KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
2 L" |1 @* [1 {0 L2 r% w. F5 g4 a7 s
) D4 R" X/ N. @1 |; l+ p  c$ e
提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
3 {3 W, [5 a4 ^# r% t4 C9 n　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
% W# Y- F5 f1 b4 A5 U6 G! n8 _* K　　
先上代码

$ D2 i) ?; O! v& X+ H
3 j9 c9 @. m/ R! w& Ivoid Getnext(int next[],String t)
9 W7 ~8 t/ V+ X0 J6 e$ H{
6 T9 @/ d7 Q/ @; I, ~   int j=0,k=-1;
- A( B7 [) c: _1 |   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
/ E5 z+ e1 E7 `" W( W8 Q. R! f   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
8 X7 B) q3 S0 R+ n% j      {
1 z7 D6 ?9 y8 `* x2 Y9 F# k         j++;k++;
5 m% a" K6 A  R5 d9 Z; Z         next[j] = k;
, j7 |- M0 b6 P# Z      }
9 w) ?3 M8 c. e4 j+ S, A. g9 i2 K      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
+ V5 ]& N% v4 [' M   }
5 a# [& f. y( t! _7 q}

ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程


特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。


: j4 o0 ~; F' l, Y8 `+ b当 t[j] == t[k] 的情况
2 q0 R' R! T: G: U, d8 k1 V举个栗子
+ d- b5 N, ?* |! T# ]5 x; K
! F! |! y9 O3 m' T* @6 W2 ], y观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。
; H! [$ Z+ n4 {6 S6 j

0 y, T$ |' ?" q; o# s当t[j] != t[k] 的情况
关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
" F" y/ H" U/ D- F- S

( a5 b7 b$ t7 M2 C& g% [/ x1 x9 M我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。
+ p. f" s2 x1 m: t. Z% l
7 G) `  z: I  }
' i: k9 o! u9 e3 J至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
1 V7 a+ {, M2 `- [
3 y! k2 i2 B6 ]6 @; f5 H# K& c& G
因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。

( h5 e# E# _3 [1 [$ n9 i) @" i6 h( a! c7 _
' E; {% O& V, h8 a9 _再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了
' x8 Q( Q, u9 A4 B7 v3 P
% @4 n+ H8 w: c& V
+ C/ \5 m& e- a! ~9 NKMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
# j, S# v& t  ]  F8 ?
6 {8 G/ o2 E: e6 H* @
2 J; w1 v0 I# ~, N2 }, b0 e; Q都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
/ o/ k, }7 k/ I8 e

int KMP(String s,String t)
- {0 B6 a: l* m1 q" ^& d" r6 f{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
; ~) G: i2 P4 n   while(i<s.length&&j<t.length)
4 P- V# J% l' X2 h, ?( Y7 q5 G5 q   {
$ v. z) E4 K" E& |# c" P9 L1 h      if(j==-1 || s==t[j])
      {
         i++;
         j++;
: G( r& E  o* }9 k      }
      else j=next[j];               //j回退。。。
, U& w6 O- n) q  w7 P2 g   }
   if(j>=t.length)
       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
   else
      return (-1);                  //没找到
}
$ H7 J4 x; [4 p& S& F: x; Z
! N; ?5 b. {$ Z  ^8 u, Z  L改进后的 next 求解方法
% p; M" _9 N3 E7 j" G3 \先来看一下上面算法存在的缺陷：

, @1 E1 k8 `0 q, P' }3 ?7 e显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

2 H/ s" ]' |, ~) {$ m
" X- |5 }2 o: C2 x. @+ D所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：
; g# n& X. `& N) ~0 O. a" ~# ]' `
( X+ B4 y& j; M* y! P3 Q不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
0 u( s' U" ]  t& Z) z

显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
. d! _+ ?9 x& f

所以我们需要谈价一个判断：
* z- Y, a- ~7 A( S5 l3 `: X/ P
) s& x, b; D% l& J+ b2 k' K  G
" ]# l+ J+ v+ svoid Getnext(int next[],String t)
1 c/ n& z5 ?, N1 ]9 L6 s# m{
   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
1 {  T) H8 ]8 y' x) a% j+ L# F# {   while(j<t.length-1)
3 w9 d' u! Z, M8 m; J; \   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
         else
5 D) D9 L7 ?' j7 q8 j# E5 B            next[j] = k;
4 p& M+ }. ]5 z2 v; B+ M      }
      else k = next[k];
+ p+ o! v! U; S& y- ^   }
}
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