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还在为数学建模的事发愁?带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法

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杨利霞        

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    开心
    2021-8-11 17:59
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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

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    1#
    发表于 2021-7-9 17:26 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    还在为数学建模的事发愁?带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法! a  J! k! U4 |, S
    $ Q# \5 a: s3 Y! n4 h  V
    前言
    8 G  t. Q' L2 V1 N5 ]1 u数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一,包括全国大学生数学建模竞赛(俗称“国赛”)和美国大学生数学建模竞赛(俗称“美赛”)。在这些比赛中取得好成绩,不仅有助于保研、有助于找工作,更重要的是形成科学的思维模式。以下是博主精心整理的两个matlab专栏,包含入门到精通及实战内容,需要的小伙伴可根据自己需求自行订阅。
    4 d. n4 w" ]! y$ g# o; A" V! \' G8 g
    0 v$ q& D0 g7 x
    MATLAB-30天带你从入门到精通
    5 r( _  i( `  e3 `6 y4 ]) `  b
      B5 H3 r. m7 I
    * W# c- ^' j( T4 A* b- y8 R( C5 I  }
    https://blog.csdn.net/wenyusuran/category_10614422.html
    1 T# a7 Q6 Z/ ?- ]3 ^8 U" E0 e/ Y0 v4 [  E2 ^) z4 i7 w
    * s( Q& a- S& M& o& J$ N* r2 d
    MATLAB深入理解高级教程(附源码)# _5 ?& H) M6 E9 W: I7 G+ n/ r

    4 G$ X" H% _8 n9 l( K$ o/ X1 m3 y

    8 S0 ?; o" v0 khttps://blog.csdn.net/wenyusuran/category_2239265.html- m5 ^; o% ~/ I

    . K4 k, {/ h" G: Q- r

    - n2 P) y" N( e- T在博主的资源中也有各种算法的应用实例源代码,需要的小伙伴自取哟。8 R6 j# p/ ]  v7 r" C
    7 Y9 E& ~, Z7 _/ n: X' e

    $ W0 T5 i! }* o& ?5 K3 d 7 F4 q3 T. f7 V. U
    . ]' [2 A. i6 A' R

    8 y! [( A9 e% a3 F' O) N, w, s" t0 o3 P: J5 K- J
    ! g* n! y: ?- a' X) r

    2 P! E- |; O7 o' M* C! J2 Y

    ! Q( g, q" u! a/ d; B
    $ S" I1 o* d) e2 ~" c
    8 _* @7 K. a% D$ @

    2 N& c- l5 D/ |* U+ P 01  蒙特卡罗算法
    7 X' |% m1 j  \, D1946 年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。% L8 c5 e$ g5 W

    0 K/ M) h" D2 U
    3 a, o. j* [+ p- W+ |( J8 m: Z
    蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。0 V0 \) H! n2 n- Q" b, k, s5 ?7 n3 u

    ( X' k5 X4 N! [3 Q) B4 u4 @

    : m4 a/ u' A5 v! F( `0 [( L由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。4 H1 i6 t+ u/ k5 p  I2 M

    7 v! L8 u1 M# U" ?' Y$ x
      a* [4 ~/ p# I# Y* b  k
    蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:& u, N0 c5 r7 N& k

    0 e8 t: U- d, D7 e

    # {7 G+ `" ]1 }: O  a- C$ s当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作为问题的解。0 V! M+ o8 V& I$ B

    4 n, e+ [- T- N0 t/ a' G8 B* s

      {8 ^: ~1 h" o  u- Y举个栗子,直观了解蒙特卡洛方法:3 m9 P" b8 C1 J
    2 b. n! f3 S) Z' h) c3 B

    : Z8 Z! C" G" h2 p- T, `& S假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如:积分)的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候,结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。; D* g/ U! ~' ?& T, n1 R

    . Y) H: X) y& N1 V

    ) H& o1 ~2 s4 k) S8 a+ X, }  M
    / ^$ U7 Q) i0 p0 s; T4 r+ S* e; ]
    $ _1 M3 J* k1 s
    8 ^1 V" q3 H9 f! r& t
    ' R( r. F2 H- ^3 T
    蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的近似解。7 z) |/ F5 y3 g. X7 y* m* W
    6 s6 Q- w; `+ t/ [8 P

    , {* t, u/ Y3 s蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下:7 E( i' N4 P# X9 }% _$ i
    & E% p" l. m# P. n  w% X* V
    & u! f7 S! X; ?5 L
    a、直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解;
    7 {. ?, J  P' U4 o0 J" `* H
    ( g' C9 b" r. V+ U2 q% t
    ( G6 o8 a- Y) B
    b、采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律;
    6 Z# `+ i6 V- T6 G& B* o2 V' c# S9 V6 {. V% c
      q6 u7 ~% @8 S% s3 Y
    c、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法4 M& G* A; X2 K5 p) I7 c! C6 \+ F

    , l7 h, u# z$ T$ g* j

    5 ]  S5 e+ }7 M5 ?1 A. b等等. G+ i% }( f' V+ o: Z' c
    5 L; P/ a2 e' F/ x2 j' `
    ' m3 g  a5 `4 a6 |
    02  数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
    " ^: O) [! {: k  d# P9 c4 ~' W/ x我们通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用 Matlab 作为工具。
    ) ^6 d1 x$ k* t+ E1 H( l( d$ d! e/ `4 u5 ]$ m5 @
    4 W) t* _/ _9 {# s( s% [1 o
    数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年 A 题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。- I( i9 q9 `5 y( `
    ! r& P4 |( s0 H/ V

    3 [' N* h, Q& _: Y7 a- ?+ R# {7 |& P. B( r4 e- P* [

    * `( c  f5 t! q9 V, }7 b
    " n' J2 Z0 ]1 l* u0 m
    # y, E9 A2 U$ \* g1 l  D' S% W
    此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉 MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。
    - P4 C: Z3 q, D& j3 p
    & ?4 l8 ^" m9 x( K- R

    + R* U; Z3 A1 ~. h& H) X# l 03 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
    - O# Q2 l( K* q& V- e& \数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。! g9 D' r& r3 ^2 ?$ b* L

    # ~8 W- s9 r0 B

    6 P8 ?$ I' S9 a0 R- b; v! _遇到这类问题,求解就是关键了,比如 98 年 B 题,用很多不等式完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还需要熟悉这两个软件。
    $ n+ @. S/ o+ w# G: k4 U: L  R& I- F
    % ~5 b, R3 U1 T( j4 i2 r1 _7 x! }
    04  图论算法
    8 P( Y/ @. o. C( V2 v这类问题算法有很多,包括:Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford,最大流,二分匹配等问题。  h% D0 s9 a, y8 {7 g# h
    ( k) {' a8 P3 G+ e/ Q5 g

    6 M  ^% }3 V) f关于此类图论算法,可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。4 v$ h0 K% d. ~& H- Y' d& B
    1 n- a* W' y! U- \* m8 E/ k
    ! S4 O" }& l) g$ {, K  |
    % a$ N9 f$ O  N' T. |
    , F/ N# F* c" y1 G: ~$ |6 ?
    + G+ d- g4 ~% J( T8 Y; b9 p1 C- c
    + x* x. p4 }0 v, F
    05  动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
    ; d; E8 b; A5 N- ?4 W# w5 b& F在数学建模竞赛中,如:92 年 B 题用分枝定界法,97年 B 题是典型的动态规划问题,此外 98 年 B 题体现了分治算法。
    3 J$ q2 Y) S, J2 o) M& j$ X
    - ?+ O$ H7 K2 [$ C0 d1 T+ z

    - r9 f& q! _+ u7 u1 g& `7 l
    % T* ~! W5 z% p  x! |8 j

    , N' ^3 A3 k1 J" J4 U' |+ C! a  a& }" R7 b9 D
    $ `" x7 c0 e8 K
    这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。. @4 e4 K6 [" ]' L- u
    - o) T& D; z' _1 V4 a7 n4 b! [6 x
    ' G. s1 L7 y5 J1 L0 }
    06  最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
    + f  Q! W& O* Z  s# w* K8 I这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。" T% D  n  B) ^. m( i' K+ ]

    , g( A& P& g& F. A, y
    ! N0 @1 n- F6 B
    在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题的模拟退火算法,00 年 B 题的神经网络分类算法,01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。
    " V; {: M4 o# S  ?( Y. U, m! x9 ]" [2 N0 }8 [8 f
    & ]( ?0 V6 `- d* A! _
    还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系,当时是 86 年刚提出 BP 算法,89 年就考了,说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。7 ~4 w1 n+ v( t3 m) t
    ( t8 ]* @" w; ~( G
    ( u/ y' r8 x) v9 y  p. n9 l3 X
    03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。
    ! f/ C( m. G9 f7 ]2 H2 \7 z8 G2 N" b" k% F

    $ v& E3 f$ t! n
    " ?) }9 g# j; Z% @5 k6 k
    8 T6 B4 o4 Y* g+ f2 g

    0 [! [/ V1 c, S* E8 j6 v% _

    ' M1 ~: d0 i7 {* b# }3 S+ T. | , _5 s! P$ h# G9 t

    $ t7 w  r4 Z% r1 h, @6 e

    ) t; h# R7 y; D 07  网格算法和穷举法  S  i7 r5 x0 k
    网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。
    8 W+ K5 K& t* U+ T4 y! U
    ) Z) }4 D# y) ~/ M6 ~3 o) P1 N
    + c( q* t9 _( P/ R* X3 C, S
    比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点,那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算,所以计算量很大。' u7 O, |/ h# j$ Z) G  i% d

    ) w' G6 ]( M6 Y8 I- E

    8 `$ h, C" ]! M" A5 G在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用MATLAB 做网格,否则会算很久。
    , \# U: A- S( _2 b! S/ F  W* J; C

    6 @! A; w& g: J  b穷举法大家都熟悉,自不用多说了。
    4 M/ Z2 ]' z0 m6 o+ @: T; \
    * k; V2 d4 ~" I6 `6 f
    4 a6 [) v' n) s$ e/ J1 B
    08 一些连续离散化方法  \4 d  @+ U8 a3 `- R2 C8 H7 Y
    大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。. s  L" O* G$ N: v% q
    ) O: ?7 o$ N8 s9 l7 c- h4 ?- M  W
    & T9 |( D- ]/ y' H9 @
    这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
    * ?6 a( W0 Q0 P% o9 u$ g3 ]5 _. `: d" @
    - h6 l# m+ l) z5 ]4 x3 e9 s
    09 数值分析算法
    " f; m2 G2 ]- m) @. p2 k7 Q数值分析(numericalanalysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的算法。( h" q  ^6 H' r: ~' K

    % k2 L" a2 l5 x9 ~5 W

    - [0 d  w, d9 k/ E* ~: ]如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
    1 v( B0 o' b8 G; g& }6 }. V
    : y  _) A- N! }; a

    * ?" b6 n9 W0 B( u这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB、Mathematica,大可不必准备,因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
    & ~2 Z+ j% {) d7 i2 z- B# ?* C5 Z# E6 C6 i! r& R& z; w
    ( f' B/ p3 p" c* O3 P
    10  图象处理算法1 I- [/ X$ O# ~
    在数学建模竞赛中:比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算,03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示,因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把 MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。
    ( o8 E+ `) X: P4 O: c7 N2 z8 ^9 W- C5 f9 i1 R+ v; }3 b2 |- V
    ' T/ h0 F4 r! N3 o4 F( y1 R+ e0 a7 l; ?

    2 N4 D8 c3 h0 Y" e; R* @
    ( a( N; O0 ?: A5 H4 |: P8 N  j/ B
    ————————————————
    ) Y1 G) k) o( v  l9 l版权声明:本文为CSDN博主「文宇肃然」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    ' Q3 q) J. u! F. z8 \0 X原文链接:https://blog.csdn.net/wenyusuran/article/details/114093268
    , A& Z1 {, S- F9 F: a/ e- D
    % M9 ~8 v7 Z/ {8 ~) X, a0 f
    ( a# P; i& ?7 [7 ~
    zan
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