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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。# U$ B* X* Z6 H- ?6 X! s
边的结构体声明如下：9 v8 F& Z0 K& N  X( g; h
struct Edge {
5 N" c) G4 X6 M0 ^# ^9 w int u, v, w, next;' V& V6 S2 I3 t. ~( {
Edge() {}
$ L5 K$ L! P* U8 [! E Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :) d) S/ W4 r3 o0 K0 X
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
& @$ Y4 p$ a$ n! X% d" Y, L, u$ o% L {' r  n/ [9 j# J$ o3 v
}. ^7 P' y  m, \
}edge[maxm];
% d/ }" d0 p5 `4 q6 l. U# T17 D5 j1 G: Y9 T% b& Y. O
2
% d' S% W+ c( b# o( O3
* K. E8 ]7 g& [4
4 w) E  j' a/ y+ J57 z! R" b+ F8 \9 x5 M$ r
6# {1 {! y8 o5 T+ i" r/ z. l
7
- H; f+ |# ]" b0 c86 E: v3 ?  w# e2 Z
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；1 R5 w1 l, n( s, y1 I
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：% M; A* j) G, B" \: ]/ z, ^8 Y; f
void addEdge(int u, int v, int w) {
. r0 x  i: Q% _, e* u edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);/ a# F4 g# X1 I9 H" J
head = edgeCount++;. _+ C( E" ?; E( y( J3 `4 {* D
}6 X+ I# H( ~7 {
11 k2 l' E2 R( @/ a9 r, K
2
7 d% l$ Y: O" g1 d$ W2 S* ]+ }3
6 _; V: |+ ^. H6 G/ E" @) J( y2 l4
/ Y- o8 E: ]* y: l9 x8 u这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
( X) P% r/ I6 f* s* m8 h) K调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
! c1 \8 R1 a" M& [" C* ~for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
( r, O6 I) ^8 c: O int v = edges[e].v;
/ K7 u1 i% B# t ValueType w = edges[e].w;- k$ B+ h+ e3 _7 x
...$ \; t+ w$ j. e% n; x
}
/ P1 @6 _( A4 F- p1' p- R( K+ z$ Q8 j* P. W, Q) T
2
( @$ |+ h9 L) q3
. a- m6 l9 D+ d# e' F4
8 S5 O: b8 m3 f1 [8 Q2 ]5
9 F$ ^& X1 I6 I+ M, u! w文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
5 i& L9 N* ~5 {4、算法入门
! W7 e* @+ c; Q$ O- Z算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。6 N1 L" H; n+ M+ {) p
3 a- m8 I  n  P. I6 z8 A5 d" f, b$ _

2 Q, n) ~- i. Q# N入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
6 i& g! |4 d& D; d5 U9 _对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
' z8 R+ Q# j( e- V  Q1、枚举: p! ^: W; ?8 Z1 I- {: G7 d* @
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。2 C0 p7 m, z, e2 r4 W
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
  \9 B, p; ?  {  g! k2、排序2 C* y. Z3 P2 t6 E2 g
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。4 O+ F7 B7 S& A# U/ Q5 I+ i
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
" S" c1 K" O  O6 t* W' r  NC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
' X0 Y* X" k0 t3、模拟8 d( }3 |' Z  G3 ]2 k
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。. `( [& Y3 S* ^" D. A6 d
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！/ B! I; L+ i. k0 n- H
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。8 R$ @( U' N( x* r
4、二分
: i' s' q# S$ C二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
- r+ s5 N" c3 w1 U! z例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：  b6 k% @1 P/ B5 w) b9 {1 V
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
- J. ~5 c) c. k+ K% L0 M& E2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：  k, j  e" O# T
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；2 G, ~* g# A1 m, X" {! f0 v# P+ Y
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；: X7 i! M4 f4 ]/ V- H7 g+ ]. d
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
. x) n. E+ L( i7 [3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。( k! j* t. m8 b) V
5、双指针
* ~% I, \" g- A" B4 a* C双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
% B' N' R4 a$ q3 t0 F' t
8 ^, `/ N8 S7 M% ?
7 [# g) ]9 C0 ^: [0 V" U* D6、差分法; `. e) t% ^" ]1 @) e+ J  x
差分法一般配合前缀和。+ v( l, [' v! f& Y1 K
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
. |3 f. q) B, T& w. Y假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
* s' `& {$ s0 t5 {7 z8 L) Mx
5 ~8 f; I6 V# ?4 L- U3 p
: ~; b3 T7 h* S. Q! t* z ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g / \! J( |2 [, H8 l; N+ ~
r
$ _! t$ a0 r8 C7 s0 h5 p5 g1 B % u7 T  T! h1 a% H$ C- Q# {) d& K
−g
7 V$ w' r! D5 `# V) R4 T4 Y+ bl−13 i1 q* M& F, j
  D4 S' h* L+ S8 P* m  z
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
; {, L( R. H' o( ur. @( M) C6 k7 E' r# i4 V- {. y8 W

, v* S6 s% B% }) i6 g  和 g l − 1 g_{l-1}g . D+ O" Y5 N, j, ?, V6 \
l−1
7 L, |) ?8 K& m5 R' t; M
4 j# z5 e& q7 ?1 H& A ，再相减即可；9 T/ _' w$ u7 r5 ~8 I
) f% W* `- f0 w& l$ H/ ~) F

9 N) N/ @6 ?# y4 f7、位运算& z5 ?2 I" y- e
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
, q$ K4 p/ I3 x2 t位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
. ~+ `5 b' `. P" @7 f布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
- x% J3 O8 ]9 i) k1 L* ^如图所示：
  a& L0 g- ~" b( K" s1 }3 R1 |% K' ~9 k$ [4 w
5 z" c7 a  i# {0 M# d. |6 |; _7 u
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！, T+ I) I# X; X$ `9 a9 `
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
8 @& z8 i- h. k* g. y* Q4 K& ]( x!(x & (x - 1))
" V0 u8 B$ P7 V' |, p: \2 Q4 Y" C2 B1- d. K, n, ?& Q5 h
8、贪心8 T' o( E2 M/ M; q
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。' k0 A% ]. I, o2 ]. b
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
! D. P. z: k% E" z3 T( k  e- Y0 g" A9、迭代
4 @7 Y% T& Z3 q5 ~4 a每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。( h/ Z6 H; j- M# O6 v, J6 n
10、分治
! n6 R3 W2 r3 Z. l分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
" e2 s9 S3 Q: O' k0 y3 Z5、算法进阶3 ]' e" C# W$ m
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。! U* U% D$ W; a/ n! R& e! v
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。8 \' F0 D/ [3 M
这个系列主要分为以下几个大块内容：
8 }8 l4 L% Y* ~( O 1）图论
% F/ a, T. u0 }: n0 U" G# L 2）动态规划0 n- ]# y1 `  h4 q
3）计算几何
, M) \# ]! [; ?: b3 W: \ 4）数论
: o/ y/ P! Q' O- C 5）字符串匹配: m7 q/ h. n! C7 u1 s
6）高级数据结构（课本上学不到的）" n4 w9 J2 N* ?3 ~
7）杂项算法
" D% n% M  O  o  {* ^1 a8 D4 q3 q3 K& J" }: T9 J

. g0 K# u/ |4 c0 b" A先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：; Q/ O( v; Y" i8 @& D4 ?6 F  I3 A
8 J$ J. a9 R6 _7 Z( E

0 g! O$ {3 y* g5 c# b, c  F0 k0 B9 c

& G0 ^) k9 B# |  @* H6 j1）图论
! e9 X2 C" U! d- P1、搜索概览
( d. ]) |3 f3 D8 ?9 v# ]' L$ Y# j* V图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
& b' x" E( y" K, M& H7 q: T3 k4 x3 }: b6 d3 K
) |/ N) Y1 K* v
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。0 P# Z& z5 N- K2 G' V
2、深度优先搜索6 G  s6 M9 K/ {; E0 J- N
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；7 J" k, _8 r! X0 `
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。4 b: f6 [' O1 a3 Y( U3 N- x
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
* j; b( B/ K7 P8 f8 c如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
2 i0 t; B0 V& Q" _# w- {3 ]8 L  ~6 l+ x" O" s$ w

" V- ~2 N0 \$ K$ x  k( s红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
$ k/ T5 y- K2 R  p 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6( \' p* g8 W% Y$ \' ~5 u
1; S, p0 g8 T  u4 X2 P
同样，搜索的例子还有：) D8 t* ?) S8 u, z

) w" C6 e: A" s0 d( y% C; S, x
  h! l' q7 F6 @' f2 j计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
! ~0 Z" ^5 b0 |3、记忆化搜索
( M) j" ^" T! g对于斐波那契函数的求解，如下所示：
8 d/ \, e: h, a# t/ Z0 z  {f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
* F  u( {: I) D- F4 w⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
& d) r) ~4 D6 J{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)% S5 A+ ~! X, R9 V) G, l
f(n)=
2 d+ Z% a1 q# {/ W⎩
; h6 f4 Y3 B, k; x⎪
/ a" G* q: ]- L$ \7 e3 {⎨6 Z; j8 K0 H! L* w! L
⎪
9 G* g: ]: _0 P* g. N1 \! s" J4 H⎧. J; n. `, e; y4 ^

+ d. w# U6 L' ~% q! ?* F' ?1 Z) p5 M
4 m/ Q9 {( `* d8 R0 g1
& q) c# l' W% d. ~8 H1
$ L; H0 [7 t3 }* T. g" hf(n−1)+f(n−2)( o1 G. _* D, f3 I' l& v" Q( `* ]
7 \5 R  |# [( r! w! n# z% T

9 `5 v3 B. i9 l" S) ^. w/ g(n=0)
* X* G& p6 G5 w5 G(n=1)$ k9 |! q% o0 P$ G$ J6 I) W
(n>2)  c* r! ^6 t$ M1 P7 t

& p& _: ~5 z& F! R) P1 `. T ( {7 y3 P7 e5 c% @. V8 M. N8 t2 \
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
9 c8 M) a8 X/ I8 m& ]  o+ T) z  w$ W+ P" R: P4 J" p
& a( P6 W# _; t+ x
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。7 T/ S- J4 A4 R1 ~6 K
我们通过一个动图来感受一下：
$ I5 C6 l9 U2 U) U! A; b* u; u2 {6 i. |
. Q6 E' r: `, S2 }! H+ U
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。7 {5 Q' @/ H& O% H0 p
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。2 k0 r6 d- I# p' E' O$ Z  B6 V
4、广度优先搜索. {6 K9 c" v( Z( Y: _
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
  {6 R) I+ R) y: r1 x- @( m/ q我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。" z5 a6 Y. {5 C- k2 [

4 O: h, p0 Y' e7 z9 w
0 W& r; U. t0 }# X0 l2 {) m5 R
& n/ m5 X: S9 b0 V' {  L: l
! S* N& G$ E8 h2 ~4 o从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。5 R2 A+ ^7 E; _
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
( D) |  Y/ A, {- p8 H这时候，算法和数据结构就完美结合了。
- N  s9 g; F+ F3 r5 S2）动态规划
3 M. c3 b8 ]3 S! f动态规划算法三要素：
  N  A8 V8 o: f8 F( h# J ①所有不同的子问题组成的表；5 f& k0 @. S4 ^1 P4 ]# ^
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
' H# r. v8 \* k9 q ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；7 F/ N2 e& o' |5 o/ n7 J

$ B$ x! J+ z; D
" [+ k6 C; z# ]8 r3 S1 K如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
2 f' ]0 \  G6 s; L1 B. ?t
, t! k' G4 o* C$ i" Y" U7 A. A) ~ )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n $ W# s* T- t3 H* E
e
. v3 ~9 V4 @( P: R1 \ ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。& q6 I! C' {; k$ f; L
1、1D/1D
! s3 e- o  |% ^* ^) sd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )* Y7 O& Y/ y, P0 I" |4 E' _7 u
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
3 h( h, H; F1 y$ k) b% ~状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：2 L2 p+ u  I& n" F; v

- \0 d: U! l, l8 i
9 W" J3 n2 L" U, F- c这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
* H6 X3 |' d1 e2、2D/0D- k& V& N2 |4 a  A
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )/ P7 \  x0 u/ ?" w
d[j]=opt(d[i−1][j]+x
* ^* k' c- ?- Pi
4 \3 \* o  }/ t8 L
6 @% Y" Q& g/ _  A7 W- m8 w ,d[j−1]+y ; h' h1 _: I! |$ w% e6 Q9 l. b
j
. O& j- W+ u% l& k4 O( f
' a. d" z- t! L3 _6 S/ Y, I  n5 z ,d[i−1][j−1]+z 6 m& S1 c$ D# L- J
ij$ p; ~( J& x- @. [( X. i" o* C

( \* _2 T0 S4 F8 ~4 E4 I0 P8 c" w ), s' Z. L% g0 S" m, Z' z
状态转移如图四所示：
6 r) j% s6 _: u! J  ~4 m, r) G. K6 E. U7 m, X

: z: Q; A8 j% Y5 n' r, `& G$ ^比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
$ ]  Y; d# r. p- e! S! ^6 w2 y有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
3 c4 {0 L' y* l6 X0 f0 n3 q7 A有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
* L+ x+ A$ M* D- ^! _* w/ W9 |% I3、2D/1D
+ l, ]& S5 S* {. `2 ], J" {' r: n4 zd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
) O+ c. n# ^6 D* e) f) A% r/ o. cd[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j]). b+ e4 D3 [: r
区间模型常用方程，如图所示：
: F* L! Z4 X0 V! c% b7 Q" Z( z' I- a# y* u
) k: K0 |7 Z/ o: G. D! ~
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：9 Y7 I3 l. }8 B
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )/ g! D! w  }1 J5 ?6 r+ n
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j): [2 U9 M5 B3 y
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP# S  i: F) \6 X
4、2D/2D9 _4 s5 j, k5 ~9 Z6 o/ M6 ?* Z- V& ^' P
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)* U, }; W6 Z- M& Z' N) M" A, i
d[j]=opt(d[i
# p, q0 p. g8 s7 p  K! x′
1 Y, B6 S9 s; d4 J ][j
1 u+ d) n: d0 f4 o. `′& ~: G" `0 v% I
]+w(i ; R7 F- m/ O8 V+ \/ {
′6 m: M9 J6 R7 f, C% z" p
,j
% k* |6 @* k1 y′
. B. F7 x- z  B/ J3 A5 R ,i,j)∣0<=i
2 U7 E; f+ `: O6 u( I′5 V% C0 v: h; a- l6 a' {5 j4 J
<i,0<=j 8 U# O; p/ n9 ?# V' D
′% F6 W: ^* D" Z6 P
<j)7 U8 I4 d- O$ ^; F1 Q
如图所示：
9 ~) G* N+ d/ p; t& E2 @/ N# V  R0 b, u
% N, ]0 `* ]. d; C# J
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
( f" p) M& N7 E$ ?$ F对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
! O4 m: |" m7 J) Z5 qt+e: `, x3 N4 e/ S
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n 4 U0 g! M2 S9 {% S1 A
t# y9 o: }6 V' [$ f: w
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。  S% _& O8 `! P4 E
3）计算几何! c! t2 s2 ?- z/ v0 F
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。! [" s1 R# N5 H- C: c# J
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。8 x4 p% ~( ^; h% N1 L
1、double 代替 float
" X$ w" L6 z; `c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
7 h; ]" y# b0 z* l* Y1 U2、浮点数判定
' G( a* a( k" w4 z" N( x4 K, u由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；, m* y8 V5 R5 j
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
- c% W8 w1 w+ Aconst double eps = 1e-8;
9 y0 z4 I! t+ Dbool EQ(double a, double b) {5 E# P! g1 s% G: ]9 Y/ }% v
return fabs(a - b) < eps;
2 p# P8 r; D! }}
6 j' Z  b+ Q& ]1 M* p1! s+ s$ c" x# J. T. p! n
2
+ |* M0 T+ `& t2 R3
7 C; o  S- P. d2 @+ Q4
# a( |, V9 [& K3 y+ e+ D并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
4 R7 G2 `( }/ z# Dint threeValue(double d) {" n! h) l4 R3 ]+ F
if (fabs(d) < eps), I8 k  Y$ C1 D; G
      return 0;+ u" R' ^; c* g8 k: }% M
return d > 0 ? 1 : -1;) L! l4 g, b& b  Q! J7 ]# }
}
& ?( P" {0 O, o( h- a& d& I! O4 g1
0 y7 |& G  W- `3 H+ k- o$ h28 v- B, X1 I: z. m! i0 `% f, q( V4 t0 h
3( h8 e5 w$ w, }/ b
4
: {: V) ]! `+ ]9 D0 q54 j3 l& a  U! Q1 g
3、负零判定
5 Y1 T7 d. n2 u因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
0 $ }/ r1 J3 L- b4 @" T7 z double v = -0.0000000001;
! v& J1 M! _- ?3 L* k printf("%.2lf\n", v);
0 ~/ h! w, \' Z) X( v! _" X6 B14 P# [6 E) g6 A
2
& s+ s/ L3 l( L* N+ w避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
& i& R2 U4 `+ M1 L2 m- U' s( _ double v = -0.0000000001;* J2 o8 |" p) A+ B
if(threeValue(v) == 0) {
1 V3 S" E' N- K7 $ }       v = fabs(v);
! Y" ^' H% L; s3 s( x }
$ J! |0 U; w3 a. A  `9 M6 W' w) X printf("%.2lf\n", v);
/ X. q% P: m. l1 c9 s* f! W, F13 `4 C; _, Z5 Y* T5 b
2
! [- D' N( X' t6 f. F4 G- k) n4 C3! O9 Z& t6 Y, z: N0 ]
4: |9 l, S+ O; Y4 g+ B. I. T
56 R5 r, t. \0 j6 Q5 b
4、避免三角函数、对数、开方、除法等  z8 s' _. P) r( i) o9 x9 y
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
5 X  U; G& ^0 n1 D4 v2 ?5 s除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。" N  G. o" ~! u, H
5、系统性的学习
& K( X; r) T9 J; d5 \7 ~基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；- p" N/ C; K) m9 Y" v
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；7 Q( o) a# N5 I3 p/ y# w! q: r
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。; P9 r: X# E# [2 B& b

8 W, k# Y% c7 d; E5 o5 P1 ?9 m9 e: p. }0 j2 R' d' T6 j
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。( |) \  K( [* M5 o5 X! d
4）数论# Q1 q% G9 K) d% G- _
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！; \+ w8 Y$ m& X: C5 e1 |9 n
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。$ b' `$ k2 ]( N
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
5 b7 V1 \: o' _! `7 Z6 t1、数论入门
! C2 r. }4 A; L+ i# ~+ l  Y- B主要是一些基本概念，诸如：
- z: m5 {1 D8 f% S# s整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；1 Y( `  v; B4 U4 N. v  J4 ?
2、数论四大定理# K6 v! M8 [% J; N( Z- P
这四个定理学完，可以KO很多题：" Z$ S  q) U* _% L5 h
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
, u6 f1 z% {1 V4 f# C* W3 T1 R3、数论进阶/ l5 o* [/ S. W% A6 x: g  ~
系统性的学习，基本也就这些内容了：  O5 d0 q1 H4 P5 U9 S# V( @
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
' k# d9 D8 L9 t, O5）字符串匹配
1 s+ l( n/ P; H3 L字符串匹配学习路线比较明确。
% I5 i- U9 h5 P- S7 ~0 N先学习前缀匹配：字典树。
3 f/ T2 {- s2 H( E- {- E+ p2 O0 s然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。3 }$ M8 j9 j* Q6 {
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
* R' z' k0 l# e) ]实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
; K# H% m- R1 S1 U) T" c然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。% |: Y3 ?' A1 E* i
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。/ M' n9 ?6 X9 K7 j! D' R5 S
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。5 d8 P# J5 A+ g6 ~9 W1 b! ]
参考资料
6 @2 p' w" b/ D【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
5 j! X+ a' j3 P! \【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）" G) m0 s% ^1 J; b2 B; K, E4 `* [
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）+ D# k- X3 v8 o8 _
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
  z/ U/ n+ t+ [; {/ k1 g————————————————
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