) X/ y( H5 W* | j& y& J6 N这个题的核心是考察如何交换两个变量的值,不像 python,我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。 # P1 |" {: h, X1 Oa, b = b, a' r) E o5 ?( `" K$ [ e3 r6 K
15 p$ b3 ~$ c9 e1 F
在C语言里,这个语法是错误的。, l+ J+ ~) c! v* M
我们可以这么理解,你有两个杯子 a aa 和 b bb,两个杯子里都盛满了水,现在想把两个杯子里的水交换一下,那么第一个想到的方法是什么?+ r& J8 x3 A- u
当然是再找来一个临时杯子: 5 }4 f7 \. C/ T" f; O1 y) L2 U 1)先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里; $ q8 Z8 ?+ V9 ~6 k' U2 P" p t$ K. } 2)再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里;9 L( ^3 Y7 E! d7 h' v: L9 G* p
3)最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子;* S5 f, K9 C1 P1 j
4 x/ p$ U, s4 L( U$ w1 J
9 N; O% y+ R1 b5 \* ]/ G
这种就是临时变量法,那么当然,还有很多很多的方法,接下来就让我们来见识一下吧。7 r* V3 Z! J9 Y. b/ u
$ B: v: r) I& m. Z6 R
/ W1 g* R3 h% H
三、代码详解 R6 Y# K& v- y1 h1、正确解法1:引入临时变量 6 U( ^- I* ?5 x# C2 o+ e: X, ~#include <stdio.h>2 w# n/ T, Y8 C2 Z6 T& F# g
int main() { " t+ }3 @. u+ N6 [5 B int a, b, tmp; % F, o) ]' b0 K7 q% S3 Q- ^, o while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) { ^) b0 Z' j- b tmp = a; // (1)- C! X2 C! J* M
a = b; // (2)0 _4 c) {, _1 z, }5 I+ q
b = tmp; // (3) ) a4 ]# U$ m( I5 f! Z4 Q printf("%d %d\n", a, b);, A% x8 o4 I. u5 o7 Q ]
}( H/ Z7 f" i9 h
return 0; * R( s* ?$ C2 n6 d9 d2 N} 2 n }7 x& f" d1 6 u9 {8 B( E u" y5 @2 5 T" n7 d( c+ v4 W& P- ~3 % C6 g! s( k6 E- S% k7 C7 b- P& e7 |42 T& n5 I, L3 r) ~, R
5 , Q, s9 B) K+ f b/ f1 k+ |6 * m( y8 B4 L+ |( s7! D, _0 x1 t8 {. @/ N
8 & }( b5 c9 Z7 V9 i9 V }' B3 h l. `
107 U+ g/ R) K) I" A: q" F
11) `. _0 X" _5 n) L2 Q' ?2 m
( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里; * E& B8 h1 J' U( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里;9 Q! S: D5 l& T8 N
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里;1 H# _# |1 v# B! B) u1 I
这三步,就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。 + o8 U" k4 W3 I9 I2、正确解法2:引入算术运算8 W: [5 M% n! W1 Y6 y1 w. m
#include <stdio.h> & y; y1 n5 s, }8 i: ?* k! O0 S, z. Cint main() {. c i- [2 ~% e1 L! h$ p6 ^% ?
int a, b; * c5 d3 ?( Z# \8 y while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {9 t; V$ C6 m3 u2 [0 k+ n# }) B( v0 \
a = a + b; // (1) 6 T7 j( \# [1 ~ R1 Z' G4 G% o' p b = a - b; // (2) 5 P/ m" r- I, W% l6 \$ ]0 ]- \ a = a - b; // (3) ! s" K( m/ A& `1 K printf("%d %d\n", a, b); V( w0 T6 S0 v1 h1 ?/ ?, J6 h } & b6 }" V, y8 K' b! C O# W1 f3 g return 0; 1 g9 B# }4 {9 K! C} , g( I) @' x/ }+ p! ]1 / F5 D: W' y' k% M5 b23 y% Q# \% j. o$ n: S1 A) ?$ r* ]
3 9 ~* k6 ]8 Y3 q2 q4 5 M, r* a; L" S; G51 I/ Q) | b0 y$ K8 J' j% ?
6/ d7 t% R) e, K* u8 I" {7 r
7 5 J [; a8 ~3 n4 m8 G% Z% r0 j0 V
9 2 s0 p( _ W% h$ B: b" s10 4 M8 |) b2 g) F/ q, |11 ( N' s( t/ j$ t/ G( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后,现在最新的a的值变成原先的a + b的值; - d! D2 [8 D6 J1 v% B! `8 } T( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后,相当于b的值变成了a + b - b,即原先a的值; 0 L5 I3 |( F/ c3 w' L, q( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后,相当于a的值变成了a + b - a,即原先b的值;0 l3 |* b1 d. S9 H/ y2 \
从而实现了变量a和b的交换。' }5 V9 @7 B8 ?( i: X
3、正确解法3:引入异或运算5 O4 S' v7 e' {" P4 Y( ?# Q
首先,介绍一下C语言中的^符号,代表的是异或。0 Y0 A+ ~# T [5 Z' o& A
二进制的异或,就是两个数转换成二进制表示后,按照位进行以下运算:# X. q C! p0 B- c
左操作数 右操作数 异或结果" v; E. x6 Z3 ?0 v& O
0 0 0 6 Q# o8 x9 T0 ~' J5 ?- b1 1 0: z/ v2 Y; x" x' X c) s; ~
0 1 1: u! x6 Q6 X- C; p, }
1 0 1 2 H( C- I* a& y# x" L也就是对于 0 和 1,相同的数异或为 0,不同的数异或为 1。 3 c2 ?( X- w7 p' d) i这样就有了三个比较清晰的性质:1 L; g/ o7 T4 j A2 x O
1)两个相同的十进制数异或的结果一定位零。 2 w! K7 s4 p: w& l4 ~2)任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。 ) f, ]3 m3 p* L3)异或运算满足结合律和交换律。' u/ M8 b: c& v
#include <stdio.h>4 W$ Q% V" c X, G O
int main() {) I# F1 |9 I1 _0 Z
int a, b; & y7 Z5 V a% t8 [ while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {2 v! T! H- ~+ B: g c
a = a ^ b; // (1)6 ~; J! k9 H | _7 T. ]
b = a ^ b; // (2) # I# S G* M1 z( J# w d& m0 x a = a ^ b; // (3) ( g2 Y4 w/ K" H! W printf("%d %d\n", a, b);4 n7 f; w9 p7 m* C, t2 T
} ! j) t# h# m$ k" f" x4 T1 z& L return 0; 7 p, ?5 m0 h( Y* ~' H/ N2 |3 t% T}; ?% g2 I0 U* ^
1 0 _; \/ M& c2 Y9 p% K* L2 ! B5 g) r$ {" G0 t3 3 @) ?4 k4 w4 D4 N4* r% ~' ]& u" ~' _+ W: [ v
5 9 [' z$ |$ k z2 K6 * H. K6 Z" j8 Q' ^7 : Z& k9 q8 B: A h8" W E9 S) I3 Q+ Y
9" Z+ }6 j' B! _ N: y8 v! s; S
10 k2 k+ ^* n& b: N
115 F( j4 H0 E: H" z% i: N3 ^
我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话,相当于b等于a ^ b ^ b,根据异或的几个性质,我们知道,这时候的b的值已经变成原先a的值了。+ E, {# ^( Q& X: w, K6 W( F
而再来看最后一句话,相当于a等于a ^ b ^ a,还是根据异或的几个性质,这时候,a的值已经变成了原先b的值。 R) w. W; o+ W4 @0 Q从而实现了变量a和b的交换。8 n/ [* Y( |9 c- D8 {! f
5 b4 z \$ f* u' p3 [# e; N* ?6 c6 Y 2 I* t0 C$ k# W& @0 R. }/ p" l4、正确解法4:奇淫技巧 * i1 A! U- D* W2 i当然,由于这个题目问的是交换变量后的输出,所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换,所以可以干一些神奇的事情。比如这么写: h5 H1 i. J4 L2 A7 F
#include <stdio.h>: a0 b1 [: @( F2 R o) J, @
int main() { l1 O) H g6 l) y: c5 H
int a, b; 4 e* E, j- Y3 K8 r J while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {2 A3 T. J I% k3 _$ M# J0 h1 s
printf("%d %d\n", b, a);1 H4 M6 A! |6 u$ b) [* g: K7 J
}. W& z, b7 Z0 C4 n5 i) q
return 0;# c! \6 j; j2 z) g2 T9 K
} 7 B, M1 p. }, ?/ Y+ E9 _1 ( K$ S" V: m( c' ]2 l5 B1 ?4 V0 U. w4 l
3 9 L* \% ?3 z6 x1 y" E# g& V) x& u4 , E' g6 o# z* i; g# P53 T$ G9 V5 o' F& `# I5 [
6 % L( Q1 t5 j5 X! i% z4 _72 t: j0 ?' ~0 Q( ?
8, K) X2 z! e; B, C
你学废了吗 🤣?+ u% R0 v# h( |% P2 f+ n A/ i: [
2、例题2:整数溢出 h. Y7 w* ]. v! w1 ^: d
一、题目描述2 ?. v+ }1 G, b
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100),然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2 + w- K+ W' ]) f8 _7 @& m
621 I% q% k/ n' {& Y) u' h
),输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。0 d1 Z7 N$ u g7 V+ Q$ i
8 R& P& n) Y. B |$ w* ? d- g R; J" h& G二、解题思路 q" h- e' j$ a' T7 X
难度:🔴🔴⚪⚪⚪ , E0 |4 }2 _& u# N 2 m- C: w/ f" A& R- B$ A0 u & k" B- t, Y3 P- P2 t k$ t# j这个问题考察的是对补码的理解。 5 r K8 N: h* X3 a/ G0 G仔细观察题目给出的四个数的范围:[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2 , u0 M5 t6 C/ a1 p5 y( n
620 u" c6 q! a2 B r
],这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2 4 L2 _3 i9 Y" l# v, Y( y: }64% u& d1 j, n" f3 @( i
。而C语言中,long long的最大值为:2 63 − 1 2^{63}-12 9 X1 g3 M' a4 r
63; C2 R3 s4 r8 {4 S8 _, D2 D$ d
−1,就算是unsigned long long,最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12 . w. w) d. s5 E( E% {
64 R% k, r. A# K0 t: L −1。 $ r! o {. \' T, ]2 w8 }3 g但是我们发现,只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2 4 {, k4 m) ?! ~62 4 @- v" Z7 k6 s h- Z3 {" d, H1 ? 时,结果才为 2 64 2^{64}2 0 T2 o$ T) k' U# A& H4 U; I( b64 5 {( f8 P5 ^9 J$ y# _3 W; H ,所以可以对这一种情况进行特殊判断,具体参考代码详解。# H* c) G8 w# f) F; ?7 n, X
三、代码详解 : ^! q& b8 }6 f* H5 k#include <stdio.h> & @4 a6 ^2 V+ |4 h$ d7 u! }typedef unsigned long long ull; // (1)2 F. V3 L2 G* k7 o: b( Z! B5 A4 A
const ull MAX = (((ull)1)<<62); // (2) ' o/ D! |4 y( L6 ^0 C$ Q3 w 0 s. @. C! ?8 H3 {% I# p8 g# f' O' H- {& ]# g
int main() { . t3 V5 s7 D2 S. B int t;+ a' \# R1 T" r$ |2 n. _
ull a, b, c, d; ( p) W _: A- J: ?1 \1 s0 ]- k1 d# p scanf("%d", &t); 4 Y! j$ K, x( l" ]2 b W! }3 g while (t--) {) M* t( G- t# i6 B' Y
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d); // (3)* @9 Z, s% W' `2 L# M
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)$ M2 A2 X% l( @, E
printf("18446744073709551616\n"); // (5) # _0 \9 o; O$ {9 K k1 \ else. d# Z/ N. q( N# T
printf("%llu\n", a + b + c + d); // (6) . D6 ?$ v. Z Q. Y3 U7 _ E+ M' K }% s" ?4 |( b* w7 S
return 0;: D1 ~# q8 `6 v
}. Y. o7 M, y$ o0 ^& \
11 }+ a: M9 s5 X5 W7 G' d- n
20 p* Q, a/ ]9 a. ]
3 ' r% ?- b: p: i' B% c/ i4- O9 S0 d; a- V! Q
5/ X7 S* g# V" I3 |4 c
6# |8 j* O7 t% t8 Y6 [
7 ) A# [; |: O8 y! n8 a. N8 O+ G7 A1 p" ?# j! g0 b0 P
9 7 x1 D* q8 z0 n0 N* {* b$ A! C10 . s, s8 H. o1 W8 b11 ! h0 L3 K7 s2 W* y4 p o) s1 c, l6 M128 a1 l" f: g e1 f3 X0 P& [
13' W. @3 N4 K* O* D
14! F5 i; y' c) v7 Y6 Z3 c
15 & i' a/ a9 \! t& q8 {16. j9 @6 a/ @. \' t$ i E9 \) A
17 ( E" l1 F. f' G* r/ }; _4 D( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大,所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名;& ` @2 h( F) F+ V# y, I
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2 . d, Z. p) A8 w$ `# }) Y8 [, }- k
625 Q7 ?7 a& H$ U" Q
,这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算;" ]& n) j* G( V6 D
数学 C语言7 p! j: G: A% [9 x; |* K
2 n 2^n2 4 ~. ?( y7 D. z8 f! Y7 B' p- y ]n+ K% F5 r- Q' X+ |5 k( v
1<<n; g t" R7 f: n6 Y( {( M
需要注意的是,由于 1 是int类型,所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1;; W% G/ j0 v# B9 b, Q
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式; + P7 B; l0 Y5 I3 L( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断,&&运算符的优先级低于==,所以这里不加括号也没事;- B+ T7 I$ _" R$ q! D, \9 \9 v
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2 : s2 Y; G. P6 z5 S W
64 : {( s) k7 m+ r* y4 T+ V- e 是无法用数字的形式输出的,所以我们提前计算机算好以后,用字符串的形式进行输出; ( H0 u6 J O! L, [1 o+ c9 M. c( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2 u" C0 W' _, H% {3 k, y: Y
64# y4 K- U" d; z
−1] 范围内,直接相加输出即可。* R0 g* i$ k h' _
由于这个专栏是付费专栏,可能对学生党不是很友好,所以作者经过再三思考,打算放出 300 张 一折优惠券, 先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受,仅限前 300 名。 $ E* `0 i- s$ I为了适当提高一定门槛,你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。' v5 o2 Y9 c; y1 S0 J
1 u( q8 o! x* Z( f
! C+ Y: s2 f+ [7 x k; F: I
3、数据结构 & a# t( K3 J0 e' @! Y" v《C语言入门100例》上的例题,如果能理解前面 25 道,那基本C语言的学习就可以告一段落了,接下来就要开始我们的数据结构的学习了。 - |" \3 {1 r0 X! g- {4 h. c1、什么是数据结构7 f) _ o% a* Z1 V/ I' ]* c
你可能听说过 数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图,没错,这些都是数据结构,但是你要问我什么是数据结构,我突然就一脸懵逼了。/ H! t6 k1 J, {/ r& C
如果一定要给出一个官方的解释,那么它就是: 2 H! Q: c" ]# H# S5 |+ G计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下,精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。 8 N9 a! P1 O9 k1 R+ X/ \+ y1 G ) o% ~% I1 {1 l( I, h' o% w% |/ O4 i+ A# z
是不是还不如说它是堆,是栈,是队列呢? 4 u% ^ j! |! A$ K是这样的,我们学习的过程中,跳过一些不必要的概念,能够节省我们更多的时间,从而达到更好的效果,当你还在理解数据结构是什么的时候,可能人家已经知道了栈有哪些操作了。 6 A9 W; I/ e( F; g6 d: ~2、数据结构和算法的关系 ' h, P5 t# [; R; M: c2 y很多同学搞不明白,数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系?甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。7 D) `# ^9 V' f5 k
数据结构主要讲解数据的组织形式,比如链表,堆,栈,队列。 . f3 \% Y$ M0 O- q+ d而算法,则注重的是思想,比如链表的元素怎么插入、删除、查找?堆的元素怎么弹出来的?栈为什么是先进后出?队列又为什么是先进先出?7 p5 y3 l( Q: D% Z; X) G t
讲得直白一点,数据结构是有实体的,算法是虚拟的;数据结构是物质上的,算法是精神上的。当然,物质和精神 缺一不可。 4 h. l2 N: s4 _% E" f* B; }+ u2 c3、数据结构概览 - I0 y& Q$ t0 M周末花了一个下午整理的思维导图,数据结构:: f( X: {3 N) T& m3 I# d: F
" _" T* s" f3 F. i. a3 J
5 b; ]: U3 b8 k
常用的一些数据结构,各自有各自的优缺点,总结如下: 9 y9 z [6 ?$ i3 j- Ka、数组 " f. |) A/ t$ `1 g) d内存结构:内存空间连续9 Z1 W: y0 Y% c8 E; B/ b
实现难度:简单! w1 h8 Y2 X1 M
下标访问:支持( n- F( z5 _* c8 J/ W# O3 E
分类:静态数组、动态数组 - d, V7 R q2 A插入时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n) ( u) Z, Q' A9 U$ z2 r1 [1 \; Q* A1 ^% z2 ]查找时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n)! V: a4 o& f) g8 `: b. U4 [% _* p
删除时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n)0 o7 g/ Q$ f8 R" Q7 d9 e- c
@ o$ ^6 N, ?% E3 W; P- m" j
: K! v$ J) J: S) s- |
b、字符串 $ m- t1 Q/ a9 y( K' d内存结构:内存空间连续,类似字符数组 " H% E$ d/ [1 C z, U2 f实现难度:简单,一般系统会提供一些方便的字符串操作函数 - z( h+ M9 X+ t: X- N6 y下标访问:支持 / v5 J% B3 S; q- K: {插入时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n) - B" F3 G; \( W% N! n查找时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n) 8 I: c& Y2 y$ z3 k. D2 f删除时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n) * m. y; v1 b" w y / D( g: ^1 J* E 5 K' X' N! E# h2 k- U! w1 N" cc、链表 8 A% S5 O9 ]4 b2 k内存结构:内存空间连续不连续,看具体实现+ E% Y6 Y* P: T/ q
实现难度:一般. m* m$ X. w8 J
下标访问:不支持 7 R. y4 X# M! c- K; n4 z) ^分类:单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks 0 M$ [. }: g) e# N0 p, e0 x插入时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)/ P4 d8 F; U$ k1 A6 n! e
查找时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n)* g$ _7 u; V2 c, X, O& z5 d+ Y+ D
删除时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)% p0 t# j: A9 o; y
% W. [7 a4 }7 |' I, U + J7 \5 W; {! v, W$ u+ Cd、哈希表 ( O8 e* l/ p3 \9 t7 [7 w8 r内存结构:哈希表本身连续,但是衍生出来的结点逻辑上不连续 # k b* h' Y/ A! J实现难度:一般: j3 M8 D% V6 Z0 M x3 G6 r
下标访问:不支持 3 R/ y1 C) b+ p: t) A# R3 Q1 r& Q分类:正数哈希、字符串哈希、滚动哈希: J1 S, ~$ @% H @' _. t
插入时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)* O' z. a1 [0 H' W) K7 j
查找时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)# `/ G D/ g2 N5 @0 E' p
删除时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1) ! f- X: f8 {5 _) a3 ] % r! L2 [1 \8 |/ i7 t9 L' c7 C , R. Y4 t+ t; ge、队列! m. `/ h& f4 R1 d, Z
内存结构:看用数组实现,还是链表实现 & U; e. w& l; \6 j实现难度:一般* B G1 `' S$ L' G* |2 C. e# X
下标访问:不支持 u+ G) f( [. x; o. P$ Y9 H" M9 ?, M5 i
分类:FIFO、单调队列、双端队列 9 L1 H7 [) w2 y: }# h插入时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)0 {) A) P# b1 \! w; P Z9 i x
查找时间复杂度:理论上不支持 & X+ I: U( [; t删除时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)) c3 J2 V. `/ C. }
2 u2 W) E& n. ]6 e ) i4 `) U& x" k" j! G3 E6 m2 P% Ff、栈 6 ^4 E! |- L7 T4 B( d内存结构:看用数组实现,还是链表实现3 w+ F0 e+ E) }/ g; V) I
实现难度:一般 , g3 }2 C9 o; S6 t. x! |9 H$ M3 i下标访问:不支持9 [% K! R1 B3 q% ^% A! R
分类:FILO、单调栈3 M( \& @8 E7 V7 A2 R% v
插入时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1) q0 a0 r9 j& E3 W
查找时间复杂度:理论上不支持2 ^( H: C! Z8 T+ a# u6 M
删除时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1). z S7 [8 z& D7 t( M2 u
0 A' d/ W- y W+ S# r5 z. u
( t9 ?4 N3 n2 E2 t' {' \1 B" e+ ?) Bg、树 # X' E2 |. x1 i9 U0 Z! C内存结构:内存结构一般不连续,但是有时候实现的时候,为了方便,一般是物理连续,逻辑不连续4 [" M2 y5 C& h5 s/ [
实现难度:较难3 u5 W7 o9 c" Y( j. E0 ~
下标访问:不支持# c1 I9 m( s- L( s8 p% ?; j" Z
分类:二叉树 和 多叉树. R) o- z2 @% {% V# E- E
插入时间复杂度:看情况而定* a7 J0 \) f# ]3 z/ r
查找时间复杂度:理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log 3 n2 c% _& Q8 V; B" Y; l- Y
2" A" ^! D; ^! V+ S' Y2 l* r, @
! A5 b, P) C' N8 {/ ?
n) ! q/ w: q6 j1 Z; O. j删除时间复杂度:看情况而定% n2 _- U1 t& I# i, m
; h T! C4 m* t " f6 G; g, U% N7 ]* Y K. B1、二叉树 * {6 L- w* u+ X二叉树的种类较多,比如:二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。6 z: M j. M9 k7 [/ V
其中,堆也是一种二叉树,也就是我们常说的优先队列。; [5 k% P* ^8 v& h0 z3 x) y
2、多叉树+ L( H% M8 w- O$ R. w
B树和B+树是多叉树,当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树,更加严谨一点,应该称之为森林。 3 N- c3 A$ ~2 ^1 K1 s9 ]h、图; _# M1 @/ l8 t+ \
内存结构:不一定8 e; c. k& L% K8 u/ `+ n
实现难度:难 3 r/ y: X1 U8 }下标访问:不支持, ?$ s$ S$ k, e
分类:有向图、无向图 8 V6 i& ?* r x2 U' c2 S4 L插入时间复杂度:根据算法而定. k, Y$ C' R7 w/ W- Q6 x0 V
查找时间复杂度:根据算法而定3 T P7 v2 {6 F( ]* q6 e
删除时间复杂度:根据算法而定0 z7 c. w* E4 e
/ z2 I( ^6 H. e: c4 q( y 6 L& j8 q7 J/ v1、图的概念 # d( B+ x# b# \& b8 }+ x! ^% ~7 {7 U在讲解最短路问题之前,首先需要介绍一下计算机中图(图论)的概念,如下: . M: T3 O0 q% V, Z6 L3 k图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E),其中 V VV 称为顶点集合,E EE 称为边集合,E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点,边集合的元素被称为边。 9 Y( I: Q6 E: ]0 h对于无权图,边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示,其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图,边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示,其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V,w ww 为权值,可以是任意类型。 2 r- D* l' _* Q, L1 e; n' X图分为有向图和无向图,对于有向图, ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是 从顶点 u uu 到 顶点 v vv 的边,即 u → v u \to vu→v;对于无向图,( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边,一条是 从顶点 u uu 到 顶点 v vv 的边,即 u → v u \to vu→v,另一条是从顶点 v vv 到 顶点 u uu 的边,即 v → u v \to uv→u;& x- L9 \. X# F) @7 |3 I
2、图的存储# p" R6 V9 l3 ?8 T' N
对于图的存储,程序实现上也有多种方案,根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例,讲解四种存储图的方案。' j0 p) v9 c: Q6 b2 i; J' e
* q6 g- }- V: Y4 v' u
! S$ b9 z# q1 J∞ y6 P3 H! w5 b/ {+ `7 \4 k
0/ b! l5 T0 r: m
∞ / q; r% {) d( ?- W8 J8 0 H: h0 L) f% T; T A 4 @/ V2 j, {$ i1 Q E; Q& C# i* L& i/ Z6 X
# B+ b2 C% X/ r {5 ^. x3 G* ?+ d
3 & o" Y; B. v# G; [2 j" V& d, a6 n2. f V7 B5 Y2 @4 @3 U( U
02 z5 ~( o2 c" n- |6 k" l
∞ $ M' V2 B3 e$ T8 N* _8 u1 U5 Y; ` , j" y4 Q) P/ w% l % V; {' m7 t6 A, Y) W" `* U% V
∞ 8 {" J# b8 g2 S* J∞ 1 V6 v& ]% m7 a2 S38 J" u; e5 B+ V/ O% D/ s, O
03 N: R* w' A4 {' p X/ F0 m
! W1 ]0 `$ T& l1 \ + e. P- W9 k; w. }4 z⎦, V$ A; j E" w) F- Z7 l3 A" G! I" f5 I
⎥ 3 v; ~2 R& L8 u; p7 M0 R6 z⎥ & ]. Y/ e7 b% a. w⎤2 m- l3 S) t9 ~$ S0 f1 Z6 M
, Z# X; N( P; E( W- E6 |9 U
+ }. L3 q8 e$ P+ M2)邻接表( \' ]# c: o! j
邻接表是图中常用的存储结构之一,采用链表来存储,每个顶点都有一个链表,链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w),即 顶点 和 边权。 4 I6 W7 Q" p9 |* t它的优点是:对于稀疏图不会有数据浪费;缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦,需要自己实现链表,动态分配内存。3 O2 P! E% b+ ^6 ~
如图所示,d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组,代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据,w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权,n e x t nextnext 是一个指针,指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。 % g; Z: T2 T- r3 A) l) d+ B- f7 A- \7 Y$ t
( i0 [, R+ `1 r4 D8 F; u3 O在 C++ 中,还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能; ' f- f4 d* i6 U, U3 z6 Z6 E) d5 h vector<Edge> edges[maxn]; + l4 h8 o) G! ~, H, j: Q12 H7 t/ `1 V( ~7 u6 v4 |( ~
3)前向星1 j9 O6 [; c7 S, j+ K# j& ]1 i7 ?- P
前向星是以存储边的方式来存储图,先将边读入并存储在连续的数组中,然后按照边的起点进行排序,这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。+ w% x3 S3 F4 N% j H
它的优点是实现简单,容易理解;缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序,带来了时间开销,实用性也较差,只适合离线算法。# Q4 k9 {& l. ~! \1 V
如图所示,表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组,i d x idxidx 代表数组下标。9 `7 J0 _5 V* c' a9 X, X4 i
2 b- A g) T$ Y/ R
2 |/ B# s y7 y, B' `
那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢? 2 D9 L+ |; O/ ?9 f$ s3 N接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。 , B& F4 ?0 @) k; s3 v4)链式前向星4 F3 A5 s9 ~; t* k
链式前向星和邻接表类似,也是链式结构和数组结构的结合,每个结点 i ii 都有一个链表,链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合(对比邻接表存的是顶点集合),边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next),其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v,w ww 代表边上的权值,n e x t nextnext 指向下一条边。( K4 X; P& N( Z+ }; k
具体的,我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm],maxm表示边的总数,所有边都存储在这个结构体数组中,并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。' l& K- F9 A3 w3 M' E2 z, P) p
边的结构体声明如下:$ x6 l" H' S5 `4 M( A5 c8 J0 Q
struct Edge {$ u5 p5 g8 u3 ~2 }* z! \- `- F4 F
int u, v, w, next;! W! ]( A$ f( \1 B# ]4 {! B
Edge() {}7 E* q: X; c3 q A7 h+ E
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :( u+ a- C: `4 I# j* M0 y4 r
u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) " V! [ d. Y& K; w' N- I {. F/ b2 L' {1 S7 }
} ! f& z$ r A- Z7 a}edge[maxm]; / q3 y4 k$ |/ C/ a% e7 C; p1; o6 F: z/ d4 G! B% C# A
2% i" R5 I& r e. h0 [6 B/ c
3 9 {0 v* h Q6 A5 y7 l4; \! B1 M# ~# y9 v5 N! `
55 l# ^! C4 f# {
65 p5 T+ L9 `4 l( s1 s; ?
73 N% i& B \" M0 P1 O
8 ( [+ M6 Q1 V$ E* X7 d1 m0 b$ W初始化所有的head = -1,当前边总数 edgeCount = 0;( M% u$ v- H+ S1 s7 G- P5 l
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边,调用 addEdge(u, v, w),具体函数的实现如下: : k( g. _! C1 U* Lvoid addEdge(int u, int v, int w) {5 z3 j, n3 M. \! k
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head); $ _2 ~3 I3 w( P- k( Q head = edgeCount++; , B0 C8 z" D' J# S1 I} - E* m5 F9 v* J3 j% e0 c( W18 ^6 `/ j. W1 p
2, n/ X. _5 E5 J6 X/ a8 W+ f
3 9 C6 d" i/ Q/ i, h/ S47 v, t1 [; \0 Z0 L, T
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w),就在原有的链表结构的首部插入这条边,使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1),所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现,空间上没有浪费,时间上也是最小开销。 9 n$ B0 d1 S6 F; {' d P6 }) x调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号,通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息,然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号,以此类推,直到 next域为 -1 为止。' y5 D, ^3 S7 @1 [+ f
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {) e/ u3 O; E, }. F
int v = edges[e].v;0 z# C+ z3 @! A0 T
ValueType w = edges[e].w;, l9 y# T# _' U* |: Z& k
...: B7 I! @! N5 Q
}6 w- y/ A( Z! @& p2 m$ L1 t2 ?
10 R/ @1 d& E4 X4 i" |1 p+ g
2 , s( Z& z& {, H1 ?% P# r5 ]3 ' H: z8 G0 j, f; w5 c4/ B( C, K: d# F8 r8 M
5 ( D2 ?& W1 N$ Z文中的 ~e等价于 e != -1,是对e进行二进制取反的操作(-1 的的补码二进制全是 1,取反后变成全 0,这样就使得条件不满足跳出循环)。 0 l) m; h9 q: b5 ^4、算法入门 5 n5 b5 L# L1 y; W8 `- x算法入门,其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图,然后一一介绍入门十大算法。 $ ^! c5 D4 G% x/ j $ |4 y3 f D! d: n1 R) K* j$ \" D! v' P/ i+ @. S! j
入门十大算法是 枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。: m$ g0 z$ p7 B! b; J; H |! A
对于这十大算法,我会逐步更新道这个专栏里面:《LeetCode算法全集》。& m* o+ U; N. U( y+ a8 m# S
1、枚举 - V' t4 g, S3 t- c! K枚举可以简单理解成for循环,从一个数组中遍历查找一个值,就是枚举;从一个数组中找到一个最大值,就是枚举;求数组所有数的和,也是枚举。. |! P" z! P/ `( n. r
对于枚举而言,基本就是循环语句的语法学会,这个算法就算学会了。6 A, g! Y$ y) I7 V3 c9 e
2、排序 ) S! l0 r! L. i; q( W既然是入门,千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。( u" H* M& ]4 r0 [* z
冒泡排序、选择排序、简单插入排序 原理好懂,先看懂再说,其他不管。因为这三者都是基于枚举的。 " H1 J% \, {0 c' t. m1 _" X$ BC中有现成qsort排序函数,C++中有现成 sort排序函数,直接拿来用,等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。 # L v8 e s6 ^9 I6 }3、模拟 4 H& C, [8 x0 @9 n( Q模拟就是要求做什么,你就做什么,完全不要去考虑效率问题。 # |, |; \) S1 m( q5 g4 \$ r不管时间复杂度 和 空间复杂度,放手去做!7 R9 O5 X: o0 [- q
但是,有时候模拟题需要一些复杂的数据结构,所以模拟题难起来也可以很男,难上加难。 ) G" w$ B6 j# X( Z8 f4、二分7 v% x7 U! n- t) U' s7 X
二分一般指二分查找,当然有时候也指代二分枚举。 3 T% V% p+ M `. X例如,在一个有序数组中查找值,我们一般这个干: 9 I& e; P" n3 Y* M1 A, g# d0 H1)令初始情况下,数组下标从 0 开始,且数组长度为 n nn,则定义一个区间,它的左端点是 l = 0 l=0l=0,右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1;% t, |* }% N% v& N2 Q5 K
2)生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2,并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系,主要有三种: 9 S }; E! S5 Y& P 2.a)目标值 等于 数组元素,直接返回 m i d midmid;. t# b# _; \9 c/ H
2.b)目标值 大于 数组元素,则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r],迭代左区间端点:l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1; ) [ |, q# A" L- o 2.c)目标值 小于 数组元素,则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1],迭代右区间端点:r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1; ' g8 Q( ^! |" O# w0 ? q% [3)如果这时候 l > r l > rl>r,则说明没有找到目标值,返回 − 1 -1−1;否则,回到 2)继续迭代。. p* E% F! t, x1 n/ m0 O
5、双指针& k+ P! H% K: {: |6 y8 w1 z
双指针,主要是利用两个下标在一个数组上,根据问题的单调性,进行指针偏移,由于每个指针只往后偏移,所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n),由于思想非常简单,所以出题时,热度不低。$ W. e! t6 T* g& t
' m% a( Q4 ]8 @ w 4 J% T1 R8 U3 r$ b6、差分法 - G5 [6 A3 g3 ?) b( r8 U/ P差分法一般配合前缀和。# z" y; Q9 Q0 |! |& {1 H( E, Q/ _
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数,可以利用差分法分解问题;8 o4 B6 Y% T7 q0 ]: t& D. @/ n& p
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg % r+ z1 s0 |) t' W% L
x * D' |: [7 q( c5 @0 k9 W( J9 c 0 O0 R8 T* d9 o) B. l( Y% K ,那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 0 Y5 H7 H' A$ J7 R
r ]* [, C0 U: h+ X. z! y; m
9 \8 S W& B. p! H8 ~, a& L) c −g ) D. J" L4 H) Y \3 ~8 k' \l−1 0 h( g1 E. L* o6 Z, d) R; r; S$ Q 6 c O5 c1 _4 B9 w% }
;分别用同样的方法求出 g r g_rg & Q, e& T$ b% b9 @2 n ar / t+ y5 S% A/ i 5 q g8 \/ x% v4 v, x) @ 和 g l − 1 g_{l-1}g 8 z/ s6 J3 d1 c' ? b7 o
l−1( Z4 u& ?3 I5 G" _# U
# E' T3 d5 K/ c4 E$ W2 H2 g: L ,再相减即可; ]& I" B& O' e% v