【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
2 ]" G) w# F* d8 M三、数据插值
- A+ ^" p0 A& P# V) F" A四、图论
1、最短路问题
# {% @7 x3 |* ?0 |$ q+ d" w1 n+ T（1）Dijkstra算法
（2）Floyd算法
- O' n8 I+ q5 y8 p
4 \( Z" J$ ?- }& r+ o1 V


1 _% i& w+ k# G8 L% c5 k: ^* t一、蒙特卡洛算法
1、定义


& `; D5 s0 Z8 I6 e1 W' U% y$ _蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。

# Y. ?4 Z, U6 r. g1 S

1 `; ]: U( X2 h; k' x+ T; H7 D$ J! [
2、适用范围
; D. }. g! j/ P) \

可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。




3、特点


$ c) {* N2 k" A  f蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。

/ Y, I, d* q1 U8 W8 H

% T# W: v5 Q' M
4、举例


y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
& R) Z# Y! H7 w" |
$ ]" P7 f) a7 U, [7 {  \


1 q0 t; m8 h' G7 P; u（1）作图
! ?3 U# _. O  x& c% h3 y

& Y+ Z! C2 Q# [2 oCode：


8 V4 b" w  @7 H; |. x" s. O6 a%作图
  n4 R( N% K: k% f8 ?* T6 \! Ox = 0:0.25:12;
y1 = x.^2;
y2 = 12 - x;
1 F8 ?1 Y' H* [# C3 pplot(x, y1, x, y2)
5 t/ ?8 K5 F$ D( I+ Hxlabel('x');ylabel('y');
+ W2 ?% j, t8 d0 f7 w2 P%产生图例
0 ]1 w8 j8 o/ e- M: @legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
4 f  q- l3 \# S4 Qtitle('蒙特卡洛算法');
%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
axis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
; ?6 S& n' \; A1 N  |9 O%加上网格线
$ F5 k9 D( t. ?8 T: S$ U! Z1 Dgrid on
* W2 E2 M0 r  ~: k9 }) O1
3 Z# s" h. `6 a. z2
1 t5 P/ X" e. r7 f3
4
6 {0 C/ W1 G) O0 S# I5
: u( \/ `" w8 P( ]2 P7 [6
0 m4 O2 k9 D0 Y2 F7
8
9
; R' V. f. Y/ w! {1 a' _10
11
% k/ S' N) {( v. W5 T12
+ p6 N2 Y- ^5 L, O13
, F; d+ }2 y* B7 ?; l3 h14


（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
! k+ F- J7 i# }6 S: M, G

Code：

$ [& s2 r$ Q! r0 n* {
%蒙特卡洛算法的具体实现
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
area = 12*9*frequency/10^7;
disp(area);
1
* N( I- B2 W) g+ ]2
3
4
/ d  ?/ O/ e  x7 I6 P) o# `5
6
7
所求近似值：
- o: w0 L/ |% _5 e+ q; c& _
5 }0 m9 Y! E9 A; j. C- u

+ f: R4 f- k1 s
- S: Y  S( {; t$ L" w0 A

) _2 j0 {. m0 R* @4 `* T0 I参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
7 R: w2 J+ `! h
3 g- b* G( ^) H& r$ g


4 i+ n) C% v, F) `
2 d' N; A8 e3 f
二、数据拟合
1、定义
3 Z; S9 S2 [  Y! D# L* x
% ]9 h9 z/ t6 M( R0 Z5 w
已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。

5 ]6 b& y0 P2 `5 ]
: d, ^8 n0 l; o, P+ M0 ~3 R
4 }5 m: _# _  ^% B: J
2、常用方法
8 g6 a4 p4 N! m, ]
3 J5 u3 T5 k6 N! G: k
一般采用最小二乘法。
拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
; \7 w3 f6 E( j7 Z9 q

3、举例
7 d. y' u. {% ~/ d3 ?

& o* ~& G8 I, v9 w4 b(1) 数据如下：
8 ^; S6 A4 ^+ Q4 Y- L5 i! l

   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
8 S7 Z1 D; N8 I- Z  f. l; \2 }% z        2        465.325            0.123   1.621569
        3        504.0792        0.102        2.429227
% T' c$ F$ J4 {4 @        4        419.1864        0.057        3.50554
1 g" {! A. X7 U/ K9 ~% i* A5 J        5        464.2019        0.103        1.153921
" H4 G) g. {1 ]; Z1 e' y* K        6        383.0993        0.057        2.297169
! ], u9 O9 ?- n6 ?% ~0 w        7        416.3144        0.049        3.058917
        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
' v0 I" B6 l9 G' d0 {, \  t        13        372.1432        0.041        3.604795
( z) }7 G+ T( r' ^        14        389.0911        0.085        2.048922
  d. [0 y" y  _) P3 X6 \# W        15        446.7059        0.057        3.372603
9 K4 p* z( D" ?  o        16        347.5848        0.03        4.643016
# s2 g% v! r# i( j# ?        17        379.3764        0.041        4.74171
        18        453.6719        0.082        1.841441
9 ~) b7 N, u; @        19        388.1694        0.051        2.293532
$ g4 S2 J& c8 g        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
        22        408.9602        0.078        2.291967
2 B4 q. A3 ~3 t  N0 c        23        393.7606        0.059        2.910391
0 J: [1 w. L0 i0 ~1 Q        24        443.1192        0.063        3.080523
% A( `6 d6 V9 G  o0 S. |. f& l8 l        25        514.1963        0.153        1.314749
" \  T0 Q0 y/ d6 m) l        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
$ g. D! y# x9 c! y. F2 D( a        28        421.5248        0.063        3.005718
9 R6 K7 w5 _7 \/ Y( Z        29        421.5248        0.063        3.005718
% B0 Z0 M) x1 u        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
- {7 Q/ F" J/ p* c1 Z2 {        32        421.5248        0.063        3.005718
" z- [7 B2 h; P" \* A) O- C5 |! Y        33        421.5248        0.063        3.005718
' ~! Y# o# X: J1 o        34        421.5248        0.063        3.005718
$ Y: J6 n/ A1 q/ x  f+ r        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
) V* D3 ]% K$ \5 J) @. W        38        369.019            0.04        2.861201
# X# Y+ m" n. @7 R        39        362.2008        0.036        3.060995
* z' D( f& ^! s% ~3 z$ x        40        417.1425        0.038        3.69532
1
2
4 s0 c, d- ~  [- h- I3
4
5
6
7 @9 G# w9 _/ C8 M. p3 Y' W1 y7
8
9
10
11
12
13
14
) u& c# P' B2 O15
- q: P  k8 `. d% T' C16
17
18
19
  N, A8 q# _* V9 ~' ]5 y5 p+ p' z20
21
3 A- {* g+ ~8 \! W' y9 \22
+ V8 C: Q- U8 H! e( k! H; e" R1 |23
24
2 t9 V; _* s1 g3 l25
9 ^; u. J- ?9 B$ n' r' b. o" k26
27
28
29
30
31
2 r3 w" V+ U' K3 P! Q32
33
34
35
36
  n7 P' r# `  ]8 n4 l3 G37
2 q6 w5 `& F/ X2 K& J# i38
6 d) N* I  V& L: h4 r; c" m& L39
- w5 i: ?/ L. ], N* n6 i40
8 f* y4 R6 ]* E% _41


! J4 c. U7 D- u; {* l(2) 方法一：使用MATLAB编写代码

1 G7 R) T, T, a2 }" C
' t) n4 a1 o4 G8 w1 e%读取表格
% ?  t: f8 |. g+ v3 ~4 vA = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
; r. L3 @4 e# qB = A;
- o: K+ a# y8 |[I, J] = size(B);
4 E1 z* N1 M# p% t$ a* [* d
%数据拟合
0 n  a/ G# @9 _& ]%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
7 e4 h& P, p5 o% U/ w0 C" M9 V4 {x = A(1,;
7 n1 M/ _9 l7 j7 L$ m7 k3 b. m- gy = A(2,;
' s' l7 I( ?, U8 @% {%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
) {1 N- A' ?! @%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
/ G3 L$ M- q# _%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
disp(p);
%下面是作图的代码
, R  a% k; v# R9 q8 ox1 = 300:10:600;
" I& |% C) I" l/ b; H* b%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
y1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
* L! t  @6 L* m3 Q% s- n%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
2 d2 I* N8 e7 V1 D# b" S( }+ P1
9 G' f- g0 Q9 \* p7 k* g) W2
3
4
5
6
7
8
; O$ u5 o3 _' f0 [( \4 `9
10
8 N' L" `$ o) S% i$ ]11
) K6 u& c/ B  m12
13
' q6 B- \( Z% y. o( c) d1 {+ K14
15
16
17
18
19
20
3 k8 t# a! V! E) g21
  P! F# o* g, i9 ^
' J: |5 y% @/ K: I8 U
' C1 D+ h* t8 ~9 h0 \9 b(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
  n* N4 m7 I6 n: s( X

8 P: j! E2 I% G1 c5 Q
( A; T% ^/ b. ?* B+ g+ S
将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包



9 Y( J% U6 ]( E" Q
选择x、y变量
# R, W5 O* i( L


: Z3 k: B( f' O$ Q( |
( t+ A) @# _; |; ^% A选择拟合方式和最高项次数

1 ^4 c% }, x6 P0 R) a9 ^$ {
. y: p8 F, P4 x7 t' k; X
: b' T  O  m" M* g
得到拟合结果


4 g3 T( Q3 m9 U% a8 _/ Q0 k- u

9 H3 ^' k3 ~/ I) n+ u- W% {* e- x使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
" W* t, [" M% m


* u# i7 q0 m7 M3 ]3 c- r/ B3 E2 V


3 p( M" v, j0 C' R& g+ C三、数据插值
1、定义

! V* R& X! N3 L3 Z. j
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
1 E" y$ j* g8 Q% D$ W( U4 z. n

从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。



$ t. D: M: K3 E$ }' U4 x
2、作用
0 b& F0 L  A& t' x" Y
6 l/ y( j% S. d; Q: J6 \/ a6 G  w
4 y6 H/ Q' R  G+ D/ `4 H3 O! k. ?插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
0 l# P# s3 S/ w# G/ u
) u2 W  x$ D& T
  U" }1 J! z+ p- N% D

3、举例


* C4 L2 @6 x! Q1 t# y9 r%years、service和wage是原始数据
6 z& D8 H) u# @% q( Jyears = 1950:10:1990;
service = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
5 A( {7 h1 ^0 d& [# n[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
, V/ K+ k( E: R: `) I% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
1 e$ `8 V4 ]  c* P$ q3 Vfigure
2 s* W" t2 J" qsurf(X, Y, wage)
) \2 W$ x& \. ]* r( ^%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
1
2
: r" p6 M- ?: x0 o3
( e5 u$ n3 ^8 c; J, @0 h4
5
  n) ]. v5 T8 o6 T6
# R2 v& m" k- w0 q7
3 o: n3 I! ~8 d2 [0 P8
9 V' c) H  N" Y; x/ N$ F9
) w% `8 j! g0 x  U10
* w* A5 C! K% H( g1 f" ?11
12

! Q0 g6 {, W8 S! _1 w$ H6 l


可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
' y$ j/ w' g( {& X. _+ g



0 N; ?4 L; L/ X

四、图论
- N* k4 p% P: a' e. S1、最短路问题
0 K3 v( p+ S. I最短路问题就是选择一条距离最短的路线。


例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）

6 i: [) y8 ~& l( \+ H
% K$ m  j5 W6 R+ E1 S具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

/ S3 E3 D' k% u! P
" k; d; I+ N% N, y4 k

- W# T+ Q/ |) a* K（1）Dijkstra算法
! R7 i0 B% l3 }  o1 Z先给出一个无向图




% g  F; J- ~$ R; D- `用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
% n8 B3 v3 N3 V: b% B9 {



' n9 [3 |4 D2 I6 u
, x& i) I% }! R* l5 }
代码模板：
; q/ l; f3 n( T4 R% y
8 H: F1 C) d+ `) j% P6 Y7 e
4 C9 P" s, M% f1 G% b+ m#include<iostream>  
+ J) R" b3 k5 N# L1 g/ ]#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
9 R, L- M! a% R#include<cmath>  
% H) a5 ~, y; x" ?0 _#include<cstring>  
#include<algorithm>  
5 m, z5 w  I7 G3 @3 B8 e* ^#include<vector>  
" R1 B. }1 S% d! a4 u#include<fstream>  
using namespace std;  
2 ^! }8 E% \+ R1 X  
const int maxnum = 100;  
const int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
2 ^6 B( B$ [; k7 P, K. b2 v" Tint c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
int n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
1 l: L0 }. t: F  cvoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
{  
* T7 [3 ^3 L& \8 w  R    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
2 z- C7 C% \/ E( b2 L  E    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
        dist = c[v];  
        s = 0;     // 初始都未用过该点  
        if(dist == maxint)  
            prev = 0;  
6 Q0 v) ]- E+ v2 A2 v& F- A0 J; I        else  
            prev = v;  
    }  
8 ?1 X, F3 \9 x: m6 f9 o    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
  
  Y( a7 ]3 |( m0 h    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
5 b! [1 X* g6 d        int tmp = maxint;  
        int u = v;  
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
# H4 T7 D5 t1 w( g3 G6 E% R( G            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
$ _; C* m6 D6 |            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
2 N8 M9 U8 J" @4 N$ x                tmp = dist[j];  
            }  
( Z  h0 e/ [( ]6 Z5 T: d        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
2 B4 ?5 \; o# d8 v2 K" G) K        // 更新dist  
7 c; }4 x/ S& B        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
3 n! F) Y5 I' b                int newdist = dist + c[j];  
                if(newdist < dist[j])  
$ O/ e, v& o% A* T                {  
8 o4 l" V5 x; m: K; @7 [                    dist[j] = newdist;  
7 A+ J" C7 [+ L5 I# C. @+ y6 e                    prev[j] = u;  
  z( d' x4 U1 {: ^6 S8 z                }  
- v4 j- s: {6 J1 z0 r9 w1 b            }  
    }  
}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
. [: o* X2 I/ D/ X4 W) }8 f& a{  
    int que[maxnum];  
, ]. `, l0 U* Y7 M& i5 p1 x( N- i1 Y    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
    tot++;  
0 {/ @# p5 u- K6 k/ p    int tmp = prev;  
. j3 W4 k+ B( |- I    while(tmp != v)  
$ b1 F$ I+ \- a5 l/ L    {  
  g% z# P% |  C        que[tot] = tmp;  
        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
/ t( ]9 N$ `; N$ t( d9 F    }  
    que[tot] = v;  
. ^+ f0 _4 }% v$ a: A    for(int i=tot; i>=1; --i)  
        if(i != 1)  
( Z5 d! e2 w( ^$ R4 ]3 i4 n# f            cout << que << " -> ";  
        else  
0 X9 S4 M' ?( A8 v3 a9 w, c3 }            cout << que << endl;  
}  
  
int main()  
# J4 z4 S+ Y* O6 H{  
8 ^. C' j3 s' }; P    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
' A+ A+ Q) e8 ^4 \1 u) }/ n( Z    // 输入结点数  
% P' N! R9 z; y( \# f& L, b: u    cin >> n;  
    // 输入路径数  
9 P2 V- Y7 s) s; p+ O; S# X: V& h    cin >> line;  
7 w& [0 c& r9 _* K! D6 o2 a    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
7 y& m- R- ?6 {/ {& Y, t$ L    for(int i=1; i<=n; ++i)  
, u- d" u+ g0 j% t        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
5 S: m, i8 C, K6 B* Y    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {  
5 ]5 m) }: {: N* l9 @        cin >> p >> q >> len;  
        if(len < c[p][q])       // 有重边  
        {  
            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
        }  
    }  
   for(int i=1; i<=n; ++i)  
- J- z8 c1 ^. l% y. U        dist = maxint;  
2 U5 p, N: c: G- `; a    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
5 J8 S! P9 f7 {, b/ w) O8 {4 X            printf("%-16d", c[j]);  
        printf("\n");  
    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
) ^# }8 S5 y, m, B//    {  
//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
. a8 w! o. g# ^( y9 G    printf("\n");  
. a( B# z! I; p$ {# d     // 最短路径长度  
- H1 X' s9 |4 [- i8 Q% r* C    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    searchPath(prev, 1, n);  
6 L( h) Z% V% i6 r! P    return 0;  
}  
  
  
: `2 Q" L% ?# V! M5 _2 ]; d/*
输入数据:
6 k, i$ e( S2 N# { 5
7
. N4 N2 G2 |# ]' j 1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
; B& }: V/ @7 s" a4 _ 输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
" h# Y4 L, V3 c 999999 50 999999 20 10
/ S: G) L* d9 f, G# d$ { 30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
, U; }) _, k+ Q# r( K1 u9 O 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
  ~# u  q2 R6 ]2 A$ X*/
1
2
3
  V, j+ U" g# M: W4
5
6
7
/ D, @) W2 d6 K, Y5 a" B6 q4 V& f8
3 ?, I0 V$ t( E, d3 y' r9
10
/ u# x: {# W9 u4 A, u% \( U11
12
13
14
15
16
17
9 k9 s$ E7 n+ T( j3 g3 _( J/ q18
" j, |' |  {. q, B$ Q/ b. b19
20
21
0 ^- y" }1 g  S( T4 n22
23
24
: N! J4 ?7 ~7 g& ]  D  y25
* A- ]% I  b0 k' r) q5 K/ m26
27
28
: L9 f6 }7 F5 I5 A4 r" Q$ M/ n# B29
30
31
) h7 J6 b- @- z- o- ]32
33
0 r' R% B) F( a34
7 [0 M( @- k! A" ?, l35
; x) l! C5 r- m36
37
' J5 ~1 h$ ?" {5 A% |2 F& h38
1 @/ z  L7 o. b; R! I# a39
6 I% M  e8 }- w. h$ l: A* T40
41
42
$ B6 F2 I9 ?2 z1 n8 m43
$ e! i4 K8 A5 D, s3 u+ a* |44
45
) W; x, ?6 p' E2 a46
47
/ N) V( Z- Y7 U5 ]1 r! u: l48
49
& B, U) W: k5 q50
8 e, @' P9 L! F- S! w' \51
6 _) d! I+ \7 b- R52
1 V3 M  _% @' G6 \  D+ k8 ~53
' a' T  p* Q0 q6 F6 k3 O3 a54
55
0 y4 D, C. @0 l% f; ^! U56
57
- |. S5 y- A$ o2 [7 b; r; o58
59
$ E* [6 B% l* q3 ?! _# f5 d60
61
5 I! ]. o- Q) ?; Y62
3 I$ l' \. r+ W7 e63
7 w" v1 ^# b3 S3 u4 D64
65
& r1 R2 `& k; v# D0 t8 z3 p66
67
68
69
  D. g9 G& V( f) K2 H70
71
* \, k9 I# e( X72
0 g/ J6 `* s' L73
, w3 q- ]( w1 T- r/ m74
6 G* {( U* N  }6 C75
$ b. }' r( G( O  E# _76
77
78
79
! ]5 D% A  N* e% c. ?80
81
- S- v& W5 m; v* N82
1 L1 P. a1 c: u7 I! k9 w8 C  e; z83
84
+ i8 r% j* P' d: ?85
86
# a$ m+ _# f; p9 ~1 C# R* T! P! Z87
# R; e* @2 `9 I6 G  k88
89
7 _! Q' l; i$ c4 \2 r$ w( @( A90
# s3 S( {6 E8 b! M# K91
, Q, ]- b+ Z2 y, o92
93
! o, q1 p4 W4 B& a8 u2 T94
95
6 y& d8 D% \5 w9 X96
97
9 I7 L  I; [( j( L8 J5 q98
99
, K6 k# c2 U: O/ a( }6 \$ @/ _100
101
102
103
+ ]4 `$ T1 K$ B6 g4 h6 O104
2 v. i* x  }" {- F# n/ Q105
( m1 q2 P4 T: a, g' e) g( p106
1 s0 z& z; ^6 n9 O' m107
108
109
110
3 t, H- y$ |4 T' \+ X% A111
8 ]# |' b' k; [4 g( J112
+ r) \5 T$ J6 F; l: |5 n8 w113
114
; l) ?0 f0 q5 v2 R( G115
/ F: S" F9 g) K# O5 g: M116
117
118
119
5 ]% x* o) }, \' f120
5 V: w9 A; M0 M7 B% y. I( b; v121
122
* w& x6 H/ b; m( M123
. d( E5 \) F9 u, F9 l5 z0 g124
125
6 U' P5 z7 c7 v" a# q: Z8 h. {1 i126
; R  \" ?! Q: H  |  ~3 B127
128
129
130
131
132
133
134
135
8 c% D2 s' B: q, ~136
137
/ w5 `2 O: U5 o* F! W8 ~138
139
140
1 v) p9 C# Y0 o, T6 {& H" C141
142
143
144
145
146
3 a3 O$ V' D4 g" M& H" m
( z' y0 B  d: f: Z
（2）Floyd算法
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
' [0 O2 l7 H" S#include<algorithm>  
#include<vector>  
9 b8 V8 n/ ~/ H#include<fstream>  
using namespace std;  
& k6 G' d5 V' B$ z) @- @* q  P  
8 z/ S4 m. ~7 l* Z4 E2 Y. O//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
/ I# _9 u. q) p0 N4 Fconst int MAX=1000;  
; `  K  M& O+ J4 D* f) B% \. Ndouble dis[MAX][MAX];  
double a[MAX][MAX];  
" m4 }0 g8 z) h7 ~int path[MAX][MAX];  
1 Q) w: }/ S  zint n,m; //结点个数  
  
void Floyd()  
" g, [2 L4 o( {{  
    int i,j,k;  
& V2 G5 ?4 K; O+ [5 M    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
; R8 L' S6 K( R/ e2 ]/ Z        for(j=1;j<=n;j++)  
        {  
6 o! T! Z. y: p8 N            dis[j]=a[j];  
, {) z6 W- |& o* p5 o            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
                path[j]=i;  
; ]% D7 L% e* C            }  
" K, d( v1 X! ^1 R6 {8 V4 z- C8 G            else  
6 Y# {! V6 A, m; @* H/ V                path[j]=-1;  
        }  
    }  
  
    for(k=1;k<=n;k++)  
4 S" z1 @  w4 D( v7 A. X! \    {  
4 K9 Z5 z/ n3 [, a        for(i=1;i<=n;i++)  
3 R: ~+ m* Q% l        {  
            for(j=1;j<=n;j++)  
) a6 M$ A4 c5 D* h  D3 z+ D" M. \            {  
                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
6 X1 |, |- M% ^                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
* z; H& w& e6 t0 o& t2 `' l                    path[j]=path[k][j];  
7 |, h8 s: X# r  \  S$ G1 [                }  
" _3 I/ p5 ?' J+ r            }  
/ @2 D2 E& W- v6 x        }  
; v8 G5 @( h  B: H    }  
}  
  
: j. Z; R5 W$ T- _4 v& w9 `int main()  
{  
( ]) w  v" ^; n  z: `    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
2 H+ l( X$ {5 V5 H$ m    double dist;  
0 T# ?1 T/ B: F' T( ~6 R    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
1 M* I8 `* J* g; ]6 p       {  
            if(i==j)  
                a[j]=0;  
- w. x2 {3 Q! ^' I/ S. ]            else  
. @2 u% [  F% ~; n6 `% k                a[j]=INFTY;  
       }  
# [. k8 `" J/ q) A    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
. t7 k: d. D- [7 p: O- N' s* q    {  
        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
+ G! V( R, w7 M, w7 Y! a9 Y        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
    Floyd();  
: s, b' c: u. h' M9 e, z    for(int i=1;i<=n;i++)  
0 ]; ?% p! d) j/ G    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
, [! ]1 e" Y9 v7 v  k       {  
+ V) o' n9 @& A: c3 c! Z1 [            printf("%-12lf",dis[j]);  
8 B. V$ x6 V3 k) K       }  
       printf("\n");  
( l6 z' g" d( v$ l# M    }  
8 P$ ?! N! }1 z    return 0;  
3 |. R$ W/ J* h& z2 a}  
+ b# v7 Q& f: m/ X1
2
3
4
5
# t  Z2 ]1 E" P' [$ o$ s, J. h6
# x2 B4 h& F- T+ S2 |# k7
8
0 q0 r9 A. p, l+ w( s9
10
6 e1 C1 x0 h/ D9 o4 k8 w; Z11
12
4 M3 W" e9 \# n. j4 O13
14
15
0 r8 U. E' o0 K& x3 y" J8 `16
" O4 U$ a; q6 M' g) ?; _! ?17
18
/ {+ O9 s1 G; I/ k* R' w19
20
( v  T' {3 l- t21
5 f. E, M9 ~2 l+ t2 T/ W22
23
24
. q3 H/ ]  I$ N: Y25
/ k* h1 x* g6 w3 t4 n, s. I* D* m% D2 z26
. `2 S: w5 P9 Q2 n27
) {) ~1 r0 g$ K/ s! a+ n/ G. e28
29
30
$ k/ p2 p7 g. a; H% L' o31
. J7 t0 X2 R. a- D4 U32
& M* S# c3 M% L- }/ m/ f9 U/ N33
7 Q. G, t/ f* U8 _- P5 w34
35
36
37
! c# N* z3 N; N8 r38
! @( x) P% b2 ^/ Q( ~! E1 X. v39
5 h# r9 _) {" ~2 h: F8 E5 F40
* ^9 c/ q  a- u* P9 s/ h1 X" R41
% \, e) x5 F; L' t42
43
) w. S9 r0 h% M! D44
45
46
47
) `( J& Q3 U4 o$ X! B48
5 [3 _6 [* J+ h! b) k; q49
; i. n1 ]! O5 }50
6 R6 Q4 z/ I* [; H51
& {, j7 R* m5 G52
2 N+ N2 S' ^- G: D7 t53
# G3 F6 D% O9 t/ ^' z9 j5 w54
+ {2 ~" Z6 U4 o+ T+ X55
56
57
  I- v8 ~1 o" [& h7 w" W8 K58
* D* |/ P- Z1 `59
60
61
' ?2 M9 Q2 P# `- G" r; r; G9 H3 m62
* X! R% u5 o0 a1 f' A63
' Q/ ~2 l8 j! E2 l3 P/ ^# A64
65
66
, y  D. h4 O/ X- t3 u# k67
68
. ?5 Y* K% ^! M6 o9 Q  V9 G69
( \( D" O. c6 {& d/ p70
71
8 H) I! B  I) p9 Z72
* T! K+ I/ M& x' x, V73
  P9 N/ n* Y0 \) _74
* m7 S9 {* l6 o! l# O75
6 Y' L  ~/ c) m1 E* H$ B* l6 q- D76
- _, m: D% W: N; e( {3 a( X77
# V2 u- W; T9 r( Y& u: v+ y& M78
( m% N/ H- O/ |' Y1 ~5 B" y79
' |/ j' @9 n0 I& P80
81
' G/ P4 d! O7 @82
5 |* G; }- j+ ]  a, z83
- X$ }$ V6 `# {+ Z0 h

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, R4 D$ v( C  L8 G1 Z5 M. m原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_44668898/article/details/106607288


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