KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。

, j$ G: j' J3 I) f' U
提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
; K* Y$ w. o* {$ w! K　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
9 T: j$ x" z5 C8 L　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
# e) I7 Y# B0 k4 c2 m' V　　
7 M. u+ F% I% K- L+ X6 b先上代码
8 _# n) Q0 o- u

void Getnext(int next[],String t)
{
   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
. i' @- L: q9 B6 I0 `1 t   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
" i- a! I! E& Q9 [, v9 S- O& K      {
; E$ b4 X$ Z5 T         j++;k++;
         next[j] = k;
9 u1 J7 w: H" O* g9 N% p. g      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
}
3 r& t/ [& K4 ]! k
, _3 U- ~+ @* h) Q3 Jok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程


特殊情况
+ T" U( i# h7 m% Q0 g当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。


, w7 c0 c( }  _4 n: v当 t[j] == t[k] 的情况
" {) @9 U' t- h% L7 h举个栗子
) v- X9 d8 D3 d8 \" @
观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。
6 _1 Y- p% Z. ]( J6 w7 r
! h1 g6 }0 L. f+ v$ `( g; F
当t[j] != t[k] 的情况
8 j. X. r# d( u; B: y7 e' {关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
3 n! ^# @6 Q9 f* t: L
. Z6 n7 R; b% \6 ~: c* t2 v
我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
6 l4 g& [& Z4 _$ P8 Q在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
9 P% Y2 V5 R# [+ x: ~: n  p) J6 o- |
　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。
9 M! U- z+ \2 K- a/ F; A

至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
/ {7 P& w. N9 d  l+ _

因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


2 J  _7 o  g$ m/ Z( _& b再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了

. b& W1 D/ b( X  O, R
: K$ ?# f, z$ ]KMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例
8 v# N8 f* L6 K
上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

3 i3 }* [7 J7 y/ M2 ?根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。

  t2 B7 R/ F9 L' N' w( Q- }
9 W0 P+ E2 c7 k7 H9 ?, x都明了之后就可以手写 KMP 的代码了

/ e: E. t  H# d0 Y, K1 R# C* V7 b
. I& {# X6 h" J2 lint KMP(String s,String t)
{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
1 |, z/ L9 E* ?  `+ @' C9 V; m   while(i<s.length&&j<t.length)
7 H9 W2 D/ I. I   {
; l; X6 x/ n5 e2 H% z4 E* a8 P9 f      if(j==-1 || s==t[j])
9 D( w2 m7 u3 L, c4 }      {
         i++;
         j++;
      }
2 D: v* }- R5 V8 H2 ~! K      else j=next[j];               //j回退。。。
   }
   if(j>=t.length)
       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
( g1 w/ k6 p  `! G' }+ `   else
      return (-1);                  //没找到
$ h) m6 r! @0 e+ q- L) {- }, q9 U}

- N" }$ j  a0 O$ f# ^: U改进后的 next 求解方法
先来看一下上面算法存在的缺陷：

, L/ |( Q' ^- K7 R! V+ z3 I. D显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

1 [: }0 b1 w; l, B6 e
所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

# g* n" n, |) f  d* g不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
8 j1 c: W; ?8 h9 v: |" g+ I
( v: W  M9 C# B" F8 G0 U& @. U
显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
+ H. Y" Q1 [! S# T' h3 H; ]
) q' |$ N& {% c0 h0 T
; [- |% b) Q2 l1 s% [所以我们需要谈价一个判断：

. l4 x9 P6 `3 `7 z  j+ l4 m% f
, Y6 Q% J# P  R: Rvoid Getnext(int next[],String t)
7 S( G' X' O( H: d& e3 {3 x. c( P9 b{
' |3 P* }3 z+ k   int j=0,k=-1;
! q) ~5 l/ B; O# P. }* S1 S   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
   {
- b1 Y9 h, Q! S' H' t- M6 G( M      if(k == -1 || t[j] == t[k])
1 ~* g5 R) d: o9 F( @- l, N. f      {
; ~& _% q) K; @6 l9 _2 \6 M% [         j++;k++;
/ z8 c& ~+ ~: o7 L' F& s& j- Z. R         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
- j+ P. @( A3 }1 A            next[j] = next[k];
         else
+ @$ u$ p( W0 I! Z            next[j] = k;
- @8 n* Q. S* v0 t1 I: g# v      }
8 Z  }# d+ N* F5 `7 q1 h; L      else k = next[k];
   }
}
! f, v2 o# V, Q7 `1 J6 z+ I: E————————————————
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) s1 ?- Q) A' A* W