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【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

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杨利霞        

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    发表于 2021-12-25 12:02 |只看该作者 |倒序浏览
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    【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总+ q$ t% i5 U8 J
    一、蒙特卡洛算法  V: q- c/ s8 |+ v  }9 j8 P
    二、数据拟合3 q: g: a9 v9 J8 `7 l7 c
    三、数据插值* Q! B! L) i; j9 j9 B
    四、图论
      C, h4 U+ f- f# n; R1、最短路问题
    5 ^) k6 h2 y) B7 _$ n" J' y% h(1)Dijkstra算法
    ( X' A! r4 y; h( ~$ p+ o# K" W; E  [! B(2)Floyd算法
    & P( ~/ r  r8 o. r# w* |) i% g0 [9 @6 L+ G2 R2 n8 J

    - o" s  y) ]$ x4 m$ L
    ( D& l' k6 `( t6 o1 |) y# {  L, {' t
    " X% C1 K/ U: l0 o
    一、蒙特卡洛算法" X1 _. b0 Z" Z0 m: K2 I
    1、定义' `# m% z+ o/ ]3 A! T

    . b3 u. f2 w+ S9 H
    7 k4 Y: e8 g1 H; U
    蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法,将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解,故又称随机抽样法或统计实验法。& [2 K8 S: M; I+ I# L

      ?0 |5 r* N4 T$ F7 |0 v- p& Z- I$ o

    ) K4 ?$ r: I2 M0 K: r; K# |' S& E+ p. I
    3 J- C( p5 y; V6 ]0 E
    2、适用范围
    , R+ g7 K" w: A1 ?' n4 b2 M7 g: h0 P( j% x
    ; v6 K. T7 U0 Z* J% A4 }* h
    可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
    # y4 W0 `2 P1 N2 k. A! p
    9 P1 U. t, d3 f0 w1 K
    " K; z# v- m8 e# W; t

    ! l! B/ t! N5 c- Y$ t, k

    6 Z: ~/ a3 F5 Q, J3、特点( n% b$ z! J* m; J* i+ E

    ) c) x* k6 A' ~* r! {/ M! M
    6 I- Y$ e) v8 q2 x1 {
    蒙特卡洛算法可以应用在很多场合,但求的是近似解,在模拟样本越大的情况下,越接近于真实值,单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说,蒙特卡洛是个笨办法,但对于许多问题来说,它往往是个有效,有时甚至是唯一可行的方法。
    ( F3 d: }$ V7 Z
    7 W' p$ }- O1 }3 U

    9 c2 Y, a7 C" O" |6 C
    ) a5 v# M: E8 t# D3 x7 b! ~
    ! u: _. F) Q1 f+ Q* _4 P
    4、举例/ L: d* L  {. A* E. t4 I. w5 T7 v( r0 B

    $ t7 s0 o7 D* f# ]! E, s; L

    , u' }* A0 N  T- Ay = x^2 ,y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验,求该图形的近似值。
    * k1 ^) m. [" D: @0 m. @$ v# p" D
    6 D7 _* N4 ]# X3 U7 ^

    ) j) S. d# c. s/ ^* @# V; Z

    6 ?. y, f. E0 b# c1 x  w(1)作图# b4 x, G) G5 Z) T
    3 w# m; A7 Z5 C- Q! U* q
    7 D' @( k$ n: S$ X) F- w$ |( ^% U
    Code:3 l0 v+ t; l! D/ W/ L" X

    5 y7 a- ^: j( ?3 P" z: H0 @
    1 \2 p4 n8 b4 L2 x+ X1 K0 F
    %作图
    1 j% ]0 h' s/ V$ w5 i. cx = 0:0.25:12;
    5 [8 j1 p0 h0 E0 m8 }8 V# fy1 = x.^2;
    # p3 v2 d7 z) @* D' c& b) }y2 = 12 - x;7 s/ {) \0 m+ z: S) r
    plot(x, y1, x, y2)
    + k. ~9 j/ C1 d# B$ Oxlabel('x');ylabel('y');
    ! f5 E5 M7 s7 o9 N%产生图例
    & ^( f/ G6 M" T( Rlegend('y1=x^2', 'y2=12-x');, y0 l/ ?, L  G( u8 h
    title('蒙特卡洛算法');
    / R. L: ]9 h' y% y8 q5 c6 Y: z' z( k%图中x轴和y轴的范围,中括号前面是y轴范围,中括号后面是x轴范围
    1 z! n$ B) D% Y4 g2 V. M2 I5 xaxis([0 15 0 15]);) n9 E) {0 ]" z
    text(3, 9, '交点');
    5 @" }% b' d1 L; h( Y9 I- }; N%加上网格线7 x  @( R) y# ^
    grid on
    & ]  W% Y2 b) l6 z9 f1 ~7 u1
    ) r2 \$ h  N8 ?, `; t, q2
      N! x: \( M! U3
    $ ?  n) B$ r! C7 {4; r: v8 Q2 ]4 `- a$ `
    5
    7 c) v; }5 n$ W1 `6% _* O- G( Q5 P
    7+ k4 n0 r' w: {( K1 P' M
    8
    5 z' U: P1 o5 W" p* K8 v0 r3 B9
    ( ~+ K& g# c, W$ Z& P- P10  ?- j+ ^$ P! J
    11! z  s# l: A; u! i- ^. \% [- a
    12
    % Y. Z* J# i* I$ n# |13
    9 H* \8 p. l( h14; F+ t% q  c% }& F3 H6 x; [+ t

    " p# ~& v4 l6 a3 e7 ?
    ' T; |. P$ Q, O( O- S- C
    (2)设计的随机试验的思想:在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点,统计随机点落在曲边三角形内的个数,则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。" ]% ]! A5 G! \$ H6 S
    9 f7 o) C( q9 x5 [. U2 E  f' `
    & \0 z) v$ G0 O0 k5 K- h* F' ^
    Code:
    ) C. x, Z3 M$ ]
    " z: m* R3 p: m8 ^+ }2 V$ R

    7 t0 |, J/ u3 b2 W3 F8 ]( d%蒙特卡洛算法的具体实现) N0 ]4 T0 z6 S) h5 H. v
    %产生一个1行10000000列的矩阵,矩阵中每个数是从0到12之间随机取
    6 C# n3 T* C3 o/ v" H' Kx = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);' v. u& w% e8 i
    y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
    7 q$ Z1 m0 j  v& [. v4 Y. O, _frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);$ W1 H7 j2 V# n& m
    area = 12*9*frequency/10^7;
    $ z" B" W! Y7 p4 p' Y' odisp(area);
    - D8 q/ Z! ~5 K" U9 u" G9 H1
    ) l7 i- a) W# z2 }- T2/ u$ E7 [# M" h
    3
    3 X: M4 p4 |) o3 Q; m4
    ( E: H$ y- K! e0 O6 K5
    & u) E6 W- B3 l5 H2 ]  k63 W  N  |' u; f" F& Q+ L
    7- r% y) j( X( v( Q. T! m- |! k
    所求近似值:
    / |! c9 ?+ H) S/ p1 w/ e
    / ]! X: V0 z5 W1 Q$ x! y

    0 _7 E6 q& T, k0 Q( Y4 v& o' Q6 k% m8 P2 _

    ( a5 P- R! ]+ _0 j6 R# b. v! J7 I/ \% R- x, |/ D& S9 I9 W$ h5 ^3 T' w
    # p" @( D$ j7 {3 Z+ A4 `
    参考博客:https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
    5 R- E+ ^! F2 U- k
    ( u+ j" d' g. `$ K
    5 I9 z  j' h4 f/ @

    9 \# y1 X" R; B# V

    9 n7 p+ w2 N0 A$ l+ z. I3 [8 D" s# O& L
    7 h6 }" ~6 O$ X# W. f, W; G
    二、数据拟合
    6 f6 w8 J7 a# b2 t- Z1、定义
    ! E; |  D1 R. R( T
    * A2 D( |/ }4 T. I: ]: j
    , F2 d+ c$ A" M* Y) f
    已知有限个数据点,求近似函数,可不过已知数据点,只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小,从而能较好的反应数据的整体变化趋势。: Z7 R( r- F" R$ E1 h

    , Z( w. N7 @- m7 x8 z
    3 O$ `+ X  D8 I4 h0 _
    1 \9 H# q0 p3 B( o+ v$ Z
    & K4 \, v' [% Y* X) ^/ |4 V( D
    2、常用方法# O5 c/ Y- C' i* j6 `3 o2 v
    ; n4 b. [$ m) Z5 k
    $ w2 F+ }0 h2 y  b$ ~
    一般采用最小二乘法。
    * ?4 w" P% m( g3 ^拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数,主要是多项式拟合。
    : `. L8 o- L) w  q4 I( Z! _' W" n; O9 i8 m1 p7 r$ e; I

    4 d: Q& [8 e+ M# E4 B3、举例
    5 L, M9 t+ t% X& O9 P+ D9 |# H" v! @$ t  g& ?( |/ y

    : F( y, h! w7 D3 ]6 M# u(1) 数据如下:
    1 _8 x2 o0 x! x0 b, }2 |7 M$ Y8 K( d5 ?- [9 K2 N

    & u4 m2 i& I1 @( X4 {   序号         x         y       z0 O6 P, Y( P0 P( c( R8 O6 D
            1        426.6279        0.066        2.897867% w; p* i& A4 S
            2        465.325            0.123   1.6215696 @; w  t1 l( O; Q! o' k
            3        504.0792        0.102        2.429227
    3 m  O$ t4 d$ u& Y- y2 h+ X        4        419.1864        0.057        3.505546 m( K, P  `6 n9 X
            5        464.2019        0.103        1.153921
    * A  G8 z3 a# A- [- j" s# {        6        383.0993        0.057        2.297169
    ) x! Y( g/ C! p# Q, ~        7        416.3144        0.049        3.0589172 z- j7 u' _5 n% E: Q/ P) ]$ J
            8        464.2762        0.088        1.369858
    & L+ L6 j" I" n5 `& \        9        453.0949        0.09        3.0287412 E* [5 l2 N. F8 f( V, b/ l
            10        376.9057        0.049        4.047241
    3 ]* I3 b, a8 C; p" p7 Y3 Z        11        409.0494        0.045        4.838143
    ; g$ F# m+ z2 a9 [5 f/ b9 o        12        449.4363        0.079        4.120973# z4 P! k/ K: I/ Z" Y$ n% W( J
            13        372.1432        0.041        3.604795
    8 u: N( K4 R- `7 ?3 }4 H7 M        14        389.0911        0.085        2.048922
    / Q1 K" [' Q. N, b        15        446.7059        0.057        3.372603& F" S5 L+ a% c8 ~" V
            16        347.5848        0.03        4.643016$ I4 H& U# Y3 ?
            17        379.3764        0.041        4.741719 Y1 T7 B* d4 K" R# D
            18        453.6719        0.082        1.841441
    . A# x( L3 ]$ G* P2 ?        19        388.1694        0.051        2.293532
    # o) d6 T1 ~+ K$ g' E        20        444.9446        0.076        3.541803. }% e5 L" f1 Y1 B- Q) D
            21        437.4085        0.056        3.9847656 W  Z! n" h$ i( b
            22        408.9602        0.078        2.291967* m$ R+ c5 u) W$ v( b& r
            23        393.7606        0.059        2.910391$ w; j0 c3 |/ |' L& _
            24        443.1192        0.063        3.080523% _" \' P. f; y" ~  m) \
            25        514.1963        0.153        1.314749
    2 S7 ?: ~: w3 J; e( U        26        377.8119        0.041        3.9675846 Q0 ?: R$ }. W! Z
            27        421.5248        0.063        3.005718
    ) E/ [) K: H, _+ b; x4 k. a* e        28        421.5248        0.063        3.005718! p. d  J# l& z% S: }& L
            29        421.5248        0.063        3.005718
    # ]* J3 ^# g/ N0 ^4 i7 u( f        30        421.5248        0.063        3.005718& W% R+ P# `, l5 p( w
            31        421.5248        0.063        3.005718! x& N5 l$ W8 ~" V! K8 Z9 ^6 b
            32        421.5248        0.063        3.005718# z* s/ Z9 l8 U4 e7 y3 D
            33        421.5248        0.063        3.005718
    : Z& j% M( a/ J/ S        34        421.5248        0.063        3.005718
    3 m+ Z( c/ I0 z# W  a+ b9 N        35        421.5248        0.063        3.005718% v; e8 `9 M8 l6 p+ k
            36        421.5248        0.063        3.005718) \3 Q4 ]) [: _; b; H; v& `
            37        416.1229        0.111        1.281646
    $ B) G0 \2 y% h  t  c; n) e! G        38        369.019            0.04        2.861201
    9 E7 k. |9 z; Q! K8 R        39        362.2008        0.036        3.060995
    * V5 ], p* a2 Y% s( E! @+ A        40        417.1425        0.038        3.695322 R; O  l( J" T5 |3 Y
    1! K& P1 I) o9 E! l9 p, `
    2; {" I2 ]7 n* p9 @" u5 i1 X- W
    3
    ( ~* V8 ^. p' ^  Y4
    9 O; }/ `1 B' G' s" E6 ]5
    , N2 y- E) o8 C2 Y8 {, Q3 g6
    + J" V9 e: j0 w7: o& e* P$ o, p$ _" |  C5 J% N6 X
    8* j) X. F1 U9 P
    96 P" I/ V( [1 [. e! G+ ^+ a
    105 x8 G7 H9 j4 p% @) f$ u
    11
    / o3 S! s2 V+ A# B9 Y12. ~% B( c0 T6 W0 o- c) a
    13
    , Z$ a$ f9 G) Z- w$ f* D14% y7 Y% R* G& j/ H$ H
    152 g4 X$ S2 v  Y- D
    16
    1 ^5 c5 j9 q/ \! x6 r% F# q& @) D17
    % x) x! D0 C# L1 h18( C$ ]' j- T- A/ S, X: h
    190 r1 ?9 C8 S8 L2 i9 D
    20. j) q, r) A; H- i$ c% f
    21/ y- L: l  O$ P3 S) [) j/ A
    224 i8 a" L4 @* A2 I& [
    23
    1 p3 B2 ^3 R8 n% s" l24
    " ?( B( V+ _8 t. a250 U2 ]- W& C% N
    26
    / L5 B. Z  P7 u$ P& P3 O27
    + G- E. m9 K" a) g  U( z' U28
    4 N, w" U& L! P9 W( @# m5 L29
    ( _0 F. ~% ]8 Q6 [! g3 |30
    ' {! e' H# w5 M. K31$ @% G7 G4 L  D4 n
    32
    + X0 `9 ^9 K* }+ O, X33
    ) o$ c" C7 O4 j& G346 d* F  {8 o( [7 P1 h8 w# P
    35
    5 h% _1 o6 `" a! i) \8 M1 S! Y36- W; @4 M4 C# y# I4 R
    37
    2 Z& K( i/ J+ X3 _38
    . y% H4 @* g3 U+ g39
    / V" j# `+ o+ u, O5 t+ r9 S6 J8 T9 \400 i+ a; ?% r  k0 S
    41
    ) I) K$ ?; a4 O4 h) Z5 w- r' T3 `
    : g& [. i( G$ A- Y7 {2 ]6 u

    ' K! x7 c! b6 P4 P! S0 L# r+ J/ u(2) 方法一:使用MATLAB编写代码
      `# B: Z6 k" \3 @2 L/ y# N
    7 [; s0 q. T2 c  ^5 N$ Z) b# [: Z
    0 N# i2 d* T# r: ~2 t
    %读取表格) T* T& O/ w: d' o) V, Y
    A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
    $ O& ^$ d, Z; q# Q* _B = A;' @) h9 K( {4 A& M
    [I, J] = size(B);( ]# p& |. `: m: P, t
    ! s/ @0 X* n; B8 U8 f
    %数据拟合
    / G- Q! e: U& X* j; \& r" b%x为矩阵的第一行,y为矩阵的第二行  {) k- T, ~3 b$ [+ d
    x = A(1,;
    9 h* ~% P0 t! g0 By = A(2,;
    * @; B. ^- F& X8 V* A4 u9 O%polyfit为matlab中的拟合函数,第一个参数是数据的横坐标
    3 R1 ^9 h) {) r0 Q/ g%第二个参数是数据的纵坐标,第三个参数是多项式的最高阶数# X. ]; M  i- \* F3 v& l- B+ j' Q
    %返回值p中包含n+1个多项式系数7 ^- [$ R9 f9 A5 [4 |: \  t
    p = polyfit(x, y, 2);
    8 g8 ], V+ V' q- X3 O  W2 b, Sdisp(p);3 s1 g1 a2 z% k* _% b
    %下面是作图的代码
    $ r2 |8 J1 p  {9 z8 V3 `, b/ qx1 = 300:10:600;
    4 [% d! j! ~, B0 h# {%polyval是matlab中的求值函数,求x1对应的函数值y1+ N. F1 |( R3 u
    y1 = polyval(p,x1);+ d, Y* |/ d( w) S& }  F
    plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');: k) Z4 a( K* X+ Q6 e6 O
    %plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');' m; _, r1 a$ |5 `1 d/ n
    %figure(gcf);
    * b, \* D8 K# Q4 U4 v, c1
    , l7 T+ \$ A9 Y% b; o) Q22 m) R' u. T  s* l6 a
    3
    : R% a8 T  m6 t  R9 |6 o4+ `' f  q4 v1 h, B" J
    5: ]3 X6 [' ^& \3 o9 C1 b
    6. l9 g% |1 u! S7 ^4 I
    7$ t- C( ^8 L5 m& B8 i$ C. o$ K
    8
    7 J9 {3 M! z8 R5 B) J' Z98 ]3 C: P* ^. z
    10
    1 U9 y2 Z2 d7 c, {11$ g/ N! f8 a' k5 [; d
    121 {! s& U/ }! ?1 ^  X; N" c! v
    13
    8 ^; ^" {, \/ L8 J8 o14
    ! P) t& ]8 b4 Q3 t7 y15
    3 P+ J, R+ ]/ ]( G. @. z+ P8 d0 G2 O16
    0 u0 }- h* t" v# l# h9 _2 w17  x" {5 d' n# Z8 H, Z& a
    189 T# \. F5 Y# v1 U) J$ ^
    19
    # \$ W4 s  b5 ^- m20/ W: f; K3 c: M& C/ K) l1 F
    210 ]5 w! r; O& ]5 d
    2 E  A4 Z" H' t# H. h' U9 J
    & A+ f# @! \! @
    (3) 方法三:使用matlab的图形化拟合包(推荐)
    7 F0 [- b3 a. e5 c, M4 r  Q; w1 j0 A) r' o  [, q& j- s3 |: U% }8 z" C# N
    ' D4 Z4 v. p8 e9 O' _3 J1 z

    + H/ m8 {4 l- E& }. @8 {- C

    ' @# d, a4 H6 F将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
    0 y7 b- _" ^. s; F
    " }( `3 Q3 m7 d  e, @- W5 s

    * n( ^; R8 Y/ H! _6 A) o6 O) `4 E& @, v2 ^- j# g, F

    ; N9 i+ A% o: s, b选择x、y变量
    9 C2 M# L" d2 L% z) r3 p% T: v, W3 |( y1 h# X/ i. `, }
    8 x/ l3 k1 p) J) s

    / }7 ?# \: J. i9 @* j, [
    ) a! q! P- B4 f5 B
    选择拟合方式和最高项次数# ~, S8 Z* v' x$ ~% U
    , I' U9 ~  v) j1 O  A
    , q$ v+ M$ ]* Z4 ]1 x+ ]6 S4 H7 m

    ( `& c6 w7 [! ?4 t6 T

      h1 m6 a' C' `  B- k! z. z( d得到拟合结果
    1 ?6 ^3 {5 F& j" i) `. n
    " j6 G4 h, j4 @: D6 D% k
    ! ^6 ~/ k7 p4 m9 ^7 r# k1 {
    5 ^* k/ V# G8 C  j6 m) t

    & I" e! [2 h- j/ L使用图形化拟合工具不仅简单快捷,还可以使用多种拟合方式,寻找到最好的拟合曲线。& s" D5 T$ l: @! K

    0 g7 _+ r! q) Y+ l2 S
    * F5 k! u' I; N* \( \" w8 p* x; V7 d

      \6 n! F' l% x

    " z7 W$ F- \7 y& N3 C5 ]7 @* J/ t  w6 B$ k4 e9 x

    9 S6 s' k9 |8 u- g" p三、数据插值
    4 K+ N3 Y! V+ h  A4 `+ {. x1、定义
    " F: a! b% p0 e$ W% f3 B8 p! p. `  g4 J

    6 y- O/ H+ I* o" b在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。# k' v+ W7 _; Q: o* P5 n- Z' V

    ' K2 W7 y& o' F& n) H2 o

    2 j) V8 I+ c9 }3 v  e从定义上看,插值和拟合有一定的相似度,但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据,而拟合并不要求这样,只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可(近似含义不同),当测量值是准确的,没有误差时,一般用插值;当测量值与真实值有误差时,一般用数据拟合。
    4 D9 J) Q/ D8 n7 b! O8 _3 x8 U- Q4 i# R/ k* X

    8 }! q# {# M+ [, _8 Y
    * m: V3 D7 ~' D9 r

    $ D3 ^0 _: y0 ?2 Y2、作用
    ) d: K" {* [5 o; t8 y+ N
    5 s' M( Q0 N" j1 E  ?2 _
    " O3 D1 d- ^; i+ h& M
    插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值情况,估算出函数在其他点处的近似值。
    " N- g2 Q  ^% @! `+ u8 s8 D/ Z9 [6 u
    - W% x0 W) d9 S4 {5 r
    * x9 M4 ~/ N9 ~0 C
    , T; Z( o, f" u' _/ a

    / L1 F: y4 ?( P8 w  r' n) k! z3、举例; |3 h+ A1 p/ u& S  G
    ( S( w4 o" ?; E

    " C; y( z; m3 c%years、service和wage是原始数据7 F1 y" ~- \. v' S
    years = 1950:10:1990;
    7 f" z5 `3 o: u0 A; c) Iservice = 10:10:30;% S; ~; X: y8 m+ `3 `
    wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
    % Z2 h5 b2 P# G) f3 {[X, Y] = meshgrid(years, service);7 [" B  u- }$ S5 k3 k+ w
    % % 三维曲线# o& U* K3 k  t+ _& J
    % plot3(X, Y, wage)3 q9 L+ E8 f' m$ F0 }. e6 b* b
    % 三维曲面- U% i6 U. a+ H9 D3 I8 b- z; Z/ n
    figure7 g) n( T# X/ U
    surf(X, Y, wage)
    3 s( g1 B( X$ v4 F0 y# Z/ ~4 K%interp2是matlab中的二维插值函数,前两个参数是已知位置,后两个是未知位置,w是未知位置的插值结果6 K* R! a* K( |  W: F
    w = interp2(service,years,wage,15,1975);
    ( F2 w- j) X0 Y1$ w; v1 G, K1 w9 @9 w
    27 h8 i8 ^5 X8 H& Z/ T1 `$ ?; q
    3
    # W! G2 s* R1 G4
    - `- o0 P  Q) p5
    ( C! n4 I3 o  G6" J5 d& [0 \2 N9 T& D
    7' q% f% z' o8 Z9 m/ {. V/ p2 A
    8
    ! ?) G$ {: q( f; I; W% W9# r' m) V* ^: n& g6 Y* O3 u6 ?
    10
    + \2 t# y$ P! ^$ N11
    1 Y3 X6 Y1 O* }7 L& Z$ Z- T% F12  H- u8 i5 h4 v% d' K4 y+ ~5 R
      h: t+ G6 g8 |# R( |
    $ e2 Y  h! F0 g; ?/ E0 l' ^) C

    : n# n( h" a" t  g: x8 k

    5 X! w  p8 J7 N2 q# T: ?. J可参考:数学建模常用模型02 :插值与拟合
    $ J7 d$ s; w: D
    7 r$ u# V" Q4 @# }
    + Z, e& K  z+ Z/ b4 `% s  }/ Q! N
    / ~: Q* n1 S; M5 V9 a. ?* j1 D$ H
    3 @% ~( q6 Z4 @, r$ {  L
    # ?2 D9 {$ ?% a9 {& N! T* [

    2 D1 t9 w/ r& |, B5 f: p9 K四、图论
    5 y) e% N/ \# n+ v0 }7 C1、最短路问题3 a) D/ ?  R# X; R
    最短路问题就是选择一条距离最短的路线。' Q9 ]" W& j% V) M

    7 d! ^# `) U9 K* x+ i* j, b
    1 O7 P! Q& d1 T4 D) o
    例如:一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错,因此有多种行车路线,这名司机应选择哪条线路呢?假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。(Dijkstra算法)# d3 x# W+ t) j
    ; C0 i2 A8 R; [$ ?: B5 N, P. l
    % }& ~9 w. V7 g( p0 \; x$ C: d
    具体介绍见这里:最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法/ L  ]3 k/ c0 f. r8 Y
    9 |4 g2 d2 b4 d& F

    % q# s9 |) j8 N1 d; B, R! E3 Q
    9 e3 m9 w. l5 n  ?

    ! l, k$ ]1 T$ ~+ P1 \& {' }(1)Dijkstra算法
    $ P6 B) [$ E1 l8 c9 X& W7 m先给出一个无向图+ X, v& N9 n/ c
    % H! F7 a' ?3 b# r
    4 [; i0 g$ Q$ H1 g2 I- k9 `

      a; O; ^; L$ O2 Y

    % m& G: g: x* a, F# B! C用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
    # o0 J# a1 W6 {' B! O: O- T% O# t+ H% L3 x2 m, K" \
    2 x+ M, S: ~. E3 S* F

    7 u' f7 j! ~9 f& e9 e& _# E

    0 O7 P% N! ?. ?" c$ v+ @" V: p: Y6 }, y5 l; u! `2 }* _

    7 s" f" ]: m, D4 N0 A& W代码模板:
    & V; M; `8 C  N6 t: k6 j
    $ G- D$ P( |" F; S9 N* s
    1 Q2 R! }* ?8 m$ A( b
    #include<iostream>  
    # b2 `* j" k9 m4 N, A% y#include<cstdio>  # M0 w6 d. _0 Z, D& Z9 I3 E3 c
    #include<cstdlib>  8 K- M6 G- Q3 [- g
    #include<cmath>  
    4 D% x7 S' b% p( @$ i% X) x$ O4 j# U#include<cstring>  
    " d8 a6 _4 N) E( @#include<algorithm>  
    0 N! i, w* k5 C4 ]0 L! I#include<vector>  * b4 A5 u  L( o3 H. I4 W9 q* k$ J4 Q
    #include<fstream>  ( B  }( W: A" ^3 ]
    using namespace std;  
    # y7 [& L( u8 |0 R' d% m. h: g  3 ^9 H4 M* p8 ?0 h6 \: R
    const int maxnum = 100;  
    ( s/ W0 f' M% e) Cconst int maxint = 2147483647;  , ^* s5 Z( ?( x3 Q: \$ m1 h; b
    int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  3 ?$ a  F7 X) C/ K  }( I% }
    int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
    * [; e) s4 e. V( @& s3 A4 {int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
    4 i4 d  \  R& e( z( U8 Uint n, line;             // n表示图的结点数,line表示路径个数  
    3 ~" ]. C3 u! G4 Mvoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
    # D) k' q; i7 d# B/ l0 _6 l{  
    # a6 o! L4 @1 t$ X& P    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    - t% O7 ~& }9 D, X    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    # y' n) i( w; P! k( Q$ o. e/ t    {  
    + g8 L2 A' @1 q$ F( D+ @  [4 S        dist = c[v];  , V) x2 [7 g1 H( \
            s = 0;     // 初始都未用过该点  
    / A2 F( B* f1 J: V        if(dist == maxint)  # b2 D/ k# ^$ ~4 d! n* c* w
                prev = 0;  
    * A1 t  [+ z+ G) l- o8 [5 a) V        else  " L5 d9 U3 J" T1 O: O! @
                prev = v;  
    1 G/ ?4 Q5 r9 l( k    }  
    ' P+ a# E8 b; i; D8 C# n; d. Q    dist[v] = 0;  
    $ t7 l0 |3 k: I4 c    s[v] = 1;  
    , t6 o' G3 |( e2 ]* `5 S6 G  3 \  e, R! v3 L
        // 依次将未放入S集合的结点中,取dist[]最小值的结点,放入结合S中  + E2 u, w+ B$ ], |8 `
        // 一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  : T) B3 q$ J/ x+ f0 Z' q2 l& u9 Y
        for(int i=2; i<=n; ++i)  
    & O0 V3 K. `. @; J# ?% b    {  * c2 P( x5 n7 k4 o* [! c
            int tmp = maxint;  
    3 K2 `3 {# G8 X5 R        int u = v;  
    9 t0 U3 m* R1 N5 p        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  ! g* g1 O  K4 ?, s; W& F& Z; r8 v; b
            for(int j=1; j<=n; ++j)  
    3 K* f3 |+ `+ ~; z$ {% c, \            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  8 \: E8 R" R+ i
                {  
    * J* S2 _  ?2 g                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  6 o7 p9 n$ a1 O* o% t) Q  l
                    tmp = dist[j];  $ _6 F, X1 k% {2 \4 [0 C
                }  5 d7 ]( ^, a4 c2 W
            s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
    9 M7 J5 x. W; }8 O- x! i  4 r  L# f7 \( \
            // 更新dist  
    : P+ `4 @4 O, {5 q( @. F" y' X& M        for(int j=1; j<=n; ++j)  ; S; s) h2 h! d/ |  C4 B8 R
                if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
    * b) C& I. H) T6 o            {  
    8 l, S) B' }. }- n( U7 L                int newdist = dist + c[j];  & b0 a. t5 U2 O# @; O- Y+ h
                    if(newdist < dist[j])  9 @! Q' b1 v. A) ^8 Y: x
                    {    S- `6 `" f6 O4 l/ ~/ `
                        dist[j] = newdist;  : e8 J4 f9 X! s( G6 h& b
                        prev[j] = u;  
    1 C/ r- ]- b1 |; ~! |' N9 ^                }  1 m$ T. Z8 C/ X( i+ @3 u0 [
                }  
    : N5 ]! L: A( L- q9 r" ^6 p    }  4 ]( F( B- b5 H7 c  D1 U$ s3 M  S
    }  * O! {' X5 J" X0 N
    void searchPath(int *prev,int v, int u)  
    ! H, H$ f0 s' A! d: `* \{  % Y! E3 ]3 G- O/ j  ~! U- ]* p  ?* A
        int que[maxnum];  1 f; b5 }2 d: p4 s8 }, G% U; \1 c- c
        int tot = 1;  7 r) N. c1 l4 O
        que[tot] = u;  6 V8 ~7 u# n1 P. v" c& y/ y
        tot++;  
    3 i' Q8 ^2 v3 Z5 x4 V# X    int tmp = prev;  
    ' Q9 B- l  Q) q8 h6 y    while(tmp != v)  & ^7 V8 C* e! S1 `, R
        {  
    * h& @$ S: a+ x' C  o1 t: `        que[tot] = tmp;  + |) O7 I! X9 J* K; x( V
            tot++;  ( @/ I' R6 V! |
            tmp = prev[tmp];  3 k) ?# c% G4 O  ]. d5 A  z
        }  # ^$ ^, }/ i1 E: u
        que[tot] = v;  
    - ^( B' a& P/ Y0 w3 @    for(int i=tot; i>=1; --i)  
    " y# M0 P9 H( z( a+ L* T* K        if(i != 1)  9 L$ g' D0 ^1 {% z# ?) g
                cout << que << " -> ";  2 e% [+ [8 j6 a; a# T% V
            else  % U6 d, y9 f* A0 O2 ~- R
                cout << que << endl;  
      {1 e2 V  \% f}  
    4 l% X8 W6 S9 c5 ]5 y: r( r. H  " @2 X0 x! @/ p; |% I
    int main()  
    / n! B2 R7 C; ~. N' J- p9 R{  1 @! L8 ~. I$ o
        //freopen("input.txt", "r", stdin);  ' x+ U# |& _$ V) d: n
        // 各数组都从下标1开始  ) ~1 O' s0 D, r) b
        // 输入结点数  / r) b$ d1 _# n$ F* b( _1 I5 W
        cin >> n;  
    ; j6 e2 l* A; Z: D/ |9 ~1 }    // 输入路径数  4 {  O- J. _/ @- A/ @3 C+ {! S; x: ?
        cin >> line;  4 S6 o9 r$ G3 _4 S5 D0 k  v
        int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    " V% R/ D% e% p6 V' s& ~: g5 w. }    // 初始化c[][]为maxint  - p5 W: g/ j3 D# Y, |
        for(int i=1; i<=n; ++i)  1 O/ x' |" U+ @, W/ ?
            for(int j=1; j<=n; ++j)  ) D. p( D7 Z+ O+ K1 \' ]8 z
                c[j] = maxint;  
    . q( N% k) s7 C' a- I2 ]2 A7 @    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    * ^! i+ b3 y) ^    {  
    ! H. m, I/ n: }' y) v        cin >> p >> q >> len;  ' j* M) h+ y0 K
            if(len < c[p][q])       // 有重边  & B( Y- T3 b. z8 n4 d% b
            {  
    # k, c6 `. P0 k; e4 p+ p% a            c[p][q] = len;      // p指向q  9 {# e+ I% \/ ]1 e2 _( F2 \( I# n2 e
                c[q][p] = len;      // q指向p,这样表示无向图  
    # r( L1 p7 [. \2 }3 S2 T        }  , P) x; ^' ?( k/ O
        }  
    7 a+ B" i: }3 R- m8 [9 _   for(int i=1; i<=n; ++i)  
    ' {, r+ o8 i# d4 W; e        dist = maxint;  * q# S; A4 T: D, B# w' {% J
        for(int i=1; i<=n; ++i)  6 d3 `: B3 Q# s: C' j; Z* A
        {  3 R2 |. {7 C, T! J3 p9 m( H
            for(int j=1; j<=n; ++j)  " k6 }+ y; ~" B5 w$ S, R2 M+ q
                printf("%-16d", c[j]);  # |  S- R. t+ f4 K' ?( Z) k5 R, i+ D
            printf("\n");  & b8 G4 x; R/ o3 }
        }  - F. _' \# ~$ j& \- [& e2 o4 ^/ y
        Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
    8 Y2 g4 u4 p+ u# R8 j0 d7 C+ C  : x' F3 }7 {( h# {9 e, B$ `
    //    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
    , t; `$ R( W' o2 I$ C$ q1 ?2 F//    {  
    " R- h, J0 `& R//        printf("%-16d", dist);  ! X7 F  ^8 K! ^" v  z5 g
    //    }  
      ?% j9 O; I, A8 [- @2 [* s    printf("\n");  3 |' v9 W, v! L( j! m
         // 最短路径长度  
    " |% u0 T6 N0 l3 L    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
    & H5 j7 K* s( ]- U' A" Z! X     // 路径  / W0 Y/ o3 z( K/ t. }
        cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  9 j/ U# z( E2 v$ M- d! Q) b( U7 Z& o
        searchPath(prev, 1, n);  
    8 t* l. f- J8 [. \    return 0;  1 q+ J0 N3 i0 V0 [" J* M
    }  7 l/ W! S  \1 H8 f8 k, G1 j
      ) ~. Q$ }3 G/ W1 O
      
    ) D+ U2 Q/ D! ^% }/*
    - [- R/ q, I, y6 r' e* {, t5 a5 \- x输入数据:
    " `! y: b1 Y5 F" F7 r  s0 Q* p 5 ; [( m4 @6 ~/ n3 U
    7
    ' D& \3 K& h6 M, g 1 2 10
    2 ?' I7 J- r: _& ^+ ` 1 4 30 : j3 J( D) v$ N0 N% K
    1 5 100
    * ?# R& A! P% R. o. P; C& z 2 3 50
    $ _2 j( D, F" g" d+ n+ v 3 5 10
    1 t; t$ v8 n- S/ w# }& D. C 4 3 20 ; H; l2 s  o" C. @2 h5 p
    4 5 60 , B; F- S" C( A  Q5 z* }/ \# W
    输出数据:
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    999999 50 999999 20 10
    ! h# o/ A$ Q! m; w  B 30 999999 20 999999 60 : Q/ R& H$ Z5 d: i8 `6 k* ]
    100 999999 10 60 999999
    4 V, [  i, x1 Q! W; L1 R 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60 0 n( h$ M- j+ z' i
    源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5 ( x) B9 s8 N* G; E( W, k. m
    */
    - D5 [( w9 h* K8 N5 y/ d" c1# b- L8 a! U. a; @4 f/ ^( c6 m$ I
    27 C6 F. F( }0 S! e2 p3 |( O' a
    3( ~: a% `1 x, ~# R
    4
    % _- A7 t# D/ l) }, A1 T/ N. g5
    7 A: a& Z$ u- ]69 ?5 K* m. t2 M7 F' f
    7% M( w2 ~8 D+ ^/ ], r
    8
      x3 T. B2 e  V3 Q/ S5 v: r9; I7 B1 Q* L% F9 [4 t' r' B
    10
    : n0 S2 m4 z; K6 U# G/ l( V4 g11
    ; N5 j* C0 U: S) z. h12
    " s4 G7 r% k3 l13' V; A9 e! b1 }3 @& j1 `+ p
    14
    ; }' I1 z  K+ m3 u9 o6 h153 t8 }; }; o4 F. S0 o
    16
    * A9 M' K, j% d. y6 N1 S, T$ y17) J) T. Y: ~  X
    185 F& Z  s9 G/ a) O
    19
    0 @/ I: @* c: s! D3 u205 ?4 d% q1 f7 i8 y
    21/ ^4 T7 \7 d3 [6 j% J  j' G$ p
    22
    3 f2 L, [8 R, J1 v238 S; R+ w5 |) S4 t4 C" @# |$ k
    243 q& x& e0 K/ ], |3 O
    25; d+ M7 l5 y0 h1 N' M
    26
    # a) E' D; q+ O, B0 K27
    ! n" H+ Z6 a* k/ d2 I& d4 i: _& A$ P7 f28. i: z. `1 R# X( j% E
    29
    ) ~( |* _/ E% F30
    ( e$ \- n( Z* H- {, p( A+ }9 F0 r31& n" q- o# ?. Z- e$ ^6 l' Q. n
    32. o& r" s1 o5 ~
    33
    ) W6 Z0 x6 Q$ h" D1 x+ w8 C0 `3 g34
    1 r% R8 ~1 ]( K* k! ^6 [1 z35& y2 k) F" Q# l; G, P
    36
      V8 g7 L/ T$ O373 a7 Z( C1 e) Q
    380 P. `: R5 V+ ?1 U' C' r& n+ _
    39# A* i. r6 g) ~8 x0 l7 B7 o
    40
    4 M7 o) G9 P' o8 d3 z$ a9 U: ^" [41
    ) `6 l7 N3 E; X8 j% y5 ^, W42
    2 I- K! A- ?4 k43
    4 R. W8 {1 R! ]9 @2 a44
    , J2 J1 s4 B1 K+ V: x3 [45
    $ B3 c: |6 t& [( t46
    0 f. c! M, F6 i  w% w47
    7 D/ A% c/ [5 c$ m( L" V5 w% u8 k7 ?48
    : z, q) ]* o0 L7 z1 ~' W0 Q49
    & @$ G7 A/ r4 t, B! V7 t. F50
    ! _) Y% r' i6 L& a* B9 A51" N6 H, \' d; N( ~" \7 H* \6 q6 d6 n  y
    52
    4 \" z# J* h  i3 s7 _53
    . [3 W' i" J+ i- c" M54; X- t* R- M; D' L9 }3 ?
    55' X  M" d/ L( n
    56, ~; Y& J# y* S% r' N
    570 p! T% ^; q8 C
    582 t7 w! ~' [  J% ^) u! B7 _! G3 Z
    59
    8 R$ I  m9 ]/ m60% J; J- H1 l2 R( f% E7 h+ @
    61
    , ]/ p1 b" a! V. Z9 F62
    6 }' u; e# s" s: Q63
    ; a7 n3 r/ [* w# Q64
    : d' |1 B. D% Z6 }% x65
    1 B+ G5 x1 X, a2 ~$ I! H2 t66& U5 f+ U! B0 z: j( g* ?' t& t
    671 z/ D0 C* ~0 q5 x8 [7 x* D7 X
    689 j4 g6 ?, ?2 C; {( _8 W
    69# d- Y9 @3 t! Y  u$ @' x* x
    70
    ) N' |/ m) u$ v$ n713 ^! Y1 c) N9 B( y! k7 m
    72; S: B; b# ?6 K
    73
    - X- u& q& F9 Q74# r0 E6 D  }, R% x
    75  }. {: |0 H% t
    769 X2 e# ?1 S; {2 X5 s! B
    773 S  {7 ]) B# T( o' c
    78
    - x' y/ ^8 D) w/ y  j4 }0 v79
    ! p( L8 h- D, }) u8 P9 r80/ K* `, }- ^, q% u! H
    81% s/ q/ f' x' {
    82& t. f& B2 X2 l
    83" s$ I3 y* U# s; ^8 ~5 ~" N6 w5 f! U
    84
    % m3 a  N/ x1 U- I% U: C' O: \85
    ; W# o* }7 Q7 E" S  X7 u86& m, k2 ]: o, W2 `$ L7 d+ F
    87
    , {" c9 a, P) S$ F- K- v883 P* j0 k0 R3 M7 k: W3 j
    893 Y. ]7 g: w3 @3 v  `. f* w
    903 U' s; i& b4 o  f* s. Q
    91
    2 h6 m8 P/ M* |" o% V' B. L* d92
    ( U3 b* T" h+ N93
    ! h  y/ ~6 N7 A. x942 q6 i* H3 `) J
    95
    2 g* J4 N) W% D5 T% n96
    8 M. f  V# j1 Z/ @7 \) S97
    8 X: r$ o, |% {7 E" _3 F981 Z. X% p' o' i8 q! R7 y
    99$ t4 x4 A. o% X  L* r; {, O
    100
    $ u( l; `, j. E, [# ~3 Y101
    ! D  I( P9 y$ a& g: R$ ?. g102
    - Z5 _, V  }/ ^& O( l103
    , o9 ?) m+ A8 \104
    ! ?7 u' H8 X9 F" ?105% u: [: l9 \/ N% E$ b
    106
    & j' J( h- v- V$ I6 ]107
    5 u: C, x& M" Y6 m$ y108
    6 ]; |8 E4 y3 K" U1 V! V* w109
    " c! s! B7 H4 w2 s110
    . I$ d/ z# Z% J& @111  D3 S' q& M1 h# l* [
    1123 q+ O; Y0 ^  \/ w9 j! J3 ?- O' {
    113
    0 j' x) n( I6 x8 _! C1 @114# p1 M0 E& d+ _$ F& V  H
    115+ O4 n0 R/ o  B
    1161 r* ]) e" ~) f3 [+ E6 k5 R9 @% t
    117
    1 G" w' e6 a9 X- ?2 D118  t# ]: d/ I6 p) }& ]' ?) G
    119
    * r% i# S% Z" x/ {120& x, f) h# k% F8 d
    1213 s& \3 s( T! Z; u+ R/ [) a
    122/ a3 T; Z/ j; m! n
    123  Z- y8 |4 Y, z# U9 V4 m
    1248 a6 B# b1 A2 J6 l( D6 r& \  `/ `
    125
    ! b1 W: e" a" q7 |7 V" x: y# \% R- M126
    % c; T- D4 W% W7 O( g1 e127
    - n9 B' p, Z# Z+ c4 X) K128
    3 n" v- P3 }4 ~1 g# H/ W0 C. [1297 Y* ^5 k  @" l) f
    130) W3 u) }! Y+ Z1 S0 _
    1317 F- W3 r* J1 i- O
    132
    ! H# Q8 f0 u% ~( C  q5 t133
    4 k0 Z. e/ m, n# I( w134) {8 s  e6 S, V
    135! N# T, U2 ]# M# _
    136
    + @" Q( ^6 w: U3 w4 X137
    # o  K1 k2 b# ~+ F  @4 t138* O& O$ s- h$ O; n! D9 w
    139
    - I) O, A" ]0 [2 g3 S140; w- P) j0 x4 `/ a
    141$ H. P% c" e4 {# x! j5 x
    1425 U/ x- P8 o7 T0 P3 E
    143( k, Z6 S3 \1 r8 _
    144
    ! p9 ~  V  o' S+ t1451 s- F1 \* B+ c7 Q# r7 Z* ?0 \
    146
    2 S3 n2 L! G6 k( }- F; C& {4 [. X$ g. c

    , e* ]( E* U2 c$ \4 R3 i( Q(2)Floyd算法1 }) ~8 p% m' |* L
    #include<iostream>  
    5 {  g$ z3 O3 T0 D* B+ L#include<cstdio>  
    7 F. l) N2 M$ g- t5 j4 ~#include<cstdlib>  ( J5 v" e$ {: o7 K
    #include<cmath>  
      E& k5 \0 |) E: n/ Z#include<cstring>  2 Q' T" d) F+ B0 n$ }: E
    #include<algorithm>  : p9 S4 s# E, k4 z- J) k
    #include<vector>  
    ) B% w7 ~( x9 a6 Q" T3 y- K#include<fstream>  
    % p7 X2 ~, B% H' ?using namespace std;  
    * N6 h# N0 S% {  o; U5 Q  . R, N' l. Z) J8 X- T9 p* o9 y
    //设点与点之间的距离均为double型  / }' K$ B- F8 f( D( O
    double INFTY=2147483647;  
    $ U6 v6 w$ u9 Q% Gconst int MAX=1000;  
    + n' X8 |5 |2 o6 J: P1 Z" V% f$ e  Cdouble dis[MAX][MAX];  4 J2 }  z6 q2 t2 O# o. G
    double a[MAX][MAX];  
    4 I- P- f! r1 x6 b1 g4 b! f. oint path[MAX][MAX];  8 f2 o2 ?* r: r, Q* N; {
    int n,m; //结点个数  
    4 E+ R- j$ q% d8 x$ B1 P  1 Z7 F5 h' G" K, g/ Y$ x
    void Floyd()  
    5 D& u0 o% }2 Q% f! L. S2 X8 Z3 n4 S{    q( [4 s: m+ w7 V. w
        int i,j,k;  
    $ H: ]9 y4 ?1 e7 \% u5 B0 U) n    for(i=1;i<=n;i++)  
    & m) i5 T1 t/ ^; t: [* a    {  
    - ^& }/ n" o9 I9 y- y$ q0 S6 [        for(j=1;j<=n;j++)  6 M3 _% h- A. S; D
            {  
    . }: K) d. Q9 M8 Y            dis[j]=a[j];  $ Z, Q& R7 }# g% s
                if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
    5 _, C% d# I. L            {  ) T' R0 R- z# O$ L2 F0 e$ |* Y
                    path[j]=i;  ' I1 k7 R# |4 U' S) h4 i5 \: w- J
                }  ! g4 f8 ?& a: ?, z- j2 w1 U4 ~
                else  
    . A( K' P; r( [0 D# k) l3 j. @                path[j]=-1;  
    3 T; a" d* j% S; w* ?  B        }  ! y& i1 A$ A; s* v; ]# o( ^+ B; d
        }  + F% a: J7 o, q( ?, r( h
      0 u7 D% y# H# z# M
        for(k=1;k<=n;k++)  
    4 a5 d) t3 f% K' r  w+ f- k  `    {  ! y. A3 j. C# r$ J, P1 o
            for(i=1;i<=n;i++)  3 k1 O1 O& ]6 {% M; W! _
            {  
    $ A" E2 W5 M( ~! S" d; Y6 }            for(j=1;j<=n;j++)  
    : u& n  @3 b/ |7 k( A9 R$ x2 i            {  . c# W' V8 f4 n
                    if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  " @) e6 g& |5 D, Q% Q5 p2 ]: X
                    {  9 c* z" A6 P. ?! R
                        dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  5 L, @/ J6 s* l7 f; f' S" O
                        path[j]=path[k][j];  9 [7 Y- t* H- K! o4 ~4 i
                    }  . L, ^7 i2 n/ k' E: F
                }  
    , i2 S; `  e6 u+ X) y+ c! X# p( h        }  % ?. U0 y* Q) J; Y4 t/ o( z5 B( Q
        }  ' p) }- g. D3 F4 _0 E
    }  
    2 e" g6 [% ]& ?6 O: ?" h- c  
    , q4 g) I: Q+ ^5 B$ d+ s) q" r5 V5 Nint main()  
    % f2 z# h* ~* k2 l. Q1 x{  , H! O8 N2 n" S9 i1 f: [1 P
        //freopen("datain.txt","r",stdin);  / S9 w! Z  n: h5 ^6 }. P) E' A4 D
        int beg,enda;  . s" i' O1 X% A
        double dist;  # b2 L" I& `6 @( {. N# m" C
        scanf("%d%d",&n,&m);  
    3 E. o) j9 q5 h4 a    for(int i=1;i<=n;i++)  
    % i5 U" o  G8 g. Y) p! j    {  2 A+ _: t8 `, G! R+ x: o, Z
           for(int j=1;j<=n;j++)  + V5 |2 z$ c0 q1 m/ y7 k
           {  
    ) ?5 E. E& C7 ^: {0 Z  A& X            if(i==j)  
      i) f: J: n. ]- q, Q                a[j]=0;  
    4 g0 e7 e0 r) {) l            else  
    ) u  X, X' d8 `* W                a[j]=INFTY;  
    8 b$ o- M  b* Y       }  
    ; K. v4 ^1 ?2 I: h$ C2 U4 Y    }  3 A9 J" t. \. U* T
        for(int i=1;i<=m;i++)  4 ~  H1 p. [8 x% n8 z/ j9 a% {' L  h
        {  
    3 L" d2 ^8 v% j* \' t; M) U$ Q3 g5 ^' `        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
    8 h$ i$ L; i8 ^        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  2 v3 h' x1 y1 y- ?  f; ]0 y
        }  
    # x' j, m( _3 n    Floyd();  
    / u% j" z+ a  F, O5 U    for(int i=1;i<=n;i++)  & n4 T! L) F" @' g, D6 M
        {  
    & U- F: ]8 q# x; b/ Y8 c6 Y  ^       for(int j=1;j<=n;j++)  2 e2 }- d' Y9 Q1 v8 p1 D
           {  8 @4 l2 N6 i% w" a+ O2 D
                printf("%-12lf",dis[j]);  ' j" O' o+ V) _% \  x- ?
           }  
    # }; l( `( v! f+ {/ l       printf("\n");  1 M! Y" V+ T6 v( Q6 J/ I! V2 J4 m
        }  
    # E+ `  k0 V( S/ K% n' ~3 P    return 0;  5 X, w6 j* [/ m1 Q
    }  
    % D( @2 ^2 b: X4 f2 g, |' m! P, O& p1% ^1 K/ o" I$ x! }& a+ w
    2
    * V% S$ ?& X: q- Y- `32 b) P! H+ t5 L7 t+ S6 V
    4
    $ a! A' S* F# s' V0 D5
    6 L& C+ }9 K% }  Y- B6
    % k4 r) J3 o3 b0 e! Z4 [2 C7
    , ~' C% D! D9 o$ B; R$ ~" F82 w6 n8 m( |* z, \
    9
    7 C  M  [) H8 y; N10
    / ]9 E; l2 _8 K$ n11. D2 H' Q* q/ g# g) ~& l9 \
    12; c. y$ j2 _8 D9 i' z$ f8 n; E
    13
    8 V- V  n% S5 t$ `14
    . v5 M* a- M7 D, s$ C, W153 b9 U3 d& c7 W. ^
    16& O- H! j  x/ i" B  O" O
    17
    # ^$ W# c* P+ J4 R- w7 r. ^) ~, ?18
    8 [. X' J" `9 m19
    # R4 j4 m! G0 q1 Q7 `. B- @$ m* `5 I20
    , a7 _; t* X6 U' S21
    ( W. D" g. Y1 e227 B* Q* ?& Q! y  n! k2 a2 f: y
    232 A3 H$ @9 H3 d% ?2 W) X8 u
    24
    7 J0 k0 F, ~0 j  k25
    ( e, f! P) M6 w26
    & U1 q" p: \5 w) E8 p277 Y6 |/ x4 }9 X# I5 X
    286 i# G+ [& ^8 j5 S' B) j
    29" d8 \! _9 j' y+ R* J
    30# v3 A% ~* j) b# M8 i
    31
    0 P7 [- v- J* R5 N0 x& s0 j32
    - B# {! L6 {( \2 }. a* p+ }338 ^: M' M. K: P8 X& P
    34
    ' S4 X" o$ O- b" b35
    8 X& @  `4 c" d4 {' P3 i" J3 k36% X6 ]( w( G1 `" Y  E  k2 R
    37
    0 p: ]- K: X' k' `, e3 c38* {3 I* y4 v+ y# Y5 _* k) q
    39
    : D, o8 g0 E( x0 W40# R) a7 e$ h: e5 L9 n# O% L6 B( m
    41( G. O* G$ |) k# Y+ X
    42+ ?" R; m: o# W/ V6 H* q
    43, \$ Q5 p  j) C# |2 e" B
    44* [8 _: A2 p( Y) P/ }' D+ F! j1 k& t
    45" z, c5 U# [4 b& O! o; z% u+ C9 z
    46
    & W) M! W, V4 p# V3 Q! v' J6 p8 W47
    + ^$ c+ k$ Q5 e* b' D- Y48
    - x* r3 b1 F3 b# ^49. B' n. f* }* b, C
    50. @$ _% }+ }5 e
    51
    * X1 m5 m& k$ Z0 e) _3 `52
    ' w" N6 z. R* }, d& G8 j5 k53
    # f2 d$ I# l8 n2 a8 K0 \2 Q54
    6 o* U: u7 q$ H; D% k  ^% h+ [55! @/ O" [) o8 I
    56
    * O9 p1 |$ B& y* z4 I8 `5 {57
    . f1 p: y; B) d2 r6 \$ @58
    - s4 w, b0 V1 T, r7 |0 W, ?59+ M" B1 O: I/ A0 @. k
    603 H& Y2 C+ f* c  ^; U
    61
    . ]' q9 N. ~( o7 B( @7 V62
    " i2 B  e6 Y# d63% k$ E# D! m$ Y5 O) V* V
    64
    # V& y9 e( S: t# n+ |6 n% H( U65" J+ ?: Z3 i7 I2 S
    66
    0 _- K- {: }/ l8 V67
    # E, ^7 P+ z0 E. Z68
    ' j" e. i0 k. W698 N6 ^* r7 a% ]5 s) F( u
    70
    8 P# B* ?3 x+ I' a71
    1 [& R. K: w! T9 @6 v72. f) Q" p0 ?) G. K+ y' C
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