+ u0 \* ] 0 s) h9 P- ^# E: j( Q* Y
−g
4 E+ H9 X5 j- al−19 t! u  s; U5 C& Q+ ]3 ]' ?

* X2 l4 w3 y; q9 W ；分别用同样的方法求出 g r g_rg
0 Y7 e9 P: t( l: t' M8 Lr
% X" Q8 U$ i8 T. x8 P/ a
" b# \8 ~$ o- T( \9 M  和 g l − 1 g_{l-1}g . ]4 B* D$ o0 ]8 L* `" r5 W. m* Z
l−1
* r. m# C- V7 W% q! \# t
, I$ ^* [% q: J6 A ，再相减即可；
$ b  V# E, q; O. [
6 X9 P7 H% V4 `0 ~* g9 V  ~. X4 b# \  a$ [3 _5 s3 O1 {/ }9 p& L
7、位运算% `9 S: U3 c( k0 a: q
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。9 r1 K* _* x. U+ x3 T
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。5 h! C) E, _  ^
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。6 m7 T* {$ l& ?; {( V
如图所示：% j1 @1 t% i& J6 N& |" h

2 A4 P$ \  E* @1 [; B- x% H! [
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
+ G$ S# t1 X8 n- q/ V, B比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：- }9 o& b' d2 f; s
!(x & (x - 1))
* [4 d; {5 Z5 d! y; @! {9 |1
) A7 Q  I7 E' N# X0 G. q$ ^: Y8、贪心" N% {1 m; L$ u
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
$ M( v# f& Q$ p  O% O3 I+ d7 c# b所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
( }! N4 b' z1 v2 f9、迭代& o5 v, d- k8 T$ _0 q
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
- X& _: b8 c% G+ Q$ K10、分治
+ L2 P% ]( W  A$ n* ^  G分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
  W' J9 G1 |, S* N' J7 E" n5、算法进阶) |, u5 `+ J6 |& b' {
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
1 S/ Y" A" t2 @9 w. U" {如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。1 D! y+ f  \  O* a: J
这个系列主要分为以下几个大块内容：
" D- t1 p8 Z3 ^+ [4 a 1）图论
: X7 O$ b9 o& h, O( C- {7 [ 2）动态规划- N7 W; f4 ?9 x* n" w: b
3）计算几何
* Z7 I% D: Y7 |, ?# P9 h 4）数论6 g4 \! k3 o1 e4 w5 s$ Y4 e/ K/ L
5）字符串匹配
$ v8 S) q6 A- K! i& r 6）高级数据结构（课本上学不到的）
; J: w5 M: N# m9 t# D; w 7）杂项算法0 ?6 j) u3 F: ?6 _" A

- `) y+ i! `8 K7 |$ i6 W7 g$ \- t5 H3 l# X4 j9 S8 `- E
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
/ g7 }. s+ F  ]/ b6 j. e! [7 w
6 b" B5 q! k, `# }, {- ?9 d( s: m' \4 k3 S. _# Y

% {! S- o: z+ r* q3 J$ |& ]! m* S* }' J5 v# F' l
1）图论( k4 _; U! D: n/ M3 h# C" P
1、搜索概览
2 R) A  X  T: C图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。- g, o" Q/ K2 J# c. D. S
# ^! v' U3 q$ G$ Q/ K( f
/ F2 R+ }& Y# Q' v* s
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。" E0 }( w3 y. d9 ~' T' o
2、深度优先搜索
/ [0 U( d2 Q4 Z! e. q深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
( v' P6 L. a+ a) a$ U. {# b# j原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。2 n" v% Z, B) j7 q. k( m6 v, \$ o) L
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
  z2 L  T' Y3 O0 g6 Q如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。' Y# V; q1 e. Q  ~' O* v
$ z( R8 o  s( X0 O7 c3 V9 q

5 q) T7 Q7 f  C( y- |红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：4 I# t/ Z1 p0 f( m+ ~
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6! M0 q% D0 z+ L) I8 m. R
17 V8 p5 [% k7 m* M% v- V, z9 ]
同样，搜索的例子还有：6 N+ h" T- ]: y% f6 v  `
, M1 s: P. j2 d0 J" @; ^
4 ]' n5 x1 y% l" Y% l5 L2 l) c
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。3 Q& u: A, e% D
3、记忆化搜索
- I$ J0 l8 t% @  K& M* S9 Q对于斐波那契函数的求解，如下所示：
5 ~. d7 E- Q9 ^f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =" X# L- I7 M4 C  j( \
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
/ n' t9 F/ j- b9 n( U7 W/ Q' Z8 G{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
: J7 U: U1 D0 B7 H$ d1 S% E4 y5 X# Sf(n)=
, M$ a- \' O/ G* ]& S: i⎩
) b  O; `8 Q! l& o, w# {0 W⎪
% k% r( L4 V# O% A* q0 r⎨
2 {4 y6 E9 L( p6 P$ P2 ]( w, n% s⎪
: X0 M; j" ^- R' M⎧4 H4 V7 E. t6 W2 k
7 ]5 ]5 ]! T0 z' D4 x/ r

$ R9 r. v$ V; |. P9 D0 k* j1
- r6 O8 Z+ \9 J3 n1
/ V- |4 ?' k8 [f(n−1)+f(n−2)( l" j7 o/ _  n8 l4 M* O* z. e
* @% G) j. `) |& ?5 t
  : V/ R1 f9 v" l2 W4 s/ H
(n=0)
( M: a$ U0 @7 N, B! M) h: z(n=1)) v: M% J! j, ]3 a
(n>2)
% H+ L1 v; U" I: Z
. v) J' {0 J" V& u' ] ' y  B& P4 F% r9 K
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
, [8 v+ G% J8 A+ [7 ~
4 i9 q' @5 ]& k3 E7 x3 `4 ]. [- X1 g8 l3 n+ R
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。+ V  c0 d; `5 n" l; N0 d6 }1 {' D
我们通过一个动图来感受一下：5 |8 B$ x0 ~& _: F' p

) }9 F3 d0 X, l/ d- W$ }5 O7 M6 u
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
7 z. \* l' o( L/ I9 k/ ?6 C/ i这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。0 b/ D! W) ^) ?9 P, ?& @" R
4、广度优先搜索
% w2 C8 S: V* M) J% A* q7 j单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。' q6 L4 g% D: w# W& c/ F+ |
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。3 N2 y1 L1 Q4 p3 [

6 Y3 a! ?  ?  W1 W" |5 q/ x1 @/ F  r
- Q8 w/ n+ @8 e; Y5 y( }
+ X0 C, p) X. z9 I
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
: Q  _* e! ]/ r' H那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
' u" k7 ?) P3 T5 n) C这时候，算法和数据结构就完美结合了。
9 M9 g) x/ W" y& y: I& y2）动态规划9 b2 k! i4 d2 T# I5 _% s& C
动态规划算法三要素：; J7 U( J9 B0 I/ z) K
①所有不同的子问题组成的表；
0 C+ ]7 y9 `" t- } ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；4 f7 R" [5 K7 i, j/ l
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
! W1 r9 s' W5 v) c' f/ E/ x, W8 A4 I9 _# D0 g4 l9 y& ^" l9 v
3 v8 q0 `4 f( a
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n   J' ~/ `' W' F7 T+ w* c9 A" F, g" n
t
0 W& y' M% V+ c6 a )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n # ]7 f: d  w) P5 [- ?
e
$ L, Y1 Q0 X/ l& h6 t/ i ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
+ i% `- v) C3 ?- t  k1、1D/1D
* u) l' E) E+ U; D! ^- ~d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
+ g+ w( C1 S' l  D! Pd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
. K: Z' x6 p7 n5 A( w5 N! t0 K状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
, E3 E( X  S* Z9 K! d5 H3 d! i+ `4 B; `9 S8 {
1 t; `+ L& `  a& _  q8 H. O' N1 V
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
- \! h5 D( S4 ?5 A# x1 H* T4 ^2、2D/0D6 K# r2 R4 c+ b5 j: F
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
# w" m. ~! O. b! }) r- zd[j]=opt(d[i−1][j]+x 4 W6 q; y6 ~9 u( n; O
i
- @/ w' m6 M" q. h2 r
+ V9 F  T' V; a4 m" Y8 l+ g/ c ,d[j−1]+y . J. s1 F& E; `4 w3 Z3 W
j3 f% ]1 Z# B( R3 f( w" Y
  g  c/ W) N% F5 E9 _7 Z+ q
,d[i−1][j−1]+z
, Q* c: b0 H4 K- l% Kij
" K  N1 a! N  l; N2 `- {
6 w  L, A& \6 w. f+ S% E7 _$ T2 n* Q )
& N% \7 \* D, T- C# ^状态转移如图四所示：
! U% u( y0 X% u1 x5 M& x5 d9 P0 M' G9 U

& ?$ e7 ^* `4 h! ]0 j比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。# L! K5 ?. Q+ j9 l
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
" g8 Z  i2 i; Q0 Y% O" p& y0 @有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
0 p/ q. T! R; S3 u3 S5 p( M9 {3、2D/1D% n! o% T. J6 v# {; ~( G* f
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )# r/ p' n4 R9 O' ^; x2 q
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
/ e; }: l6 z; [9 ~区间模型常用方程，如图所示：
, e3 f) {6 p0 O6 s" Z
& |8 _9 z; T0 n8 J& M# @8 a
- ]1 q$ ], m7 K* g另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
  A9 @* s% {3 K, `* G- i  fd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )4 H' K* K: W- j; ?5 X- r# S. C
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)) m! ^4 K$ p4 N
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP; K4 Q2 f" @9 \! w( J8 H
4、2D/2D  p+ w# K' h( S9 h2 g
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
0 \1 q3 p+ a9 A2 y, td[j]=opt(d[i
: p; K/ p$ R9 @3 @) {2 N- a′4 O4 e3 `! \  Z" n! s6 s
][j + f' Y+ V: W/ ?. g3 d
′' g1 c9 A( ~/ z! f
]+w(i & b2 g% K. j4 \+ ^) K, q
′
( B! r7 [! N( V- C& p" R  \ ,j
6 K5 h3 E( B/ L# V, w+ z8 }′; a+ L9 o* X3 `+ y5 _& D% c
,i,j)∣0<=i . S" i; k$ u0 h- D7 O7 c
′
- _6 W- L: U3 q; h5 L' [! n4 J$ V <i,0<=j . T& d+ U/ [! S, n1 h, _5 l
′
+ O# F0 K% h9 E& }/ E; \# w <j)! @  R7 U% n* n1 v( a
如图所示：
& M$ x, X7 y  }+ g+ H- H
6 y+ `6 P) z+ X' ^1 I! ?: \& r: T: T9 a0 x8 m
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
# `% Q' B9 M8 R* `+ i0 [. {$ F" W# U对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n " D# ^% N0 X* g0 Q
t+e
3 y" y  f% p2 L4 N# P0 } )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n % L: P6 c$ j: ^7 C; D2 S; Q& H
t' X' {9 s  l& ^( Z( j( ]  y2 s
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。- l4 _3 U' t. s5 a. X
3）计算几何: t6 G/ W. T: K+ N" s/ L
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。$ j" d( @- ?' C3 j& j/ A
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。( y; p5 G2 C: \3 ^$ }, `- ]
1、double 代替 float( O' n8 `9 x( Z. k( T
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；* \; K% F, Z% {6 D: K
2、浮点数判定0 O2 g! T7 J- A9 @
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
: s2 Q) _' K# h# `+ U两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
8 M, }+ b5 `# ~( m) b0 \4 xconst double eps = 1e-8;
' {, r+ O  e5 X' dbool EQ(double a, double b) {* z( D4 @0 [# ?+ u! Z$ ]: \
return fabs(a - b) < eps;3 C# z: s  Z( `  r- a
}
! m4 [: ?* O9 P0 Y( r5 v1; ~+ K( }8 `& ~. z2 h3 `6 g* Z
2
( |3 @1 P7 S$ j! o, h39 \- G! x: f5 O: V- N/ p0 V' C% ?  E
42 q/ \9 Q+ J, B
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
: B) H* J8 K. K$ `5 Z& ?9 cint threeValue(double d) {
  x  o, r$ a5 M& d if (fabs(d) < eps)
& f8 ~9 O9 K8 T. Q2 L+ {5 f       return 0;
* Y) X2 Y  y) q return d > 0 ? 1 : -1;' I' W0 t7 K( m
}
' J$ S6 `( _% W1 ~8 z0 K4 K1
) V: n' i) [2 |+ I26 D1 y# W( @8 A" O' v1 C8 g
3& r! v: ~4 ^0 |
4+ q; r" o  o6 q6 v3 w$ J
5
4 T! v( J6 ]0 S; J3、负零判定
, ]: }& D$ k8 ]* @$ l3 U. t- ]因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
# g' |& P2 s$ e! `0 Y double v = -0.0000000001;9 B  @5 H# ]) Z
printf("%.2lf\n", v);
" D5 i* |7 n* t! I. u( R1& L1 `, ^6 K$ c7 w
2
& P. l0 j. [! k避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
  {" {- W" O( J0 e$ @" U double v = -0.0000000001;. m# h$ W% W1 _" H: A6 W8 {+ ]
if(threeValue(v) == 0) {( [) C) G8 h  o5 N
      v = fabs(v);2 ~1 R+ D; M- ^& m
}* _8 T6 o  z7 K3 U; Q( Y; d
printf("%.2lf\n", v);( u/ t2 s0 a; o3 R# d# w) X
14 X2 G1 O5 h1 s. S+ F6 [
2
! ^4 S# A5 n- o  a( S4 q34 h6 W( z0 |! W9 b* _- P, C3 {$ B
4
+ m. h% k6 B: E0 @0 u9 `, f; d5
1 E1 E, @8 `9 k9 H, h1 {4、避免三角函数、对数、开方、除法等, A) `7 W  E) C  C
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
7 G/ `* R0 N9 [4 ]' v! }3 F: t1 t除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。' [* E4 c, M- e3 d7 W
5、系统性的学习" \" ~  n5 h* F. F) a) r6 O
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；  j8 |6 |/ T9 G" G# k  y5 M7 C! v
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；0 e/ H5 m8 [- x5 s7 P" F7 T
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。: {/ w( K5 x/ a0 v  x& k! ~  a
  A6 a% q" V* G: y' {
6 _. y6 l( {5 r# o! f5 O* M
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。+ k: M# i; `9 ]
4）数论
% g, e. C* ]" n% A2 Z刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
+ W% T: h& ]; U' Z2 K数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
3 F- o0 y/ b. n) a7 [当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
0 q: ~$ W, b. s, W6 p* Q/ f+ ~1、数论入门2 l7 y8 u% ~9 Z& i2 P  `3 X
主要是一些基本概念，诸如：! h" f' I( q$ g# }
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；& T% S4 }, l9 g6 |
2、数论四大定理
- L5 u8 ?4 v  X" H+ z2 l: J* K这四个定理学完，可以KO很多题：
+ S3 |* ~, \( O: }5 A欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理6 p1 w" V1 Q' T' M+ U- [
3、数论进阶
' V3 ]6 F9 F6 i; p; W- \系统性的学习，基本也就这些内容了：) P6 q$ H( C2 r5 b% y
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。: P! X4 s9 W" Q2 t5 S8 u0 d7 s
5）字符串匹配6 q; e* F  b! H% j" ?0 r
字符串匹配学习路线比较明确。. s0 |# Z! J1 S, @7 w
先学习前缀匹配：字典树。
8 p" @, f& c- g7 D, Q然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
6 h# Q/ S" e* S! i以及经典的单字符串匹配算法：KMP。9 w6 z% ^) U4 o% ^" o+ c' f" t
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。! r* D- I# X& H+ m+ z* c
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
1 v+ E4 r. Z& \- ~4 t关于算法学习路线的内容到这里就结束了。0 V7 n* X7 d/ b1 [, I6 w$ ~: Y  e5 q
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。% _1 F" f& e8 y5 w$ \3 b
参考资料
% c, {9 i# Q5 i1 [【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
1 R: T! i" @7 m【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）0 S& q$ R( H' m- A: ?
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
. x" e# N2 e$ x: @【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）/ u* F# A  R% C  d5 V% H5 U
————————————————, u3 ~$ S' {: q* |, N
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0 @  P& j5 w, X+ S原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228' K6 ?/ S9 V' r# w! R0 U8 J
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