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【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

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杨利霞        

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

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    1#
    发表于 2021-12-25 12:02 |只看该作者 |倒序浏览
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    【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总5 b) j& x3 V+ `8 P2 e
    一、蒙特卡洛算法# \$ q; \7 i. x! a4 Z
    二、数据拟合( F+ g7 D9 `. n6 j
    三、数据插值  e6 e9 P- M& u  V4 P: e
    四、图论, {" ?3 k( c# x
    1、最短路问题
    8 F$ w- R2 E1 g! y" [# S5 b(1)Dijkstra算法
    2 ~3 d; J6 n+ E; ]7 g# Y8 D(2)Floyd算法
    6 t  n( b3 z" }; ~2 v) ^4 p$ |" h. D, u8 N2 v
    $ N% d' p  \) p) ^8 h: h
    . S( {. ~7 T( e0 `
    : T0 m8 ^- ?' t
    一、蒙特卡洛算法7 ~. F. i. S# X+ W& `9 h  I
    1、定义
    2 k) Q) M1 F  V  C
    4 P$ v' z. d# b* C4 |' }  @5 K
    , r4 j1 {6 k  C% ~3 t9 \
    蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法,将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解,故又称随机抽样法或统计实验法。
    6 @# G- e% z7 H. ~8 f0 b/ K
    8 {9 _+ S! E; f  M+ c

    " W9 ^$ t* c0 L# z
    6 l6 \0 H' O0 ?! U

    ! W& k7 A# S9 T$ [& W% [2、适用范围
    5 R; f- ^1 ~$ K# [: }7 Y
    1 `& E( [9 c  N8 Y9 _. C

    8 `+ {* E( v% b+ e可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
    2 X. W, S3 `* P  x* X/ M) f$ s0 ~/ K$ Y8 p
    $ y& I- \6 T$ h$ A- Q

    ) D: c7 Z3 g! \3 \

    2 U% M# B, N5 O6 V4 ^" n3、特点, q; @3 B2 Y/ G9 C$ B5 w% I4 _  u! h
    7 F! E' Y9 N) O& i
    ( C+ z1 {" q# O! \# {+ h" j8 {
    蒙特卡洛算法可以应用在很多场合,但求的是近似解,在模拟样本越大的情况下,越接近于真实值,单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说,蒙特卡洛是个笨办法,但对于许多问题来说,它往往是个有效,有时甚至是唯一可行的方法。
    ( D% a4 b) R: N; s1 n. Q, ?2 u% e0 x! d4 ]7 V: j

    9 d0 z& Z% m5 T5 Y
    ; d$ V3 u4 R: n- V  C2 ^
    2 J/ U6 f/ k0 q$ P# _
    4、举例; T6 [8 d% [7 _6 n$ ~8 X% m' x' f

    # g: b" a, B$ |8 |: `# A2 @

    7 P# C9 v, Z3 J! w% w, ny = x^2 ,y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验,求该图形的近似值。( Z" T$ W6 l' [; H
    " [6 ]- O( I; ~* [% R; X

    7 c2 c# W; _8 h7 s+ Q- B
    9 E3 Z' o& e& f0 ?9 F
    4 n) ^% P1 Z( ^; B% B
    (1)作图: @! R7 V( o- ^& V5 m# O, a+ B) S

    8 C5 ^  P0 i* F  _  q, f% L2 l8 k4 G

    6 C" V, ]9 _4 `' e2 a1 I5 _9 ~Code:
    ' \) e/ v0 k6 R# ]8 R! @2 m2 l2 d4 s1 A2 M+ k; q( ?5 {

    ) D5 `3 S' V6 M; O1 x+ U%作图9 C# p  O6 \0 u* h
    x = 0:0.25:12;; |) k: u& D; l, z2 j* E* L: p
    y1 = x.^2;- }( E. `9 `3 S+ f# F/ \
    y2 = 12 - x;
    ) }% ^+ [+ g4 D) |$ e4 vplot(x, y1, x, y2)
    1 q4 F) B. L4 `" C. I  cxlabel('x');ylabel('y');
    # d" B7 f0 I+ z: Z2 j- d% S%产生图例
    # {3 o) n* I' t8 clegend('y1=x^2', 'y2=12-x');
    . \0 u" P# K0 j: Y6 ~# Gtitle('蒙特卡洛算法');
    ! q( G; ^, J# T3 b; f: g& e5 |%图中x轴和y轴的范围,中括号前面是y轴范围,中括号后面是x轴范围
    7 `4 q5 U6 i8 x( B) y" Baxis([0 15 0 15]);. ^# ?4 g5 p% `4 w" u( v
    text(3, 9, '交点');: E0 y& L) b5 v$ S( Y
    %加上网格线! S+ _. E  i% t
    grid on: \- F/ g7 U. K4 Q# h0 t- }! r
    1
    - M0 ]. p8 ~4 K( K2
    ( m+ D0 V5 n2 |/ U" W7 S) C+ p4 i3! h- F' i' y: K" d
    4
    * t- F3 X2 P! M6 B5
    3 D  G; l; E$ w) d& E, w6 V6
    " ~5 y5 H6 C( K7% A( p/ b3 i& Y; C. b! o- ^
    88 c8 u6 y* v% l+ m+ r( k
    92 C3 [. K9 M" r7 t" R$ `/ j1 G, E
    10
    " i& t5 B: M! k: Y- G2 D, y& n11
    8 I0 e; {- ]6 {1 E4 J126 j' i- B5 l9 ~! q! V4 s
    13
    , ^: G1 l; p9 v" t14
    : I; c, |3 J: K2 p2 u' r% W! I7 j& N0 I; `
    # C8 _/ i+ j) r' U* H5 l; T
    (2)设计的随机试验的思想:在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点,统计随机点落在曲边三角形内的个数,则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
    ! X3 i4 Q! q  V7 d
    8 {" q0 {' H- `8 z! u- t
    ! O1 L. r6 S" b) d% I' f
    Code:) a+ f6 K# H* A8 n3 C
    0 m% K, z- E; j7 ]- w. g

    4 g8 v7 D7 Q9 {. Y4 q$ r%蒙特卡洛算法的具体实现
    0 P$ q; N( L. x  A2 p%产生一个1行10000000列的矩阵,矩阵中每个数是从0到12之间随机取& Y7 G6 c# ^4 y6 [7 O5 ~# g
    x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);6 J, I3 T, N$ g, u+ k
    y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);# t% r: _7 f7 `) W) i! [
    frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
    8 I7 [0 k' x* Sarea = 12*9*frequency/10^7;, T* U( ?' h) ?* {
    disp(area);1 Q5 v% i! q( j0 i
    11 P# o" K" D. O
    2
    ) Z* S# X7 K# S2 O" l8 E3, k; K3 L8 a. E7 D6 F4 A
    4
    2 N, f( M/ b# j# m' V2 C, n  M/ w50 z+ D& @/ ~5 `% X7 x1 N
    6
    8 `3 K- m% j9 w, b4 e: P; E+ U7
    ! _) l, w: }7 A. F+ t/ e所求近似值:
    ; E! y# ~2 t8 [6 B. m. k& z8 {! ]1 E* A; E
    7 Q# q' W* u" d8 u3 C

    ) n+ ^& J: w0 m! Y2 o

    * [8 K, e# E6 |0 G# U% T( D: e6 ]( \, z; r% r

    : O* T  j  U6 e4 Q9 S参考博客:https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/504788986 L  J$ ^- O6 M3 l( S1 c4 V( a

    " K, L% w6 X2 w. R6 V1 {

    ) d* i/ O. M# I; v4 w) j! w% D7 c9 A7 v1 g

    # B+ B' @. W( O5 z0 _! ?
    5 [- D5 L3 t/ V2 d% B! W
    ' H* Z. T( w" J) S& r8 S3 i
    二、数据拟合
      Z' j! K, O' X) i1、定义; u6 M# Y2 @* f4 u& s! O

    7 M+ u9 K1 q( q- j

      P; Z2 s- @3 e% m' t4 L已知有限个数据点,求近似函数,可不过已知数据点,只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小,从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
    6 ~3 Q" G: e& ]" q% Y' a  T1 f+ x& c, t0 M

    4 x7 [0 Q+ m9 q5 J" p) K- b1 F( T; H; D& t/ S
    6 O; d( L$ K! @4 n* U- k' A, ^/ Q
    2、常用方法  h; s9 o- @  y% [3 }$ n
    3 |2 v% T6 b7 F: s! E/ P' J
    3 D7 I# @1 Z3 J, q1 f% I
    一般采用最小二乘法。
    2 U+ t4 K0 r2 n( M& E0 y& j拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数,主要是多项式拟合。) T. k. M3 A7 q7 T

    3 J3 i0 ?. _: ^0 J" c* |
    , \# Y# N: r# N
    3、举例" I* L5 M' S  A- J. h1 J

    5 H4 p) W# |$ m% C! U

    8 v- w2 d& F: G2 t2 n(1) 数据如下:
    * m  h# l' B% ]( _8 f% ?& |, y5 ~" @  ?9 D& M" Z+ I

    & P8 B2 j# q9 a0 u6 y   序号         x         y       z1 \8 p9 w! L. P) U/ C8 r6 `$ m
            1        426.6279        0.066        2.897867: \$ F" R3 l3 `+ E- B
            2        465.325            0.123   1.6215692 y1 }7 q9 ~& }- ]3 a
            3        504.0792        0.102        2.429227
    0 D3 I0 X) `1 a* n8 R7 R        4        419.1864        0.057        3.50554. U3 k: D5 n" w3 N" _' p% z7 p
            5        464.2019        0.103        1.153921
    3 }* t3 M' d$ t" z) \        6        383.0993        0.057        2.2971692 M, a: r9 {7 n% Z/ e* o# s
            7        416.3144        0.049        3.058917  X9 [( }/ l# q4 D4 [1 Q: O
            8        464.2762        0.088        1.369858
    5 w) n6 Y# _- d7 x" Q. l5 @        9        453.0949        0.09        3.028741
    - _$ O/ w# J7 h( ]* j5 q0 W        10        376.9057        0.049        4.047241  j  h# f4 U& O' K. b) h
            11        409.0494        0.045        4.838143
    7 V# {: ^/ I7 K2 e. g        12        449.4363        0.079        4.1209734 G& t7 l0 i' }% @2 r: a- q
            13        372.1432        0.041        3.604795
    ' V( D* ^3 r% u        14        389.0911        0.085        2.048922
    : c4 G% R( l) ~0 v: W2 g: W        15        446.7059        0.057        3.372603
    3 n8 ^8 f  m! {2 [- u3 \" g# F) F! C        16        347.5848        0.03        4.643016
    : ~  F- o. E, Z. @( R8 \        17        379.3764        0.041        4.74171
    3 J3 V  H( c! K. p9 }( w4 f        18        453.6719        0.082        1.841441
    $ c' L3 i* `  N9 u        19        388.1694        0.051        2.293532& a7 A: h2 A% p( @
            20        444.9446        0.076        3.541803
    ) F0 q& X# o1 Z4 ~+ N        21        437.4085        0.056        3.984765# d6 K3 V" R! l0 o& g7 _( g
            22        408.9602        0.078        2.2919679 N4 k: R/ k8 j0 N
            23        393.7606        0.059        2.910391
    ; ^! a' V& |/ t8 ~; m3 G  U        24        443.1192        0.063        3.080523
    % d2 A: T/ Y  p$ L% t1 t5 s        25        514.1963        0.153        1.3147499 m0 P2 \4 [) C' @
            26        377.8119        0.041        3.9675846 k  A% U, x# e1 k* y' ~7 ^. q; R
            27        421.5248        0.063        3.005718) X* |/ _: {( w  t, B' i1 n
            28        421.5248        0.063        3.005718
    4 c) L  g- u7 D& e6 |        29        421.5248        0.063        3.005718  L+ S0 ~  n9 g3 H
            30        421.5248        0.063        3.005718
    : Z/ E8 B! j9 Y- o* U        31        421.5248        0.063        3.005718
    , S+ L6 O/ i$ H2 h        32        421.5248        0.063        3.005718
    : R% R$ F0 R6 K        33        421.5248        0.063        3.005718. O4 p9 b7 ~  d; e3 j# Y5 ]1 C4 V
            34        421.5248        0.063        3.005718: A- O) n: a; c
            35        421.5248        0.063        3.005718; \. a& B  ?3 E
            36        421.5248        0.063        3.005718* g; @0 h4 v4 O
            37        416.1229        0.111        1.281646; |+ G1 A9 t5 a* \
            38        369.019            0.04        2.861201
    : t: w  P1 R& p4 a& V4 y& Y3 |+ W        39        362.2008        0.036        3.0609955 ^( P& D; @4 q7 K6 N- z- {
            40        417.1425        0.038        3.69532# }  ?' k/ {% ^9 q5 t7 T" O
    1
    * Z2 b) n! V. G( l, R& z7 b) D4 }2: ^# v& P2 b* f* x2 b
    3/ L! i) m1 b+ ?. q7 ]* X
    4& R  `; o9 j2 F, X. _* ]) \7 i
    50 m" x! N8 ^: c9 V
    6
    ( i2 w  ]# u! E7 N1 @74 n, }: g/ k' w
    8
    0 \7 p% {; i; y0 Q8 k4 Q/ Z91 L3 u+ t" ?- F5 \/ i. Y2 q/ C
    10* T& \6 x9 r1 j' }
    11
    ; f% ]% f3 v7 p128 p4 v4 p9 E" B. s5 M! d
    13$ M( g9 z4 U5 \4 X- a/ K
    14
    : o* \4 |% T. G15
    3 l; j; o& ]- n) A16
    3 @- |# v. B) C' E- R17& A4 ^7 o9 b9 Q7 J
    18$ n% \8 b& C3 h# `2 Q
    192 V6 q( t6 k3 ~* g/ y0 N
    20& c% p0 }8 k8 @9 t0 R
    215 _! _6 y- _' k( `, I" w
    22
    9 e, N: P1 `0 s5 C& \5 u7 `23* B0 o7 F: f6 L1 r4 G$ i
    24' Q: @& ^$ ^# t; \- `
    25
    - ?7 a4 d9 c0 A: i9 ~+ V1 a261 u; P; P3 P3 f8 U: k: i
    27
    3 v" M1 j3 n- H$ b' e28
    4 L5 C+ r3 l: W. S290 ?  S* N7 X% L: A5 z' `, ^
    30
    ( a3 \% d2 n- u" |$ Q4 r/ K. Y31
    # l4 q0 o7 p+ O* m0 j" I4 _5 k5 |32
    8 {, ]$ p; L. J5 I4 K33+ p) m  ?+ A3 x6 R
    344 W9 S7 d5 ]% V% J; P0 g
    35- i& u" H& M% p6 S
    36; u5 ^( u0 W7 a. Q1 j
    37) x5 h$ J& r7 |) O. K1 C% m5 I
    38# F; X! B/ }) G) q% _
    39
    1 E$ |4 m$ ^' K40; V1 ?  A1 ]3 Z: c: R6 w; f
    41
    2 |6 O& G/ Q6 R+ P
    6 M, P' k0 H; A

    ' c: p' }0 Q0 X% ^. Q(2) 方法一:使用MATLAB编写代码+ V2 W! v. B* g: s: w

    6 I  z) j9 G  l0 \0 S) x
    ; h. h0 D/ K: z7 m: B. P
    %读取表格& Q: D# {0 a7 g) G* T1 z6 c$ s
    A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');$ Q7 X8 N0 x: G
    B = A;
    : A$ c3 L8 J/ M" B" ][I, J] = size(B);
    - ]! K7 m% ]5 j' ^2 W9 `% F
    1 q: U4 A4 k! A, P8 c4 Y3 M%数据拟合1 O* r! _3 g6 Q/ r' J$ d' L% K* o
    %x为矩阵的第一行,y为矩阵的第二行
    ' A- a6 `- Q! ux = A(1,;; e  \9 I* Q$ b
    y = A(2,;
    ( x2 |" l2 n, w8 }%polyfit为matlab中的拟合函数,第一个参数是数据的横坐标5 H. G! x$ }6 J- v
    %第二个参数是数据的纵坐标,第三个参数是多项式的最高阶数* @7 k5 N2 m1 h3 m9 p* G) t
    %返回值p中包含n+1个多项式系数
    $ K1 H& W" x; lp = polyfit(x, y, 2);
    $ W8 J1 q( q8 G2 I' k4 _* D+ Q  Bdisp(p);
    # c% y9 ?1 b% F7 A$ C8 v* {%下面是作图的代码) L: t$ q' I) m9 o
    x1 = 300:10:600;- F. F9 T: \7 a
    %polyval是matlab中的求值函数,求x1对应的函数值y1
    . z+ D# {5 @5 j6 w9 J, h: W0 Ey1 = polyval(p,x1);
    * @# R8 ]6 ^! c% l" s# p/ Z8 zplot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
    ( w- j" O6 b; n1 V0 p# j%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');- g, i" A7 t+ \. t( N/ Q
    %figure(gcf);
    - r$ y) E* O/ ^4 C' @1/ V2 `$ K- l+ C. h3 L. h& J
    2$ q7 t  P1 _% s, L# ?
    3
    3 Q( h# H5 @- \; _; C4
    3 Y: w) Q7 F3 B0 }- a0 b5) @3 I% e: L' h+ |" w
    62 {! X7 ^% n) F+ [
    7
    % \8 l5 c1 _# j: y0 Z2 Q, m* k: Y" |8
    & ~" l( p' }1 a; A% n9, o# j: \: i4 [' Q0 u
    10
    9 [5 Z- }- g5 u5 g& Y; }) ^11* Z8 w3 M6 U4 A" J/ z# Y
    12' M) \) z! z  N7 K
    13
    2 Z$ N, j& d  ?9 M! G# h$ I14) p: S: q8 T8 g! t! X
    15
    5 m+ P" g/ a0 L, d$ ~: r& d; Z* Y5 x0 z16
    + {2 _2 f# O5 T1 A17
    % k3 [, ]" O8 Q8 u18% F" Z' x: |: r/ J
    19
    2 b( G* I! H. H7 c3 \& s208 o$ h8 ~$ I; ~, h. g8 s9 G. p
    218 M. m- a1 q4 y' W
    7 o* A# h, M- n4 ~, ~

    " j- I. z. \6 ~# h2 x3 \: t+ p(3) 方法三:使用matlab的图形化拟合包(推荐)
    4 d, F& @# y' f1 \, u* o
    ! m" T" `1 {0 D& r3 @( {

    % C/ i, C$ C0 d: n7 V3 ]- I6 U6 \1 w$ g- i! I1 v8 ~) W+ T

    $ G9 A; j9 ^% ]0 _将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包: @& ^. B5 b# P9 ^2 E

    , E6 S1 }+ k# ]5 a; {% c! d
    ) _7 w6 X8 @& ^( p  O

    - d' ]$ v' {* M, v" E4 v/ m  J9 Z% H

    7 E! F; o: d/ T2 y, ~选择x、y变量1 c5 C" r* S! W( |( N+ \0 Y: k

    , v/ y9 I# f* E0 ^: ]- M) m% J+ z
    7 A0 u" A0 ?7 }/ N

    . v& |* z4 b6 W1 {- u! X9 W

    . S/ q5 {) o3 g6 y7 j+ P5 X选择拟合方式和最高项次数# U! }. R/ b! k# y! O* r% }& n/ m# U
    : ~$ i5 h5 K. l# f7 d

    4 }% T1 w2 s  g5 m+ @, n7 _; C% F+ \& A

    2 [8 r+ T9 L; X6 C1 d/ N得到拟合结果; e9 t+ J: ~: E5 @4 y% N: g& k

    6 m1 F2 z5 o! C3 h1 ~

    ) f; J/ t2 m5 z* l3 b+ G# ?/ C: ]! q* ]: s, Q6 V
    ) [8 D* }* {  a+ E  ~/ c! g0 g
    使用图形化拟合工具不仅简单快捷,还可以使用多种拟合方式,寻找到最好的拟合曲线。: q- M! h' d; A& D

    1 Y* S" ~! z. |7 h% w
    5 h4 P$ R4 d- e/ U5 _: `3 p6 f
    4 N9 K+ J+ v1 K
    : R/ V& S2 H' o6 ~
    , L6 A/ M8 M* f
    # O+ G2 s2 c  M2 ?: Z. Q1 N* I
    三、数据插值
    : r/ L5 J9 P& i* V' u* y; d5 a1、定义
    & ?  i, u+ U# h7 v
    / L  T3 G3 |0 O* W7 b
      @" M2 o# }; j* u
    在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
    , `8 `' U2 }( N, q9 i" r: v7 c  ~4 d

    9 u, q3 Y4 s% O9 K, J# ~' {从定义上看,插值和拟合有一定的相似度,但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据,而拟合并不要求这样,只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可(近似含义不同),当测量值是准确的,没有误差时,一般用插值;当测量值与真实值有误差时,一般用数据拟合。
    4 F$ ]8 _) p/ F  k' P0 d
    8 [6 @" m# c+ F3 B. o( }  I: f
    3 J. w( h3 y9 @5 O4 A, y1 y

    ( E' e! f6 E! Y; e- Y' u( C# O
    " n/ y$ C* g3 q8 _
    2、作用  `7 Q) ?8 N' m" E9 S. S6 w% P; u7 _
    & g7 y: b) e, t" a
    8 {2 m8 q, v% L! ^+ c& D8 F  b( X
    插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值情况,估算出函数在其他点处的近似值。
    5 a( @5 K' {  C, w7 G& _* z$ t7 e. m0 q

    ; }$ H* ?3 m; F: r, B+ F& F5 j7 x$ q& j1 l

      L! {$ ^" U8 Q+ S9 a3、举例
    ) l8 W8 d7 g4 e6 v! b% a6 }) |2 p' ^9 W1 x) e9 m$ \/ }

    / p/ v  g3 D% Z%years、service和wage是原始数据
    ! \0 ]2 y5 O4 V2 t8 [3 L) A9 ]years = 1950:10:1990;
    0 L2 b" B* \% S" gservice = 10:10:30;; @- H* Z* h' Z& G
    wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];- W( j6 ^  g  w/ X% m
    [X, Y] = meshgrid(years, service);
    1 m& N! ]' @+ z" ^( W% % 三维曲线0 o5 w' v5 V# l. k, ]7 v& T* H
    % plot3(X, Y, wage)1 g# I- A0 D7 n* ?+ `
    % 三维曲面
    ! q/ h4 \4 T! i9 ^- o- u. p8 I6 ?figure. B. k$ i+ {' ~
    surf(X, Y, wage)9 c1 \0 Y: O) G$ D7 v
    %interp2是matlab中的二维插值函数,前两个参数是已知位置,后两个是未知位置,w是未知位置的插值结果
    : [4 M; L! k0 Q% Vw = interp2(service,years,wage,15,1975);
    ) O" `* I0 p: P+ A3 ~- b) d1
    $ `' h& u  @" y5 ?2
    ( A% [. y7 S- a5 B1 q; ~) j( g3
    ; Q* d' K8 e, H: w3 ^4
    ) l$ S6 L- {5 T8 F4 F* ]$ S4 Z5
    " ^0 V6 Z; g: r- y3 P6
    , c8 O' W( |) h  ^& t" R% p7
    . h6 `: a7 ?3 x: G8. p9 h  R% E5 F  {. c* j
    9% a3 W' Z6 J! c4 U
    10; {) q, l& r& B" [, H0 S
    11& e- X1 z& g- ^8 _- @8 Z9 P
    12
      m+ i+ d  r1 d4 \
    ' P2 z4 L- X& X# [$ X* G, {: h
    ! Q- }" Q0 z! p: C& S  k" H

    6 j" Y6 K+ E- H( c! T% b7 A* f# t

    ) x8 H5 a, ]( V: O# X可参考:数学建模常用模型02 :插值与拟合) ~+ k9 L# a; K7 h+ F: ~3 W

    0 {. s  F7 m' K( Z7 }

    - `6 R' k3 C( B+ H) }" ?$ m6 T
    2 S, i+ a8 }, U( d5 V9 C' p. v

    ; w7 K2 T1 D9 e3 @. Q; ?2 s% z1 H6 S
      ^4 f* g& [3 Z8 n- }* u
    $ V/ r5 d1 i# i8 o6 p% F; F
    四、图论
    0 U- Y6 q# c2 E5 ~- u: D) j* y1、最短路问题9 Y2 H; H# L1 M. M
    最短路问题就是选择一条距离最短的路线。
    4 M5 {2 R# H- c# ?  s! I! I+ [1 R4 \! ]

    - v1 M; o# ~# _+ s' _5 Z' d例如:一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错,因此有多种行车路线,这名司机应选择哪条线路呢?假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。(Dijkstra算法)9 V% \- p! m4 m# }

    + g  v  F8 Q) p7 R

    1 ?2 \: Z# H$ f6 a) |1 L8 {具体介绍见这里:最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
    - }, Q( a8 [" S& ~  d  n
    2 }' ~* \( g& {) w& P
    & p' p: ~: x2 Y/ r) ^' P# q3 U

    " `& m% e# v8 \: Q0 i9 j7 ?

    6 F; L$ v) ?3 f6 M(1)Dijkstra算法* o6 U/ u, i) g' p
    先给出一个无向图+ m" Q+ ~: N0 n# J; e

      A; f: B6 H! y3 K: o$ p

    2 z  C1 b4 ^2 U: e
    " L8 c' j4 a! n& S9 n/ Y

    ; @1 [' ]5 S1 q  w: T2 U用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
    * ?/ r% Y; c6 R* U8 C
    / W# E, A/ l1 c4 ~& ~0 U5 u
    . t. Z7 m5 f/ O( ?; X
    9 j# J# x' T6 p. v3 D
    ( b6 W4 ]2 b6 u( ]* g2 {6 c

    ' p2 h+ b9 F/ f! Q& {

    # g! k; b4 G$ |3 e; m' f代码模板:
    / ]  v# Z* u; `0 @' n8 [/ L3 p2 j0 ~5 }2 s' \! h) g* U# \& E- I; Q
    & C5 K# X7 ]# v' X
    #include<iostream>  
    + F1 `5 K# }! _#include<cstdio>  ( q& G1 n) n7 A) D# V* f
    #include<cstdlib>  
    1 h" {  o* Z+ c2 _#include<cmath>  
    . ^% J4 q! W; M7 h, X' a' t#include<cstring>  
    : {) x5 L% t1 X9 U#include<algorithm>  ( D0 w1 W8 e2 @3 V* p  Y
    #include<vector>  ) ?. p  y0 u) w
    #include<fstream>  $ t5 j* X4 `; ]+ V' ?6 s* K
    using namespace std;  
    / c5 s4 U* W' v8 K2 d4 Z# g; U' K3 y  
    # W9 D# Y% h7 h3 W4 l$ Xconst int maxnum = 100;  3 @) w2 a; G' h
    const int maxint = 2147483647;  
    ; ^3 H* b& P' P$ A  mint dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
    ( |: z' [1 n3 tint prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
    3 Z8 R+ }5 p% |2 Eint c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  5 b, w" Y" {: m1 I7 z
    int n, line;             // n表示图的结点数,line表示路径个数  # a8 G1 ?: x1 h; r8 s
    void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  2 T; [* w: t. ~
    {  
    % y* N  |2 W( w, t$ {3 S    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  / W+ j5 }; M; |9 e' Z
        for(int i=1; i<=n; ++i)  
    6 K, G9 d4 v2 g3 A    {  
    ) D3 B  v' r0 j- H( r2 [$ H        dist = c[v];  ' \- e' P5 j9 i- R! E
            s = 0;     // 初始都未用过该点  
    1 D. Q$ K+ `0 K  o; E$ E        if(dist == maxint)  
    ) r1 ~/ c% ?" V$ n* n% |            prev = 0;  
    $ m  l  p  D% S8 h1 l! i+ [5 M        else  
    ( x- X* D6 l- F$ j4 B) H            prev = v;  
    " ]) Y4 K( I  r" f! N    }  
    5 i% H( u; I) L2 A# p3 w5 k  }2 V    dist[v] = 0;  
    : ^& ]  v# R1 M" R1 C/ I    s[v] = 1;  . X; [. p" L" l& f% S/ _
      9 q+ A* {  J# K8 V( c! e% ?
        // 依次将未放入S集合的结点中,取dist[]最小值的结点,放入结合S中  ( Y% F# {' W! J9 L" n/ z
        // 一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
    2 |+ f1 f) W; M4 T- K# H9 D    for(int i=2; i<=n; ++i)  $ ?% X( V1 ~0 k1 p; w6 A
        {  
    7 \  v5 k2 T! [0 k. U. o        int tmp = maxint;  
    9 R# J# ?  x! I- ?9 {# m        int u = v;  
    2 j9 a+ G7 n$ u+ J0 k0 M        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  , ~6 c' o# |5 f4 v! E, f. G# t
            for(int j=1; j<=n; ++j)  
      X  Q' Z# d2 A) y4 o# X            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  % z; x! y& R$ \$ ]0 @
                {  ' z; w! q+ w$ D9 i3 f1 P5 h. y$ F
                    u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
    1 h0 p1 T3 h* V                tmp = dist[j];  
    1 ~6 Q. ~1 J0 f' S            }  7 ~6 p" d0 w2 E, x
            s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
    ' c9 g# b0 ]6 _0 v# e4 ^  ' f$ n& ?2 I! n  B
            // 更新dist  8 X) P# q3 c& P3 Y! ]3 M
            for(int j=1; j<=n; ++j)  - y) e# L# Q$ `/ i% z
                if((!s[j]) && c[j]<maxint)  . p* c* N' r  N* |+ P
                {  
    / R6 _. u& H/ Y                int newdist = dist + c[j];  + g+ r* R( P, @4 ]1 Y% T) p
                    if(newdist < dist[j])  8 B* Z& P( y; f' D3 c; I4 C
                    {  
    ; i" d# y& l( E  {( C$ N                    dist[j] = newdist;  
    3 }& l: g9 j' ?2 e7 |" ^& l% T5 f                    prev[j] = u;  . |& ^3 R) i0 B9 e
                    }  
    " K- e! {2 b$ ?  D            }  
    # O; P) v. d: {    }  , C; C! g9 @" W# Y) u  S+ j
    }  
    % R4 n  J" b* Z. W. Svoid searchPath(int *prev,int v, int u)  
    , `8 \4 V9 u: {3 L) f7 z" W3 }# k{  
    " v5 u, V) _. d7 M1 M8 z6 s5 A    int que[maxnum];  ! K/ x. V" Y+ G+ x, {
        int tot = 1;  
    - r: D9 P; R+ e: l; `    que[tot] = u;  " q3 t2 ?  E# L
        tot++;  ) L/ a, T) O+ t6 e1 N/ W) q
        int tmp = prev;  $ d; w( B- G$ o
        while(tmp != v)  
    ; F8 t& m" y* o, v3 g9 T    {  
    0 F. z) _# H% }$ G" F; L: A        que[tot] = tmp;  7 @2 H8 q+ x3 Y0 q* t
            tot++;  
    ; w+ {6 p6 m5 H  j# L8 X* F; ~        tmp = prev[tmp];  
    ) d+ b; E" D8 K/ Y: g* X: h    }  
      D$ w2 I! y4 d! B( P. i    que[tot] = v;  % s' a  Y" N, h  Q" }8 z$ U
        for(int i=tot; i>=1; --i)  
    , d* |7 R" Z9 b$ P2 F# ^        if(i != 1)  
    4 L2 _( |% o/ |& z            cout << que << " -> ";  
    ' f$ t8 C3 ?' X        else  # c' m6 p7 W- Y8 f
                cout << que << endl;  
    + N( Q5 |9 y0 k. q# Z: u. R}  
    , f9 K0 m7 s: f  X  
      V/ w7 A  e& c: Z' @int main()  ; i" L- k' k1 f8 U+ Y
    {  
    & A, f4 q" g9 B' z' m2 v    //freopen("input.txt", "r", stdin);  2 e2 M$ ^9 b0 f# }& W
        // 各数组都从下标1开始  / P/ p- k8 d* {' e8 G4 ~! `! Z
        // 输入结点数  
    $ S- [- g, _8 a* s4 {4 k: x    cin >> n;  
    3 Y# D9 T) I+ N    // 输入路径数  
    ; b3 \$ P% l6 u  |    cin >> line;  4 B* l& [3 q8 j7 v/ N3 C
        int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  ( S" Q% G3 Z6 s+ X% @* b3 ]% p! q  H
        // 初始化c[][]为maxint  
    1 i7 V: f  p# L, n7 }% v    for(int i=1; i<=n; ++i)  # O; r0 ?/ v, e' ~
            for(int j=1; j<=n; ++j)  9 T2 L9 Y. {/ o) V4 L  B9 {' ~, I( [
                c[j] = maxint;  
    7 \( N+ T2 w, E% `) z    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    ' G# w5 a6 C: I! t% q    {  2 N$ U4 m0 T" S
            cin >> p >> q >> len;  $ t$ ?5 ~3 h2 G% b% G! @
            if(len < c[p][q])       // 有重边  - f; X% G; j; ~8 z* Q
            {  
    4 ^/ l# Z, B& D1 K8 ^2 c4 f            c[p][q] = len;      // p指向q  
    ' }8 E. q6 W  W8 J0 \+ M            c[q][p] = len;      // q指向p,这样表示无向图  / P2 r  U5 }) E& H; ^# f5 W
            }  
    8 y5 o/ Y! g2 w8 x5 T0 C! z    }  
    % w5 ]' g9 m9 s. M2 p( j   for(int i=1; i<=n; ++i)  
    5 a5 B- Q' Q* z- P& F        dist = maxint;    m2 F5 n9 @# |1 f  q" ~
        for(int i=1; i<=n; ++i)  
    : ?" W0 q) b0 b- q    {  
    ' J' G& A9 ]- \9 N; b        for(int j=1; j<=n; ++j)  
    4 s* J# e9 J  i1 d            printf("%-16d", c[j]);  ' X; }5 t! u6 |5 V7 X, Y; h
            printf("\n");  , p' d2 L; K8 M( I6 Y
        }  
    , s; J. h. k. o3 m8 o8 o0 D    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  0 \+ o3 ^0 E# H( X3 x: b
      
    ! D1 D0 b0 ?3 D" b" `4 h7 U//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  # Q8 v7 S) I. G: N& }
    //    {  ) ~- Q! q. C. t
    //        printf("%-16d", dist);  9 [9 Z. C* X2 U% A0 `
    //    }  
    * f% c4 X' M; z" f3 i  O    printf("\n");  
    * ~& O' T. S* K     // 最短路径长度  
    8 s# S2 x) g2 {, U- x! U    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
    ; h; m) R; s# B7 q     // 路径  # M* C* f0 x8 H9 q) J
        cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    $ w/ N% e+ d! X; A5 A/ ^: T' C    searchPath(prev, 1, n);  
    + h, J: ?, [: l. l" q    return 0;  + a* `, I. t9 P/ j8 l
    }  % \0 `* M8 {4 G* T( G0 k/ Z, O
      
    , i* h5 Y& Y/ o8 s. t+ C  # Q# U$ [4 C) L4 @' d
    /* 1 p+ ^) p9 F' f3 P  H! f/ t) {
    输入数据:
    5 E; h  B8 N, @ 5
    ! @) g5 S7 b7 T 7
    8 o0 D1 g1 \: i% B8 ^" s 1 2 10
    * I% Z% n% T# x9 P 1 4 30
    ' I0 ^* w6 D0 j% s* y) [: | 1 5 100
    / S% a3 k4 g# Z! N2 M% q5 D 2 3 50
    1 i  [* F: V9 s- W 3 5 10
      i( \+ ~& K/ T* n 4 3 20   K* ?% y1 O: b3 r( a$ ^/ b
    4 5 60 & z  @2 s" j7 ^5 w! [
    输出数据: ; I* a( F/ Y! V
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    24
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    26
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    31
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    ; y; U/ b# K; B0 l, t2 R34
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    37* x# |4 v5 |( C  b1 a
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    42
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    ' I  K# ]- @, h# i3 m6 H* b" B45
    ' F1 Q( o6 W5 D$ ]: c, w46
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    & W3 E( {. M( ?5 Z, v( f49
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    51
    ( J( Y& r  g. C' K52
    - |: s' \5 c& B4 l. r8 T/ j53) Y& I# c$ K8 o1 a: j  C2 w0 h8 H$ Y& ]
    54
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    * A9 O% T* N: {568 {) `. H5 A6 }  ^, j) u$ g+ S
    57
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    595 w% H/ {2 N/ K. t0 u" ?" J8 m5 W
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    67
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    72
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    77
    . q( ]7 z. n+ m/ A: B! A' f78
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    80
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    84
    . C3 K7 @; Q7 e1 ^4 y! t% D% f4 T852 E# f9 V5 M5 M3 n8 M7 N: D
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    101
    : B2 I+ `7 R3 p% z102
    0 O4 p3 \& ^9 `. L103
    # B, H! p# W: V* E6 M9 P6 _1044 q# Q1 G" n6 V
    105! @, b0 Y: |1 R, A8 J$ q8 F
    106
      _, E0 ~, ]+ V  N. j0 Q107
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    1110 F  w( ^) Q; T# ^# H8 s
    112
    7 w) t; |5 W4 H+ K) T$ w) R! o$ D113
    0 @$ n: v! o/ O0 {2 ~1 K1145 Q" ^4 d$ M+ x1 U* g3 h- h$ v
    115+ ^6 P* Q6 N3 K4 c' w& m1 ^- ~" G
    116
    # ]- t6 _* E! T* F* g3 X5 c117
    / A* Q7 b5 j+ s1 b; k9 a3 M% U118
    0 @' s- q1 n' V* `) \3 H% ~8 v119# `: [' a. g0 l; o9 _/ z
    120
    $ \9 f4 U, S. A% H! t/ a* [121
    ! H1 Y5 D! @: ^7 f122
    : [7 u. ~7 R( q2 W& Y123
    . W' n! k9 D% W; X( F5 s1243 x7 q4 w' `7 P3 I
    1257 M8 f% l! B7 p& g" c( V
    1260 N+ W$ c  J, H3 c) Z8 m7 R" M+ n
    127
    ; Q/ g  L4 g4 D" Q! f% z/ I9 J128
    - d: ~8 Q. X$ I) w. }* t8 I129
    1 P7 g+ Q; X% }/ a' z% T) b3 x1300 Z/ k& C: f4 E  N. Y& ~$ O* M: p
    1315 ~+ X- a0 v) j8 I3 \
    1324 f( U- t( \" d) A6 e) M1 @
    133
    3 i. k& F6 S; L9 O2 x7 H134
    5 ^8 I* e( [% y; Y, ~135
    3 b9 C. ~5 u$ q9 |136( B9 j; G+ \& `3 Y! |: ^7 |
    137" K8 u, r5 s1 N4 g# p" G
    138
    # _  f- W8 g5 ?9 d8 {1396 W3 h' b9 k" p
    140
    . i& y  {& w% R6 P& v141
    . P: I4 C! G+ I( M3 t1 Z142
    " x% b# W' h8 Q, a% r, H143
    # q/ v" a: D* h8 G# l4 H6 Y1442 |& `- R5 I! }( B% h: e8 P
    145
    $ j( d5 D* M' J* h# [146# F0 V7 S0 C& K& u. j

    1 K, Q; {- L* E
    * E$ j' Q2 S, o/ [% a
    (2)Floyd算法
    6 M5 t, T0 W) z8 \' q- R/ G#include<iostream>  
    & a# c" k. p8 F#include<cstdio>  
    % A! g( }- i0 e2 i* b1 h#include<cstdlib>  
    5 e1 W+ j$ @' u/ @# ^' I, U#include<cmath>  
    % n( G, H/ |8 ~9 }#include<cstring>  
    * V+ r6 h( o; ~+ }6 \#include<algorithm>  ( D; I  B. y7 [9 G! ?4 n
    #include<vector>  
    ' n2 O1 |# }# I+ x: S2 G1 }#include<fstream>  , J! L7 d/ q7 P5 K' G; C
    using namespace std;  
    " W7 i- w5 z; A5 O6 r  " l8 W3 R" j9 _
    //设点与点之间的距离均为double型  
    4 B) s1 t' w6 p6 M" adouble INFTY=2147483647;  8 g( E- \5 @; y+ U
    const int MAX=1000;  , W. \9 A, w9 _) g  _1 L% v
    double dis[MAX][MAX];  
    # ^+ H3 i- q. g) X. O9 P3 Tdouble a[MAX][MAX];  ; ?$ `8 ?9 ?2 X8 |) C7 @0 U
    int path[MAX][MAX];  
    - g7 i8 D* b* w) sint n,m; //结点个数  2 m7 g$ W6 L# s* w' G' M
      
    4 e% h1 v% q; a' i9 j" r: n9 d# Fvoid Floyd()  
    1 F9 d8 b0 h$ {- v4 c+ `3 q1 M{  ! X* l4 z: r9 o5 {0 G
        int i,j,k;  
    8 q, ^" u9 S/ G: y    for(i=1;i<=n;i++)  9 ?$ u1 j- r2 g: v9 w4 a4 O
        {  % f0 x  K4 u/ O- t
            for(j=1;j<=n;j++)  3 [: ?: L, F; e% m6 x3 p
            {  
    * J5 R" z5 R0 V4 u' B2 O( _  ]            dis[j]=a[j];  
    ; m: K4 F$ A$ q  k5 U, V4 j            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  ( ~6 e, O  T! W+ w! C3 ]
                {  ! b2 x0 H3 I2 H7 X" x
                    path[j]=i;  # d6 g$ J4 o% V( H3 W+ {. R8 A. f
                }  
    " r$ T( W/ A; C1 |. Y            else  8 q8 @  A4 K' C; Q& K0 f
                    path[j]=-1;  
    $ A2 i% c' d5 F0 Q. G) O        }  1 H4 s; |' N( g4 K- o
        }  0 q3 s% g& E2 Q- G
      
    9 P! h' z. H9 C9 j7 o0 p: ^# L9 N    for(k=1;k<=n;k++)  
    , A7 z: w' G9 h! J2 s# X    {  8 U. x2 ~6 n! {4 Q
            for(i=1;i<=n;i++)  " A/ ~  W- |) u! J# z2 }2 b
            {  
    1 |- N' e9 m7 r! z/ P7 D            for(j=1;j<=n;j++)  
      X5 x8 J5 E1 {3 U% j! n$ k            {  
    2 j& f9 V8 V0 q+ @: w. F* p- Q9 L                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  0 ~$ g0 d" N! w
                    {  
    : s0 m9 s, ~& d" y' j                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
    ( g9 T% U- Z  q6 e                    path[j]=path[k][j];  
    3 y0 A1 `; Q' _* f                }  5 [9 O, ^: U6 |: m# o) @
                }  
    1 n, J6 ~! o- t. @- K5 k7 p) U        }  / z5 t1 S" E$ x8 X0 V) p% u
        }  
    2 e3 n3 R( W" d. E6 W) w  g2 J) B}  
    " t3 C/ V) O5 ?" ^9 {  ' |# P& o+ _* f& i" p
    int main()  
    6 X' ?3 i" s. I6 T/ o0 B{  - t) v/ L7 s- s  Q  Q+ N
        //freopen("datain.txt","r",stdin);  ; b" Q4 a6 [, @
        int beg,enda;  
    ; ~* E' K1 D( @& w    double dist;  
    ( ?# [! @  ?; P8 L+ `: Q) V4 c4 F    scanf("%d%d",&n,&m);  
    ; N" Y3 c/ d9 a5 H    for(int i=1;i<=n;i++)  
    ; \0 `! T; S# x4 G7 p0 ~. e  X2 b7 b    {  % G. L* X3 w9 s) W
           for(int j=1;j<=n;j++)  
    5 H4 }- Y3 A+ ^3 Y" v7 n: w0 E       {  ! _9 C2 j0 u) j
                if(i==j)    w" X4 @. |' ?7 v/ z# U; T. ~3 C
                    a[j]=0;  
    # }% K. H  y5 P7 N( |  B! J            else  " t, @: T; T/ N8 e
                    a[j]=INFTY;  
    ' w1 |9 ~( k5 l; o       }  
    . P9 I2 Y8 C+ {    }  
    1 ?/ Z- @. W# W5 ]1 w    for(int i=1;i<=m;i++)  ' j# K/ t0 R) b1 U
        {  
    6 Q2 `" f" T/ d' \7 }! q' Y& b        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
    6 t# f$ V* ?; b8 `' r2 B1 w9 m0 J9 L2 o        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  " g: i2 T2 s, I* y
        }  
    5 W4 g4 O6 Z% L- L    Floyd();  ' \. @# {5 {8 Q' r7 e  ]/ \! J( g
        for(int i=1;i<=n;i++)  ' k, |7 p# v$ r. `
        {  
    - L$ G2 C- d( z1 V       for(int j=1;j<=n;j++)  
    8 S" \+ q) \/ N       {  
    8 ~1 u; `% X, X6 ~: O            printf("%-12lf",dis[j]);  
    + M# A: M, J% m$ q% Z1 e. V- B       }  $ b9 k# L- B- ~8 |4 ~" i$ o' G. A% T
           printf("\n");  # H; u& Y* M* g8 W+ [  L
        }  
    6 e: a0 D, ]  }% w  D# |2 G    return 0;  ' x- w1 ~( X% Y! G" z" U8 n
    }  
    ( l; ]; O- }) V1
    . V  G% f+ j  F) e% e9 K+ x2
    ( k9 w1 {* |& i: \; s3
    : e& p0 g$ S5 p6 I% `: I! t" f6 B41 T4 l' Q$ V3 Q0 [" I' [3 G
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    9 R. R& j3 z$ s( h2 [. I# v6
    * [; Q3 a) v; y2 [7
    ! ^6 W, q5 {$ a! S8
    & q; p6 ~  f7 ~. w2 K. |9
    7 T; Y4 H( E, I10
    ( l4 Z4 |6 Q  \- I. d! V11! j2 L) s$ {# t2 B9 k
    12
    ) A6 e( V9 J0 }* n5 Z13
    2 A/ I8 l$ z, Z1 J. `141 h' K1 u6 J/ N& W+ Q
    15) u  p, }1 ]. F; Z
    16
    . I. g1 d% ]) e+ u1 T17
    # p& o% A3 `# p/ h18' U# n& {$ M. c0 U, r
    19; W* ^; Y3 |5 d/ w
    20" \1 t: o' Q* {; l1 l
    217 Q% n8 z9 t* a4 c
    22
    % r" {, R: y: a- [( L23
    % G, d3 ~$ ^1 }* c, U( k/ A5 \24: t) P- k9 O4 [. r+ W  i/ L. r
    254 D* H( }" A" n- X# h
    264 M# t9 L# j/ c0 F
    27: h; H' _4 G+ r5 P3 [
    28- ^/ a/ ?1 x7 d" U7 w; G5 [
    29
    $ u/ l/ V( \) U- f! R4 x; L8 u30! M* i4 q& y1 F; F" Z
    31
    6 Y9 r& K: l' ^32# {& o) z+ B& |/ Q' c2 A
    33
    * n) o, F1 Z; m& C! d6 n34. C8 y+ x3 d1 z/ a) [2 ]
    35& {4 }+ U# u5 G$ u1 n
    36! E) f, p. z2 b4 L0 N$ z3 w9 D( F
    37# |) S" f8 i1 k! F
    38! Y8 c# L( w9 V
    39
    1 F. ]/ E+ v9 H& o% {  h* A40, ^- k3 F$ x8 N8 R6 Z
    41$ p1 `; A0 n4 }
    424 i$ g* B+ o( f4 {. r8 g
    43! U/ M& L5 P9 Z9 I% P) a
    44/ N% q3 e, V* N9 e. m
    450 ~" b+ q$ R3 M3 V# ]! O
    46. \/ x; ~9 I/ i: W' p) ~& W2 R$ e
    47
    & `/ v6 i9 v1 C+ u; A482 ~' R' c4 G" X" R0 N( o: t
    49
    $ ]9 r# S" D# v0 o50! @; ]1 Z* t0 {3 |- k
    51# L) ~, g: h$ n2 K' t, U
    52
    ( M; w4 W- a" x' Q! S, U/ J53
    7 x6 V( }! v1 V: _" M" d  g, u& K2 a54/ w' C" C* m& e/ H8 b# \
    55
    0 z7 c+ z# x  {5 v9 u8 B! A56
    1 W* |! v. M* i& l, {57: u+ M4 h- O" O! j; J# [
    58
    7 z7 a+ U% K4 q" C) Y59! g+ }: Z  K: a  l
    60$ {9 h+ S) ~$ C! t. R8 q) N
    61  ?# y: k) N0 C
    62
    # b5 ~9 }# p5 U  w8 I) I' p3 ^63( H+ Y4 P% I/ Z, x# B
    64
    1 N) @: Q* T; M) i7 m/ s$ }) r* g. y65
    8 @& \( [$ [% P! K/ q* g- Y66
    1 i* v, j2 u- l, H( K' `/ f67* I4 Y- Z# A5 O: l7 D, j. F
    68
    1 N; K: C" w- j7 @2 K69! R; D9 _5 ~: G: I& ]
    70
    : w* n: ?. f) G) q. ]# K71
    2 F" o6 Q9 `+ Z7 [72
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    1 w* i9 n" z9 e, V74  B7 ^2 M; x1 X: t3 r. |; P
    753 V" x/ u! M( v) p6 ?/ {( @
    76' F9 C1 x- c6 n; u6 C9 Y) ]1 O% k
    77' P3 Q5 P: m' \, [+ s
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