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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️(建议收藏)

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杨利霞        

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  • TA的每日心情
    开心
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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

    群组2018年大象老师国赛优

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    1#
    发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta

    ) K& e: n# K$ ]1 j& O, }/ ]5 j( b& `❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️(建议收藏); @/ A& P  g7 r

    ! ?& I$ \9 H! {* _: v前言! J" l# z( E. b, P- e
      所谓活到老,学到老,虽然我感觉自己已经学了很多算法了,但是昨天熬夜整理完以后发现,自己还是个弟弟,实在忍不住了,打算把 算法学习路线 发出来,我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤,分别为: 基础语法学习(重要)、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图,在下文会有详细介绍。, c  f( G2 F5 s$ J
      希望各位能够找到自己的定位,通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
    , B/ P9 T! C4 v4 o  刚开始切勿心浮气躁,千万不要给自己立 flag,说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛,日夜操劳,时间也是有限的。所以,首先是明确我们要做什么,然后制定好一个合理的 目标 ,再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。* T/ @2 n  k. O; B5 [, V! n! ^
      每日一篇C语言打卡,目前更新到:光天化日学C语言(20)- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介(建议收藏)。6 u9 j4 f* N, F1 _

    $ u# x; u' |! o. |0 W0 W

    ' M/ `4 s, Q5 `0 O
    + x5 x7 d" `+ q# d: n" X! `: Q+ N6 S

    . Y; w  \& Y; A% E. ]9 j3 {5 M- @6 f4 H

    4 u* G) L* V6 w2 |& l& s, K5 W8 X4 Q; s& [7 l- c8 k6 k  V* r
    3 l+ M% _# W' }, v
    图片较大,文章中有拆解,需要原图可以留言找我要哈
    ; a8 O$ D- W! H0 Z4 c1、基础语法学习$ W# @9 S' b, z, B9 Y
    算法是以编程语言为基础的,所以选择一门编程语言来学习是必须的。. @" _% S! X+ i& k( }
    因为作者本身是C/C++技术栈的,所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈,可以跳过 C语言相关的内容。这一小节,先给出学习路线图,然后我再来讲,每部分应该如何去学。
    ) O% ?2 Z3 r& e( z
    " L/ P* [1 Z! A1 T, V6 z
      F, h6 H) [0 y9 N: h8 a' G: A

    " j0 S& Q+ X" A! P/ Y
    " p% y# O) M$ ^5 r
    1)HelloWorld
    + m2 p0 w$ m/ D" E6 m9 |无论是 Java、Python、C/C++,想要上手一门语言,第一步一定是 HelloWorld,先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时,可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽,更加不要谈日后的丰功伟业了。' M. h. w5 ^8 u, J7 S+ x- y. E
    2)让自己产生兴趣  [1 J! T0 \+ o* X. E# k; ~
    所以,我们需要让这件事情从一开始就变得 有趣,这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程,这里我会推荐这个:《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑,可能作者本身也不是什么正经人,哈哈哈!虽然不能作为一个严谨的教程去学,起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。7 m! v- K) M2 P4 h
    刚才提到的这个系列,可以先收藏起来。回头再去看,它讲述的是 对白式 的 C语言教学,从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起,逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手,一直致力于 将困难的问题讲明白 。我看了他的大部分教程,基本都能一遍看懂。算了,不装了,摊牌了,因为我就是这个作者。
    ) N3 D2 |. R" U4 r$ {% f# c3)目录是精髓
    ( K% Z1 ^7 ~8 m1 Z% \1 ~然后,我们大致看下你选择的教程的前几个章节,那些标题是否有你认知以外的名词出现,比如以这个思维导图为例,前几个章节为:& E7 P! F" c6 g' M
    1、第一个C语言程序
    7 a! `) g: ?$ T3 O3 s2、搭建本地环境+ ~) [7 x2 o9 p2 E1 p& H
    3、变量. o3 @' T. V5 ~) ]
    4、标准输出
    1 `5 A9 Y7 u* L) I; h; U/ p5、标准输入# n+ n6 Q7 |+ @9 u# ~$ |. k
    6、进制转换入门$ }, s5 R" T. ^; Z$ d5 M$ o
    7、ASCII字符
    ) a- b' Y7 {- G: @& q, S* N8、常量( c% Y$ U2 }! z# f5 }/ U9 @: r
    % R' P) I$ I1 I

    / P1 h! Q6 b9 a6 C; T3 o如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么,可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之,我们就可以继续下一步了。
    0 B/ l/ o( f4 c4)习惯思考并爱上它/ u& Q: t! k9 k' ~+ ?& Y
    只要对一件事情养成习惯以后,你就会发现,再难的事情,都只是一点一点积累的过程。重要的是,每天学习的过程一定要吃透,养成主动思考的好习惯。因为,越到后面肯定是越难的,如果前期不养成习惯,后面很可能心有余而力不足。
    - [* [5 a' V! @% o就像刷题,一旦不会做就去找解题报告,最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯,只不过不是一种好习惯罢了。
    4 k' Z& d$ n" W3 K( ~5)实践是检验真理的唯一标准7 e* E, [4 f8 r- ]3 P
    光看教程肯定是不行的,写代码肯定还是要动手的,因为有些语法你看一遍,必定忘记。但是写了几遍,永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
    7 S: ]. H: X. I- ]0 J所以,记得多写代码实践哟 (^U^)ノ~YO
    8 L7 t. x2 z1 Q9 g& }2 O6 ?6)坚持其实并没有那么难
    $ n: V( V+ O. R; O$ x* I1 X每天把教程上的内容,自己在键盘上敲一遍,坚持一天,两天,三天。你会发现,第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情,明天继续做。
    ( J& _7 o8 K$ l1 r0 G& s+ O7)适当给予正反馈5 K1 ]8 U5 S1 T
    然而,就算再有趣的教程,看多了都会乏味,这是人性决定的,你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己,这时候,适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如,可以用一张表格将自己的学习计划记录下来,然后每天都去分析一下自己的数据。
    / f3 ^, F7 b) y$ x" v* |- X9 m* o' u当然,你也可以和我一样,创建一个博客,然后每天更新博文,就算没有内容,也坚持日更,久而久之,你会发现,下笔如有神,键盘任我行!更新的内容,可以是自己的学习笔记,心路历程 等等。
    & @/ |  a$ M5 ^$ s) _; o看着每天的粉丝量呈指数级增长,这是全网对你的认可,应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
      U3 ?: }$ D: ]" f' a5 d8)学习需要有仪式感5 M* k! O' y6 z/ Q& W
    那么,至此,不知道屏幕前的你感想如何,反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了!$ m' G2 S& G0 T  L
    介于篇幅,我会把C语言基础的内容,放在这个专栏 《光天化日学C语言》 里面去讲,一天更新一篇,对啊,既然说了要坚持,要养成习惯,我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章,可以在评论区评论 “打卡” ,也算是一种全网见证嘛!" F0 K- ]2 y$ J0 ^- U1 Y
    我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
    3 _/ g. l  k/ }( v6 z: }+ B9 w2、语法配套练习
    + M' q- M& r! A3 }6 x3 g6 F学习的过程中,做题当然也是免不了的,还是应征那句话:实践是检验真理的唯一标准。
    7 G9 k1 t) ~$ v, x1 P, ^# f' v而这里的题库,是我花了大量时间,搜罗了网上各大C语言教程里的例题,总结出来的思维导图,可以先大致看一眼:
    8 K) z- S3 g2 G9 l- |  F% i% f3 Z( _
    9 |9 u: N( O! r8 s  T+ ?( F& @
    $ }* @. _0 h- k& @4 n& B
      v/ O! g* b/ P1 q
    从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序 等几个方面,总结出的具有概括性的例题 100 道 《C语言入门100例》,目前还在更新中。
    " O/ J0 {- L5 r+ _这里可以列举几个例子:( C8 M6 f9 x2 A; L- v" g
    1、例题1:交换变量的值! o* B9 d+ D& i
    一、题目描述
    1 |! L6 X2 q0 U$ P7 |- ~  循环输入,每输入两个数 a aa 和 b bb,交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时,结束程序。6 ]- \) m! ^" O
    1 [) v2 I" T7 E: g/ D2 {: G/ T

    + |1 {7 A8 V6 r3 v9 q; y! r& E! Q. `& k. j" S4 k9 }% e/ [

    & F5 N; I9 |2 H二、解题思路
    # v' G9 g0 k# l8 ~; C. ]难度:🔴⚪⚪⚪⚪
    9 f" w0 g4 O# \
    ' s! i5 @3 o( R' U- p. _$ r0 o

    ! O! o! T( X( h3 y. Y# [/ N: o这个题的核心是考察如何交换两个变量的值,不像 python,我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
    , a/ C; s. T4 |7 X2 wa, b = b, a3 x8 I6 \9 @) S3 L8 H' C0 W/ p
    1
    " a/ l$ b% Z' C/ X7 a在C语言里,这个语法是错误的。
    9 z" ]* Q- j; C, u7 Y( I; e6 R我们可以这么理解,你有两个杯子 a aa 和 b bb,两个杯子里都盛满了水,现在想把两个杯子里的水交换一下,那么第一个想到的方法是什么?/ P: [* p0 y* m% ?- ^% H$ Y
    当然是再找来一个临时杯子:: e4 F2 v/ r/ D% \  M! r; D, z, ^
      1)先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里;" N% U' Y+ R5 h8 \0 w
      2)再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里;
    ' V% Y: A  K4 t* A  3)最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子;, c8 h4 P; |1 B( L9 b
    9 L% z7 \8 B' V; z

    6 F7 t4 {  M- a0 K8 m0 h这种就是临时变量法,那么当然,还有很多很多的方法,接下来就让我们来见识一下吧。2 q2 F& q$ E% T( z4 R0 \
    - M* z/ p# \9 D7 c

    ; X$ z+ W& D: L# g2 e三、代码详解# T7 |& I8 [/ U2 |
    1、正确解法1:引入临时变量
    ; q+ L$ ]* `! L/ j! [% w3 O5 h#include <stdio.h>; V, t( Y3 t* u4 _0 \$ N
    int main() {; s! X0 V2 D: X4 S7 [5 H$ }; Z# C
        int a, b, tmp;4 r9 ?* J0 C1 R3 }( i2 m  U9 [
            while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      f2 {' L6 v% K$ L) n% X/ e  N. \- n            tmp = a;   // (1)
    * d# U8 l7 L% v" L9 @/ O8 h& n            a = b;     // (2)
    2 O7 T0 [: C; K# N1 ~2 o2 G; Z& v6 [            b = tmp;   // (3): \1 z# V% E; d% i$ H5 a# Q
                printf("%d %d\n", a, b);( W5 h0 k( Z& z0 I+ Z) N7 ~
            }
    7 N! Q* D% A3 u; Q6 @7 }7 H6 l. g% b        return 0;: T' Q6 V) b9 d" N% A- e
    }
    + I% @9 @0 h, g' E; |9 l3 o2 v1
    $ i- Y) a4 j8 b2
    ' R3 L8 a, L, |+ {3  h. k. s7 P; _  Y' L( O
    4+ h5 \4 _9 ~) K5 @$ f8 V
    5: x! D! F! D" \8 R: o1 U+ S
    6
    : o: ?. ?1 K1 Q7
    6 @4 P" J+ M1 w7 h: E8- G; B! H" |7 A" U. Y! ]* g: H, B
    90 H: b1 f  D( f. t) _
    10' R3 u7 ~+ ]+ i6 }3 f
    11# [* G; e1 z7 r! Q
    ( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里;
    % A& s1 q/ P6 H5 j( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里;
    $ V+ ]; @* Q1 |3 {5 J/ v/ u" S( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里;
    ( V* v! w; U( y2 ^, k这三步,就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。" V3 L7 a4 o6 z+ V% q. \; E
    2、正确解法2:引入算术运算4 p/ \+ {( M/ a: r8 t/ x
    #include <stdio.h>$ Q: y# E2 C6 u
    int main() {2 ]! K- E' l2 F- A
        int a, b;
    ; w5 p4 Y: ]& ?$ t5 E        while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {! @4 T$ {9 O0 M4 C; P& J
                a = a + b;   // (1)" x: y' M: i5 N. v$ R" y; J1 g
                b = a - b;   // (2)
    ' z4 m. ?8 |+ X4 n0 y; y( v% }            a = a - b;   // (3), E0 m6 Z! [& ~5 C
                printf("%d %d\n", a, b);! |( Z. M3 O. o; A/ ]: D; n- J
            }
    / m* W+ x! |4 ~+ M) ]% S" T        return 0;- e0 `- r" z( i$ C' I8 E
    }4 M. U" J+ R2 s" l# n) J( Y: }5 Z
    1
    " n; L" e7 Y: V7 X, a$ z5 h2
    2 G* |: _0 y: Z: y; I& t3 J3$ }: ]1 i: A) r/ I
    43 R8 Y1 X: J+ z; i" c
    5
    + ^) @$ @1 _% P4 D. @& z. y6
    , h' {6 e' C3 ~7 M6 P4 o, g7+ U6 L6 p- c6 h. Z0 g4 _
    8
    0 w2 b) u" Q# b! m" ?, s9
    / z* o- G4 o( k$ J5 _: T) {9 c  ~10
    4 y3 ?+ p7 L4 v* T& s11) K, a7 U  G! R4 F$ y
    ( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后,现在最新的a的值变成原先的a + b的值;9 _& M/ y( J( g* ^: Q. L# x- ~
    ( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后,相当于b的值变成了a + b - b,即原先a的值;  S- X* G% n; R3 r4 M3 s
    ( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后,相当于a的值变成了a + b - a,即原先b的值;% k# j( C; \; T* V& F2 ^
    从而实现了变量a和b的交换。& S/ E; Q! Z. u* ]( s' {
    3、正确解法3:引入异或运算3 w) e4 I" b8 v; O( C6 O
    首先,介绍一下C语言中的^符号,代表的是异或。
    6 k* d' G0 f9 F; ~: q二进制的异或,就是两个数转换成二进制表示后,按照位进行以下运算:
    0 L) b/ g# g  m) X) @" @& O左操作数        右操作数        异或结果4 G% L1 q/ |" g/ f+ c8 x
    0        0        0
    ; j" i* f) \) s/ P1        1        0
    ( B7 r8 u  b1 _% i3 Y0        1        1
    * a8 w; ^* ~, L8 {! z1        0        1* I' g1 _1 c: @1 [
    也就是对于 0 和 1,相同的数异或为 0,不同的数异或为 1。/ h# g) e, t. Q5 {* v4 }# B' E
    这样就有了三个比较清晰的性质:7 l; Y/ y) C  d2 |3 z
    1)两个相同的十进制数异或的结果一定位零。  J" z! X1 i9 `' U1 w: S
    2)任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。! k! L' ]) z6 S- z* |# q
    3)异或运算满足结合律和交换律。. H: z! @2 q! B3 t2 z
    #include <stdio.h>
    % e) q8 a5 A  \6 l0 y8 w  Fint main() {# s( I! R0 T! F8 P' c5 a$ h' v; y
        int a, b;
    6 F$ i9 D1 J$ }; X        while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {. H3 d% k4 B! L& b3 l
                a = a ^ b;   // (1): k; m8 T1 h; U( A2 x
                b = a ^ b;   // (2)- b" ?) l0 l& S* p! U
                a = a ^ b;   // (3)
    ) v. v1 N: e) `* ?            printf("%d %d\n", a, b);
    $ z+ `* h4 P+ N        }
    * C, a  }: {4 n        return 0;! F7 N& N; s. t6 s) d/ ^
    }
    # x! e6 t/ O) \. J& i# B1
    : ~( U( `4 m6 o& N! `" y23 I5 \" g  p3 _* b) t1 f
    3( x( I, X" ^4 Z3 Q* j5 o1 t- w3 `
    4; I( V; j6 C+ k+ u6 H3 c# e
    5. B1 m6 y/ V' F, E* g
    62 ^" x$ F1 x& V4 `( p( R" p
    7
    & b" u9 {; l9 d6 T! X8
    . `& z6 F' `' n6 A7 `7 z' ]/ N& g  v3 ~9
    + q6 }, }, M8 Q10* I$ I$ ]6 z8 ~7 \' P- S/ e+ Q$ L
    11
    ( k4 Q& a9 R. J: K! N. M2 {我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话,相当于b等于a ^ b ^ b,根据异或的几个性质,我们知道,这时候的b的值已经变成原先a的值了。: w' b) ?' ?# @. ^
    而再来看最后一句话,相当于a等于a ^ b ^ a,还是根据异或的几个性质,这时候,a的值已经变成了原先b的值。9 R& w5 n5 a4 M% D- U; }
    从而实现了变量a和b的交换。
    8 P# |: f  P! t9 T; ~& o: X( }  c% B2 d% p: E/ d

    - m- }, q6 c2 \; F4、正确解法4:奇淫技巧3 h$ e4 d% q$ H9 o& Y6 r" C% \7 w
    当然,由于这个题目问的是交换变量后的输出,所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换,所以可以干一些神奇的事情。比如这么写:& P  }9 h5 b" o6 e
    #include <stdio.h>
    . G$ e/ A' r2 L( @3 u% rint main() {
    4 B0 `8 ~6 P& [    int a, b;" M) I* J' c* a0 n: M) r5 h
            while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {" S9 i( l0 g3 b
                printf("%d %d\n", b, a);
    ) i9 G. d7 C; V' |5 J" A        }- i6 ?* `  S% {; t6 k5 N! T
            return 0;
    ( l; a$ O1 R/ m& h- S}
    * Z3 x& w; c; I5 K+ u* y2 {0 [5 P. x1
    + N; p9 v. g* A% d; z6 ]( d. |2
    6 E: V+ N: r# r  _1 X# \) U3
    * \- ?' d1 |7 F& F- w: X) d4
    ' X  ?3 Y0 ~( N7 r5' t5 D$ t  e6 ^: N4 A/ _0 g( J9 {
    6+ {# H" u% H  o. `
    7: G: k" |: m3 ?: X
    8
    9 x5 [9 q, @. J: r4 y2 E3 b你学废了吗 &#129315;?* m7 g# S! G  D
    2、例题2:整数溢出5 L$ C% Z+ U, C3 n1 e* p( W7 A' H4 {; R
    一、题目描述
    7 j; \" {2 I( X4 i( `7 |  L, E/ G  先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100),然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2 ( ], N7 r% C7 q( h: x" r" [
    62
    5 t! z7 N( O7 E# ]  \5 T ),输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。
    9 b( n2 M  e5 G5 R2 Y* ]0 \+ }  \' A0 J  ^

    - H: o+ n. G3 x9 e+ o二、解题思路
    2 O' E( e& r1 p7 A+ `6 }+ |7 k难度:&#128308;&#128308;⚪⚪⚪
    / }! V5 h2 d" M3 g" s( V! @0 [# _+ R. ]; g1 O
    . @" e' N# N( k0 k6 o! i  R: |
    这个问题考察的是对补码的理解。
    & {4 w; o3 b: k: Z' L) l; G5 E仔细观察题目给出的四个数的范围:[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
    & Z) B8 h' J% C* o$ P62. e/ q8 Y8 H1 ~- w: {: V
    ],这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2 ! y/ a: `" L/ T7 H
    64
    , |0 o3 q3 N0 z" Y: i, o3 m' S4 s 。而C语言中,long long的最大值为:2 63 − 1 2^{63}-12 ! S! C1 o( B) a2 b$ j  ~
    634 F) _3 Y2 O, @/ \
    −1,就算是unsigned long long,最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12   i) G" B/ N, A8 L# C$ H& e
    64) s0 F9 `% D+ i/ n# r; r
    −1。
    - p" `, W/ v: n8 I$ r但是我们发现,只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2 , {8 l2 _; g& i4 }, \) @
    62
    / u/ `* Q+ L, Z0 ?& L  时,结果才为 2 64 2^{64}2
    5 U+ U7 E  c# h! I# u; p0 q! D64
    # U$ k4 Q8 c# Y" U" G3 E ,所以可以对这一种情况进行特殊判断,具体参考代码详解。
    ; n7 ?+ w4 t) R( j三、代码详解
    3 Q/ \7 X7 N' \6 {* a8 G% I#include <stdio.h>8 N3 A# s- p* }: h6 U
    typedef unsigned long long ull;                           // (1)
    # c+ e8 W, ^. P! p/ Pconst ull MAX = (((ull)1)<<62);                           // (2)
    $ z9 o; z3 U  Z0 T9 g# u8 L( p; q5 f7 _. b
    1 C; _( @* @9 ]. c7 b; |4 y' R  L
    int main() {
    8 Z, f8 K( m6 y" _" K# @$ r: A        int t;+ L0 I* U1 R4 z: p5 e' u
            ull a, b, c, d;
    4 Z: ?, i- b$ O! |) l4 z' q        scanf("%d", &t);# H/ c: f* W# ?" G6 _
            while (t--) {
    4 S# k7 N6 \7 M/ k2 H2 x, J7 G* z                scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);     // (3)
    0 e5 X" S' g9 W* |: M5 T                if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)+ x8 c1 d  v( R' P! B' f: z& S( Z
                            printf("18446744073709551616\n");             // (5)' i* a% s- i' R, D. e
                    else
    % \  u9 `% O6 Q4 |$ P; U1 U                        printf("%llu\n", a + b + c + d);              // (6)+ E$ W' l2 e! c6 }) A6 A3 l" f
            }
    5 s% x8 `' @. t9 l1 E4 |, m3 d; ?        return 0;: Y+ L1 W3 b  n; M0 {. [9 B6 g: ~
    }
    2 L  r/ o7 r7 k% d' R' o5 |' E/ s4 y10 M0 c8 |: c( r. X& {3 n
    2, h( v& E9 ?# n0 K$ b) j; I7 e
    3
    4 x& r) J- ~, v" z, @# a4- G% y% Q  `) m5 y& V* e
    5
    * G1 M: H. v, i  a; s5 A6: F, l2 S1 |) [2 o5 s
    7
    8 b; U! P7 b; j9 ]; L8
    . e0 k8 J# }5 P: k9$ X/ U! t: p* h6 U4 P
    10
      z0 T& N( ^$ m* P9 S# N4 z11% Y+ Y3 B9 ]  H3 R) m: P
    12, y" t# s' l) S  \/ {: l
    13. o6 P2 E2 a3 B9 ^
    14' _: }8 d7 x- r* N6 H* A& R
    15
    " g$ V$ ~0 L7 Z. b5 d* Q8 S166 s: v& I7 d0 g4 `5 J! {7 e
    17! R, X( B2 P6 Y: {
    ( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大,所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名;! a# t5 Y1 s5 N  |4 f1 e6 @
    ( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
    , e0 r7 l7 {( {- k, K8 v62+ T" ?) M+ V9 s6 O" g8 V( Y
    ,这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算;
    $ Y3 I# D' t& f; c- r1 Z! {数学        C语言! X) v1 g% r8 d( h0 g; j$ z) |- k
    2 n 2^n2
    & P1 x- y/ k; g" [n
    2 ]0 P; A6 q" A7 q# _8 y  ~         1<<n
    $ J6 I4 m9 t) E2 P1 A需要注意的是,由于 1 是int类型,所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1;  x7 T/ ^1 f! {$ W. I4 E
    ( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式;% _5 X- E" e0 j5 @% C  u
    ( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断,&&运算符的优先级低于==,所以这里不加括号也没事;
    5 N; j: b+ O6 y6 j, m* ~( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2 5 k' n8 E8 G' w. A1 A: y
    64
    & N8 j4 ?8 k; }  是无法用数字的形式输出的,所以我们提前计算机算好以后,用字符串的形式进行输出;
    " p' W* g: X; H2 ?, }9 B3 l& d( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2 & D  v8 ^  {( y% }
    64$ k  R, m( I* P/ P
    −1] 范围内,直接相加输出即可。
    ' T5 T" \* n) d( p, O% o- T9 [5 Q由于这个专栏是付费专栏,可能对学生党不是很友好,所以作者经过再三思考,打算放出 300 张 一折优惠券, 先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受,仅限前 300 名。0 j) |$ ~3 B/ ~) Z: e. k
    为了适当提高一定门槛,你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 &#129315;。- @7 V. U. a, I

    8 x; T" J, A% F- L
    * b$ \5 I# }% g, m3 ?( ^
    3、数据结构0 c! E# M) z# i
    《C语言入门100例》上的例题,如果能理解前面 25 道,那基本C语言的学习就可以告一段落了,接下来就要开始我们的数据结构的学习了。# o8 X, V' d% _; W9 v+ P
    1、什么是数据结构7 ^) F! S2 A* \
    你可能听说过 数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图,没错,这些都是数据结构,但是你要问我什么是数据结构,我突然就一脸懵逼了。) m9 `9 @- F+ s& ]9 i
    如果一定要给出一个官方的解释,那么它就是:
    : d* x( Z' z) |( V' ~5 f/ V计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下,精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。8 M8 ?% U% h  \7 u

    8 |, |# x# L6 d5 u, z
    % Q  n! Q. B- B' G* t
    是不是还不如说它是堆,是栈,是队列呢?; h( ?; ^8 a# q+ t
    是这样的,我们学习的过程中,跳过一些不必要的概念,能够节省我们更多的时间,从而达到更好的效果,当你还在理解数据结构是什么的时候,可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
    ) V3 `3 d3 [- I+ \- R0 F2、数据结构和算法的关系
    ; G: Z+ }' [7 P很多同学搞不明白,数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系?甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
    , `: F( P2 y5 ^; z- H数据结构主要讲解数据的组织形式,比如链表,堆,栈,队列。
    * w' J+ A  M- W1 r8 O而算法,则注重的是思想,比如链表的元素怎么插入、删除、查找?堆的元素怎么弹出来的?栈为什么是先进后出?队列又为什么是先进先出?
    8 H5 G( p, x; T$ G2 S+ ]+ R. }4 n3 H讲得直白一点,数据结构是有实体的,算法是虚拟的;数据结构是物质上的,算法是精神上的。当然,物质和精神 缺一不可。
    * M' j- R; q4 x9 J. H3、数据结构概览9 n; E$ N6 h. k5 k- G4 b
    周末花了一个下午整理的思维导图,数据结构:& }) x: `- p  b8 s
    3 \6 H& Q; r" q) f/ j. _

    ) u+ O* L: h3 }: D' f( g7 _' x常用的一些数据结构,各自有各自的优缺点,总结如下:
    ; N0 i) c: @* m: K) t- t* x6 [, a5 ha、数组( a2 E* X9 Y* B/ |
    内存结构:内存空间连续- i7 r: A* d5 T
    实现难度:简单
    : j* E4 ~% i2 ~( C% o9 V下标访问:支持
    + Y2 K( O" p! B- }6 T% x分类:静态数组、动态数组
    / w" o/ W, z+ k5 T4 E5 N! B6 l插入时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n)3 K$ y. |& D3 w4 V! p0 [) Z; c- e7 E) |
    查找时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n)* c: s5 v( V( K
    删除时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n)( `: k1 N. n+ |. K; J- N+ Q3 N, ^
    # T9 H1 q4 v4 R% r/ R, O: S! k
    / v2 \: R- R* R0 ?6 J& c0 Y
    b、字符串9 O& T* [2 a/ k: B+ G
    内存结构:内存空间连续,类似字符数组
    6 [; M# y* \9 ^实现难度:简单,一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
    ) e" R  V3 k8 M下标访问:支持
    4 r4 c. p' Y2 z' R  n+ G; b插入时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n)
    & u' b" @: S6 e8 R% n* f查找时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n)
    $ b+ O1 I+ Q- h删除时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n)
    ( |4 j4 p" f' }3 G% w- {* J! z
    " t( B; m/ \4 n& B! I0 W; Y- O9 g" f$ T

    5 U' V8 S+ t3 z  L/ jc、链表8 C: n, Q5 Q8 ~! G2 o7 t: x% n0 K! Y* a
    内存结构:内存空间连续不连续,看具体实现3 A2 X3 m2 z6 C+ r
    实现难度:一般
    5 C3 s% S+ m6 O; G下标访问:不支持! {6 h) h" C! O* h4 N9 C
    分类:单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks# }6 W& i3 c6 a5 H
    插入时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)
    ) h1 u  e* O: |; ^查找时间复杂度:O ( n ) O(n)O(n)6 A$ S) e- {' ?5 y
    删除时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)
    1 z$ d5 q8 ~/ ?
    ! b5 Y  q  P, y9 O* s7 J
    : `$ u, |3 B& C8 \2 X
    d、哈希表( x5 [' ?! {* l5 ]# t/ b
    内存结构:哈希表本身连续,但是衍生出来的结点逻辑上不连续( T8 v/ H4 p( ?1 Z) Q
    实现难度:一般
    9 M: q* N5 b, M: d0 `$ _) u* H下标访问:不支持/ E% j1 [# D4 y! z4 s* h3 y
    分类:正数哈希、字符串哈希、滚动哈希. N! M# f" e" D, F! J
    插入时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)
    - k6 N' n- j2 b6 v; O4 K- Q- s5 K查找时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)
    # K, S# Y# O% b4 K: W9 W删除时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1): I- b/ a( D& I6 f3 |, E

    , S9 ?: k9 _7 W/ z( {0 W
    6 ]0 _5 a4 [. R
    e、队列
    " u* z7 N& n8 D' f" e/ a内存结构:看用数组实现,还是链表实现
    - i! `+ {, y, s6 m实现难度:一般
    4 j! m2 s  o! ?7 g3 f% b8 o  a9 `! `% W下标访问:不支持7 Z9 Y" i6 Z$ L8 f" m, n; d
    分类:FIFO、单调队列、双端队列
    . M& x  W! @. L. ]% J( w/ H3 D插入时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)
    % y( ^$ R! ^- B# N9 S% ]查找时间复杂度:理论上不支持$ p* E) ]2 C$ i4 x& i
    删除时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)4 \3 E8 @; U2 p: H4 C+ J; j
    % d/ E: ?9 U/ F
    6 a0 B- L0 f7 }- P8 h- R8 Y- N
    f、栈/ ^) v& ^) `% z5 w( U! c0 F( t
    内存结构:看用数组实现,还是链表实现
    $ N. j7 |. z& t( e& J实现难度:一般5 F! c) l4 s. Y0 l
    下标访问:不支持+ Z1 p0 V( m2 ?4 z5 J/ e7 W1 V
    分类:FILO、单调栈6 I1 Y$ B! N* m  s
    插入时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)2 m+ ]8 e  k; l& a
    查找时间复杂度:理论上不支持
    1 I, @( k  f  ]2 C删除时间复杂度:O ( 1 ) O(1)O(1)
    ' Q! ~/ P1 A# g  p& E6 {) A
    ( N/ R9 l4 O. B- d. f
    9 q/ r& c" }7 F) W! S
    g、树, i# v, ]6 ?7 A- ~; c! }
    内存结构:内存结构一般不连续,但是有时候实现的时候,为了方便,一般是物理连续,逻辑不连续
    # v5 T  H5 b6 T: D实现难度:较难
      D; ?$ C0 O/ P2 @( X下标访问:不支持
    ' y  ^- J7 D7 O, G0 g" W0 F分类:二叉树 和 多叉树
    ( H, o+ h+ E5 D6 T( F4 e插入时间复杂度:看情况而定8 \% D! h: F$ y1 ~& m
    查找时间复杂度:理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
    : T2 A4 f  U1 u8 Z6 J26 N) C( Z. H* g7 L% C% p' ?7 y. a
    ​       
    # w  I( k+ p/ @) J1 T$ h  T3 w n)* M. n7 A8 [; a( y
    删除时间复杂度:看情况而定7 C+ k) V) k9 U! E3 ?
    7 B6 n, v, V" e0 C% R

    1 t+ N  m; g- r. K' u* X! \1、二叉树2 c! |4 q# J* K0 K2 {: k, y3 i$ Q8 y
    二叉树的种类较多,比如:二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
    ' Y0 ]( \8 ^# H, |7 [: k其中,堆也是一种二叉树,也就是我们常说的优先队列。
    8 c( m. A# w* F2、多叉树
    0 I. s+ z. R% ~) O) b, hB树和B+树是多叉树,当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树,更加严谨一点,应该称之为森林。
      t* ?2 \! Y+ }" ^h、图
    ! e% f' \3 ?# e! D" y5 E内存结构:不一定1 u: c# k, K  d2 S+ x$ s( N7 w
    实现难度:难
    ; P, q! l- F' z9 B0 I3 ]下标访问:不支持( ]6 P( Q! q" r  P
    分类:有向图、无向图/ A7 b3 N; u9 E  L0 k" i8 `
    插入时间复杂度:根据算法而定
    " d- e1 e/ d7 I. G查找时间复杂度:根据算法而定9 U& m& ^8 X% W/ I
    删除时间复杂度:根据算法而定
    % `  J1 ^* s6 q( ^: W0 B4 N
    & O- [, |3 ^( h

    - e/ O6 m0 l9 I. z; P1、图的概念' n3 N, N  ?+ n" G0 t! x
    在讲解最短路问题之前,首先需要介绍一下计算机中图(图论)的概念,如下:+ u1 w( v2 f3 k; Y: |5 f
    图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E),其中 V VV 称为顶点集合,E EE 称为边集合,E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点,边集合的元素被称为边。9 h1 e( w9 M  S$ ^( {
    对于无权图,边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示,其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图,边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示,其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V,w ww 为权值,可以是任意类型。
    5 Z6 O! F' k- O8 G- s图分为有向图和无向图,对于有向图, ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是 从顶点 u uu 到 顶点 v vv 的边,即 u → v u \to vu→v;对于无向图,( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边,一条是 从顶点 u uu 到 顶点 v vv 的边,即 u → v u \to vu→v,另一条是从顶点 v vv 到 顶点 u uu 的边,即 v → u v \to uv→u;* ?7 H3 [4 _/ b- M( E# _+ V% R( C. s
    2、图的存储
    8 g6 Q/ |. r- w% E* t& b对于图的存储,程序实现上也有多种方案,根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例,讲解四种存储图的方案。
    ( @+ n: u; B* x( ?) Q; m5 L2 F* l) \# A- S/ C+ z% b* Y" q

    0 S# ^+ q. s5 w. _1)邻接矩阵& m- N, A* `2 N2 k
    邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储,矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值 表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值;特殊的,如果不存在这条边,用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示;如果 i = j i = ji=j,则权值为 0 00。
    + @0 ]4 n: `/ a+ O; a, J+ K2 v它的优点是:实现非常简单,而且很容易理解;缺点也很明显,如果这个图是一个非常稀疏的图,图中边很少,但是点很多,就会造成非常大的内存浪费,点数过大的时候根本就无法存储。, }/ D1 O/ M/ @0 r& O
    [ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
    ! A) J* l9 M( [" M01∞9∞0∞8320∞∞∞30
    0 v" `2 H/ v; S7 s1 r4 m  u; X0∞3∞102∞∞∞0398∞0% l8 A* e8 U, d6 j0 u7 ^
    \right]
    & a' O1 e$ X/ ?# n4 v( L1 G1 p% |
    2 a1 d* H) a% Y2 m2 S" [9 v! I0 F% i7 {" y- E9 u. G
    ' k2 }' I& b- {$ \

    ! W2 n3 J1 A! m​       
    ! X, o" }. }& q( @0 y$ D  
    * y$ e; O9 V+ X8 i6 B4 J0
    - i. L5 q% C8 n0 N8 p1) G5 E9 U% o* }# }, Z; ?& j
    + A% E+ _9 W% f  |4 r7 x
    9( n$ i' u! ~" g
    ​        8 [) ]6 Z' B( M1 Z& a. q+ x
      " T3 ^% @; a! ~2 [

    % W) w0 X3 z3 h; V/ y1 o$ w+ |0
    6 i) h$ ?) y3 G- C+ J# R7 V  d
    ; U# ^* K( \. ~4 g' E( j8 [/ R8) A3 c! V1 T# u0 B4 a  L+ f
    ​       
    8 h8 f8 x7 x% m% r8 w  , I( r% e: C" @3 a4 f( G1 m! r
    3/ z4 d- G& K- B2 @" T+ y. J. t
    26 _0 i( j$ W9 f( G0 G
    0! d0 X! x# Q1 c9 x0 Y) }% Y" O

    4 Y4 v5 O6 e, J& L3 o& E, y, O​       
    6 y/ E/ z9 A' n9 G4 ^  6 c& \8 `, i+ z. ^5 {, G

    # [5 q1 m) ~. Q/ R. M, d, \1 S  c  I: Y! t
    32 C8 F4 Y( K) ~- A9 o
    0# M8 r$ t# d0 l* h' Z
    ​       
    3 m+ l7 b2 c7 H' a  & @; f/ m9 V. w& H8 _
    - l( T6 Y) X1 i

    ! \5 l( T' `0 w: P4 v( b
    7 n0 O, a! t! R' G9 F6 D
    " k+ m. f( g0 I& k​       
    6 x" c7 t+ c3 X7 P) b- Y9 g
    $ a, w/ `( o% ~& s1 d! m" R2)邻接表
    ! \, h4 j6 ~  u. b( `+ A7 p邻接表是图中常用的存储结构之一,采用链表来存储,每个顶点都有一个链表,链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w),即 顶点 和 边权。5 i6 k0 Y. [& Q3 O
    它的优点是:对于稀疏图不会有数据浪费;缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦,需要自己实现链表,动态分配内存。
    # c4 f# T- b& K" w( T如图所示,d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组,代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据,w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权,n e x t nextnext 是一个指针,指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。
    ; ?' j7 v/ d: e4 H/ Y
    + |6 a' U: P: a3 r7 _! L

    & F/ N# S7 U4 z0 l! o在 C++ 中,还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能;
    8 P$ q3 o+ I% R+ L' n) D    vector<Edge> edges[maxn];
    " _) R. t3 w% ~' S: t& Y) w1
    : B! O  a$ N' j$ B: a3)前向星, A9 {$ T2 N$ r) @$ n+ y" d
    前向星是以存储边的方式来存储图,先将边读入并存储在连续的数组中,然后按照边的起点进行排序,这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。2 ]( u! b, S: N& F1 ]1 Y
    它的优点是实现简单,容易理解;缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序,带来了时间开销,实用性也较差,只适合离线算法。
    & J  t* |' n' T1 v% y& y, x如图所示,表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组,i d x idxidx 代表数组下标。
    " h0 I1 S; K) \( ~# V: N) Z& Y/ _: F
    0 J' C; H& |6 _: n# [9 t5 x5 f
    那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢?7 @  K5 ]# D( I9 q- q
    接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
    7 B) U( r1 m* J) L+ Y4)链式前向星
      ^  K6 A9 _* ?% w: L链式前向星和邻接表类似,也是链式结构和数组结构的结合,每个结点 i ii 都有一个链表,链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合(对比邻接表存的是顶点集合),边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next),其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v,w ww 代表边上的权值,n e x t nextnext 指向下一条边。
    / R4 ~# F, ^  }+ y具体的,我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm],maxm表示边的总数,所有边都存储在这个结构体数组中,并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。# U$ B* X* Z6 H- ?6 X! s
    边的结构体声明如下:9 v8 F& Z0 K& N  X( g; h
    struct Edge {
    5 N" c) G4 X6 M0 ^# ^9 w    int u, v, w, next;' V& V6 S2 I3 t. ~( {
        Edge() {}
    $ L5 K$ L! P* U8 [! E    Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :) d) S/ W4 r3 o0 K0 X
            u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
    & @$ Y4 p$ a$ n! X% d" Y, L, u$ o% L    {' r  n/ [9 j# J$ o3 v
        }. ^7 P' y  m, \
    }edge[maxm];
    % d/ }" d0 p5 `4 q6 l. U# T17 D5 j1 G: Y9 T% b& Y. O
    2
    % d' S% W+ c( b# o( O3
    * K. E8 ]7 g& [4
    4 w) E  j' a/ y+ J57 z! R" b+ F8 \9 x5 M$ r
    6# {1 {! y8 o5 T+ i" r/ z. l
    7
    - H; f+ |# ]" b0 c86 E: v3 ?  w# e2 Z
    初始化所有的head = -1,当前边总数 edgeCount = 0;1 R5 w1 l, n( s, y1 I
    每读入一条 u → v u \to vu→v 的边,调用 addEdge(u, v, w),具体函数的实现如下:% M; A* j) G, B" \: ]/ z, ^8 Y; f
    void addEdge(int u, int v, int w) {
    . r0 x  i: Q% _, e* u    edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);/ a# F4 g# X1 I9 H" J
        head = edgeCount++;. _+ C( E" ?; E( y( J3 `4 {* D
    }6 X+ I# H( ~7 {
    11 k2 l' E2 R( @/ a9 r, K
    2
    7 d% l$ Y: O" g1 d$ W2 S* ]+ }3
    6 _; V: |+ ^. H6 G/ E" @) J( y2 l4
    / Y- o8 E: ]* y: l9 x8 u这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w),就在原有的链表结构的首部插入这条边,使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1),所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现,空间上没有浪费,时间上也是最小开销。
    ( X) P% r/ I6 f* s* m8 h) K调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号,通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息,然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号,以此类推,直到 next域为 -1 为止。
    ! c1 \8 R1 a" M& [" C* ~for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
    ( r, O6 I) ^8 c: O    int v = edges[e].v;
    / K7 u1 i% B# t    ValueType w = edges[e].w;- k$ B+ h+ e3 _7 x
        ...$ \; t+ w$ j. e% n; x
    }
    / P1 @6 _( A4 F- p1' p- R( K+ z$ Q8 j* P. W, Q) T
    2
    ( @$ |+ h9 L) q3
    . a- m6 l9 D+ d# e' F4
    8 S5 O: b8 m3 f1 [8 Q2 ]5
    9 F$ ^& X1 I6 I+ M, u! w文中的 ~e等价于 e != -1,是对e进行二进制取反的操作(-1 的的补码二进制全是 1,取反后变成全 0,这样就使得条件不满足跳出循环)。
    5 i& L9 N* ~5 {4、算法入门
    ! W7 e* @+ c; Q$ O- Z算法入门,其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图,然后一一介绍入门十大算法。6 N1 L" H; n+ M+ {) p
    3 a- m8 I  n  P. I6 z8 A5 d" f, b$ _

    2 Q, n) ~- i. Q# N入门十大算法是 枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
    6 i& g! |4 d& D; d5 U9 _对于这十大算法,我会逐步更新道这个专栏里面:《LeetCode算法全集》。
    ' z8 R+ Q# j( e- V  Q1、枚举: p! ^: W; ?8 Z1 I- {: G7 d* @
    枚举可以简单理解成for循环,从一个数组中遍历查找一个值,就是枚举;从一个数组中找到一个最大值,就是枚举;求数组所有数的和,也是枚举。2 C0 p7 m, z, e2 r4 W
    对于枚举而言,基本就是循环语句的语法学会,这个算法就算学会了。
      \9 B, p; ?  {  g! k2、排序2 C* y. Z3 P2 t6 E2 g
    既然是入门,千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。4 O+ F7 B7 S& A# U/ Q5 I+ i
    冒泡排序、选择排序、简单插入排序 原理好懂,先看懂再说,其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
    " S" c1 K" O  O6 t* W' r  NC中有现成qsort排序函数,C++中有现成 sort排序函数,直接拿来用,等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
    ' X0 Y* X" k0 t3、模拟8 d( }3 |' Z  G3 ]2 k
    模拟就是要求做什么,你就做什么,完全不要去考虑效率问题。. `( [& Y3 S* ^" D. A6 d
    不管时间复杂度 和 空间复杂度,放手去做!/ B! I; L+ i. k0 n- H
    但是,有时候模拟题需要一些复杂的数据结构,所以模拟题难起来也可以很男,难上加难。8 R$ @( U' N( x* r
    4、二分
    : i' s' q# S$ C二分一般指二分查找,当然有时候也指代二分枚举。
    - r+ s5 N" c3 w1 U! z例如,在一个有序数组中查找值,我们一般这个干:  b6 k% @1 P/ B5 w) b9 {1 V
    1)令初始情况下,数组下标从 0 开始,且数组长度为 n nn,则定义一个区间,它的左端点是 l = 0 l=0l=0,右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1;
    - J. ~5 c) c. k+ K% L0 M& E2)生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2,并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系,主要有三种:  k, j  e" O# T
      2.a)目标值 等于 数组元素,直接返回 m i d midmid;2 G, ~* g# A1 m, X" {! f0 v# P+ Y
      2.b)目标值 大于 数组元素,则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r],迭代左区间端点:l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1;: X7 i! M4 f4 ]/ V- H7 g+ ]. d
      2.c)目标值 小于 数组元素,则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1],迭代右区间端点:r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1;
    . x) n. E+ L( i7 [3)如果这时候 l > r l > rl>r,则说明没有找到目标值,返回 − 1 -1−1;否则,回到 2)继续迭代。( k! j* t. m8 b) V
    5、双指针
    * ~% I, \" g- A" B4 a* C双指针,主要是利用两个下标在一个数组上,根据问题的单调性,进行指针偏移,由于每个指针只往后偏移,所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n),由于思想非常简单,所以出题时,热度不低。
    % B' N' R4 a$ q3 t0 F' t
    8 ^, `/ N8 S7 M% ?

    7 [# g) ]9 C0 ^: [0 V" U* D6、差分法; `. e) t% ^" ]1 @) e+ J  x
    差分法一般配合前缀和。+ v( l, [' v! f& Y1 K
    对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数,可以利用差分法分解问题;
    . |3 f. q) B, T& w. Y假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d   n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
    * s' `& {$ s0 t5 {7 z8 L) Mx
    5 ~8 f; I6 V# ?4 L- U3 p​       
    : ~; b3 T7 h* S. Q! t* z ,那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g / \! J( |2 [, H8 l; N+ ~
    r
    $ _! t$ a0 r8 C7 s0 h5 p5 g1 B​        % u7 T  T! h1 a% H$ C- Q# {) d& K
    −g
    7 V$ w' r! D5 `# V) R4 T4 Y+ bl−13 i1 q* M& F, j
    ​          D4 S' h* L+ S8 P* m  z
    ;分别用同样的方法求出 g r g_rg
    ; {, L( R. H' o( ur. @( M) C6 k7 E' r# i4 V- {. y8 W
    ​       
    , v* S6 s% B% }) i6 g  和 g l − 1 g_{l-1}g . D+ O" Y5 N, j, ?, V6 \
    l−1
    7 L, |) ?8 K& m5 R' t; M​       
    4 j# z5 e& q7 ?1 H& A ,再相减即可;9 T/ _' w$ u7 r5 ~8 I
    ) f% W* `- f0 w& l$ H/ ~) F

    9 N) N/ @6 ?# y4 f7、位运算& z5 ?2 I" y- e
    位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
    , q$ K4 p/ I3 x2 t位运算分为 布尔位运算符 和 移位位运算符。
    . ~+ `5 b' `. P" @7 f布尔位运算符又分为 位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~);移位位运算符分为 左移(<<) 和 右移(>>)。
    - x% J3 O8 ]9 i) k1 L* ^如图所示:
      a& L0 g- ~" b( K" s1 }3 R1 |% K' ~9 k$ [4 w
    5 z" c7 a  i# {0 M# d. |6 |; _7 u
    位运算的特点是语句短,但是可以干大事!, T+ I) I# X; X$ `9 a9 `
    比如,请用一句话来判断一个数是否是2的幂,代码如下:
    8 @& z8 i- h. k* g. y* Q4 K& ]( x!(x & (x - 1))
    " V0 u8 B$ P7 V' |, p: \2 Q4 Y" C2 B1- d. K, n, ?& Q5 h
    8、贪心8 T' o( E2 M/ M; q
    贪心,一般就是按照当前最优解,去推算全局最优解。' k0 A% ]. I, o2 ]. b
    所以,只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的,但是一些简单的贪心问题会比较直观,很容易看出来这个能够这么贪。
    ! D. P. z: k% E" z3 T( k  e- Y0 g" A9、迭代
    4 @7 Y% T& Z3 q5 ~4 a每一次对过程的重复称为一次“迭代”,而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值,周而复始,直到问题全部解决。( h/ Z6 H; j- M# O6 v, J6 n
    10、分治
    ! n6 R3 W2 r3 Z. l分治,就是把问题分成若干子问题求解,子问题解决后,问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候,一定要注意全局变量和局部变量的关系。
    " e2 s9 S3 Q: O' k0 y3 Z5、算法进阶3 ]' e" C# W$ m
    算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目,囊括了 大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法 的算法全集,也就是之前网络上比较有名的 《夜深人静写算法》 系列,这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。! U* U% D$ W; a/ n! R& e! v
    如果只是想进大厂,那么 算法入门 已经足够了,不需要再来看算法进阶了,当然如果对算法有浓厚兴趣,也欢迎和我一起打卡。由于内容较难,工作也比较忙,所以学的也比较慢,一周基本也只能更新一篇。8 \' F0 D/ [3 M
    这个系列主要分为以下几个大块内容:
    8 }8 l4 L% Y* ~( O  1)图论
    % F/ a, T. u0 }: n0 U" G# L  2)动态规划0 n- ]# y1 `  h4 q
      3)计算几何
    , M) \# ]! [; ?: b3 W: \  4)数论
    : o/ y/ P! Q' O- C  5)字符串匹配: m7 q/ h. n! C7 u1 s
      6)高级数据结构(课本上学不到的)" n4 w9 J2 N* ?3 ~
      7)杂项算法
    " D% n% M  O  o  {* ^1 a8 D4 q3 q3 K& J" }: T9 J

    . g0 K# u/ |4 c0 b" A先来看下思维导图,然后我大致讲一下每一类算法各自的特点,以及学习方式:; Q/ O( v; Y" i8 @& D4 ?6 F  I3 A
    8 J$ J. a9 R6 _7 Z( E

    0 g! O$ {3 y* g5 c# b, c  F0 k0 B9 c

    & G0 ^) k9 B# |  @* H6 j1)图论
    ! e9 X2 C" U! d- P1、搜索概览
    ( d. ]) |3 f3 D8 ?9 v# ]' L$ Y# j* V图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能,给出人类制定好的规则,枚举出所有可行的情况,找到可行解或者最优解。
    & b' x" E( y" K, M& H7 q: T3 k4 x3 }: b6 d3 K
    ) |/ N) Y1 K* v
    比较常见的搜索算法是 深度优先搜索(又叫深度优先遍历) 和 广度优先搜索(又叫广度优先遍历 或者 宽度优先遍历)。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。0 P# Z& z5 N- K2 G' V
    2、深度优先搜索6 G  s6 M9 K/ {; E0 J- N
    深度优先搜索一般用来求可行解,利用剪枝进行优化,在树形结构的图上用处较多;而广度优先搜索一般用来求最优解,配合哈希表进行状态空间的标记,从而避免重复状态的计算;7 J" k, _8 r! X0 `
    原则上,天下万物皆可搜,只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现,这里的状态和动态规划的状态是同一个概念,所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。4 b: f6 [' O1 a3 Y( U3 N- x
    但是,大体上还是有迹可循的,如果这个状态不能映射到数组被缓存下来,那么大概率就是需要用搜索来求解的。
    * j; b( B/ K7 P8 f8 c如图所示,代表的是一个深度优先搜索的例子,红色实箭头表示搜索路径,蓝色虚箭头表示回溯路径。
    2 i0 t; B0 V& Q" _# w- {3 ]8 L  ~6 l+ x" O" s$ w

    " V- ~2 N0 \$ K$ x  k( s红色块表示往下搜索,蓝色块表示往上回溯,遍历序列为:
    $ k/ T5 y- K2 R  p        0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6( \' p* g8 W% Y$ \' ~5 u
    1; S, p0 g8 T  u4 X2 P
    同样,搜索的例子还有:) D8 t* ?) S8 u, z

    ) w" C6 e: A" s0 d( y% C; S, x

      h! l' q7 F6 @' f2 j计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
    ! ~0 Z" ^5 b0 |3、记忆化搜索
    ( M) j" ^" T! g对于斐波那契函数的求解,如下所示:
    8 d/ \, e: h, a# t/ Z0 z  {f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
    * F  u( {: I) D- F4 w⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
    & d) r) ~4 D6 J{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)% S5 A+ ~! X, R9 V) G, l
    f(n)=
    2 d+ Z% a1 q# {/ W
    ; h6 f4 Y3 B, k; x
    / a" G* q: ]- L$ \7 e3 {6 Z; j8 K0 H! L* w! L

    9 G* g: ]: _0 P* g. N1 \! s" J4 H. J; n. `, e; y4 ^
    ​       
    + d. w# U6 L' ~% q! ?* F' ?1 Z) p5 M  
    4 m/ Q9 {( `* d8 R0 g1
    & q) c# l' W% d. ~8 H1
    $ L; H0 [7 t3 }* T. g" hf(n−1)+f(n−2)( o1 G. _* D, f3 I' l& v" Q( `* ]
    ​        7 \5 R  |# [( r! w! n# z% T
      
    9 `5 v3 B. i9 l" S) ^. w/ g(n=0)
    * X* G& p6 G5 w5 G(n=1)$ k9 |! q% o0 P$ G$ J6 I) W
    (n>2)  c* r! ^6 t$ M1 P7 t
    ​       
    & p& _: ~5 z& F! R) P1 `. T ( {7 y3 P7 e5 c% @. V8 M. N8 t2 \
    对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解,程序调用如下:
    9 c8 M) a8 X/ I8 m& ]  o+ T) z  w$ W+ P" R: P4 J" p
    & a( P6 W# _; t+ x
    这个过程用到了很多重复状态的搜索,我们需要将它优化,一般将一些状态缓存起来。7 T/ S- J4 A4 R1 ~6 K
    我们通过一个动图来感受一下:
    $ I5 C6 l9 U2 U) U! A; b* u; u2 {6 i. |
    . Q6 E' r: `, S2 }! H+ U
    当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时,由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中,所以上面这段代码的fib != inf表达式为真,直接返回,不再需要往下递归计算,这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”, 从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。7 {5 Q' @/ H& O% H0 p
    这就是记忆化搜索,像这种把状态缓存起来的方法,就是动态规划的思想了。2 k0 r6 d- I# p' E' O$ Z  B6 V
    4、广度优先搜索. {6 K9 c" v( Z( Y: _
    单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索(Breadth First Search),以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路,就是广搜的加强版。
      {6 R) I+ R) y: r1 x- @( m/ q我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。" z5 a6 Y. {5 C- k2 [

    4 O: h, p0 Y' e7 z9 w

    0 W& r; U. t0 }# X0 l2 {) m5 R
    & n/ m5 X: S9 b0 V' {  L: l

    ! S* N& G$ E8 h2 ~4 o从图中可以看出,广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置,枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试,直到找到目的地。有点像洪水爆发,从一个源头开始逐渐蔓延开来,直到所有可达的区域都被洪水灌溉,所以我们也把这种算法称为 FloodFill。5 R2 A+ ^7 E; _
    那么,如何把它描述成程序的语言呢?这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
    ( D) |  Y/ A, {- p8 H这时候,算法和数据结构就完美结合了。
    - N  s9 g; F+ F3 r5 S2)动态规划
    3 M. c3 b8 ]3 S! f动态规划算法三要素:
      N  A8 V8 o: f8 F( h# J  ①所有不同的子问题组成的表;5 f& k0 @. S4 ^1 P4 ]# ^
      ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图;
    ' H# r. v8 \* k9 q  ③填充子问题的顺序(即对②的图进行拓扑排序,填充的过程称为状态转移);7 F/ N2 e& o' |5 o/ n7 J

    $ B$ x! J+ z; D

    " [+ k6 C; z# ]8 r3 S1 K如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
    2 f' ]0 \  G6 s; L1 B. ?t
    , t! k' G4 o* C$ i" Y" U7 A. A) ~ ),每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n $ W# s* T- t3 H* E
    e
    . v3 ~9 V4 @( P: R1 \ ) 个子问题的结果,那么我们称它为 tD/eD 的问题,于是可以总结出四类常用的动态规划方程:(下面会把opt作为取最优值的函数(一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ), w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数,其它变量都可以在常数时间计算出来)。& q6 I! C' {; k$ f; L
    1、1D/1D
    ! s3 e- o  |% ^* ^) sd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )* Y7 O& Y/ y, P0 I" |4 E' _7 u
    d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
    3 h( h, H; F1 y$ k) b% ~状态转移如图四所示(黄色块代表d [ i ] dd,绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]):2 L2 p+ u  I& n" F; v

    - \0 d: U! l, l8 i

    9 W" J3 n2 L" U, F- c这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
    * H6 X3 |' d1 e2、2D/0D- k& V& N2 |4 a  A
    d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )/ P7 \  x0 u/ ?" w
    d[j]=opt(d[i−1][j]+x
    * ^* k' c- ?- Pi
    4 \3 \* o  }/ t8 L​       
    6 @% Y" Q& g/ _  A7 W- m8 w ,d[j−1]+y ; h' h1 _: I! |$ w% e6 Q9 l. b
    j
    . O& j- W+ u% l& k4 O( f​       
    ' a. d" z- t! L3 _6 S/ Y, I  n5 z ,d[i−1][j−1]+z 6 m& S1 c$ D# L- J
    ij$ p; ~( J& x- @. [( X. i" o* C
    ​       
    ( \* _2 T0 S4 F8 ~4 E4 I0 P8 c" w ), s' Z. L% g0 S" m, Z' z
    状态转移如图四所示:
    6 r) j% s6 _: u! J  ~4 m, r) G. K6 E. U7 m, X

    : z: Q; A8 j% Y5 n' r, `& G$ ^比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
    $ ]  Y; d# r. p- e! S! ^6 w2 y有关最长公共子序列的问题,可以参考以下文章:夜深人静写算法(二十一)- 最长公共子序列
    3 c4 {0 L' y* l6 X0 f0 n3 q7 A有关最小编辑距离的问题,可以参考以下文章:夜深人静写算法(二十二)- 最小编辑距离
    * L+ x+ A$ M* D- ^! _* w/ W9 |% I3、2D/1D
    + l, ]& S5 S* {. `2 ], J" {' r: n4 zd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
    ) O+ c. n# ^6 D* e) f) A% r/ o. cd[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j]). b+ e4 D3 [: r
    区间模型常用方程,如图所示:
    : F* L! Z4 X0 V! c% b7 Q" Z( z' I- a# y* u
    ) k: K0 |7 Z/ o: G. D! ~
    另外一种常用的 2D/1D 的方程为:9 Y7 I3 l. }8 B
    d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )/ g! D! w  }1 J5 ?6 r+ n
    d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j): [2 U9 M5 B3 y
    区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章:夜深人静写算法(二十七)- 区间DP# S  i: F) \6 X
    4、2D/2D9 _4 s5 j, k5 ~9 Z6 o/ M6 ?* Z- V& ^' P
    d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)* U, }; W6 Z- M& Z' N) M" A, i
    d[j]=opt(d[i
    # p, q0 p. g8 s7 p  K! x
    1 Y, B6 S9 s; d4 J ][j
    1 u+ d) n: d0 f4 o. `& ~: G" `0 v% I
    ]+w(i ; R7 F- m/ O8 V+ \/ {
    6 m: M9 J6 R7 f, C% z" p
    ,j
    % k* |6 @* k1 y
    . B. F7 x- z  B/ J3 A5 R ,i,j)∣0<=i
    2 U7 E; f+ `: O6 u( I5 V% C0 v: h; a- l6 a' {5 j4 J
    <i,0<=j 8 U# O; p/ n9 ?# V' D
    % F6 W: ^* D" Z6 P
    <j)7 U8 I4 d- O$ ^; F1 Q
    如图所示:
    9 ~) G* N+ d/ p; t& E2 @/ N# V  R0 b, u
    % N, ]0 `* ]. d; C# J
    常见于二维的迷宫问题,由于复杂度比较大,所以一般配合数据结构优化,如线段树、树状数组等。
    ( f" p) M& N7 E$ ?$ F对于一个tD/eD 的动态规划问题,在不经过任何优化的情况下,可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
    ! O4 m: |" m7 J) Z5 qt+e: `, x3 N4 e/ S
    ),空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n 4 U0 g! M2 S9 {% S1 A
    t# y9 o: }6 V' [$ f: w
    ) 的算法,大多数情况下空间复杂度是很容易优化的,难点在于时间复杂度,后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。  S% _& O8 `! P4 E
    3)计算几何! c! t2 s2 ?- z/ v0 F
    计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支,以往的解析几何,是用代数的方法,建立坐标系去解决问题,但是很多时候需要付出一些代价,比如精度误差,而计算几何更多的是从几何角度,用向量的方法来尽量减少精度误差,例如:将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算 等等。! [" s1 R# N5 H- C: c# J
    如果一个比赛中,有一道计算几何的题,那么至少,它不会是一道水题。8 x4 p% ~( ^; h% N1 L
    1、double 代替 float
    " X$ w" L6 z; `c++ 中 double 的精度高于 float,对精度要求较高的问题,务必采用 double;
    7 h; ]" y# b0 z* l* Y1 U2、浮点数判定
    ' G( a* a( k" w4 z" N( x4 K, u由于浮点数(小数)中是有无理数的,即无限不循环小数,也就是小数点后的位数是无限的,在计算机存储的时候不可能全部存下来,一定是近似的存储的,所以浮点数一定是存在精度误差的(实际上,就算是有理数,也是存在误差的,这和计算机存储机制有关,这里不再展开,有兴趣可以参见我博客的文章:C++ 浮点数精度判定);, m* y8 V5 R5 j
    两个浮点数是否相等,可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现:
    - c% W8 w1 w+ Aconst double eps = 1e-8;
    9 y0 z4 I! t+ Dbool EQ(double a, double b) {5 E# P! g1 s% G: ]9 Y/ }% v
        return fabs(a - b) < eps;
    2 p# P8 r; D! }}
    6 j' Z  b+ Q& ]1 M* p1! s+ s$ c" x# J. T. p! n
    2
    + |* M0 T+ `& t2 R3
    7 C; o  S- P. d2 @+ Q4
    # a( |, V9 [& K3 y+ e+ D并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零:
    4 R7 G2 `( }/ z# Dint threeValue(double d) {" n! h) l4 R3 ]+ F
        if (fabs(d) < eps), I8 k  Y$ C1 D; G
            return 0;+ u" R' ^; c* g8 k: }% M
        return d > 0 ? 1 : -1;) L! l4 g, b& b  Q! J7 ]# }
    }
    & ?( P" {0 O, o( h- a& d& I! O4 g1
    0 y7 |& G  W- `3 H+ k- o$ h28 v- B, X1 I: z. m! i0 `% f, q( V4 t0 h
    3( h8 e5 w$ w, }/ b
    4
    : {: V) ]! `+ ]9 D0 q54 j3 l& a  U! Q1 g
    3、负零判定
    5 Y1 T7 d. n2 u因为精度误差的存在,所以在输出的时候一定要注意,避免输出 -0.00:
    0 \( }/ r1 J3 L- b4 @" T7 z    double v = -0.0000000001;
    ! v& J1 M! _- ?3 L* k    printf("%.2lf\n", v);
    0 ~/ h! w, \' Z) X( v! _" X6 B14 P# [6 E) g6 A
    2
    & s+ s/ L3 l( L* N+ w避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0,如果是0,则需要取完绝对值后再输出:
    & i& R2 U4 `+ M1 L2 m- U' s( _    double v = -0.0000000001;* J2 o8 |" p) A+ B
        if(threeValue(v) == 0) {
    1 V3 S" E' N- K7 \) }        v = fabs(v);
    ! Y" ^' H% L; s3 s( x    }
    $ J! |0 U; w3 a. A  `9 M6 W' w) X    printf("%.2lf\n", v);
    / X. q% P: m. l1 c9 s* f! W, F13 `4 C; _, Z5 Y* T5 b
    2
    ! [- D' N( X' t6 f. F4 G- k) n4 C3! O9 Z& t6 Y, z: N0 ]
    4: |9 l, S+ O; Y4 g+ B. I. T
    56 R5 r, t. \0 j6 Q5 b
    4、避免三角函数、对数、开方、除法等  z8 s' _. P) r( i) o9 x9 y
    c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法,一种利用迭代的方式进行求解的算法,其中还用到了开方运算,所以实际的算力消耗还是很大的,在实际求解问题的过程中,能够避免不用就尽量不用。
    5 X  U; G& ^0 n1 D4 v2 ?5 s除法运算会带来精度误差,所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。" N  G. o" ~! u, H
    5、系统性的学习
    & K( X; r) T9 J; d5 \7 ~基础知识:点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积;- p" N/ C; K) m9 Y" v
    进阶知识:多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定;7 Q( o) a# N5 I3 p/ y# w! q: r
    相关算法:二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。; P9 r: X# E# [2 B& b

    8 W, k# Y% c7 d; E5 o5 P1 ?9 m
    9 e: p. }0 j2 R' d' T6 j
    学习计算几何,最好是系统性的,刷题的过程中不断提炼出自己的模板。( |) \  K( [* M5 o5 X! d
    4)数论# Q1 q% G9 K) d% G- _
    刷题的时候遇到不会的数论题,真的是很揪心,从头学起吧,内容实在是太多了,每个知识点都要证明吃透,不然下次遇到还是不会;不学吧,又不甘心,就是单纯的想把这个题过了,真是进退两难!; \+ w8 Y$ m& X: C5 e1 |9 n
    数论对一个人的数学思维要求较高,但是一般也是一些固定的模式,所以把模板整理出来很重要。$ b' `$ k2 ]( N
    当然,数论也有简单问题,一般先做一些入门题提升信心。
    5 b7 V1 \: o' _! `7 Z6 t1、数论入门
    ! C2 r. }4 A; L+ i# ~+ l  Y- B主要是一些基本概念,诸如:
    - z: m5 {1 D8 f% S# s整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和 最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节;1 Y( `  v; B4 U4 N. v  J4 ?
    2、数论四大定理# K6 v! M8 [% J; N( Z- P
    这四个定理学完,可以KO很多题:" Z$ S  q) U* _% L5 h
    欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
    , u6 f1 z% {1 V4 f# C* W3 T1 R3、数论进阶/ l5 o* [/ S. W% A6 x: g  ~
    系统性的学习,基本也就这些内容了:  O5 d0 q1 H4 P5 U9 S# V( @
    扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
    ' k# d9 D8 L9 t, O5)字符串匹配
    1 s+ l( n/ P; H3 L字符串匹配学习路线比较明确。
    % I5 i- U9 h5 P- S7 ~0 N先学习前缀匹配:字典树。
    3 f/ T2 {- s2 H( E- {- E+ p2 O0 s然后可以简单看一下回文串判定算法:Manacher。3 }$ M8 j9 j* Q6 {
    以及经典的单字符串匹配算法:KMP。
    * R' z' k0 l# e) ]实际上平时最常用的还是 BM 算法,而ACM中基本不考察。
    ; K# H% m- R1 S1 U) T" c然后就是较为高阶的 前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。% |: Y3 ?' A1 E* i
    关于 算法学习路线 的内容到这里就结束了。/ M' n9 ?6 X9 K7 j! D' R5 S
    如果还有不懂的问题,可以 想方设法 找到作者的微信进行在线咨询。5 d8 P# J5 A+ g6 ~9 W1 b! ]
    参考资料
    6 @2 p' w" b/ D【阶段一】C语言学习资料:《光天化日学C语言》(日更)
    5 j! X+ a' j3 P! \【阶段二】C语言例题:《C语言入门100例》(日更)" G) m0 s% ^1 J; b2 B; K, E4 `* [
    【阶段三】算法入门题集:《LeetCode算法全集》(日更)+ D# k- X3 v8 o8 _
    【阶段四】算法进阶:《夜深人静写算法》(周更)
      z/ U/ n+ t+ [; {/ k1 g————————————————
    ' j/ X0 \9 r- c# j! o版权声明:本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。( ?% I0 `2 q( r% V9 T9 V
    原文链接:https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/118382228, Q; J  o9 S. t; }2 g

    , G# [1 i9 }  j! W! v* `  N: N, c' `6 `/ y, n
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