查看: 4409|回复: 1

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

字体大小: 正常放大

杨利霞

5273 主题	82 听众	17万积分

TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

|招呼Ta 关注Ta

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。' l& K- F9 A3 w3 M' E2 z, P) p
边的结构体声明如下：$ x6 l" H' S5 `4 M( A5 c8 J0 Q
struct Edge {$ u5 p5 g8 u3 ~2 }* z! \- `- F4 F
int u, v, w, next;! W! ]( A$ f( \1 B# ]4 {! B
Edge() {}7 E* q: X; c3 q  A7 h+ E
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :( u+ a- C: `4 I# j* M0 y4 r
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
" V! [  d. Y& K; w' N- I {. F/ b2 L' {1 S7 }
}
! f& z$ r  A- Z7 a}edge[maxm];
/ q3 y4 k$ |/ C/ a% e7 C; p1; o6 F: z/ d4 G! B% C# A
2% i" R5 I& r  e. h0 [6 B/ c
3
9 {0 v* h  Q6 A5 y7 l4; \! B1 M# ~# y9 v5 N! `
55 l# ^! C4 f# {
65 p5 T+ L9 `4 l( s1 s; ?
73 N% i& B  \" M0 P1 O
8
( [+ M6 Q1 V$ E* X7 d1 m0 b$ W初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；( M% u$ v- H+ S1 s7 G- P5 l
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
: k( g. _! C1 U* Lvoid addEdge(int u, int v, int w) {5 z3 j, n3 M. \! k
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
$ _2 ~3 I3 w( P- k( Q head = edgeCount++;
, B0 C8 z" D' J# S1 I}
- E* m5 F9 v* J3 j% e0 c( W18 ^6 `/ j. W1 p
2, n/ X. _5 E5 J6 X/ a8 W+ f
3
9 C6 d" i/ Q/ i, h/ S47 v, t1 [; \0 Z0 L, T
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
9 n$ B0 d1 S6 F; {' d  P6 }) x调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。' y5 D, ^3 S7 @1 [+ f
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {) e/ u3 O; E, }. F
int v = edges[e].v;0 z# C+ z3 @! A0 T
ValueType w = edges[e].w;, l9 y# T# _' U* |: Z& k
...: B7 I! @! N5 Q
}6 w- y/ A( Z! @& p2 m$ L1 t2 ?
10 R/ @1 d& E4 X4 i" |1 p+ g
2
, s( Z& z& {, H1 ?% P# r5 ]3
' H: z8 G0 j, f; w5 c4/ B( C, K: d# F8 r8 M
5
( D2 ?& W1 N$ Z文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
0 l) m; h9 q: b5 ^4、算法入门
5 n5 b5 L# L1 y; W8 `- x算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
$ ^! c5 D4 G% x/ j
$ |4 y3 f  D! d: n1 R) K* j$ \" D! v' P/ i+ @. S! j
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。: m$ g0 z$ p7 B! b; J; H  |! A
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。& m* o+ U; N. U( y+ a8 m# S
1、枚举
- V' t4 g, S3 t- c! K枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。. |! P" z! P/ `( n. r
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。6 A, g! Y$ y) I7 V3 c9 e
2、排序
) S! l0 r! L. i; q( W既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。( u" H* M& ]4 r0 [* z
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
" H1 J% \, {0 c' t. m1 _" X$ BC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
# L  v8 e  s6 ^9 I6 }3、模拟
4 H& C, [8 x0 @9 n( Q模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
# |, |; \) S1 m( q5 g4 \$ r不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！7 R9 O5 X: o0 [- q
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
) G" w$ B6 j# X( Z8 f4、二分7 v% x7 U! n- t) U' s7 X
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
3 T% V% p+ M  `. X例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
9 I& e; P" n3 Y* M1 A, g# d0 H1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；% t, |* }% N% v& N2 Q5 K
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
9 S  }; E! S5 Y& P 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；. t# b# _; \9 c/ H
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
) [  |, q# A" L- o 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
' g8 Q( ^! |" O# w0 ?  q% [3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。. p* E% F! t, x1 n/ m0 O
5、双指针& k+ P! H% K: {: |6 y8 w1 z
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。$ W. e! t6 T* g& t

' m% a( Q4 ]8 @  w
4 J% T1 R8 U3 r$ b6、差分法
- G5 [6 A3 g3 ?) b( r8 U/ P差分法一般配合前缀和。# z" y; Q9 Q0 |! |& {1 H( E, Q/ _
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；8 o4 B6 Y% T7 q0 ]: t& D. @/ n& p
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg % r+ z1 s0 |) t' W% L
x
* D' |: [7 q( c5 @0 k9 W( J9 c
0 O0 R8 T* d9 o) B. l( Y% K ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 0 Y5 H7 H' A$ J7 R
r  ]* [, C0 U: h+ X. z! y; m

9 \8 S  W& B. p! H8 ~, a& L) c −g
) D. J" L4 H) Y  \3 ~8 k' \l−1
0 h( g1 E. L* o6 Z, d) R; r; S$ Q 6 c  O5 c1 _4 B9 w% }
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
& Q, e& T$ b% b9 @2 n  ar
/ t+ y5 S% A/ i
5 q  g8 \/ x% v4 v, x) @  和 g l − 1 g_{l-1}g 8 z/ s6 J3 d1 c' ?  b7 o
l−1( Z4 u& ?3 I5 G" _# U

# E' T3 d5 K/ c4 E$ W2 H2 g: L ，再相减即可；  ]& I" B& O' e% v

1 A- U2 N/ v2 l- R* E: W; r# ~
# A" }2 h3 ^- ?1 |" D- t* Z/ F+ `; n& R7、位运算$ `& N* Q  w5 l* [
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
  ~: Z& z) ?+ u- L$ J! o位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。% [% Z6 i5 @" n$ W4 q( H
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
9 B, x% j/ D# m: H' F9 {如图所示：9 j% q. Z' ]' t* y$ X0 d

6 f$ q8 L3 f4 H& y
% u0 |- D* _# w5 o; i位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
' D# t: S0 [8 @- f比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：7 s' g; m5 r( _& p; B. z! x! V
!(x & (x - 1))
! a' b& {% ~2 [% m' U1' T0 A! @& a" f2 W) z, Y
8、贪心
7 w0 o& y) D4 ^* _" e贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。# I+ k/ Q. F. u( m4 u
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
7 D" F. {8 _& _2 Z1 `/ A* m  T9、迭代
0 E- _" y0 m$ I2 w6 x每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
. a5 E6 s6 U) D( b% }! }10、分治( b- p3 s. k! [- F
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。$ B8 m7 U2 ^6 Q4 E% I
5、算法进阶/ T% |% @6 b' E9 @( A3 D
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。  ^" \  w" A/ G/ N6 f
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。5 r* O4 _: o* m$ _9 Y# p1 f
这个系列主要分为以下几个大块内容：  |. Z# a. W, ^/ \
1）图论
/ }4 L# T( q- P5 X9 t  W  B 2）动态规划
6 c# z1 I+ C# u 3）计算几何
' m. A: L( [# r2 C- u- Q 4）数论
. G/ i2 L4 ^% i$ W! l+ [/ @5 [ 5）字符串匹配/ P: @3 f1 m1 d& f' w/ E' C+ X: S
6）高级数据结构（课本上学不到的）
7 Z6 e1 G' F: N5 H. w# ]7 Z 7）杂项算法3 b* |& v0 j& P" ^& j- ?& q7 q

1 Y$ P# T6 _/ N+ G7 g1 ^- E2 F% m# i" C, |3 r* F
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
4 i# `) y5 d& q! G2 D0 y# I- D: t3 Z
# C# W0 j9 M6 @: u1 [
' }8 F+ R8 B. d- g2 i

% }1 z7 z8 O1 H; q' i, p) t1）图论) z8 l4 ]& R7 H9 _% `0 o
1、搜索概览8 ^# g9 h6 m! J6 f) [" `3 }* L
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
: i0 V7 C, N; b1 M1 G8 q! x6 `8 H) f6 z3 g8 @
/ t6 \: {7 i. p$ J: X
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
3 r2 O1 f  ]2 O4 {& g0 I/ V5 |2、深度优先搜索
. D; K/ V+ L+ g深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
- t: }3 F. G5 G; s% U- S, |原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。% _3 M4 p/ B( Q* O- {- Q; P
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
- h6 t6 V  Q; X& @  U( b如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。9 D4 M6 z4 c# {

9 y; s& X  @% b9 `3 x. s* j" [$ f5 a
4 S6 \2 c8 p% X+ B3 r# T( K红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
( H6 j4 f6 Q4 c2 f  a 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
9 Y: f" @- `) v1 w19 l2 _1 S, H7 Y& [8 R1 b
同样，搜索的例子还有：" n/ |! G8 f- t. u* f& u! ]3 X
9 M$ F; i/ P, _% w
7 `; [: b' Y; e# m
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。1 B; p1 e8 t  }: @2 o
3、记忆化搜索
" M# m7 ^6 n1 V' j对于斐波那契函数的求解，如下所示：
4 a: L+ F. S% O$ @0 e% gf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =: e  }1 N" N; n/ n7 S
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)! W! b( d0 P8 K4 }  [9 V0 g
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)7 [' T& I' x$ I( p
f(n)=
! U* d5 s5 `, B, \⎩: P: T1 E4 R1 {$ Z( s  `
⎪
& ~# C2 @/ e$ k* R- J⎨4 U, O. [2 P" h, T5 t
⎪; e. S2 k, }7 c! g, X7 b/ `
⎧
3 g# B6 v5 p* O! K' Y   B: v* ?* ^& U: a$ K8 f
  . Z9 H0 \4 I0 ^* [8 c
1
* H* {' ^$ v$ ^' _+ y+ I; g6 W16 p! x* |2 u' c& f  f' b- Z
f(n−1)+f(n−2)
& _7 d3 y# _/ ^- C0 N
  b3 S8 ?5 F, s2 E% K2 P
4 E4 @# q8 j  D; a5 Z+ T! X(n=0)) x1 P- x* c* Y+ e( M
(n=1)7 k% `3 J9 c8 P, p
(n>2)
5 S, d" A; n7 z+ k# M3 l9 i % F. T, S4 {! G2 G/ x. s3 E" e7 q

5 j. C" x; p3 r' l8 q对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：5 U* a" q  }2 O& k$ e+ G

" y) A5 P8 S% w, x2 v& s# }$ h+ u7 C) \* P# Y, o
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
; j/ P$ E8 Z2 S$ I( F- S0 c7 e我们通过一个动图来感受一下：
  L* O5 n/ W: j5 D4 N# X3 i2 L4 j: p8 G, [

) E  z1 x4 v5 S* Z- i3 I1 |当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
" R" S  }: _/ S) S这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。& I/ W3 K$ A0 o
4、广度优先搜索
; C& j( r2 h$ l5 e! z' J单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。2 y! m" w. [# C1 r' I% ]; z
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
4 a6 o. {4 y8 i" P, c/ A- P0 e
/ B" Q0 z, U) v# u) `# B
" h$ ^- P! F1 M7 x* k' t& ~1 m6 [2 \0 d; v$ r9 L0 h' m1 q

1 D+ S, [1 h$ @0 }! w: g1 K从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
  U' y4 N; D$ \) \7 l, G那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
  Y2 ?! U$ \/ o4 a& ]( F. l这时候，算法和数据结构就完美结合了。
( ^5 }: A! ?- f! f8 Q' Z9 W2）动态规划* y' N7 [; O7 R0 W# \5 G; N4 U0 V
动态规划算法三要素：# @& N& E: K9 d; [# i: @2 ]
①所有不同的子问题组成的表；
9 c: O' ?  `9 h7 {( ?' S ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；+ U/ l$ E$ s- j7 i$ _2 B
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；$ R4 o6 q) Z! q

3 i; o3 p& H' O" P
% H0 g6 P. X* X! a5 e7 W" w如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n 3 ?$ ?6 t' a( e% V% Q
t1 P. ?4 G) O, ?% u* _
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n 6 `' m8 `) O- o! J1 H* F) q0 ]/ e
e. V# T" E4 `1 Q2 S3 R7 ^
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
: G, F$ P: _% `0 i( C1、1D/1D. ~) y1 z0 |2 r; m! f! x
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
5 h9 d' p$ M' n4 S: R" r8 q6 Bd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)7 O% H( F" _* a5 k0 n$ K
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：! ^6 [7 z1 \! Q: |
2 G4 [$ D0 v& ?4 v: v' k

7 ?9 s1 l6 y* k3 K& T7 p( Z这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
1 Q4 Y3 x9 E+ Y+ g3 S* }* q2、2D/0D
( }6 t- M. I& d  g) l6 F" p" Z* wd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} ): Y6 Z$ R1 w/ C' W
d[j]=opt(d[i−1][j]+x
5 j0 ~0 M9 y+ s2 v: Zi
. L- w. o/ j% e+ j: A! k* S- ~
, {1 V0 }4 c  t1 \ ,d[j−1]+y ' y+ v& D: L' v3 b+ w) Q# z: ~9 e
j
9 @4 B! u; \8 }: d7 ~  {2 H
, ~2 s- S, A/ |3 l4 | ,d[i−1][j−1]+z , b9 H2 E6 n! t) Q
ij3 ?& |( e2 J* I1 }

4 T5 C. ^) I, \) F6 h4 E ): A" T/ P1 C. ^2 _- N  M
状态转移如图四所示：8 {* q1 u3 l- t/ J& m: V, z" Q7 B" e

% b$ @. K7 v# V% ?7 s
  v' {0 I! B- i7 k; }比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
) J+ X3 A+ _! @6 l% x4 c有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
2 ^/ S/ c' `3 }* o' P' G" E有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离: |) Q0 X8 ^# t/ R
3、2D/1D7 P* i3 N1 b# s2 L- p
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )% b2 V5 X7 ~& k- w
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
1 d( Q, Z3 V' Q5 D- _2 c& }/ a3 t区间模型常用方程，如图所示：
! b8 J- h7 U+ d0 z( U9 H
) q) v' q6 [. i+ Q% }  |' z% O5 |3 i% i) z4 X+ V7 j. K
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：( P( v9 ~1 o: A! g. X
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
" @& N& `* ^4 g7 y( q- N% kd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)$ n2 ]/ c  t6 j' V& v; ]
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
! {  ?4 V0 J6 H1 R( }7 V4、2D/2D
$ ]5 ]6 f7 F! `1 i' e! Qd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
' h; l# c/ u! X0 w+ yd[j]=opt(d[i 9 f0 y% f$ U' B; p. p& o
′" N6 i7 f. ]! C6 }8 @6 R
][j
' H  f9 t- C3 u7 K4 ~′# O" j/ E( H6 n& O, x: f$ n1 h  i( M
]+w(i 0 W( r$ t' L4 U9 V* j
′
8 V& L2 {( f4 }7 ?5 u0 |4 ` ,j
2 o5 \5 l5 v: P5 Q) ~′3 x# i9 C) ^- X/ _! R
,i,j)∣0<=i - _7 q# X( |5 U3 J" z! S
′
( ]: l7 E5 X( D1 r" {% L, ?0 U" S <i,0<=j
- P" P2 z3 D. E, J( D4 d) M4 h′% A8 Y( o/ g0 l3 B! e& M& R0 w
<j): d) `" Y! B' H% E6 X3 U
如图所示：& m0 d4 X, L' v/ e
% j6 ?. U8 ~1 E# Q& ]- x7 T

# W4 w" A( k" `+ K常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。8 f, U4 j# V" k2 B4 U& L  m7 ^
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
8 C* E) @$ P2 Q+ {9 N" ?t+e0 K) {* ~1 |4 I! P  s+ o* i& @
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
3 P8 K0 y' g$ T# W' ot# t+ V- |3 l+ c" u- g7 m/ n
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
( B( D' c+ h% K+ g* h+ J3）计算几何
) }" i' r: u7 Q计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。; H7 Z% I& ^1 \- o
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
& G# M6 q1 d. y1、double 代替 float/ G2 o& Q0 z. h+ k( y3 b( j$ f
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
6 e/ l) I6 F; ^1 d2 L2、浮点数判定
3 f: Y5 ^6 D  |由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；: @) Z) W/ W1 A, Q7 l- b
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
$ Z  k, l$ K. iconst double eps = 1e-8;
1 l: i: M* }6 H9 g7 Q6 nbool EQ(double a, double b) {
' Y- ?- s. T8 }) I% y return fabs(a - b) < eps;2 D! C3 w. {: M7 ~4 f- Y1 V
}
8 i/ s( M* z  n. b* E1
5 S+ S& o* A3 `# t2
! L3 O; J3 m6 N( i( v- w3- ^1 z) L) ^; r" V
4
, d9 R" o! Y& W7 H并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
, T- M4 M/ ]* i. I2 Yint threeValue(double d) {1 t* `7 s& }; x* W- E4 r5 }
if (fabs(d) < eps)+ g: L+ v( N+ O7 z1 \' Y6 Q
      return 0;8 U0 O; R: M4 r+ l% O; e
return d > 0 ? 1 : -1;3 e6 r; `2 g4 N* }7 Q0 X
}1 j  l0 T: A: C9 p
1
+ u3 X6 F  w; y8 b, b23 n% V$ a6 Z. Q* F! C7 {7 |
39 r$ C! M0 v9 a, I% F: O
4
- ~( s4 y% d- g. A5
  `1 l0 Z) W, a/ H3、负零判定
! _5 Q6 l8 D/ G, N" g# E, [$ a) D$ y4 p因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
% [1 V1 a6 W. H. x/ @! G double v = -0.0000000001;1 i: }' q4 d/ K1 f! w
printf("%.2lf\n", v);, C' q/ |9 j4 Z8 K7 _
1
3 O4 _, h) k+ A* m& Y+ X; R; u24 B0 T, D' `4 Q" n
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：' `& M- i4 h9 s2 T; L
double v = -0.0000000001;
) p# [' K" ]  x1 i0 ~ if(threeValue(v) == 0) {
3 H8 B9 I' z# Z2 |+ i9 l: D       v = fabs(v);
7 X5 R' K5 b, F7 V. I& J- p% b }
/ K2 e7 \' _8 f! `5 j* O printf("%.2lf\n", v);
6 i$ |" O/ [( U  q1* |0 h' R' B2 \7 Y4 e  N$ V
2
+ @7 I* M5 F' v$ Y, Q3- B2 [" b" Z- R9 K: q- S* g
4
0 d7 P; A8 s8 M; L9 Q# @5
6 u5 s6 m9 e; z& v0 u- b  V8 p4、避免三角函数、对数、开方、除法等
4 C8 A( x; \# T6 M' \c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。+ ~' r/ |4 T3 G6 ^
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
* F2 |9 k; p1 `* v5、系统性的学习
9 t! L6 O4 r# w0 V基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；" G3 J1 @. x7 z& X
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；) c$ n6 A6 T3 n% n
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。% K1 n& [4 m3 f; G1 l$ O" E

8 w" _4 |( e9 \: `+ ^3 c" n5 J
- N  u8 l+ a; R! x) r2 v学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。; z) l, h" g3 H: ?5 v2 z8 V
4）数论8 d; }& j) ~' c3 l, ]
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
) W4 e3 s+ }7 x  T* Q数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。+ J" r" F* W5 _' w+ g, L
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。3 {  g# w8 c9 \$ g5 @$ Q% s" Y
1、数论入门6 i. y6 q- f9 i2 u; K
主要是一些基本概念，诸如：
9 V7 h  o/ r( ]$ r, f$ T8 e* Z整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
) _# I, L- g% X' i" l# u! x2、数论四大定理
  e. k; j. ^1 f! h这四个定理学完，可以KO很多题：
* Q: U8 H2 d3 H8 ~6 Y8 J4 j欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
2 u/ P5 x# g- B5 |! r* ~9 ]3、数论进阶
* U7 M7 g5 D9 \% _0 }' m系统性的学习，基本也就这些内容了：
9 U9 V4 Q8 A$ s; R& N扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。; M) J; N5 W2 Q7 M7 u- c: t1 v' s
5）字符串匹配9 C2 r* [7 B! Q/ L; A  X
字符串匹配学习路线比较明确。
, _9 }# `& M; F& |- r9 o* ?& W. v先学习前缀匹配：字典树。. D. ?1 n! C% q9 m8 d6 I, W3 `
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
3 q) Z, X- |6 s+ c$ D以及经典的单字符串匹配算法：KMP。, @0 |' D, L  ~
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。$ _7 F0 h6 b1 |) j$ p
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
) I7 \/ F) W4 c  x关于算法学习路线的内容到这里就结束了。- J0 f6 u! h* p  ^( |8 o% M. ^
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。* f" u2 N1 k* B# H# x2 h" }
参考资料
1 t2 \3 J8 y: s+ V6 K5 s【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
6 X9 i! g5 g' ^* v【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）4 g# E5 s4 u0 z1 Z0 T7 I1 a) U4 m
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）- m' l  K+ p& ?( _
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
; u+ f2 f/ ~. ]6 g* N1 a2 C————————————————
5 |( l2 N7 ~0 |% L% ~版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。9 M: _6 _4 P2 j- P
原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228; ~8 e( \8 y5 {6 Z/ J

8 z9 U5 t5 Q4 F' M. S% k6 A8 c2 v9 a; @% j6 F& Q8 C