【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
& ~- x" ]% u; z% Y: H一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
三、数据插值
3 k' ~; b. ?0 `四、图论
1、最短路问题
（1）Dijkstra算法
（2）Floyd算法

, P/ ~4 @+ P8 N0 l" ]( \
* t( d6 @; u% h; F- ]7 i

一、蒙特卡洛算法
0 R& ^4 _6 m) e* m6 f1 P1 ]3 C1、定义
0 T7 Z0 R# y3 t- U& N3 _9 }
2 m  N- X, t- L5 C0 K4 E
5 c( J) w1 k* [, |蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。

8 V$ d' v0 n' e( y
% w* O& ]. u* i& N0 l

2、适用范围
# v- q2 J8 V5 t( p% z
% Z! c1 x5 x* v: W
8 \" S7 y3 ?& I: d可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
9 L& ]8 H' e  T& A: A: p0 t0 `7 J7 i/ Z


0 C( w3 I- e- A/ L8 _, Z1 |( @
3、特点
  L0 [3 N! w9 P7 f. G

蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。

' p6 r/ U2 r" E* |


4、举例


y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
) Y( k6 h# ?9 l" [  f
. I( N% j: e* h+ r( Y
. ]( K- J8 N) y

（1）作图
: d7 ~6 g% ^0 N4 S$ z

7 q7 S: M- H3 e7 ], ~Code：
& i( x( d7 I! x! m% i& t4 i5 [
7 J: u) [  O7 O
%作图
x = 0:0.25:12;
y1 = x.^2;
y2 = 12 - x;
plot(x, y1, x, y2)
xlabel('x');ylabel('y');
%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
/ _0 m/ X9 ^1 B/ |. `8 Qtitle('蒙特卡洛算法');
+ V, M1 |6 v9 v5 K" q%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
* a0 _( x$ j3 a- Iaxis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
" A. X& b. F. w) e( K5 _" \* A%加上网格线
grid on
# \! [& H/ ?% H( |8 O1
8 E4 @; U6 m4 s9 o2
  s' ^: E# ?$ V* o. \3
- v% I) v( ]* V7 L1 |4
5
5 E: r! [; i7 s0 }3 m3 }# Y5 e6
% ~- W" [  E. p1 U" ~: o6 }5 J7
8
9
! c2 G# [- J* T& I  |2 T7 B10
+ H  D+ x+ [$ e7 b) l5 f11
6 U% o/ B2 n# o12
13
( Q1 T3 f& i% h1 g) f9 j0 m% \6 ^5 s( S( e14
  l1 t+ g! I1 [0 G$ g
! \' f: u1 x6 ^  @$ P% l7 ?
（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
2 ?5 d6 S! B9 A1 k3 t3 s
4 V% p3 ], O* S
Code：


# d7 d, S  \* x" I4 D%蒙特卡洛算法的具体实现
$ z, v9 ~3 q* u%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
- P+ A* r, @/ q- \' Z5 Yx = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
& d$ j( L& Y" h9 G5 yfrequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
* ]3 ?) b7 m3 S( O( uarea = 12*9*frequency/10^7;
disp(area);
# q: m0 q! R! K+ h7 L* M- h1
0 j$ l$ J  y: _6 m0 w2 r2
: q% C3 V# h$ [$ ?; r3
4
5
6
/ u  Y) N% n3 ~  ~" `% n" o; t1 m7
所求近似值：

' X/ X; `# y  f( {' j: _

6 O* g" T( l4 o5 Y

8 N4 r( I! q+ {4 M
" N! V+ u7 m7 c3 X- j参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
2 g* v  M: F$ _& d* X3 \
. E; d& t( Q2 V4 i9 I. }6 U3 u

/ y/ J; Z2 n8 n5 d+ y5 b( O4 A+ c% S1 V( p
4 p! \- l2 r+ e, O* q: D5 b
7 f& D/ T  S( P' T  `& B
二、数据拟合
1、定义
0 s" ?0 ]* t& o. x$ H$ r7 J
3 l! I/ V* S% U
' j) g, z% }7 ]( _已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。

2 }+ [- F1 y. q* p7 ~( }


+ O# Q. V4 D6 A$ j. _7 n2、常用方法
" M6 k. |) L# ]
* k! {+ z6 x3 Y" T) i& o4 M
7 l+ H8 n, s6 O; a6 m9 i一般采用最小二乘法。
. j7 e' W3 G# b+ A0 e# i拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
- P9 Z7 b6 \3 u+ ?6 Z
/ ?7 e8 @$ F7 N# K- x- \
7 W6 T1 ?& E$ G& @6 J6 |+ N3、举例

- ?3 w3 F! E. X2 l) v! X, E
(1) 数据如下：
* a  Y, k  G0 E" P* ~2 p

   序号         x         y       z
& j9 N* X/ P) M0 R2 y- B        1        426.6279        0.066        2.897867
        2        465.325            0.123   1.621569
        3        504.0792        0.102        2.429227
3 S* @6 y# m; U- Y5 o& ?7 y        4        419.1864        0.057        3.50554
        5        464.2019        0.103        1.153921
" `1 g7 C8 K+ E$ v7 ?2 ]; ~  n8 q, A        6        383.0993        0.057        2.297169
+ P8 {7 h/ R; `3 i: y        7        416.3144        0.049        3.058917
1 d& A0 ~4 t% z2 {# L        8        464.2762        0.088        1.369858
0 w  o* ]$ ^+ U5 G        9        453.0949        0.09        3.028741
& K5 }; M, n9 m/ f: r& k        10        376.9057        0.049        4.047241
) k: }0 a# E6 @4 [* Q4 S6 U        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
& ?7 y8 x+ k1 Y, X2 c) s        13        372.1432        0.041        3.604795
: O& C; }& Q; {  l- p: C& K        14        389.0911        0.085        2.048922
        15        446.7059        0.057        3.372603
# D3 _7 P& q* ?/ W+ L6 A2 C+ x# ?        16        347.5848        0.03        4.643016
8 Z: ]  D' H2 W        17        379.3764        0.041        4.74171
        18        453.6719        0.082        1.841441
        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
/ s' P2 s$ X( x; ^9 J; O        22        408.9602        0.078        2.291967
& o& ?$ J, t  d# t. }        23        393.7606        0.059        2.910391
7 Z1 B. z! o; t5 }1 o7 q        24        443.1192        0.063        3.080523
1 L8 U/ X* B1 u2 H' E        25        514.1963        0.153        1.314749
        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
        28        421.5248        0.063        3.005718
        29        421.5248        0.063        3.005718
+ d3 t9 E0 s) \, N9 M        30        421.5248        0.063        3.005718
  Y6 Q- `2 G/ r1 m5 n        31        421.5248        0.063        3.005718
        32        421.5248        0.063        3.005718
        33        421.5248        0.063        3.005718
0 x, N8 a* c" M        34        421.5248        0.063        3.005718
# ~' Z, ?# ~  j' i        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
  l7 S. S" P. L* a        37        416.1229        0.111        1.281646
        38        369.019            0.04        2.861201
5 e# c* g$ X; `8 f8 r" |        39        362.2008        0.036        3.060995
1 r- t$ C$ H! E) K5 _5 u7 d' K2 V        40        417.1425        0.038        3.69532
1
2
" j* o$ g4 l( G/ L3
4
  V* l5 A; `4 k+ B' s- q. W5
6
7
8
: [& Q8 Y7 p* n" o+ r0 ~' h9
& D5 K' t3 g! }0 L6 \0 o( X& t10
11
12
13
14
+ {9 f& e6 U1 X/ A/ z% \15
16
; x* w: U; D/ g6 H/ x2 Y4 e" L17
' k* m& Q$ n4 a6 s4 H18
- L" w+ ?# M+ y3 Q' j3 C2 x8 {19
20
21
22
23
24
25
26
27
" Q8 v$ ^& {3 {+ P28
) [+ D- Q6 ?" e1 @1 X29
30
- q- g7 [' ]0 ~31
32
! R; E( T8 ]- z' _9 M33
34
# ~, W4 ?' r3 H5 s8 E% \) c$ d35
36
37
38
39
40
41
/ U" v7 }5 X# m" t9 C' D
, w4 ?% c; i( }! ^3 f. Z
! d) Y1 ^: q1 _' u  G3 C  e. ](2) 方法一：使用MATLAB编写代码

% b( h0 V' P6 ?8 w; e# {
%读取表格
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
# F3 V! o9 E0 D1 q5 BB = A;
9 A% i  E: F8 K- Y[I, J] = size(B);

+ X- U( R% Y. H6 b%数据拟合
+ \4 C4 E/ j9 Y%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
3 g& |, g! N5 Y! Cy = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
: A8 |0 S# i- M9 l7 f& E; [# F%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
( G0 |2 F- l9 C%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
( Z/ C6 o4 l/ i+ edisp(p);
5 p# K( i* X( z4 \* e* |+ o) I%下面是作图的代码
x1 = 300:10:600;
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
y1 = polyval(p,x1);
. Q+ d5 v0 w1 G# V$ }# bplot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
% d3 R9 |/ \. f%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
& S' j2 I$ T5 P1
2
3
: ?6 y7 t- q5 V5 C( C4 I( d4
5
6
7
8
9
10
11
) l9 F2 _2 {: N/ i' M12
13
% a3 @0 {) _+ f* H: W% r! h7 I" a14
, R1 A4 u/ D; I7 u; Y" c4 A4 _15
5 c" n( o  M8 R, Y1 c1 v/ u% q16
17
18
- I5 p4 o6 w, a' R* P+ e% h$ |# t19
20
2 d. b2 m9 {  x9 X% Y' c8 q21
' y7 ?8 r8 G; @' D

9 ^! Y+ O" F3 M* @(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
* F% i3 w- w# Y' T

+ z( A* G! u3 e% v

; T. ^6 b3 X1 v+ P+ g! D/ ^将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
( o3 _( o6 h0 u2 K2 m; \  Q
# F$ c% Y6 D5 t. ?

, a8 }* ]; J9 H
选择x、y变量
! M$ \7 Y+ C7 }, ^) k
& b* I# h" ?7 W, K$ v
4 E( s2 G* G. D* h3 i8 ]
# t  D- l! L7 i3 O$ b
3 Z7 g4 y' o: S( r  k+ T选择拟合方式和最高项次数


: [7 V' O3 I9 E( _  K
8 k0 a; R6 k4 f
得到拟合结果
4 x" S5 P) s( M' D) t" ~% r3 |
7 C3 N. d- [& h$ V6 Q1 [
2 z4 N5 }; I; j, ^
8 W% |2 @6 i1 u0 ]3 ~% g" m6 k
使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
+ ^" y  e; g, @1 N: c7 d  {6 C
5 n5 }) f# H, A/ v
" Y" F5 f1 J) q1 z0 I* `! I
1 w1 [0 x! e+ N1 G9 ]9 U! [3 x' v& [
+ c, V. n0 R4 c; E6 I! z/ [' b
4 s8 W$ P0 }  Z* M: Y6 U* u5 E
三、数据插值
1、定义
1 d# _- i2 Q7 @1 N# A4 J& n

( H% W9 ?% \" @1 ]3 \% f. N$ |+ Q在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。

' E! u; {1 ]8 B% D0 n
从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
$ x9 C. V0 |3 R! o4 b+ Q/ G$ R% B
7 z& S% @: J: i( p: \


2、作用
6 L) ?0 u  |) i, s2 p$ s; F

- Z9 E, Z( L* J/ G/ ~/ P. y插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
& e, P1 _, `  U: f" j- f9 k# @



3、举例
- W, B! M# ~9 d# k8 @

%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
service = 10:10:30;
4 v7 Z/ Q$ X. r% a# Q, bwage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
/ k- v. W3 p8 n; l5 P. }figure
surf(X, Y, wage)
%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
6 j9 d& X: r: r- j6 o- K7 nw = interp2(service,years,wage,15,1975);
# \; D! z; h3 P  d9 i6 A4 s1
2
3
4
2 i# L$ [% t/ P) U3 ?2 V, @5
6
- {7 C8 r. H0 K$ h0 x7
8
8 o) P' K" B, g1 M9
% C' u/ W% J% d2 c. @10
! d1 ~3 y9 R  B' w+ t& q2 P7 b11
12
3 M: T/ C) ^! d6 j$ s

% r# g% @) Q, K% |! S

可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
/ |1 z) u' y2 T0 l

) F$ _" s' F. H
3 H! D$ f5 Z: ^8 B0 U: K1 w0 K3 |

& v) _; P+ O) ^
四、图论
1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。
! m, x9 p6 ]5 f8 X$ I; J
+ n2 d! q( g# g# s9 e
例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）


具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法
; N4 G8 W0 e/ u! W' ^7 I; x- n: j
7 j, R; ^( D) B- D' y- l& f
! Y2 E  {. w0 K/ a

（1）Dijkstra算法
! i' u. x3 _" ^* \  |1 j' R先给出一个无向图
/ n$ c: S" Q9 L- ?1 Q/ c- V& Z
  \7 Z" W' V4 P
2 m) f* e! D/ i; g
! d9 A4 F4 @% r, l2 t) i2 N
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
+ H9 Y8 |! b% y


9 \" N# _! o9 i9 E0 y


" O. h7 j; _. f& \代码模板：
0 u9 c, E1 T' H5 e* p- u
+ K1 p) V* ^5 H; I. c$ U
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
* N# {* j  l" b#include<vector>  
#include<fstream>  
- d- a. o  J* V. e* }0 @using namespace std;  
' Z0 g; V* e, c) m: b3 z  
8 }5 W4 P8 l& l; d/ a/ N% _const int maxnum = 100;  
- r' I, I4 P9 i3 P8 Nconst int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
9 o  k8 B& g* e* k( E4 i( F7 \int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
0 u& p, y" @7 I% F+ p; s% gint n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
) E* b" @) J  U4 d" J- x  qvoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
{  
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
- V' Z" D/ Q* t    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
* Z4 t+ c  h9 z' z        dist = c[v];  
! A' U8 T: i' t7 Q9 B( ^# ~        s = 0;     // 初始都未用过该点  
( K0 ^/ v+ [. P' l, e0 y( N        if(dist == maxint)  
            prev = 0;  
        else  
& {. a9 F6 o& R. C' F            prev = v;  
2 p+ B' B8 L% m( R    }  
    dist[v] = 0;  
7 \, E3 N9 k: `: m    s[v] = 1;  
8 x" b) z4 H4 F+ G% W0 h  
3 Z5 W9 P' P" r% f( j    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
' z) h3 c8 T. m, P& Y% V    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
! N; h/ I! U4 a    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
        int tmp = maxint;  
        int u = v;  
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
- O* i3 E* g% ?+ {; p, l                tmp = dist[j];  
# q* q" x( Z  R! I0 ?% W+ E$ J            }  
        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
0 M1 p: P* l4 t' V1 m8 w  
0 d3 R2 |% q3 v! b        // 更新dist  
: c% A4 e: E! T8 v4 t) i- w        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
                if(newdist < dist[j])  
                {  
                    dist[j] = newdist;  
  q7 K! E$ d8 [* o                    prev[j] = u;  
                }  
            }  
    }  
}  
: h. G8 [! h6 R7 y' ?void searchPath(int *prev,int v, int u)  
* R( I4 k5 B6 O9 |4 W% `{  
' Y' z) j, F3 x3 I# `" \    int que[maxnum];  
; Y0 u( U4 f& A6 A( k9 \    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
    tot++;  
    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
    {  
        que[tot] = tmp;  
        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
    }  
) b5 Q* X# v+ H3 C0 Q- x+ O    que[tot] = v;  
    for(int i=tot; i>=1; --i)  
        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
# Y$ p! I. ^1 V1 E& t1 Y- A        else  
( n7 k3 P% C8 {. l) c            cout << que << endl;  
2 G5 c, s9 g5 `" z}  
- k& O# K: m6 ~  f  
6 D: ^- q3 K; D$ Dint main()  
! k' U% K5 o7 F8 l3 S, i; v{  
+ `8 d/ P' K4 A& B2 F0 z8 P8 d* e    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
* ]( h1 [6 l/ t& }8 M    // 各数组都从下标1开始  
    // 输入结点数  
    cin >> n;  
    // 输入路径数  
* P" m$ E0 ~+ E) C6 c# i. S    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
& x8 G1 {" f/ Z/ u* q+ I8 c+ K3 D& o    // 初始化c[][]为maxint  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
- _* V% e( W) P& ]& g. U1 a    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {  
        cin >> p >> q >> len;  
        if(len < c[p][q])       // 有重边  
        {  
: W8 c' M% P, V/ r; e) `            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
* \: K( U( v# N' r        }  
    }  
) i2 w' m$ v: ]2 ?* R   for(int i=1; i<=n; ++i)  
, O' B1 U# N; ^        dist = maxint;  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
& P8 M* l' ^" |; O, U* s! d    {  
+ X+ `3 t! b0 z, i        for(int j=1; j<=n; ++j)  
: s( t1 p( n* V/ \) _            printf("%-16d", c[j]);  
        printf("\n");  
    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
; Q; v: N/ J; y1 F! w//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
: X% m1 b0 l! U+ U1 D//    {  
//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
    printf("\n");  
& l. s" a& j/ f/ k& v$ |1 Q     // 最短路径长度  
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
! |* ^* _8 a! k* B' ^) Q6 l. a, X    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
- q# r8 W1 U& `}  
. K' d: K  |4 z4 Y  G  
  
/*
: `0 o, i3 }& a( ]( B# k6 n7 R; J输入数据:
0 Y9 O' ~) |* g. B) S3 X, C! m 5
7
1 2 10
# x- u5 F" V$ w4 L; H- l: S 1 4 30
' E2 k+ n: Z7 e& g 1 5 100
$ o+ J! T; l/ B' H& i  _ 2 3 50
3 5 10
4 3 20
1 K2 f0 l' w6 l' z+ c$ K 4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
( ?' l& I2 L, O0 Z 999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
$ J9 l) \/ l1 b. t3 R 100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
% R9 A* N( g+ q* I, }$ b9 ^! } 源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
' p4 V/ {7 d. k# w' W*/
1
1 q+ J0 ~1 z& s5 {2
. M4 [" g, A4 V3
4
5
. H& g$ `: A6 T" \8 z4 S- w; d6
/ `$ L6 E! H9 p4 o# I% e7
8
9
10
. y/ l# @9 [7 q  N' p8 s11
12
" l3 a% b) ^* ~- Q13
14
15
16
* V' I& R* {' e. S  |2 u17
18
/ h, T8 ?( C% E2 c  D19
7 h: q2 E- ^0 G1 D& u20
21
22
& \; d2 `/ I$ ]5 _23
24
25
6 G3 S! z! }  Z26
. O; B, O* T3 V0 n" y7 Q: {5 |27
: J# @" W- y; N( k( n. n. {, o28
29
30
31
# i4 l3 U# U. O9 H1 n) j32
; q' d7 l# J' O  J' a8 L33
34
35
( @  Y- y0 _. x9 {" N0 R- q3 M$ G36
( f; t. p9 s1 |8 }; o1 F! ^; ?2 @9 s" ^37
; v8 o& O1 S( g; ?0 ]6 A38
/ g( a; C! x$ j2 q% Z* g$ O39
40
- B" @+ F, U' |, n; L  l+ X41
42
43
- g. A( l" G. C5 @5 W, U44
45
46
47
$ e( w4 O6 E. C8 x48
49
50
51
7 h' U8 `" L' t8 |  d, k52
53
54
$ B  R! O- b( c55
56
  \1 ]" E( A1 p57
58
" R4 n/ b3 P& z  b9 @; X59
4 r1 |; u! s9 l( f6 N60
$ ~- g- S3 O4 o1 T61
# _6 i3 o) B4 U62
63
64
65
0 u4 u& j+ g8 \( v66
, I( y1 i) u) d5 ^67
68
7 X# }( K+ B7 \; A# ]6 {69
70
8 ]4 `6 y- ]/ Z. E71
3 f$ `- I& Y9 y$ ^( F5 L4 O# M72
1 R2 m- n# t' G/ e- t73
* `# j% L4 N9 z* d, x% f74
1 w% F( C" ?0 w  P; |75
# P; }7 K" k. X0 `" {( y76
77
3 S3 O5 ?( c0 B! {8 V# p1 _- e& q78
5 l* H( [* y" k) Y79
80
81
82
) Q$ h; k6 y% [4 P2 d% b83
, {2 I7 ^; c" Y84
$ u; K! ?, x  h) W4 N: v! {85
; X% G2 |; o' v8 ]  T& m) y86
87
9 |& \/ Y3 |: N5 k3 @) g! y88
89
7 u% U4 B+ r8 R% S90
91
92
93
1 J$ A+ o. F: J6 C5 X1 p- f5 s) V7 t94
7 B/ E+ B) l3 {) i95
# b0 L  z0 p+ D- w- H96
97
98
99
) N7 l; T  [- N. t% z# B100
101
102
$ }4 z$ j1 L' E' T4 @% B5 p103
104
$ R6 Z& n( v( m5 \- a' f. t105
# v/ w* c5 L" c3 w6 z  o, D106
0 Y3 d' H0 x4 R- u+ R% K8 x9 q107
108
& E5 _  f; h' x109
110
( s6 E0 b" }3 x5 X4 Z111
112
113
114
8 x4 H3 R( T" N# w$ T7 g115
116
2 O% A+ O* V. A9 w# r5 s* t3 I117
1 v- c: p; T9 q) v: x) B) C118
* w4 d5 d. s" k( M; g1 T119
120
2 Z' ?! B5 H  Q$ W& V; m121
# p* }; g" [. i1 O' o0 U122
123
: P" P1 B* f0 N' y124
125
126
( k4 S9 z+ g. q/ S( s7 `127
128
129
130
5 T- g; v2 ^; h) h& i7 Y131
- Z; p, ^0 T% p& r132
133
5 D( s4 Q- Z, N3 b8 E( F134
) z0 _0 u% y4 x135
136
% e6 E# J% f. ?6 [2 u137
, }7 l. r/ T4 h+ m' ?# b% z138
139
140
. H) j' {" G: O6 J2 M" C" }( q141
8 U* n8 k7 ]0 x142
143
144
145
146

6 D6 V) ]) h, {. ]7 y, N) d2 b
" U/ n% X- |1 l（2）Floyd算法
) |" o% `+ Y& ]+ b, q& E#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
# D; F4 l& c0 [% q  c& D- R2 c#include<cstring>  
3 |. O4 s, P9 l* _$ {#include<algorithm>  
8 o' A; g  M# A! v& V* G8 _#include<vector>  
#include<fstream>  
0 O' d' p' l+ E# o* {) x/ m  |5 a7 qusing namespace std;  
  
//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
const int MAX=1000;  
double dis[MAX][MAX];  
double a[MAX][MAX];  
int path[MAX][MAX];  
/ ?' U5 w% C" a# s( vint n,m; //结点个数  
8 H# _6 P+ n1 e, s9 ^; M4 D: r  
4 ]2 K' r) i' b8 H; m' I3 ]7 i& Pvoid Floyd()  
{  
    int i,j,k;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
& @, P7 h' |: j% Z! `' w    {  
# x  N& {  h9 {        for(j=1;j<=n;j++)  
* u# a: j/ a- a! b) ?/ _        {  
" E+ P) \4 y% D( K* D            dis[j]=a[j];  
            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
                path[j]=i;  
- Z$ l* ?% k4 t            }  
7 l6 _+ i5 W  k/ d0 `+ b: V6 M            else  
                path[j]=-1;  
        }  
    }  
9 _0 B+ r/ T3 u9 K  
    for(k=1;k<=n;k++)  
9 j$ I( h% v" B. X2 E8 u5 v    {  
( O4 C7 A; b* v4 b( _, i- h9 N) r( A        for(i=1;i<=n;i++)  
- r9 u6 S+ M$ Y  W5 X        {  
- a# C0 y1 t3 l0 a9 w            for(j=1;j<=n;j++)  
# t5 `  x( J& m9 ^+ T4 W. D# T4 L2 ~            {  
, @9 _! d6 T9 F) `0 o                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
- k( O5 {2 S- k4 H0 R! X1 M9 d9 V                    path[j]=path[k][j];  
7 Y, L- _/ s, x- Q1 N! T+ Z                }  
9 u; P7 b  }* ?' ~; |( R( j            }  
        }  
1 g3 A) V" F2 V4 i7 V    }  
/ \6 E& y+ y6 ~# H- [}  
0 i) x- s: n. {5 T3 ?  J, {; {  
4 e% J6 C5 H7 Z6 xint main()  
{  
    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
& f/ c" W3 `- _; ]    int beg,enda;  
$ I0 T3 r5 y. r; L! n1 K    double dist;  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
& U, L* K& c0 B+ K. i7 ]) A    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
" e. `! v- g# U/ ?  B1 I            if(i==j)  
                a[j]=0;  
            else  
& Y) M& t' ~0 @% {8 I                a[j]=INFTY;  
       }  
    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {  
" a& @0 m4 k/ v0 O        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
1 `0 E6 V! B6 m- C    }  
    Floyd();  
  V: W9 a3 O* g; d9 W& r    for(int i=1;i<=n;i++)  
& e  m" N( p3 T4 y, Z7 H* `    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
            printf("%-12lf",dis[j]);  
' d6 f: R; h6 n* X       }  
( }! J5 s8 Q( W% `+ m" S" ]       printf("\n");  
" h# c; K; X: _: Q! v    }  
: n! _5 N9 ?+ L2 D) L1 ^, T/ U7 l    return 0;  
0 {; y: Q" p" E" i3 U$ P}  
1
2
3
4
% _2 h* L1 h9 n  g7 k' I5
2 U" T1 T& t: G6
7
4 k& I. [3 P+ Y+ X1 C8
( O8 g7 l1 v" W6 ]9 u9
10
8 w( l/ D- j1 \5 ^: J11
12
" l9 u6 M0 O& G/ ^7 `13
' H) z( @( @& \, u, n& @14
15
: Y1 N- \9 E" R9 K! m16
& B# t3 a% S+ N) H1 V17
18
! Q- l. F0 A& H0 v" D! S4 g* K% O19
) B) v, E0 y) P: R20
  v  I4 I6 o# X! q$ V21
22
23
% t5 s! S0 O5 A5 j' ]24
" z" y4 j+ a5 \4 p; k25
) s% L7 A: I2 ~) H3 ?2 `26
9 G) C. u" ?3 i27
! i* S& B* }& _* M' v3 A28
  h& r2 ]* h" E4 `29
30
( ?+ A: H' O4 e# L: J6 m31
; L! O# Z. |9 @32
2 a, {: s. U1 W2 |2 E' D! C33
# P( s( l" {' o5 w5 C* s" s0 j34
/ Z+ {" m, _- A6 {35
2 o' G" y% X0 h6 B9 F3 H36
37
38
* {. {3 n/ K6 u- e: F! K39
40
41
; ?% V! |2 Z  f' J$ M+ z6 @42
43
44
45
: n' ?* Y# U6 X' l) a46
47
48
/ I% e. y9 x/ z1 U49
50
51
+ n% }2 N8 A; n2 e& E  k5 g52
" l  r! q: V$ Z* }; r53
54
55
$ |# P+ }5 h0 F4 L56
. T( c: |7 F0 L8 l1 f, }57
! O1 J# O" L$ w7 O/ X& R$ X" K  i7 |58
3 o# P6 F8 R! c) i! V$ q' a% x5 f1 h59
3 ?' ~" M& i  H* I60
! P, x/ i2 p* Q0 H3 L' Y3 q% _61
62
6 |4 ~& {; Q7 v) L0 ^6 T! P63
' Z& Y) J7 X& w$ p& D) t+ d0 p64
65
66
% m& D: [; E. i67
  z( p! V/ F( v68
69
70
& R8 x! U+ ?4 K' `; M3 ~& D& `71
* p0 A8 [) x5 j0 s72
73
74
75
6 ^3 t+ z2 _' M  t1 }! I5 V76
0 T$ c& B/ {$ a5 y4 Z$ a77
78
  J% y$ w1 o) X. G# s, D5 B79
; b, R. [1 p1 G8 z9 ^: W2 b80
; f. w( @0 V3 q; l8 [0 V81
82
83
: f) }0 e" n1 m6 e
  B8 l. }4 |" r& T6 d
————————————————
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