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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

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发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
" Y7 x" f$ R. `3 p/ p: }3 L7 {边的结构体声明如下：
; p4 \3 G! s+ y; O9 u4 ?) D, Xstruct Edge {. w# R9 l4 D: }4 ^) t9 J
int u, v, w, next;
# y$ M7 p1 _7 X; z. k# G0 x Edge() {}) x$ @8 z* y/ C9 n
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :4 w6 H$ R3 @% ^8 n7 @4 [; m1 Q
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
" ?  X, d* `7 O# o6 Z; d( z: f {; v( E+ E6 i& O" M) ^
}* B% O) J! f3 C# |' Z0 {
}edge[maxm];+ y' U  g- G! h) f( [: w1 B1 E
1
5 K7 K# @0 J( m2' n6 n4 f9 Z( c  J  H6 N) ^4 c
3
' N$ |6 Y/ C- s4
" A5 a; j+ B/ U# Z& a9 H5: a6 y8 z+ D$ u3 _' a/ w! c
69 X6 h- f2 I' ]" Z$ ~$ x% q
7$ |9 E! }" g/ D) B
8
2 S  @$ ?; ~6 r6 N初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
; d) Z& D4 p$ m3 X7 h* Q  z. Q5 \. {每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
9 K8 M5 Z+ q! S2 ~* Avoid addEdge(int u, int v, int w) {3 X7 I8 u0 K3 m* u$ p0 t  |
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);4 s# ]6 O; F+ X! O$ p( u6 P
head = edgeCount++;
& q7 N1 \5 k5 S- L2 }0 y8 _5 m}' ^& T5 I" l, Y; E8 [& r/ V' ~/ x
1$ u9 m: D+ ~& O" Z( a
2+ }0 p' Q. f! i) ^  b
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+ I# f* }- ]* `4 s  X49 ^* X* l6 o7 N
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。) L. g5 p/ g* n6 M6 ]
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。" F+ d- L- c2 `7 J" T
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
0 o& K+ Y  v0 {3 N+ l6 i* ~8 z# A# W int v = edges[e].v;' }7 [' O2 S' ?3 f5 U
ValueType w = edges[e].w;* ]  `  h) J5 T, D- p& F# E
...
5 J! l) }5 e* C# C. u# U7 M}; s6 z: g) S9 i7 }; ~0 U, j3 k
1% }# V( c- J! F& H  H, e
2" B, X/ r9 s6 o
31 k5 U7 t. J* \+ \; w
4+ K) s, A: y& T9 Q% x& C, L
5
, a5 }( b! w1 v9 I6 \2 p3 m9 f5 u文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。9 a( v# o$ B& ?/ y
4、算法入门
. u4 R3 x4 T9 w& h  @" @2 \算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。5 e" F$ [6 @. C0 v6 N" s7 T

) W! S+ [2 u" W0 Y; h( V$ W9 V
! ]% `; L% P$ }9 n3 `6 \& O: n入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。- [7 l: t% F1 d' v; M! Z$ B
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
5 M8 ~9 m9 [' G: D9 O$ e/ |6 _1、枚举) l* z7 d# d, N
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
3 Q0 x# g7 T# F对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
4 y$ z' E$ X0 |" V: h1 B/ l1 q2、排序
# j8 X- s! O, [既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。$ x. ^  [8 g4 N& ~2 _. t# @( O0 q
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
8 k  l$ {7 E$ oC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。5 i; u- o- v) d5 [
3、模拟( }! S- f/ H0 H" i
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。  r" f% M! z# v/ ?
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！' s; E% B0 b; A9 N1 e, _
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
9 u3 {2 ]8 n' J# {5 ~1 P4、二分
, L! a- p( H. e* f二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
/ T1 R  R5 t# `; U7 ]1 B例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：5 \* a6 I" N; M& g" @
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
( W+ H! t1 I5 a- I; w* S2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：6 v$ j, |: `3 {! A4 d5 O
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；4 q% I' {% N3 _- Y* u( W" u( t
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
7 b# ^" d5 y2 L7 @' I, u 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
; w. X# u# x* s8 v& k  L3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。4 a3 A) {! ~5 V5 r8 I
5、双指针
( ^7 ]4 F; w8 U: _* n双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。* J' Z1 v  ]  I8 C9 ?* y
) s+ M+ Q) M! L; z
! J, w/ u0 k8 o7 r2 g) Y
6、差分法  R4 ~$ l7 P' J/ R' c" F
差分法一般配合前缀和。5 Y' J7 [4 r2 k3 ]) Q$ k, T8 h
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；% c$ \+ R9 P/ t5 d
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg # V& d/ c- c' |3 h* t8 ~9 }
x
! \3 q! [( {8 }
7 V5 @8 E$ q) U+ e3 m! } ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g ) y/ F9 s$ k+ B1 c7 U8 }# V
r. U+ T# ?5 Y7 ?
: D  ~2 K# n, k' m9 m
−g + I7 s3 Q8 f0 g. Z$ A, y4 E
l−1
0 ^% E8 w- d  t# M& x! z; ]  B 0 @! z/ b1 X* ?- J
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
) Y: p8 \, g4 Z( E! e& @r  W6 w$ ^- G) \6 G1 A

; q, d$ x0 |, v3 y+ g8 n  和 g l − 1 g_{l-1}g
; y3 N; t- C! n& p) h/ T# S$ o& dl−18 b& N2 R6 P+ r- _/ z+ m
' \7 E) o' U% f: r4 _1 H! H
，再相减即可；
& f* I9 d# H! v
1 K) {  e+ n% D: H
; a% |3 p) l: H& t1 y2 P7、位运算, b7 _6 I! o; k2 f1 T# p# u. o
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
" f9 I1 g" j" t( `* G布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。5 a/ J% D  [' G; V
如图所示：7 }2 m0 N+ u3 T/ l7 T

1 ?& p& _3 E% a. N! F% e) n  R4 F6 Q8 r: w1 u7 t9 k7 \
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
3 f" w  u- ~: T' y) a3 I比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
1 r& G+ p' q6 N7 J!(x & (x - 1))& N( h' b$ n0 @
1
$ ?3 v' x6 R3 X8 \! m8、贪心  T4 |9 a$ O" X9 ?2 W
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。5 F4 Y% Y) k; g
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。# V1 U# A1 |& }" D
9、迭代
! i$ F- \/ A' _% V3 L$ N1 }每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。, t1 n0 _, z; E- k6 d) B, O1 ]
10、分治! C% ~3 v- C% e$ G: h
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
6 v# J) X+ D$ x- u9 L8 g  X; X5、算法进阶0 o# ^) }  a* H2 P5 t. z7 o% l. a0 X
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
1 A" V" c: |1 J! ~7 a如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。6 u9 s6 K  p5 u2 S3 C6 |
这个系列主要分为以下几个大块内容：
; \# B3 s$ r9 s6 n9 ]6 i 1）图论, P( D+ \7 ?# O8 [- S, P  ^
2）动态规划! v! F' b6 G8 G. J* j
3）计算几何
6 s7 T" ^6 Y; z* M' ^ 4）数论
: j( w+ Z7 Y# _' t! ]- u 5）字符串匹配
6 g& F7 K: i. z$ g4 o! N 6）高级数据结构（课本上学不到的）
( f0 b; G+ V6 ?- y8 e( n 7）杂项算法
% U$ Z5 f3 f, ?! Z1 F% g2 h
; b  D" v" i# l. I' d+ a$ R1 D6 S1 @2 E' q0 _2 b& ^, W4 h
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：6 D: q& r( V* \' k4 I5 Z! J
0 R/ p3 l! o: J& W$ e

2 o  k* n' A/ W0 e# G3 d( P) x' D8 F* Y! X0 r
/ w) o$ K2 p2 Y, L; M
1）图论
7 O6 U, u' S2 K" `2 ~1 B4 z1、搜索概览2 H+ I0 W7 V& ?  y2 Y* c
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
1 R4 L$ K- B" q6 T1 s
3 R, j+ p3 O2 H% I7 a
* {5 a. \* m+ q: S. r比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。$ E) N1 \5 q$ k  \, @# |6 }  Q- e
2、深度优先搜索- x7 l, g4 j8 |& v. [8 ~
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；2 V! K9 |( `2 G; e* r1 z. \6 R3 R
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。8 j: M, C* a' A. t6 ^( U
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。- d. }4 T. t' f0 Z7 u# Z
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。, f0 O2 D& s9 p- X( L2 }

- q' K, t, ~$ s! V4 E* S7 C
: V( w7 [0 W; G+ G% B0 s4 k& |7 E2 J红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：" L$ C% Q  Y$ a
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6  N: h3 T8 n8 m8 v6 L
1
. u4 S; [5 M/ E/ e. \: J2 c2 r同样，搜索的例子还有：
4 ?) F' @. C6 J: z8 c7 \
+ g5 Y+ X# S" j- ?$ D4 W' X
: u" B7 g: Q2 U3 P计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。1 S+ |# X6 n% m9 t
3、记忆化搜索
8 J/ p9 \1 [5 J对于斐波那契函数的求解，如下所示：4 U% n/ G. r& Y
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =7 v2 }8 a1 W% \
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)6 ]! P. D% Y: s  J+ `: J# {
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
- t) {! k- q0 a, e/ cf(n)= & I2 l9 J  |% ^  q% ^' j
⎩$ d. `  ]2 C& u: E3 x4 V9 P& y
⎪' `8 s0 N2 {9 E9 A4 P) T
⎨
$ n, d- O! A" P% B* h⎪6 [7 L0 n! @" v+ S3 T( Z
⎧
- b) p( y+ _- o/ ^; g* w6 Q) s 0 A& u1 S! ~' e" i0 W0 `5 B

  f; y9 g- S  Q/ l1
& z- t% ?$ |' y9 I1 T  K1% x2 a' w* n; I/ F- K* k' |6 a- Y
f(n−1)+f(n−2)' q5 o3 q7 I+ o1 G/ f" T
" G% W7 v  c" @* Q

9 C% K+ G1 o1 G# {, l(n=0)
& u7 o2 J# {9 L( G* u7 U# ]/ W(n=1)
, c1 U% P8 C  h( _: }3 G(n>2)
3 {% t# j0 E5 s4 ?
% ?  W! v" F6 q% S. v% F $ @: {/ T7 Q3 E7 E3 W' J
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：9 N* j, c8 |+ H
# f# n) A, u& R  J" x: M$ {

9 j4 F: j' U3 V1 K这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
6 R) Z3 g7 ]. N" u! T我们通过一个动图来感受一下：& w; Q/ u$ e; }" \$ ]

" w% |4 Y6 x8 J8 P( M$ u8 G# E: R6 Y% F" ]
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
8 q) i. s: f1 H这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
2 P5 n( O( M* C1 y3 K9 T# _4、广度优先搜索2 T. B* }  T# D% a
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
+ l" J% o# ]; `( D5 f我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
/ y1 |+ Y8 b4 a; ?2 Q7 t  j* W7 Q! c9 Z' }" F3 a1 Y

, F! [2 E9 R7 x1 a" {5 p# Z  [! K2 ^$ |7 s3 u0 J

! y0 p1 r* I! x) Z! b, a, |从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。" h5 O  `2 h. Q1 L) B
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。/ c2 h2 n/ O1 j
这时候，算法和数据结构就完美结合了。
: i, B* y9 U% L' _4 S$ {% Y2 S2）动态规划% u- e; Z0 z+ F) `1 Q
动态规划算法三要素：
$ c# {$ _* f" C. Y ①所有不同的子问题组成的表；$ l" c) p- W5 k6 g9 i
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；9 Q- w$ O! {! {3 W+ ~
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
7 [: e# ?# |; _* f- u+ {) p9 r7 K# W

7 |1 @5 z- v! Y" P: j; w) S如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
/ }9 t- y# s1 ^* vt8 c7 ?! N7 v: Q
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
- U% Y3 t" e5 t8 ee5 A+ p; y/ @! _0 n: e6 G9 A
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
/ z0 ]9 ]. u& D; T1、1D/1D
% y( v( _% U7 M' l" Gd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
9 E; c# j6 K, H; ]% F6 Xd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)" |# [. \* B, W7 B2 ~& S/ k
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
4 ?: u! H. A& l# p4 d8 n
# T& i2 y6 B- H' q+ \4 Q8 @
& k* Y4 p' h# K这类状态转移方程一般出现在线性模型中。! Y1 C, _% g$ E; {- i3 d6 V
2、2D/0D
) i, v* M- ^6 @* E. Sd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} ), S0 G- Y! v. P0 u- P; {
d[j]=opt(d[i−1][j]+x
, g& P# c, K3 v# _0 U2 ti+ q  T" A6 d5 k& V, P1 Y; B- W
  u" s: n9 E" f, d+ P3 l
,d[j−1]+y
) Q# [1 v& b5 O/ h2 ~* Pj
: |5 o8 c6 F: F3 b; t
7 Y3 f6 k9 x: S! [+ w9 O ,d[i−1][j−1]+z
. o1 m6 L6 {; g+ C+ v8 Kij$ z8 K2 z' \! O/ Z- p* D6 `0 A/ f
3 k% l8 V- J6 v  X4 O' h: o
)* {, s+ Z' L3 \' e8 H, ~( B
状态转移如图四所示：
- D  R, x) g( m6 V
* E) E2 b, M2 S1 l5 e" K
+ m0 `- l% ^" ^& _' c- {/ f" c/ ?$ l- q比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
" z6 o0 X2 ]' P! C2 @* I7 i有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列6 `6 P( N6 o* s% L% ]: G& R: L
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
0 {# o& U9 S3 `* k0 @4 z3、2D/1D
& J. u, ?# v: L& x- {d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
" A: u( F' U  ^+ Z0 ~d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])8 v" ], k/ }# o6 m' ]( c3 Q
区间模型常用方程，如图所示：% o  P( I) g" i' d7 H; U/ q

" a$ v- ^* i  C% `; B, X
- {2 N% a5 C7 t% M4 b  h$ {1 ~另外一种常用的 2D/1D 的方程为：& W& n. |8 F* O8 r
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
5 N; I6 m( |' p" K( c" @: ]/ q- Qd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j); I' p' @1 r5 ^& D
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
  U, i+ N" D! l4 I  ]4、2D/2D1 r0 f, E- y6 x: J3 j
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)4 a1 M. r2 \3 @& N4 x! z4 A0 O4 `5 E
d[j]=opt(d[i
3 d, |) V/ z7 h′/ Z" |* ^' G7 a2 O  @% C% j: l
][j
0 c& c; [) e$ T- q' C) p' z, u′! p5 A, C: `6 ^" }
]+w(i
4 N: \2 w1 S. h  b% }: t/ B( H′  Q8 Z, l0 w- g% B1 n
,j ) R9 p% _6 e& @# O- U, U: f
′
9 ^' |; g! U0 F# G( ~ ,i,j)∣0<=i
4 I7 o1 L4 K7 }; U) |* K% x1 P′% }; X+ d% Y. [4 Q/ L+ k+ V2 Y1 C
<i,0<=j
! B8 ]+ m! Z; v) [3 I, D′
4 S& g: w$ J% r. h, @9 x* | <j)
% o& Y. j; u1 @& N7 I8 M/ [如图所示：
. V! Y+ f  i( g3 |) M( L( T5 K
$ n& @+ Y  Z( T" `% Z, s
5 b6 k0 [6 I& t2 T0 ]2 a  Z常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
9 s2 X- {. R6 d0 e对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
+ `4 p2 x* T* p, Kt+e# D. T, k! ]. V8 |0 _
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
; |: b3 S" P: d2 V, Q% rt
: L, j6 ?: m3 r) ] ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
' h/ z, N4 W" l3 h: S% D3）计算几何$ J! \: K- X5 b4 ?' P) n6 ~& O0 _
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。) g/ l* S  F  [
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。4 e. K! Y4 q' B( @2 h) H
1、double 代替 float% i/ k7 O9 J. G7 j7 p. `
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；5 w  G8 t- f0 }" W3 t
2、浮点数判定
) v6 S7 v# l; p' {+ ~由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；# N5 r% G, q# V0 v: f" O
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：! F% a) ^$ f5 r- P
const double eps = 1e-8;
: W4 Y1 k. m& m7 ?- `+ r6 M3 Mbool EQ(double a, double b) {
3 S  A$ i! O1 K3 \0 s, o return fabs(a - b) < eps;  O: V6 Z7 ?1 N' T
}0 _) R7 U& f8 n, Q7 ^5 d- [
1
! T' X! G, i+ R22 d& m7 \- l! x  p
3, N3 D& u/ Q* Z4 `0 u% k/ o
4
; |% N! L: J/ c6 A3 h5 w并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
' k5 G& f$ v: u6 h) f3 F3 Gint threeValue(double d) {
( i7 z+ u& p+ N% i" A if (fabs(d) < eps)
" t7 }; D# {# \$ h! j) @5 q       return 0;3 t$ z) u( [& g9 S- W
return d > 0 ? 1 : -1;
8 {& N- |- H  x, c( P' W5 _6 b}( ?) z1 q  r: M# p
1$ v9 O( ~- |% I" J/ K: e! {0 O
2
6 v; q$ ^+ j+ p, m5 b; J: }30 m5 H) F/ J' S4 {2 v
4
! T7 F* _8 T# [% P. v: G5
) X& v4 t6 t1 r9 M9 l3、负零判定- `: [: z3 [: n
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：) ]. S- r6 w; t
double v = -0.0000000001;
- ?% r$ \2 S" Q  W' l) z+ r( L' D7 C printf("%.2lf\n", v);
3 n1 Z2 y* B8 n' X$ Y1
) H0 V& E- K4 J8 c5 z9 A5 `/ M2
* w+ Q" E2 i# G避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
2 _4 V) I, v$ J# M& o double v = -0.0000000001;4 l$ Y7 U+ o  @: J/ h
if(threeValue(v) == 0) {
. Q' J- B: n5 v! h& B       v = fabs(v);
' Y7 J" E1 j0 q! M! V$ J" L% y8 z }
7 Z4 b+ a# R- j printf("%.2lf\n", v);
8 [9 d2 ^1 a' y3 J% B4 c3 e* G10 {8 Z* i5 s/ l' k2 W- Q' P
2* E: G) V1 W2 r- o# r8 m( N2 K
3
$ Q/ Y- a1 a8 d$ T+ \4" l/ `/ f" o, k0 F
5
3 g3 ~8 N; D  H, E3 H4、避免三角函数、对数、开方、除法等
) D( }" u+ ]$ v, F( Y! zc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。0 H' m7 Y7 J3 K# }: u- c' ]
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。; \3 m! p" y8 A& H/ l# }. e# e2 t
5、系统性的学习
, _; j8 @) }9 Q基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
% @+ m* P: I( X4 J% q7 n7 C7 T进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
$ n1 P: k, b$ W相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。7 s- \1 Y" e( Y; o$ S& i
3 q& L. a1 {- g+ C$ ?- s1 U

& ?6 L; v# E! ?0 o. y$ L学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。! o# i7 R& b8 c: n
4）数论! m* V- v' w- d& P, U2 F8 @9 T
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
8 K: V" r5 m( E& r% h9 `数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。" e6 j8 X" W+ ]2 x$ Z7 M2 k# j- D
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
" p( _- [0 @4 d1、数论入门) g: x: Y  ]: X8 h
主要是一些基本概念，诸如：, O0 s, V" l8 T5 |# R
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；0 p4 F& J( ?8 A9 a, |" H
2、数论四大定理
+ a: w; n: K7 e# \6 ?( z, C* c3 a( ]这四个定理学完，可以KO很多题：0 X& H. F% J2 k+ W% r+ z' h
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理4 K. M0 S) F& J, @+ R
3、数论进阶" t1 _3 K7 r# I6 X1 v, N
系统性的学习，基本也就这些内容了：
: M& `# O! Z' x3 S3 {扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。6 D4 ^8 |$ @% N! k0 y9 A. ^
5）字符串匹配
* L7 Y; H1 a1 K9 v5 y/ c3 J6 C字符串匹配学习路线比较明确。" @0 r% ^( ]' w7 S% Y& ~
先学习前缀匹配：字典树。/ F) y' c9 r* t$ U1 b" x
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。. f, U+ B5 \/ f/ d
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
2 \. Y; K5 C3 @/ n实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。. w, o2 D# S. y: J4 [
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。" Z7 k* I8 {6 J, M% O
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。& u: s2 F) k1 Q& e& W% r2 |
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。8 C7 g( Z- b  }& [* W0 @
参考资料: R: Q) G. W/ r! Z# i$ \4 z5 Y
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）: P. y( |, E6 L3 Z8 V6 r' n
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）) z( G6 x' m, H5 G
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
4 n. U, `# \* B5 U/ r【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）$ R/ W% Q& |( k3 G3 F% Z% D
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