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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
$ v3 r2 l" _" r+ D& V, ^" C' S边的结构体声明如下：5 s* z4 f8 V# U7 E6 F
struct Edge {6 \" Q* V" L7 {& B0 t0 v
int u, v, w, next;
* T; w# n! i1 K4 y Edge() {}, {8 b5 v  c  w  S
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :' R( F6 d8 Z2 w& ?
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) $ U. @8 r4 b8 o( }
{
0 \# M0 U: I/ t  { }
* L! ^3 J; i4 \8 x! Y) D}edge[maxm];* t; S4 |# F- q$ _2 N
1
$ q& z& a; P# `2
' @, e5 g% E; K6 \9 ^2 c! O& h: s3
/ O5 k( Y( b' p" d. |4/ f2 s2 m1 I$ s+ R
58 Q% u0 l+ H( ~* N3 d, C
6) r, f; G! s) D2 s# H" [4 ?: z
7. |1 I" f- Z6 l
8
% K+ O1 Q7 o$ U% H- |0 R, X- S7 X初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
) j- A- q$ A1 S0 w- U4 y每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：- M/ U( u% F9 `2 A8 A
void addEdge(int u, int v, int w) {
8 z# r# X6 y4 [$ t4 z7 n3 H6 N edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
8 g1 Y' N0 s) h9 i0 l* H( G head = edgeCount++;
4 [/ D9 M. J+ F, q3 x% s# C$ c}
4 h3 U! c+ O' [. w1
3 A! f, {3 j2 B2
7 F* j- h0 s; h$ b37 T* q, \3 `# W) f" V2 D% X9 W! ?
4
0 A6 g: d4 q6 }3 B/ c这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
+ z/ ]- V- z4 F) y调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。" J9 f( ?, V* f1 E7 |
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {/ l$ Y) X* A4 g7 f
int v = edges[e].v;
2 Q7 U" c% Q" `+ m; r% L ValueType w = edges[e].w;& ^3 [7 o( F; q8 @' }
...1 f) N7 v8 H2 P! d$ w' j9 I' s
}) u) A" Z% U! _: L/ ~' ?
1
7 J% {; k/ H8 J. D2
6 P) ^' f- c' K& o* B# b, \, M3
. b8 n$ V* Z% u42 R* W/ q5 I2 |. M* _
5# X# `  R3 Q4 F* G2 B0 y9 f
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
7 a1 w3 E! l) l4、算法入门
' o0 i5 i5 C. o. T算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
& i# H+ n# O* |. n- M" D. N) g
5 I+ W( A: {+ L% ^
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。$ C7 {& M- g" Y8 Q! a( D
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
# e: Q: x* T0 |2 P1、枚举
- T' n) O0 f, r3 I1 _7 t枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。2 j' A9 S# O! G0 b# K
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。: ?% x, g9 j( s3 J) B$ I7 v
2、排序
6 W, E& H' r; r% x既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。9 a) I- ]9 z7 G5 s
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。# ]/ P$ B* _7 d- O
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
% x: _9 f# e: [% ^# a1 _3、模拟
. b7 H: |: c- ~# ^( C+ y) {/ ^. e' i4 t模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。8 Q; i9 I: L& F8 s* C' u
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
7 f0 j" f$ t* m( c5 o: v但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。& N9 g+ j. m: |) T* E) z8 g
4、二分* t* B& y4 \* b7 B# K
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。7 u9 Z, G: e. K/ T
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
) z7 \1 W7 l( U* m  p0 g1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
8 m/ [! `; {# s: z; j) R: x2 n9 S& Z2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
; d) A6 z, A4 Q/ o, `* B% a" x 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
4 Y, S2 u+ A6 T3 H1 }8 i 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
7 S8 w0 Q+ J# t3 ?, b' b$ a! P 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；2 k8 D/ h, v9 V) ~* a& ?
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
+ W& Z  J- w2 {2 w; D+ ]" D5、双指针% f+ ^( G1 W5 u' J1 X
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
$ M% P; r5 U: D( T1 j+ p  ?2 M1 Z6 X8 }* U4 Q
: k! Q7 \! K. ?1 F6 B/ i
6、差分法  y& q) r% f; f0 |
差分法一般配合前缀和。' l' e( h8 O& X* K
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；+ n  k4 D0 ?+ Y' v7 V
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
$ @4 o; q, A  s) t  Y7 Lx* Q/ v! Y) O  W9 |& u8 T

* F$ N* m2 L4 B- J4 O ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 7 }. }. T/ U* |' F7 t8 w2 O
r2 ]8 H4 m# Z, U+ u

2 w" z! Q# E* Y$ j9 b% q9 K: R# c −g
' _/ F/ l4 p: @. x) q, [) [4 zl−1& U' ?. t% L" `3 f4 G0 D

! v! E( t* G/ Z! ~  L( t6 n+ V ；分别用同样的方法求出 g r g_rg , q+ r- O" a1 p  Y- e
r& V3 Y* C( `" T
2 E, z# I8 D' }7 a3 K
  和 g l − 1 g_{l-1}g $ t  j4 e' o1 d- d5 ?
l−1
) D8 t; h: \2 ?
6 Z% w& G5 ^5 `7 S) M& o3 j ，再相减即可；
9 d5 L: d4 U- R/ P4 |4 L0 O- c; [
. H! ]; }2 h7 r# s2 b
7、位运算+ H4 h4 a  f+ l+ V0 Y
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。4 ~8 @% k9 T! B/ A* M
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
5 x, I' [, i) Q布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
7 {# `) w/ q) ?! E如图所示：
# X# H' m" u% A& ^+ \( l
2 j* [4 H* s8 U0 `$ Q8 H# t; |2 s( n- _) U2 N7 O4 n6 q
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
7 ^, S1 m6 D1 ?7 m4 Y比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：4 p7 _) u. u8 d, i9 i
!(x & (x - 1))$ S* E* C- _$ F# x
1
% l3 e* o; j, A- d2 f: l8、贪心
4 @7 A& g/ c) I9 K0 {贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
& ^8 d: \/ i( ], |0 q( i所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。  N% S* ^* @3 Y/ K
9、迭代" V( J3 f* r8 P: @& F: e, }) T, j
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
* D" `( Q1 j1 s$ D10、分治+ M; k' C/ f9 t. t4 W6 N9 R) t
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。5 z. k4 r7 C, o$ D# \; N
5、算法进阶
6 G& S0 n7 W/ X( o$ `6 r算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
" y/ A# y1 O; [+ k& N$ J如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
+ T9 S7 h, z6 S+ R' K这个系列主要分为以下几个大块内容：
) N$ s- n( b/ G0 e/ `9 k" Q 1）图论
1 c& O( W: p6 E. ?7 R 2）动态规划- B$ y- \0 Y4 B
3）计算几何4 A: y. N- r0 _
4）数论
+ ?. {; n$ ~# u1 f 5）字符串匹配: m$ n7 N+ k* r) l+ C
6）高级数据结构（课本上学不到的）) E3 Q2 k4 O7 d0 m& J
7）杂项算法  s0 b+ E) t' m2 M% `  g/ @, g

& ~3 z; g3 ~, {7 p+ r
2 |. w  D9 z" e  D; k  ~先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：' Z) l* o& ^' k" A: {( H

8 q* W' [2 ^' W: Y, j
( d6 f- s; q0 [3 K  ]7 e) u7 i; n. H7 b" B

9 `+ c; c: Z$ u& W1）图论* g- C  C5 s% m
1、搜索概览
' r$ M" N' p, q图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。9 D# E& h' V; J

* W* D- X, @" c4 V
, }: [( W# K$ G8 n; U+ u" r  m比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。* U4 [0 w- d; f
2、深度优先搜索, p7 ~; C- Z8 Y+ l5 W
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
$ a* C4 T# ?$ q: i% J2 y原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
& ]0 u5 u9 _* W" Z) u但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。/ _0 R; ?, v- n9 V& e6 P, T
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
6 p* \6 F% J" u+ p1 j( h$ B# c$ `2 k- K  ]% Y4 v4 A6 X  M
- Y, i* J1 F2 ?: G
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：7 l& N6 h( l' r1 x, m7 s9 z
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 69 ~  e/ P3 N9 U9 N1 `3 f
1
4 g' f) Q% x: I) _1 H/ q! X同样，搜索的例子还有：
& [) k. T$ D! f  F$ ^2 q, k5 r- w2 M

# G' U1 m+ t4 I  f. o7 h$ K: |计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。2 @* y$ K6 {$ K3 I7 {& ~
3、记忆化搜索  _' A* t9 y' z
对于斐波那契函数的求解，如下所示：
3 n! C( y. i* v- v& A/ Q% f9 Uf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =0 B( W( V! F% L
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)# V. A: Y$ S- _' l1 J$ W
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)( L$ p9 O9 N. F2 _5 G7 Q
f(n)= ) U4 ]$ W' w- J/ Z* A- n0 z
⎩; v& e, O2 {; Z+ K
⎪/ ]6 r+ w1 U$ G- {
⎨1 L& b/ D  S( M8 F# Z; }& ]
⎪
" z/ O  Q' e; V! g+ O3 A⎧
1 q) F( k* j9 ^ 1 e% @* o1 N! [- v' [# ?& [' M1 a. ~
  0 c9 z# ~0 K+ s9 n1 b3 v
1
9 _1 a" F5 N# Q( E6 u' m2 n1
, X2 m! o' m5 t( r! Pf(n−1)+f(n−2)' b1 |  t, a( R" v/ a* G; B/ W

# M( w1 J3 ]0 m0 f
% j$ L  B2 ]7 U0 `3 o& W; a3 E(n=0): q- X* V! M9 u  N
(n=1): D  X3 G6 D9 t/ s  I- b
(n>2)/ |) G6 h6 u1 P. ?3 _8 f4 h

" Q( ^" y6 c/ C4 Y! z! k# |
5 g6 ]) }$ L; }2 u! Z7 ~4 j对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：7 K8 n) ]/ E% B3 n, i9 [

& v, v% X6 R  X2 w& w. n& I! z. l3 k5 K" f6 ]+ H7 {3 B0 U. u
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。3 T& \' b) f0 i; D$ p/ R  W
我们通过一个动图来感受一下：
. b+ ]( I% h; z9 ~/ ]' E( I$ s
* K& H2 N0 A: q" q1 p5 g# m; H; x
, T! r$ d' W0 Z当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。5 R4 k6 {, N3 D0 c
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。6 W# F& B" u* ]% Q; }5 h" s2 a
4、广度优先搜索1 w9 G8 Q4 Q8 f9 U2 L6 S
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。* [# c- c- g6 ]9 A
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。$ S" d- l, M7 U9 \. e

0 r" ]' s  R+ x" E: N# o( x7 x5 b1 f/ z3 t$ M- S
6 W0 T1 z9 N" e6 z1 L8 T

8 @! q6 K6 U6 u& Z$ _$ S/ `从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。7 G2 I. N5 g; J; c2 H8 h
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。# ]( F3 n- x: O  M+ [+ s
这时候，算法和数据结构就完美结合了。
+ w& J* T% g3 G( M2 }3 C, t& b2）动态规划
+ w4 |! T* @9 l$ x0 }. x# x动态规划算法三要素：
* \  g7 ^  G1 _3 i ①所有不同的子问题组成的表；# K7 b$ N  L5 e) a
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；* j" E' K# E3 B8 l' n3 V
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
! v/ N# M  ]* W0 x' [# \5 j9 B/ v# E% D5 h, f( e$ t

9 g: |1 u5 m% @. T如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n 1 z2 `7 |% z# [4 \$ w8 J
t
* w- o: P, e9 B8 o )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
7 h) F/ B- ]/ \, X4 R/ ue% b! R3 L1 S+ [
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。6 l  y" D* C% m- T
1、1D/1D$ ^* S) i3 C9 R% @- l
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
' R# C9 L3 j! A2 S1 ~# `d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
" D& [1 V9 t* o' n4 m- [) j, Z状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：, L& F$ L' R6 d# L

2 l6 ?* z# Z& j1 g" ]4 q7 Y. G; ~* j' [4 L% W
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
7 M9 \7 \0 C6 J' m5 {: q( W  X+ i2、2D/0D" x/ V" o$ y* ?$ W! M' _5 L
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
9 c. J& V' n" @d[j]=opt(d[i−1][j]+x " O2 N* ^" E& @3 d# ]3 m: S9 T
i1 C  L- Z% I2 B" Q6 @
0 a4 x7 @2 ^( o' X& V
,d[j−1]+y
. `/ R7 T! [7 j' h7 g9 Hj" q, o9 @; w$ j  j* N  s. q7 N

% X: U% K- o7 B ,d[i−1][j−1]+z * [  m! F6 @! @" T- `$ ?: i  l
ij% E3 L5 @! v9 h7 d/ W' Z

) }  [" |9 c& o, t ); o$ G$ Q; F+ ]# m0 l8 t  v
状态转移如图四所示：
# D5 F: Y( |3 u: J4 T0 X; |. o' C- r; ^7 v+ ]
7 e! `" d; V# a( Z8 \5 y* N
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。; |% J5 a. i0 @3 n% y1 I/ X
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列: m8 E" }: K3 c+ e5 }+ E! b
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离. g6 d) w4 G& S# r) \. D4 M
3、2D/1D
1 m4 |+ n! H) A& p0 Dd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )+ a' y/ f" o& A
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])9 v  d3 A; S, r5 y, }
区间模型常用方程，如图所示：% [% W' N/ B& R/ [2 u
$ Z! Q' y" ?) J) w: \

5 s9 g" p' y" t: l5 Z3 F& j另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
( s5 s* m7 E: w, f# ~5 k5 Ed [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )4 D# M8 O6 `/ h; ]
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
3 E. F% n$ ~  Y* o区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
& b3 w  ]/ c  ~6 V" C6 N4、2D/2D# t$ m, e, j! s$ u7 ]# V' d, o: |
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
9 u8 Q  X# i+ p& M# o$ Rd[j]=opt(d[i
  s2 X/ Y4 M/ j4 }# `) a% B/ h+ {′7 E  v7 [* ]. a5 I% O; r( F* S  B
][j
/ f0 x. P8 E9 c7 X/ ~′" X4 X( {: O6 x
]+w(i
* g6 l$ J$ {" B′
% {1 Y5 M0 f( A0 K$ j6 E  m) @ ,j ) N* _. r! H/ R$ a! {" ~9 r
′
: X) `" f& J- d ,i,j)∣0<=i 7 N8 F) W/ P1 Q% G. f/ y! z8 P
′
) A! T. @2 m( Y+ p <i,0<=j % G1 h$ g% ?+ y4 d. T4 B6 J
′3 ?! Q1 q* X5 Z  K0 P4 F" x5 b
<j)
8 v% i) b/ N- q. Z* l( f如图所示：2 k- P  w7 M1 z
; b/ o6 y0 B" B" d
: k. t' R' E8 {
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。1 p- j: l" P8 P) _* w, Z  y6 Q
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
' r' [; }3 B( o0 x% U' x, ^t+e
; y4 P, L, X8 ?& q* Z3 }: { )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
' q" I  {( p6 ?7 j3 Ft
$ U. y7 W: i6 @) P8 N, w ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。& o! P+ _: p( J* _9 w
3）计算几何! y! S6 q! e; R% a& I* `2 P7 h
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
) ~$ h5 f- J3 w7 A* P如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
% n# a# f2 M6 B1 [1、double 代替 float
: j& T( ?9 g/ }. P- g1 J! bc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
3 n$ v; w' K8 G+ p8 P) f' N& u& t, P2、浮点数判定) y. X. N' q' R  Y2 A' B1 Z7 O
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
2 e0 A0 P! q0 g/ \& K& s, Q两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
( t8 v0 o( z" |const double eps = 1e-8;2 G3 V& s, u4 r) \
bool EQ(double a, double b) {1 h2 K" w) z8 B+ P$ Q  A
return fabs(a - b) < eps;0 f& |" r. k; h. p
}
/ h4 k* s+ }: k+ {; l1
" F, \% f& T" e/ }2
, w' ~5 X& U: ~/ N39 Y0 b/ q! K* B
4
4 K" D/ [/ }' y5 U  q并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
( |- J5 f3 v) G$ W; pint threeValue(double d) {& O: L4 h! t2 ]- p
if (fabs(d) < eps)# c% C8 w/ v8 H: F0 C* s! @
      return 0;7 G8 z1 @# B0 M+ G8 ^
return d > 0 ? 1 : -1;
6 i6 U1 w2 I% ^8 e* Y}
, a4 \+ R; u. d# Q$ l* [6 Q, F9 r% ?1& A% L7 W' T! k) N7 ~( b( d
2; G2 @  `# z  Y; Q1 H
3
' K) s9 `: E: ?& M: W' G4$ x8 L! ~9 V+ \1 E5 R' |; T. p) Z
5; V: Y( N9 @: }3 J  B, E7 W0 N& @2 A
3、负零判定
# N" h  G- S0 ]因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：+ ?$ h4 I9 V* M: R+ S' m8 J# @
double v = -0.0000000001;
  H9 G6 O/ j7 Q% S, ^) M8 g; a! h6 Y printf("%.2lf\n", v);* p5 i, k8 w. i# W3 t
1
) O  `+ D% }3 @6 w; n) |2. x4 ]5 \& p- l' A
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
" h* P+ S5 z) |% ` double v = -0.0000000001;; z4 T+ O# M3 B0 i
if(threeValue(v) == 0) {' k% Y& h7 k: o7 K1 E
      v = fabs(v);: O% e6 u" l% Y/ n4 ^
}* M' C0 @, H6 _4 T1 ~& g
printf("%.2lf\n", v);
2 R  ?! F7 [& ?, _4 G1/ ?2 |% b" {+ y( r* d' L! G
2) n% f- C$ q; r0 L4 o4 e7 h) \. ^6 h
37 S7 C+ U, @& D+ U
40 T1 ^6 ]4 d) P8 G4 K
5, k0 h# c7 M, Q) e' I2 ]
4、避免三角函数、对数、开方、除法等1 a% B" ?0 E- _2 L: K) p+ {8 P
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。0 f$ Q3 y) Q1 e
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
# k) u, ~/ H0 ~( n$ l% X3 h/ F5、系统性的学习3 I2 i4 r* v9 r* I7 J3 F/ @$ |
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
# S* ~9 `* {- t1 d8 n7 k( H0 F进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
, B& |/ Q: D' |* e! F相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
7 b' Y, M' r: |- x
8 ^6 z$ O, C. R- w
% |0 z/ H0 E/ V& w) C( G学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。: p5 B2 P) _" t& U: t: A# d" N
4）数论
/ K# f2 z7 ^0 A# K0 y刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
: t7 X# E# r9 w) `数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
/ i( }$ s0 N4 f- m, ~" Y当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。' B1 x' z4 W9 B2 q1 p4 ]9 i  `& S
1、数论入门0 j6 J8 J. _# U4 F$ O
主要是一些基本概念，诸如：" ]. t$ ~" F% S& I  a
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
# o: X' `! t5 N. \( F# H% c2、数论四大定理
' m9 w! n6 M4 a' c3 }8 o这四个定理学完，可以KO很多题：4 G" h# L% i/ z
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
. o2 f: p1 O: M& G8 u; Y3、数论进阶
( A7 ~7 _( q% \% r; H( e8 u系统性的学习，基本也就这些内容了：2 b' D7 E  z2 A5 I
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
2 F7 j" m) i" U9 {5）字符串匹配/ k4 \, U; D$ f, {
字符串匹配学习路线比较明确。
! n0 ^: C! @' ~+ m' v先学习前缀匹配：字典树。
- a5 S: u- X! H4 Q然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。4 N, U* ^: G  y: ?7 W1 @+ u6 p
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
( }/ J% h) n9 |- l+ E实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。# m7 c( [' ~5 t7 D
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。% m% {& W8 }0 ~# C7 ^
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。% U. Z! J" ~+ J5 w" Z
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
. d. |& I6 v0 ~参考资料& z& G& D5 f1 i. h8 A2 e1 I4 f* Z3 Z
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）- {4 o" A9 v. n& j4 `( A
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
3 o9 t- X/ [& I  q1 S【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）; j" {: `; q$ W4 G! t* i+ Y
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）% B! b2 C+ D" \4 a( R2 h* d
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0 o/ F6 y6 L7 y% O& ^1 P3 T9 R! F) ^8 B) y) ~7 N( a
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