查看: 4480|回复: 1

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

字体大小: 正常放大

杨利霞

5273 主题	82 听众	17万积分

TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

|招呼Ta 关注Ta

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
' u, u+ I& }0 I4 d8 Z边的结构体声明如下：# P- z9 X9 ^6 c
struct Edge {( O# Q3 @; N0 q
int u, v, w, next;: t4 h1 _) H. r: @2 K
Edge() {}
* h! G) @" Q/ M! a) M0 F) v Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :6 l( ]5 ], f' L
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) 9 `  P9 V. T4 l# D, \' d
{
' D2 F6 Q- V( v7 F }
" n* s5 j* }; {  O}edge[maxm];
- A4 f2 L* y& Q$ w; v& U17 Q/ p( W; y' x# N* \
2, L7 _" E1 [3 b7 E3 y& y) O: \  a
3
2 }* M  @$ \" h7 L+ M- j* N4& a: S4 m/ j1 x
5/ w* a& R1 Y$ v0 o8 N- s% S5 I
6
  ?' D. C* m' a, y6 j- ?7
- N- Y& g) f/ c" }( w5 q7 U8  ?" f7 Z: y/ N# H9 A
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；$ j/ N: c7 p8 t: D, n/ ?6 x
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：- w0 x) O% k9 j; k2 Z* `6 S( c2 `
void addEdge(int u, int v, int w) {. J" B  l% X0 a! F0 G
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);- c7 B# V; Z) G$ X
head = edgeCount++;
$ @7 v: x1 i' i( f}
# j9 I. c  V6 F' @5 i; K1( R6 |$ S7 y7 z# e( y% j
2% N1 R, C* H3 K
3
  A$ ]5 w! k/ s4 }4
' m5 d) y- ]& O+ r. d这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
7 `4 S# C; i3 n' `* o) T调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。# l# o1 K3 ^+ y" c$ i
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
1 e, X) w& g* G) W- \; h int v = edges[e].v;5 g5 C' e- i- z& a7 c' P) z
ValueType w = edges[e].w;; f. d" S& p5 Z, g5 {
...7 `9 E9 ]9 X9 d2 T# S  [+ o
}
; l. C" L! N# [" z1) _+ I, y7 u1 v$ `# `
29 i# T; H8 Z1 E" @/ i
3
  x1 Z8 |2 a/ t$ l3 h3 N4
2 A0 v+ k: h1 n$ W55 r  x6 P2 Q' x# e2 n9 {  a
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。6 c, {; D# G3 T. E7 j8 b
4、算法入门
; k: N3 m) U( s# J算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
7 g( q. t' g8 \" R6 z( p
+ V( l* Y' i# z0 o" I( n4 }2 p% Q. R& J. q4 W9 s
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
8 q$ R. L7 Z- V! H9 H! V, V: E对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
) n5 n2 Y/ Z! _+ m$ m1、枚举9 g+ t4 ?0 j& X, F9 B( C, `; L2 P
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
, ]/ V: }) d6 I5 x8 K对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
2 r! m5 [7 m5 @6 k( t1 n2、排序
# a+ r, }- p1 F/ e  t既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。* q2 o/ q* u/ ^: T# h+ V' R% s
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。. {! A3 p& D* V$ I1 A+ U' s) c
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
5 O2 X1 R$ M- H; Y6 U, l! ]3、模拟
4 m/ l8 p1 N9 U% P5 i) ^模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。9 x; @# e: ~2 ]* z" I+ w9 D. q
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！! I0 U, W5 h  @
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
' }' Q7 E( b6 d2 a2 Z  z9 s4、二分
: K9 N  ]2 i% M0 E- k二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。0 X, ~2 I- v6 v  k2 h5 u
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
9 f( F, i+ y1 C5 s: S/ }0 K0 ^1 ]1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
2 S: Q, V( B) y' O0 S5 ]2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：8 Q8 F: ?0 x# |( K0 C0 D
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
: [1 \5 G+ h0 ]9 S+ T1 c" i, R 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
( m* X5 |& x, e6 b 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；, d5 H! e) Q* m0 K/ g2 _4 K6 y
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
! M5 _3 M; v) ~6 o# A3 k5、双指针
: p1 c  X5 K! h4 d6 I2 `" Q双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。% U; h2 `9 W7 ^
* ~0 Z* a) ]; f0 D/ J* V4 R
! ^2 U, D% x8 t2 h
6、差分法1 g8 H0 I& Z5 S0 ~3 L% L* b
差分法一般配合前缀和。4 g3 r2 c- J7 D! V% w7 Z- Z
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；# C, R9 @4 x" D# L4 a
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg # K( N( r1 `! Y4 ^# V6 D
x
* |# L6 Y- p+ Y; b' _% Q* K ! b8 X) B5 k* B: c9 m, v2 L) |0 E# ~
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 8 O4 C2 ^% J! n- `% k. k9 U; V
r& k! U6 c+ x8 m! f; A
7 U+ b! U  B( S* K, W
−g
& ]) R# i6 J0 a: L' K# s& c4 Nl−1
) F9 p) @& A, `5 c9 y2 L  I" l6 r
- M# Y' e: c6 {7 f+ F ；分别用同样的方法求出 g r g_rg
2 X! k0 ]+ Q" V5 l5 T) Nr
8 B& H1 U: {0 ~( }
' b, Y/ q, C: n/ ]' ?4 D  和 g l − 1 g_{l-1}g
3 r5 q5 t1 U8 _  bl−1
; l. `6 |  d) j6 R3 S) T
$ p4 j/ S" G8 N# k' j  y& I ，再相减即可；2 z0 y; t/ }/ L

  U# z' {/ v; B/ R, |+ e( ?, ^1 ]- `9 V  j% K1 C6 h. \
7、位运算
  f5 g% o- d+ S, N! b+ f位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
5 ^' K' i, _0 o7 u6 ~; r/ h2 Q& ^/ l位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
2 z. d& ]$ M$ z3 h4 ~  S$ D布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
2 r, O  f, i- ^6 L- g; U$ `  [如图所示：' \5 L: Z9 l! u# V0 a
; H) ]6 _7 k' E! `1 U- s1 z( |( t& x

+ t1 w! Q3 P$ k$ c4 ^' Z/ [位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
" @3 \$ P; x; M$ l比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：5 I: _2 y8 k6 f2 _; V
!(x & (x - 1))/ _/ q( L$ x: e* d0 |# l
1
0 {5 H# i" r6 u' ~( v% \8、贪心
1 @# F* ^, x! G9 o4 v3 m贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。! z  W& ^& _# a
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。! f! f: ~2 D6 G# ^7 \6 ]; ?* F6 ^
9、迭代
9 D3 @( t0 d2 T9 @/ b1 _每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
: g; N1 u3 i9 Z7 N10、分治
3 A+ ~2 K: x! o分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
( ?$ F  d* o8 c/ e5、算法进阶3 Q6 Q$ u0 @6 U
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
6 b# l1 C$ B9 \% p/ U. E8 r如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。1 V- b: l( t; @, F3 h- ^
这个系列主要分为以下几个大块内容：( E: D% Z  X/ z( P  R
1）图论
+ X1 S" j! q+ G2 H0 B 2）动态规划" @( h& R9 H1 y
3）计算几何/ C0 o5 p" c: I
4）数论
2 A9 U- A  }/ A: j1 [ 5）字符串匹配
# k% ]6 N) s4 P% J$ Z# C; ~ 6）高级数据结构（课本上学不到的）4 M- m( A0 J$ z) G' }
7）杂项算法2 x) a/ f' T! N& e
0 M$ C8 L1 d# r2 U- o8 \. l

! {/ ]" m: Y9 j$ {$ M先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：" y3 O6 a: [; g) {6 D8 L

' O: c9 I- L$ I
6 `# X. ^8 s0 D9 }8 w; R
2 X5 {4 e2 I" R# w: L- o& W2 n$ A; `' z
1）图论3 R* _- ~& j) Z& l& c: Y
1、搜索概览
6 h0 |7 H+ s0 ]' [8 `& a图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。6 M9 a  R% i( I9 _5 k

& L* u: Q8 M* I
. v: d4 K4 a2 F; U比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
8 [" U- b1 C  z( y: A; T2、深度优先搜索
+ \. h# Z) U/ v深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；. E$ }& c: z; ^7 l9 J
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。4 k5 W0 n. S" ]- X/ z- w9 ?
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
; `7 q5 |+ K6 u8 V! Y如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
  E; p3 h1 ?7 t$ o2 d3 P1 G: t, E# r- @, `& }" k+ P6 m8 o

2 q8 R4 S; `4 m3 e' g- E+ w红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
) q! y1 b4 ?; ?+ V  A6 S' k. P: l 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
, h' M8 n: \0 K. p# `2 R1 r2 ^/ O. h1
$ t  P. O- M* s" l7 q5 J同样，搜索的例子还有：
& n6 u8 L. X0 a5 j; _& f0 f! W$ m- b" H- R
; |2 l1 ], |! l+ |9 o: _0 N( ]
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。% N9 G2 l, ?9 I  s" L
3、记忆化搜索
9 p: I8 l8 Q, {9 F% |0 S对于斐波那契函数的求解，如下所示：* E; O  g+ i% g
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =( h' |% S: U( E, L, F7 m
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
4 n4 p; |( n; H/ S6 A{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
# q/ \2 v; s! T6 Cf(n)=
3 W( o# z6 }4 ?# f⎩
# [/ F  |" n4 c& C6 G0 e⎪' r$ B. _, N( ~- a6 j
⎨
* Y2 Z0 H- p9 E' j6 H0 I⎪8 @" S- P2 }$ ~  t5 ~
⎧" `% A' p) j; b- e

  i2 O# _) G  E5 v- G( ~9 i  ; ^7 c/ ?& M5 A& ]$ S' o- C7 F5 x
1
7 V& U1 P5 o, G- x1
* V! Z, ]9 g4 df(n−1)+f(n−2). M# D* }+ p& J% k0 C' ^/ c
: L" N3 Q) B  t; z+ c) ]0 t1 d

% X4 \) r# l. X8 s6 C# x6 h. @(n=0)! Y0 ~6 @+ v' _6 e; p- b! C4 G
(n=1)
3 S7 W- y1 s$ z& h  t, x(n>2)3 m5 l+ D1 ~; b! D0 O" P, B. m
/ V* w/ E7 N' S# g; d  e
1 T/ p& w/ ~- r* n* y4 e% C; N8 n3 g
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
5 l$ @& p" X5 t1 \0 w
. Q4 r3 g' f7 R7 z% n( E! _
0 }! E; |; j! K  T+ `: y这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
, C" S, Q& E- [8 G8 D$ Y. d" }6 y! l我们通过一个动图来感受一下：
+ {, K6 O  \' V1 ^  R5 m
! o+ G5 e1 H" x" O6 \- Q
$ i' u- m2 Z% m当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
9 O" |; ^$ [% w9 n8 z* }6 u) x+ d这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。3 d8 E2 |' M: w; o
4、广度优先搜索
8 l% D# N" W* h# k0 k单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。% `# Z; M, b: u5 C
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。. a, X8 E. M+ }* [

( q6 M4 m* d; \
0 h4 p2 y) B& U5 R$ p
) _9 H8 F" f: H9 D" @! q7 ?& T" ?* w% Y% w" j4 |, L2 ~1 d
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
' r+ D6 T* K+ l7 y5 _那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
. O/ ?+ n; W3 i: ]2 _" j这时候，算法和数据结构就完美结合了。
* i! i0 A7 U; B$ \: U/ f( r2）动态规划6 d# [* \! o- L2 P) L
动态规划算法三要素：
: T: [1 p1 q' J0 ~ ①所有不同的子问题组成的表；8 I+ L; d1 }- \4 K! b9 x% V6 G
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；7 u/ ]0 x9 J3 N: f4 W0 c
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
' \. p+ ^9 |% y% V5 n# K
$ w6 q- \( B, |3 O! H3 |
8 y9 N$ ]8 `" Q如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
; A# a" L% B* q5 x& n# F: i5 E$ st
" C( M1 m: ^1 s )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n % W; A. c4 O0 G3 c4 ^* `
e
0 s0 J7 @8 `% g) J8 _$ I5 X ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。3 ^; @+ v# r% V
1、1D/1D5 L1 Y5 q# O" E& r; C8 U7 ]# w
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
: V" s6 r: `8 md=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
* b* y+ l+ T* c状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
* z+ O8 i  b9 g  z. b0 T% O! m+ H% B

7 ?) q1 n# i& a% U这类状态转移方程一般出现在线性模型中。$ [3 A+ e! \  _5 d. N5 k( ]
2、2D/0D
8 T! O) o: w. \7 V& c4 l9 Kd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
- [- L- o3 t, M) N; p$ W* C. Bd[j]=opt(d[i−1][j]+x ' N# k" N3 v) l6 N2 q
i
9 U3 E+ }& N9 f, o
/ D! y7 x; y' J ,d[j−1]+y
4 A+ Q& L" B) x) G1 N5 Vj& A0 O/ F) x$ S/ J( k+ w4 A
3 s' k/ u' f% j* f% T: \" g
,d[i−1][j−1]+z
$ A: @) c' n. l+ D/ Q7 B- D  |ij( ?# G+ d9 v% I  h
4 Z% {# C* k3 U: l& M' X
)
, V( `5 ?+ o0 i; Q! X6 d$ s' Z- X状态转移如图四所示：& Y3 s* L* w: X4 t& G6 w+ p/ d
9 J9 _) P! k. J

& S( W( X' j% H4 n比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。+ _3 u" |) C) O; t3 c' l. W
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
$ {# O" O6 s1 H- \( Q有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
) F, i( k& j4 D% y- O( M3、2D/1D/ Z6 b/ P  n. V! {
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
- a9 S  N) T- ^- sd[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
) b; V5 y4 D$ u  b区间模型常用方程，如图所示：/ w" A5 X9 @3 ~, D4 p% H

( _2 p1 R7 F" V* M) l  H
8 Y. p1 s; ]6 w9 j( z7 F: T另外一种常用的 2D/1D 的方程为：/ a4 `* |8 h' }$ ]
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
8 Z- e& g6 F3 F; Y  I: ^& `2 {d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
* l/ N) O& w8 x2 F  Q' F区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
( f. y6 d: _- a# u, Y: `4、2D/2D
6 O. z9 J5 y1 Z, o0 B/ X: t+ td [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
* q2 E7 X- S- S* w5 v6 cd[j]=opt(d[i
6 k  j9 _  }# x! R' v+ a- W′
9 P% |$ ]3 F! ?  A7 U, P+ T ][j , e) q" r- D2 T0 i1 t) D
′
' Y1 t- F% R& y! c ]+w(i
6 }4 M, `1 q2 J′
; S9 v# U0 s, T$ G) U  T ,j 9 {% D) B; ^' P8 K8 x' f. k5 r
′8 C0 s9 x5 y' Y2 Q" H# y% u0 H
,i,j)∣0<=i ( ]; V6 G; X' \$ Y2 O- H" D
′
  E8 y. N# {. U <i,0<=j % E' I: u" S6 {. b) [" |0 k2 t/ N
′
2 p% {4 i9 Q, y* x  R: V <j)! ?. u7 ~9 o. M+ f# X
如图所示：
2 p. e, T6 m+ M& u" ~
9 `" K. F, W; H' A8 T, o
4 ^/ F# y8 w, u' O' T. a7 J5 q5 d常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
) ^  v$ R5 |* b5 a! h: }% q对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
1 E- g2 t3 m" C" i$ ^$ Nt+e- y7 f! c: W! @
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
5 m4 _# m- S# g' I/ h  x$ rt
7 y7 n# h; ?: M5 H6 M5 } ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
: p1 L( S$ ?; }% w) {, m- z: A3）计算几何
# C& W1 G+ H7 N计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
6 t! F: h3 @& B- l' ^3 \如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
3 b0 G! W9 N# s1 V% {; h& r4 Z1、double 代替 float
2 k, v+ u7 t+ H# A( J1 @c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
2 I) U  j2 _: U8 v" p5 p2、浮点数判定
% ?( N- l) j6 d* P0 B由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；. R; O9 {2 ^# {6 u  g+ {& [- U' T' y
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
. G% O9 T! ~" Iconst double eps = 1e-8;/ z7 H& X  H4 G1 [
bool EQ(double a, double b) {
! ^* h$ s# g( D+ d! ^, ^2 | return fabs(a - b) < eps;  ~2 |; Y) C3 |+ l" R
}! T: v( R& o( D
1
- p3 ]8 }7 d' H; c2
, m# \& E- c6 i4 [' p35 C6 H$ p0 e: |4 U5 u  p8 z6 {
4
( P! L- u# w. q2 G8 `$ h/ B并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
6 {4 a4 w7 D8 ?2 n( [; I9 G+ {int threeValue(double d) {
# I% e: k" F2 c7 U- M5 E; |. i if (fabs(d) < eps)
. c% H# T# N* j5 B       return 0;1 R; p$ E. e# R; w+ i
return d > 0 ? 1 : -1;0 \8 ^2 F+ m3 U- y7 H
}( R+ j" N- {0 S( C$ i1 T
1- n) e$ h0 s! d
2& ^3 n3 ?* p, `3 _0 c% ?( i! ?2 ?
3
: n$ r2 P% J' B4% W5 H. B) I1 J, P% z- E
5
5 W. i+ V; J7 T0 Z& F5 x8 B3、负零判定
- d: a: i- y3 X% P因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：, s  a- a" p7 V- w6 h. }
double v = -0.0000000001;' M. v2 H$ L" q" H6 A1 F& E
printf("%.2lf\n", v);+ w, [! p! Z( G7 f3 v/ l/ w
1
6 V$ P  c! _! a/ f) K, X7 c) K3 c2% S" ~, ~* h7 ~1 D2 ?4 J/ }
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：4 I9 e3 v  R  ]1 ?" z8 v
double v = -0.0000000001;
5 B' j: H2 }- t6 v if(threeValue(v) == 0) {
+ @+ o- P& F, K1 [       v = fabs(v);
7 A0 ]& d1 L" Q9 G' \. s4 U }
6 W6 u5 x9 R  m3 Q, l0 k) |+ v printf("%.2lf\n", v);0 I- v) h& C2 K/ p7 x/ h( h
1
! F9 \6 l, z# y' l- c8 ~2
6 N$ Q( a! f2 i( F" I8 S/ T32 c- o" E3 N* u; B1 \1 h$ E) L
4
7 q" f0 a( o# R7 s, N5
" v! w4 t" U( t! l9 F4、避免三角函数、对数、开方、除法等/ l8 y$ |! D# r
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。3 E) w0 S8 E. q! I
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。2 M& C  J$ h) e/ i1 c
5、系统性的学习
2 O& P+ q  e+ Y3 x- Z基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
* \  i8 Y& g: A& T6 ~% _: V进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；3 W( U$ K' }# z
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。; M% K8 o( S& Y9 H. L
" j% E: j9 q( t
' x/ N% G: x5 L" R3 D  [7 R% k
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
7 ^8 H/ T7 H! g! n4）数论. _( `* l' J% n( v& _( }: U
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！2 F1 l) `' J4 U
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。# Q  B9 j: I; t8 n; X( E6 t$ I
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
7 i1 k% S+ c0 g$ }1、数论入门! [" J6 ]% ?( p
主要是一些基本概念，诸如：6 D: A& q7 r4 F0 j7 A& b1 ~
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
* E9 ^" q$ a/ e2、数论四大定理
- V) s, l. _% [这四个定理学完，可以KO很多题：. W  D, g1 L9 m# P
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
0 G, o0 h: R; L3、数论进阶# ]) Z, }+ s8 |+ [5 X" ]! [+ }1 m8 X
系统性的学习，基本也就这些内容了：
! u8 A2 M+ h; f4 h! A8 @+ r扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
, G+ \  }% b6 M6 Y* ?3 L2 M( B9 k( |5）字符串匹配, B5 Z, Y2 X, m
字符串匹配学习路线比较明确。
( T( V+ }. h: I! W8 _0 j! E1 u先学习前缀匹配：字典树。
" q7 Q2 i6 f( j( @然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。; i( @8 F4 p# Y. A$ T
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。+ D1 N- t0 n8 q4 \+ I
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。1 C3 n' y8 q$ \, s' F. |& |
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。- `$ c0 J) K! w9 y
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
, I8 `% u$ j$ Z) A如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。. ^' B) C5 S1 c6 x. f! E1 M
参考资料
) G- ~; ^! P' E$ ]【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
/ _) |# v3 g/ h* G% [$ I% ^【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）0 F2 R0 q" w3 J( [/ C) i* d& _6 K
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）" P2 ~' N0 L; l7 S1 R/ K- z% m+ q
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
4 f3 ^; p$ [6 u* D' F+ H————————————————
+ J) t9 d( s) U; J版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。2 |& F* o& i  V
原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228
" o5 {# x9 c) A/ ]
! _  Y" g. s4 m; i% D& Z" o( v  N1 v+ l  X! o