还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法

杨利霞

还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法

前言
8 G  t. Q' L2 V1 N5 ]1 u数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一，包括全国大学生数学建模竞赛（俗称“国赛”）和美国大学生数学建模竞赛（俗称“美赛”）。在这些比赛中取得好成绩，不仅有助于保研、有助于找工作，更重要的是形成科学的思维模式。以下是博主精心整理的两个matlab专栏，包含入门到精通及实战内容，需要的小伙伴可根据自己需求自行订阅。
4 d. n4 w" ]! y

MATLAB-30天带你从入门到精通
5 r( _  i( `  e3 `6 y4 ]) `  b
  B5 H3 r. m7 I
https://blog.csdn.net/wenyusuran/category_10614422.html
1 T# a7 Q6 Z/ ?- ]3 ^8 U

MATLAB深入理解高级教程（附源码）

4 G$ X" H% _8 n9 l( K$ o/ X1 m3 y
8 S0 ?; o" v0 khttps://blog.csdn.net/wenyusuran/category_2239265.html

. K4 k, {/ h" G: Q- r
- n2 P) y" N( e- T在博主的资源中也有各种算法的应用实例源代码，需要的小伙伴自取哟。


$ W0 T5 i! }* o& ?5 K3 d


8 y! [( A9 e% a3 F' O) N


2 P! E- |; O7 o' M* C! J2 Y
! Q( g, q" u! a/ d; B
$ S" I1 o* d) e2 ~" c
8 _* @7 K. a% D$ @
2 N& c- l5 D/ |* U+ P 01  蒙特卡罗算法
7 X' |% m1 j  \, D1946 年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。

0 K/ M) h" D2 U
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

( X' k5 X4 N! [3 Q) B4 u4 @
: m4 a/ u' A5 v! F( `0 [( L由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

7 v! L8 u1 M# U" ?' Y$ x
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：

0 e8 t: U- d, D7 e
# {7 G+ `" ]1 }: O  a- C$ s当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

4 n, e+ [- T- N0 t/ a' G8 B* s
  {8 ^: ~1 h" o  u- Y举个栗子，直观了解蒙特卡洛方法：


: Z8 Z! C" G" h2 p- T, `& S假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如：积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

. Y) H: X) y& N1 V
) H& o1 ~2 s4 k) S8 a+ X, }  M
/ ^$ U7 Q) i0 p0 s; T4 r+ S* e; ]


蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。


, {* t, u/ Y3 s蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：


a、直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解；
7 {. ?, J  P' U4 o0 J" `* H
( g' C9 b" r. V+ U2 q% t
b、采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律；
6 Z# `+ i6 V- T6 G& B

c、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法

, l7 h, u# z$ T$ g* j
5 ]  S5 e+ }7 M5 ?1 A. b等等


02  数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
" ^: O) [! {: k  d# P9 c4 ~' W/ x我们通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用 Matlab 作为工具。
) ^6 d1 x$ k* t+ E1 H

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年 A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。


3 [' N* h, Q& _: Y7 a- ?+ R# {

* `( c  f5 t! q9 V, }7 b
" n' J2 Z0 ]1 l* u0 m
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉 MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
- P4 C: Z3 q, D& j3 p
& ?4 l8 ^" m9 x( K- R
+ R* U; Z3 A1 ~. h& H) X# l 03 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
- O# Q2 l( K* q& V- e& \数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。

# ~8 W- s9 r0 B
6 P8 ?$ I' S9 a0 R- b; v! _遇到这类问题，求解就是关键了，比如 98 年 B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。
$ n+ @. S/ o+ w

04  图论算法
8 P( Y/ @. o. C( V2 v这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。


6 M  ^% }3 V) f关于此类图论算法，可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。






05  动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
; d; E8 b; A5 N- ?4 W# w5 b& F在数学建模竞赛中，如：92 年 B 题用分枝定界法，97年 B 题是典型的动态规划问题，此外 98 年 B 题体现了分治算法。
3 J$ q2 Y) S, J2 o) M& j$ X
- ?+ O$ H7 K2 [$ C0 d1 T+ z
- r9 f& q! _+ u7 u1 g& `7 l
% T* ~! W5 z% p  x! |8 j
, N' ^3 A3 k1 J" J4 U

这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。


06  最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
+ f  Q! W& O* Z  s# w* K8 I这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

, g( A& P& g& F. A, y
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题的模拟退火算法，00 年 B 题的神经网络分类算法，01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。
" V; {: M4 o# S  ?( Y. U, m

还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系，当时是 86 年刚提出 BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。


03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
! f/ C( m. G9 f7 ]2 H2 \7 z

$ v& E3 f$ t! n
" ?) }9 g# j; Z% @5 k6 k

0 [! [/ V1 c, S* E8 j6 v% _
' M1 ~: d0 i7 {* b# }3 S+ T. |

$ t7 w  r4 Z% r1 h, @6 e
) t; h# R7 y; D 07  网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
8 W+ K5 K& t* U+ T4 y! U
) Z) }4 D# y) ~/ M6 ~3 o) P1 N
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点，那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算，所以计算量很大。

) w' G6 ]( M6 Y8 I- E
8 `$ h, C" ]! M" A5 G在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久。
, \# U: A- S( _

6 @! A; w& g: J  b穷举法大家都熟悉，自不用多说了。
4 M/ Z2 ]' z0 m6 o+ @: T; \
* k; V2 d4 ~" I6 `6 f
08 一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
* ?6 a( W0 Q0 P% o9 u

09 数值分析算法
" f; m2 G2 ]- m) @. p2 k7 Q数值分析（numericalanalysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的算法。

% k2 L" a2 l5 x9 ~5 W
- [0 d  w, d9 k/ E* ~: ]如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
1 v( B0 o' b8 G; g& }6 }. V
: y  _) A- N! }; a
* ?" b6 n9 W0 B( u这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
& ~2 Z+ j% {) d7 i2 z- B# ?* C5 Z# E6 C

10  图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算，03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把 MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
( o8 E+ `) X: P4 O: c7 N2 z8 ^


2 N4 D8 c3 h0 Y" e; R* @
————————————————
) Y1 G) k) o( v  l9 l版权声明：本文为CSDN博主「文宇肃然」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
' Q3 q) J. u! F. z8 \0 X原文链接：https://blog.csdn.net/wenyusuran/article/details/114093268
, A& Z1 {, S- F9 F: a/ e- D
% M9 ~8 v7 Z/ {8 ~) X, a0 f
( a# P; i& ?7 [7 ~