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TA的每日心情 开心 2021-8-11 17:59
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[LV.4]偶尔看看III
网络挑战赛参赛者
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自我介绍 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
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还在为数学建模的事发愁?带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法 % p ]3 d: H1 k
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前言 , E, ^- r9 }% a+ R: @
数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一,包括全国大学生数学建模竞赛(俗称“国赛”)和美国大学生数学建模竞赛(俗称“美赛”)。在这些比赛中取得好成绩,不仅有助于保研、有助于找工作,更重要的是形成科学的思维模式。以下是博主精心整理的两个matlab专栏,包含入门到精通及实战内容,需要的小伙伴可根据自己需求自行订阅。
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+ N2 V s4 C" p* l3 Z. u9 `# u MATLAB-30天带你从入门到精通
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在博主的资源中也有各种算法的应用实例源代码,需要的小伙伴自取哟。
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01 蒙特卡罗算法
5 K7 G L7 O. h3 k: j8 @% i( J 1946 年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。 7 s; }3 G8 s2 @# `* G5 i4 n# M
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% k/ d2 e' `% @8 ~( m: q 蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。 ! u" A$ m! @' ?+ @
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。
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: w/ r ^2 `, H 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下: 8 w: ], B- p& }" C5 h
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当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作为问题的解。 0 O! I5 W9 D, R; i1 t+ l6 z
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8 ^$ I+ g2 f; z$ s8 s1 I0 w 举个栗子,直观了解蒙特卡洛方法: 2 K7 n5 [8 h* N& _ s: X {5 B
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) p/ X- [7 v- \2 m 假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如:积分)的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候,结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。
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; m- D& d$ [7 I! b+ L k7 Z2 i 蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的近似解。 G( l( f8 B J5 Z% } A E
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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下: * a3 C i/ I: T( v: i
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% W/ j+ t& s( O! z1 V+ I a、直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解;
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b、采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律;
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c、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法 : \2 e6 c4 K3 `& v- y+ M
: a$ [' Q! y3 `5 I
- h, l) g0 m/ _ 等等
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02 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
& o2 ~ z- N6 Z) A' o 我们通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用 Matlab 作为工具。
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6 |/ V2 y' a6 G3 Y4 h' F 数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年 A 题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。 0 n. Z; X+ P! g$ v# g9 ~! J
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉 MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。 & w& a' r9 ?7 f0 m3 u1 E
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# F- G/ o! {) A5 t& E2 A7 c: \: I 03 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
' D, \: A5 d4 u$ n 数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。 5 Y) O: W2 @$ T: f
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) Q% J; m7 Q. N) v3 p9 o. Q. @& g 遇到这类问题,求解就是关键了,比如 98 年 B 题,用很多不等式完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还需要熟悉这两个软件。 . p5 V/ N+ O9 M
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04 图论算法 8 a; t) c) X& g, I! [& y3 @
这类问题算法有很多,包括:Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford,最大流,二分匹配等问题。
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+ Y1 [9 y2 I8 |) U( \& g1 s 关于此类图论算法,可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。
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: Q A; N# N9 A9 i3 o% I 05 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
, N& Z/ H, [3 [" c& M1 W. v 在数学建模竞赛中,如:92 年 B 题用分枝定界法,97年 B 题是典型的动态规划问题,此外 98 年 B 题体现了分治算法。 / u8 \! {/ V& u( p8 Q
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这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。
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: P' a( g% A# h2 O" c 06 最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
8 i) K% _1 q* a" h1 H 这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。 / R3 y: J- h2 C, N
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在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题的模拟退火算法,00 年 B 题的神经网络分类算法,01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。
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/ q1 U+ D# j5 Z+ }+ g* W8 z 还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系,当时是 86 年刚提出 BP 算法,89 年就考了,说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 # U! f: }. u9 ~4 A. n- i
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03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。 7 ^+ a3 K8 h" A; K, L
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07 网格算法和穷举法 6 i- [) e& z( H, O
网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。 1 |$ P6 P: L3 {
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比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点,那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算,所以计算量很大。 ; F( m# x5 ?" I. v4 j
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" }- u0 x4 }' d9 q) b 在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用MATLAB 做网格,否则会算很久。 0 g- v) O+ t. D+ L8 f5 s6 I. F
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穷举法大家都熟悉,自不用多说了。
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08 一些连续离散化方法
) C1 m* S6 q' H0 Y4 n 大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。
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这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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" Z( k8 X s# ^; E' _- b9 W3 G9 B2 u 09 数值分析算法 ! b9 \1 G9 E; }' T
数值分析(numericalanalysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的算法。
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如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 , ]" Z/ L* J& R& M) m
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' d4 p1 a2 p: m6 O7 x1 y 这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB、Mathematica,大可不必准备,因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。 + y. ~' C* H1 k# D% J
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10 图象处理算法
# C9 I8 V/ H, a4 i% L8 l 在数学建模竞赛中:比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算,03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示,因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把 MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。 " T" r, P) T$ ]/ \. Z( v/ u% q8 R
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