查看: 3725|回复: 1

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

字体大小: 正常放大

杨利霞

5273 主题	82 听众	17万积分

TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

|招呼Ta 关注Ta

❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
! \5 E; J( e7 s6 a9 v边的结构体声明如下：
2 X9 L  [7 J$ |# c8 t. z) sstruct Edge {! z$ {8 K! F' I- J4 B
int u, v, w, next;7 u- @  @: }1 R  Y9 T6 {! w
Edge() {}, l; R& V9 P+ }  u1 n1 G% N
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
( S/ P8 G: t( Y2 a. Z& [       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
0 e$ c) f( P5 n  p  c' q$ t {
+ Q. h. \+ b) L, N& F7 { }
5 d! [% v. Y5 A+ ~( x}edge[maxm];7 c9 e+ p* a- B6 Z+ r6 h
1! h4 V+ S8 A* q) Z1 [+ T* H
2
/ o3 Z( K2 Q% H3 T2 k; z4 q3
. T8 ~- |! s8 H% e4 ]4
  `; Y9 h" }; S9 _5* N# H. B$ m  n6 H: j
6- @6 f5 x: k* K; M
7' l2 P) c) s3 E; {% b1 J
8
; p4 ?  M# @; \# i) F初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
: _& t; T8 @2 U每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
& w0 ]" s9 p# F$ ]+ }void addEdge(int u, int v, int w) {
9 v3 s' I$ A: I% ^# ~ edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);+ s6 F4 B: B. H
head = edgeCount++;7 [8 O/ a$ K- B% D* C5 }3 F9 m# d) P( k; N
}$ f' P5 C# C+ l
1' x/ r8 g% J* b; w! V) j+ [
29 _: D% `5 `0 o6 F+ R
3
. |5 Y: z  V0 H4 y( [4; l; @0 h1 f5 f1 f
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。) |% X5 g5 r( O" G+ d4 ~9 f
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。# \4 b; H8 e# H
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
, @9 h: n- d* U. ?* k+ D int v = edges[e].v;# o; S9 J" r( u, s% Q* Q3 ?+ o+ [
ValueType w = edges[e].w;' y) @6 [7 [  E8 I! R
...
3 t# A- O( ^4 x& H4 u7 ]8 B4 W}8 m+ E& n5 Q. f. A1 [
10 N6 B! M* N5 T* d
2
4 K: ~9 b2 @  W+ `/ e0 V3
" J) S5 a& _  c0 Q; j5 z4
1 T; O5 {4 w# t, b59 K; m7 T1 [" D6 M
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。+ ~& t9 i  Z: N  ^6 Z
4、算法入门0 F0 `0 _6 b( a& ?# {/ }
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。* f5 f, M  o/ T% L  x

  T  d7 u- e( A) g) s+ ^
& w/ g- C" ?: Y: w( e- ~0 D入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
3 \5 C" Y4 y5 U  v* Y: }对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
- U  Z$ m: \: {1、枚举
6 `3 `# _) ~$ }) B, O* D% z枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。6 w8 U# w$ Y/ k  v
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
! @  A5 E+ Y& S2、排序* Q: d/ b9 K" I9 g/ c% v( W
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。2 i" r" U4 k: n! Z" i+ A
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
7 X& U( _6 o) rC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
& ]+ V& l6 v) d8 v3、模拟  i! L" S1 e8 t: c( b; v: X2 ~
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
; g2 D0 X. x& m( n不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
0 H) ^* n' Y& |4 V+ Y7 S! ]% W4 r2 g但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。& i5 ?9 s, s, [! i
4、二分2 Q5 z/ \# f# ?  h" W7 M( t
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
, n3 S4 r+ I" i& h" n9 W; e- k5 y例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：- U' T% {  Z$ z
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；$ p9 ^* l( h) ^
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：8 d$ U" @* M7 I
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；, H4 ~2 ^. u; t! [9 K/ e
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
  |1 F- }; ], L7 e$ h  f 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
7 O" L( H. A5 ~1 i! {3 c3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
, x8 w$ x& G7 |* t5、双指针
0 {. \' F* t. d8 g  A8 z- V4 U双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。/ X0 ^3 Y3 X) d5 f6 @: h

" T9 @/ G4 w  X7 v: J( B( o) M4 Y
$ q9 u' t8 B* L0 ?, V6、差分法+ z" n% h# X7 E- ~1 y; R
差分法一般配合前缀和。
$ N+ Y; }; W/ u# K4 C! }/ k对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；: c3 ]7 q5 s0 s! H& c
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg 7 V. ^' j( D, o5 X7 A) t" @$ u
x
% X+ H( W: P+ f2 C; z
9 R* h% S% n) o( v  ]( d' R3 y ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
5 Q6 V# g- C6 V: W) vr' J0 b5 v+ R) B5 v- F

4 C2 P' a) k4 ]+ e+ h −g
" z- ]; g, u$ x, Sl−1
) \, M  S* k: J% E
  ?) S& ~5 }6 L  c" S' ] ；分别用同样的方法求出 g r g_rg * ]# o1 ~7 \5 [1 b& ^8 I
r; o) t; _! _) f9 S% l9 Y% e$ U7 A
4 V  [* f  b. b. d. ]
  和 g l − 1 g_{l-1}g
5 c! N: x, V. Y$ a- M, o$ wl−1
) P( L) P( A7 G8 X. U- t 4 c" e, S  G6 h: z
，再相减即可；
) x8 @2 A! k6 T( r9 m3 H4 k( c8 V
+ `  u+ v# d9 J4 m' ^& x1 g* i# e  X( r' F, u
7、位运算: {& ]2 O- C, i/ T9 Y+ `+ m
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
3 B0 V) e" Y# z( P) c9 s' Q' ^位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
. f1 N) u& b5 S布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。9 B- F0 N. g7 p( k
如图所示：
  o' @% }% r# q! s% x( b" _
  M. p4 k) X2 P9 O) ~: D% q8 ^. v' [! }* p* Z
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
9 T- y7 ?3 ?; g/ J6 c比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
+ @6 S6 L' i( _2 @1 x( Q$ t!(x & (x - 1))! [/ _- ~! g1 c7 w4 E0 q2 p  N( q+ a
1
6 h' W4 q$ r) R; i, \9 l8、贪心
8 e3 M2 ~2 ]  i  C贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
' M- i$ H7 b+ A6 q2 ]2 [所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。1 F+ Z  y( ?0 e/ c
9、迭代& T; L& S6 f* ~# O
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
* M- o* ]* f3 t+ b1 K10、分治4 T' @9 |, E4 |9 N/ ]$ j
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。3 ~, Y0 v' ]  p, Q4 C! G
5、算法进阶2 n0 p3 M; f+ }
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
0 j7 W7 f5 o$ E0 c" ^2 K- u如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
9 ~: m9 d5 R4 r" Z$ k这个系列主要分为以下几个大块内容：1 ?& f- N! r& D. S" ~
1）图论. T$ \6 u; U* ^
2）动态规划% J' N# u  M2 {
3）计算几何) d; B# _0 F" g$ @
4）数论2 U+ z, U7 O3 `; ?7 }6 a) P" p" |
5）字符串匹配4 n7 L7 m5 |% T, m  w
6）高级数据结构（课本上学不到的）! b2 t$ S) [% b; K5 e
7）杂项算法% A; o) b& g& u" }4 a% ]

- k; h, Z. R; l) z1 S7 `/ x8 D6 U6 y# f1 p- y8 y8 c* M
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：3 e: T) E/ i4 l" Z8 g2 z

! z! }* U7 T0 ^) t- F
- T5 [# F3 {) h$ ~; ~* M* Y2 `$ N  j$ u* p" f

: T. r1 ?$ u' a% ]* K; G6 O1）图论4 ?1 _$ f- J; L3 R! S- |
1、搜索概览/ s' r' \: Z* D/ `
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
& s2 }5 ?; {: J7 ~
  Y& W) Y9 g6 G9 ^9 i! m: [# ^- Q* K: t1 R
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
- m. C: A1 n, K, F! r2、深度优先搜索1 |6 S9 d' |' M3 A& O; z
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；+ F0 c8 m$ Q9 V* n1 X. n8 M+ G- E) P
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。) Z1 ~7 w9 |1 g! d1 g' i
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
. N; ?2 S- S- c2 l4 t, ~% x7 U如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。5 m# l6 E+ K" T: I7 b# E+ D' e

8 V; a& S$ F' q2 U* Q. s" x
' w- p* d5 j# h% v5 L红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
/ _* N+ e3 q5 q3 e: a' B2 x+ k 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
, s2 |. \, Z1 D9 {$ [/ w1 L15 O, d# x7 F6 k2 I# _4 z
同样，搜索的例子还有：
- i: I2 h+ \: v, y! z" [% {. C% B. N
& M* i9 H& F* @0 H# `
  e4 n, T2 f$ o6 e  K, G- L计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
+ ^( Y# v, N% L3 B! v8 h* V3、记忆化搜索
% ^. d- j: V) O, ]对于斐波那契函数的求解，如下所示：9 R  G1 o/ v3 A4 f. h1 w& D
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =0 m" }7 n' H0 B$ L
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)7 ?5 T) `! x0 L: E. [% g5 h
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)0 [' k  `) }4 @" Z" E" L2 x
f(n)=
; Y# L1 R6 {4 V9 ^4 k' {/ N⎩. Q/ |* I- u" C2 ^6 j5 w
⎪) c$ \2 g9 k# Q% X; B4 R! |
⎨, r) V, N- v9 ~
⎪$ M7 x4 `1 p( W+ b' X9 U8 C6 L5 \
⎧$ |1 t& g/ i9 h6 T7 B: p* T

1 i! v. c" e1 \) b/ B9 J4 V( A  . }- U( J" X" O& u/ L
1
! p# K% F' M# J2 T3 y" |1
' V1 s) \) e1 E: G+ f2 Wf(n−1)+f(n−2)
' E- H" f- q- _% V$ K- k% u4 o 0 _0 f3 E: @( R1 ~! C0 j; _
  0 q' s3 _8 B# P( K
(n=0)
' U6 W+ T* T( P  w- t(n=1), _; a% W: Y( w
(n>2)/ l6 G0 \" j  [  G0 v

7 |; q2 f/ p: p
, f& V: ~" k) ~) `3 u7 ]对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：" Q; ?( ]7 S' D( U) F  v6 q# N

& h$ Y, }8 F, Q+ g! n* z8 U6 X& n. g' U3 a8 T4 y
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
, |- X1 ^) N* B9 a. w+ B我们通过一个动图来感受一下：
  B/ b, \7 F- j: ^1 g" j. ^0 i- b- D

4 ]2 F2 O. a" @0 T% q当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
- L1 \! K$ k& P9 d' i4 C( P这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。4 j$ N# y' P* [# L5 f# F% t
4、广度优先搜索
( T6 v' A2 K6 u, I- t, i  `单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。, @) ]3 u5 y' t- h2 P  ^6 a  z( K% v
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
" S/ h' J. D: h/ q: s
; H- T6 U& g+ [) P( X
2 u+ i4 c" v- s. @! V( ]# ^- }0 ]$ r7 N. h( }
  O: q/ |7 r3 U8 R! G; e# O$ r, k
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
, o% ?1 a, V7 p) [; J" O那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。3 z7 j8 m6 j( s( X3 V* @
这时候，算法和数据结构就完美结合了。
9 }0 r3 B3 Z! Z* S2）动态规划
1 I2 W7 p& P. |动态规划算法三要素：
3 _9 a" [3 W! K; ~; s0 } ①所有不同的子问题组成的表；
- _/ c. D( ?! f7 x ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
6 k, h) J5 w$ T: r- x ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；; X6 a# t( e$ [2 t* p5 H  t
/ a' D2 {2 L# y$ u# e" f3 e

2 V' n8 \- i- v& j1 L' {1 T如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
+ y6 {* H: h7 @9 Ot- r2 D9 Z( E' G, ?6 p
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
5 r2 K, T4 Y  ^) x# f0 E4 \e3 k4 b6 v- I& |  ^; w* U5 a1 u. @3 I5 `
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。& w$ A( S' a2 ?( Z- N+ t1 c3 R' d: P
1、1D/1D
: P, A7 d1 I' Q5 `# z' u% kd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )9 I7 ^) O4 ^0 G( b2 q3 E
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
( g  k4 G" r$ V# A- {+ I状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：* Z9 D3 n5 j, t: t$ h( N

/ s: r! t" ?0 q1 D' Y- c, p- M$ O2 R; N+ f, x9 v8 @+ n6 U- N
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
/ y3 C  F/ ?$ R6 m, G8 T2、2D/0D' X7 k4 R# N; I  x4 d
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )* l$ {( H1 |3 Z& l6 a, S( _
d[j]=opt(d[i−1][j]+x # A0 A* `9 W& u- d
i; G, c7 ]$ C/ [# R8 g! a3 Z6 S
' _9 B% M' i0 M6 g+ }
,d[j−1]+y 5 v$ n* `3 D5 _) j6 F
j  e2 ], z  W/ H; f1 B% v

. Z+ i. R3 V  D ,d[i−1][j−1]+z & `: i' q/ h6 q  c; s/ Z* j+ k. u
ij1 j1 i9 {) P" I2 M4 T

3 L# N* j5 j( g) F, ^7 T )' f1 }9 I5 n9 X. f7 q. {7 t6 M
状态转移如图四所示：
  n& L6 X* J; c/ ~0 D
5 u+ \& b" E/ X" C* z9 n  X  x* O  b' U) z. D, w4 w
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。% @) D+ o. k; J* K, L3 A
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列( L" B! l1 m' _, p; x. ?' m" H: D
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离. _* u; e+ z! T  O
3、2D/1D$ Y+ \. S$ k! D. B2 g
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
, s$ M7 G* l6 Qd[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
3 H1 j5 d2 n( X, h% n9 Z% |区间模型常用方程，如图所示：
2 {' J3 Q2 E- B( H& {9 ]" j& f3 \& g# D

4 X( a5 l( x8 l( T( O" ~3 [2 M另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
# B& }7 u( A3 h( q) P- _. kd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )5 E1 K5 Q1 [/ G3 [0 g3 Q* D
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)7 q% J# T) G, j! f, b7 y
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP% Q- m# ?; Y3 c8 I
4、2D/2D
5 K& G- @) z  I/ B* V3 m. `d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
$ w1 S$ s: {. c* j9 cd[j]=opt(d[i 6 S7 o$ P) q! x( w6 H
′7 `5 s/ R. k3 u% O; ~& z( ?
][j
$ O& L& ]5 b' J' H( M. B′
9 l/ E4 p: f0 @+ F1 X; Z ]+w(i
9 f3 h! _3 d% D& F0 s6 c7 S5 y$ q′
2 Z% t" B$ K# |7 S; C ,j
3 d+ Z3 A% L+ k# t) P& P9 |9 R# y′
. {; }( k+ Y% x ,i,j)∣0<=i
  A$ ?( \7 O. ]3 {$ x′: ~% d: p/ i, S; b9 c
<i,0<=j # Z. [7 {9 F' o+ k9 T
′7 i. c0 v" l! T: A
<j)
! Q. }' \) y. z8 ^* c& L如图所示：
2 K2 B+ J1 i; n8 B) \
; y1 w' s5 H) m
  C6 ]1 V7 I  e+ x+ b, K6 _$ h常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
7 J1 I. [8 P" Y) O对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n 1 |  [$ O6 U/ U* b8 @5 l
t+e
# u' q' x# i, v$ S0 [ )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n . M! y+ g( g) o7 e8 `& }
t
+ D5 I' t7 n) W( t ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
" a# f3 w1 h% H3）计算几何5 k% p- @/ w- ~
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
$ d! m/ i0 V$ ]8 k. {) M! F3 S如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
) P5 }0 w' h" q& M! y1、double 代替 float, R: G& u8 y+ C
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
0 H- M. _+ f  b* `4 |1 g2、浮点数判定
0 h9 U; k1 L3 P  O7 w4 T) J. X由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
+ R; V6 P* M* B* V两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
) M1 T$ [# h5 U4 e, |' @% f8 ]5 Dconst double eps = 1e-8;
4 j2 t0 m; i. N5 F8 f8 O; E5 ibool EQ(double a, double b) {
2 z3 n" P% c6 @) d2 Z return fabs(a - b) < eps;/ f3 ?4 n9 l+ t5 i# x" d2 Z
}6 }2 E0 Z2 |$ o( B" _6 K
1+ L; W; M, @" j
2" c! s( h/ V/ }, V, ?
3
1 ^( E5 W( G7 t3 ~, |4" }- \5 k2 U* n' i0 n
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
" {# P( w5 ~. S$ qint threeValue(double d) {
" j, d4 E' h, n0 }0 k7 N if (fabs(d) < eps)
# S5 u. g  g; a5 z       return 0;( P' r3 }$ J- r( C) R. K9 S* v6 i
return d > 0 ? 1 : -1;
; F* s9 U9 S, h}8 y. G. W  d, l; ?
1+ M" x4 i& d% K# @9 w4 n
2
* i3 v( @4 H* ]2 N- F3
2 g, p$ v6 B# b2 s( _) B: d, m( E+ x4
1 s7 \; j/ a! n, a& W+ T4 e2 T5 R5
# |8 ~( U3 ?/ S: U3、负零判定
/ p5 K- _/ j0 Z: I因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：) `1 G6 I! |& E2 c. f6 J8 }
double v = -0.0000000001;$ E- {5 [% k  C1 X8 W5 M
printf("%.2lf\n", v);
0 A5 I5 ?9 ~. c1 C& j" A1
6 L& ~6 Q' |  S1 B2 p. [) t4 F; w27 f3 F' n, i0 F* v6 x
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
* J3 \8 p" a9 q  Z1 @. @2 s9 p  F double v = -0.0000000001;8 i8 ~" h. E2 A
if(threeValue(v) == 0) {
  I/ ^- W% L2 m: {       v = fabs(v);: K0 m+ F# C! w; k
}
! _- `! {5 H# F$ d. S- ?* h" v printf("%.2lf\n", v);' k- x  f, F% Q  i, ]( B. C
1! p4 m. z# Y% W- y- p5 X0 C0 l5 R
24 b, P8 H  n( f1 O  f. B- E8 V  ~2 L
3& K+ V' w4 b- M! f
4
9 a& ?1 W. f5 z1 ]2 q* H( w. R5
1 I9 v7 K& t" [0 V( I9 a1 @4 \2 i4、避免三角函数、对数、开方、除法等3 |: T; ]$ m3 T( f# @' o
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。& ]7 g8 T0 g" Q% B8 Z$ j6 _. D
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
8 ]5 I$ U; S$ J* O5、系统性的学习
3 f: E6 q2 _' L& V6 h6 }基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
% v5 l3 V% l5 ^2 i, ~8 e) G$ a/ S进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
* d. s: P1 `5 Q% o* m相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
6 q4 |* S, m  K
( I8 @0 u( m1 B+ D7 h! x
9 z* f* h( }- x0 b' N) ^3 K; E# ~" v学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
- q+ h3 `: j1 e9 r4）数论, j0 t2 W, _4 ]! f! J& H% |* T
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！( l  a+ j% R/ l. S- f
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
2 c! ^% i$ t% R! [5 C5 o当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。# ^' G+ e, i: u8 R/ ^1 e# y& l
1、数论入门* W. k0 u" k  [* ]1 G4 J( L
主要是一些基本概念，诸如：* l, B$ _1 B, P+ t
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；" z! n6 s3 \, S# T: _- O
2、数论四大定理" C, H! m. V  u' P$ v& H% s8 N
这四个定理学完，可以KO很多题：
/ T9 g* e2 Z& h& G/ r欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理7 Q) k8 ^7 c8 n# ^. H
3、数论进阶
3 `3 Z4 f9 I) M$ }系统性的学习，基本也就这些内容了：
# A9 x$ Y0 K/ s/ R7 B扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。2 l( A7 f3 C' L2 k* j
5）字符串匹配* |* }& o9 T; K' W% L
字符串匹配学习路线比较明确。3 |4 P; |3 S7 ~0 j; [
先学习前缀匹配：字典树。
& n  l3 M4 s- |3 \' y1 @然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。- w( r; T& J6 y0 @
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。& T8 x; Q; C2 U( a! ^
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
3 x5 K( I# \; B& {  x- y9 h然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。6 i6 }" R0 T) m
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
* b% ^$ m; z$ H% @* w' i如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
5 v' q! m: Y* ]6 O0 \, H; j参考资料
" _" S8 H9 y& N【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）' X9 }( f8 m! [4 q+ I' {* N
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
+ j/ ?4 {2 G- T, i* ]  r【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）& M& {: @3 R8 z  F2 d- m
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
0 ?3 O! w9 K% e5 v# H' e————————————————9 d! E& W5 y' m0 L
版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
) w2 ?0 E1 v' p( T! @原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/1183822286 L; T% x- R! v# h# ]$ Z4 S* l
9 l: @1 F1 v9 O

! Z- ]- b. E. ^8 `! c. ^