【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
一、蒙特卡洛算法
二、数据拟合
三、数据插值
四、图论
  C, h4 U+ f- f# n; R1、最短路问题
5 ^) k6 h2 y) B7 _$ n" J' y% h（1）Dijkstra算法
( X' A! r4 y; h( ~$ p+ o# K" W; E  [! B（2）Floyd算法
& P( ~/ r  r8 o. r# w

- o" s  y) ]$ x4 m$ L
( D& l' k6 `( t6 o1 |) y# {  L, {' t
一、蒙特卡洛算法
1、定义

. b3 u. f2 w+ S9 H
蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。

  ?0 |5 r* N4 T$ F7 |0 v- p& Z- I$ o
) K4 ?$ r: I2 M0 K: r; K

2、适用范围
, R+ g7 K" w: A

可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
# y4 W0 `2 P1 N2 k. A! p
9 P1 U. t, d3 f0 w1 K

! l! B/ t! N5 c- Y$ t, k
6 Z: ~/ a3 F5 Q, J3、特点

) c) x* k6 A' ~* r! {/ M! M
蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
( F3 d: }$ V7 Z
7 W' p$ }- O1 }3 U
9 c2 Y, a7 C" O" |6 C
) a5 v# M: E8 t# D3 x7 b! ~
4、举例

$ t7 s0 o7 D* f# ]! E, s; L
, u' }* A0 N  T- Ay = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
* k1 ^) m. [" D: @


) j) S. d# c. s/ ^* @# V; Z
6 ?. y, f. E0 b# c1 x  w（1）作图


Code：

5 y7 a- ^: j( ?3 P" z: H0 @
%作图
1 j% ]0 h' s/ V$ w5 i. cx = 0:0.25:12;
5 [8 j1 p0 h0 E0 m8 }8 V# fy1 = x.^2;
# p3 v2 d7 z) @* D' c& b) }y2 = 12 - x;
plot(x, y1, x, y2)
+ k. ~9 j/ C1 d# B$ Oxlabel('x');ylabel('y');
! f5 E5 M7 s7 o9 N%产生图例
& ^( f/ G6 M" T( Rlegend('y1=x^2', 'y2=12-x');
title('蒙特卡洛算法');
/ R. L: ]9 h' y% y8 q5 c6 Y: z' z( k%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
1 z! n$ B) D% Y4 g2 V. M2 I5 xaxis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
5 @" }% b' d1 L; h( Y9 I- }; N%加上网格线
grid on
& ]  W% Y2 b) l6 z9 f1 ~7 u1
) r2 \$ h  N8 ?, `; t, q2
  N! x: \( M! U3
$ ?  n) B$ r! C7 {4
5
7 c) v; }5 n$ W1 `6
7
8
5 z' U: P1 o5 W" p* K8 v0 r3 B9
( ~+ K& g# c, W$ Z& P- P10
11
12
% Y. Z* J# i* I$ n# |13
9 H* \8 p. l( h14

" p# ~& v4 l6 a3 e7 ?
（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。


Code：
) C. x, Z3 M$ ]
" z: m* R3 p: m8 ^+ }2 V$ R
7 t0 |, J/ u3 b2 W3 F8 ]( d%蒙特卡洛算法的具体实现
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
6 C# n3 T* C3 o/ v" H' Kx = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
7 q$ Z1 m0 j  v& [. v4 Y. O, _frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
area = 12*9*frequency/10^7;
$ z" B" W! Y7 p4 p' Y' odisp(area);
- D8 q/ Z! ~5 K" U9 u" G9 H1
) l7 i- a) W# z2 }- T2
3
3 X: M4 p4 |) o3 Q; m4
( E: H$ y- K! e0 O6 K5
& u) E6 W- B3 l5 H2 ]  k6
7
所求近似值：
/ |! c9 ?+ H) S/ p1 w/ e
/ ]! X: V0 z5 W1 Q$ x! y
0 _7 E6 q& T, k

( a5 P- R! ]+ _0 j6 R# b. v! J7 I/ \

参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
5 R- E+ ^! F2 U- k
( u+ j" d' g. `$ K

9 \# y1 X" R; B# V
9 n7 p+ w2 N0 A$ l

二、数据拟合
6 f6 w8 J7 a# b2 t- Z1、定义
! E; |  D1 R. R( T
* A2 D( |/ }4 T. I: ]: j
已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。

, Z( w. N7 @- m7 x8 z


2、常用方法


一般采用最小二乘法。
* ?4 w" P% m( g3 ^拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
: `. L8 o- L) w  q4 I

4 d: Q& [8 e+ M# E4 B3、举例
5 L, M9 t+ t% X& O9 P+ D9 |# H" v

: F( y, h! w7 D3 ]6 M# u(1) 数据如下：
1 _8 x2 o0 x! x0 b, }2 |7 M$ Y8 K

& u4 m2 i& I1 @( X4 {   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
        2        465.325            0.123   1.621569
        3        504.0792        0.102        2.429227
3 m  O$ t4 d$ u& Y- y2 h+ X        4        419.1864        0.057        3.50554
        5        464.2019        0.103        1.153921
* A  G8 z3 a# A- [- j" s# {        6        383.0993        0.057        2.297169
) x! Y( g/ C! p# Q, ~        7        416.3144        0.049        3.058917
        8        464.2762        0.088        1.369858
& L+ L6 j" I" n5 `& \        9        453.0949        0.09        3.028741
        10        376.9057        0.049        4.047241
3 ]* I3 b, a8 C; p" p7 Y3 Z        11        409.0494        0.045        4.838143
; g$ F# m+ z2 a9 [5 f/ b9 o        12        449.4363        0.079        4.120973
        13        372.1432        0.041        3.604795
8 u: N( K4 R- `7 ?3 }4 H7 M        14        389.0911        0.085        2.048922
/ Q1 K" [' Q. N, b        15        446.7059        0.057        3.372603
        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
        18        453.6719        0.082        1.841441
. A# x( L3 ]$ G* P2 ?        19        388.1694        0.051        2.293532
# o) d6 T1 ~+ K$ g' E        20        444.9446        0.076        3.541803
        21        437.4085        0.056        3.984765
        22        408.9602        0.078        2.291967
        23        393.7606        0.059        2.910391
        24        443.1192        0.063        3.080523
        25        514.1963        0.153        1.314749
2 S7 ?: ~: w3 J; e( U        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
) E/ [) K: H, _+ b; x4 k. a* e        28        421.5248        0.063        3.005718
        29        421.5248        0.063        3.005718
# ]* J3 ^# g/ N0 ^4 i7 u( f        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
        32        421.5248        0.063        3.005718
        33        421.5248        0.063        3.005718
: Z& j% M( a/ J/ S        34        421.5248        0.063        3.005718
3 m+ Z( c/ I0 z# W  a+ b9 N        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
$ B) G0 \2 y% h  t  c; n) e! G        38        369.019            0.04        2.861201
9 E7 k. |9 z; Q! K8 R        39        362.2008        0.036        3.060995
* V5 ], p* a2 Y% s( E! @+ A        40        417.1425        0.038        3.69532
1
2
3
( ~* V8 ^. p' ^  Y4
9 O; }/ `1 B' G' s" E6 ]5
, N2 y- E) o8 C2 Y8 {, Q3 g6
+ J" V9 e: j0 w7
8
9
10
11
/ o3 S! s2 V+ A# B9 Y12
13
, Z$ a$ f9 G) Z- w$ f* D14
15
16
1 ^5 c5 j9 q/ \! x6 r% F# q& @) D17
% x) x! D0 C# L1 h18
19
20
21
22
23
1 p3 B2 ^3 R8 n% s" l24
" ?( B( V+ _8 t. a25
26
/ L5 B. Z  P7 u$ P& P3 O27
+ G- E. m9 K" a) g  U( z' U28
4 N, w" U& L! P9 W( @# m5 L29
( _0 F. ~% ]8 Q6 [! g3 |30
' {! e' H# w5 M. K31
32
+ X0 `9 ^9 K* }+ O, X33
) o$ c" C7 O4 j& G34
35
5 h% _1 o6 `" a! i) \8 M1 S! Y36
37
2 Z& K( i/ J+ X3 _38
. y% H4 @* g3 U+ g39
/ V" j# `+ o+ u, O5 t+ r9 S6 J8 T9 \40
41
) I) K$ ?; a4 O4 h) Z5 w- r' T3 `
: g& [. i( G$ A- Y7 {2 ]6 u
' K! x7 c! b6 P4 P! S0 L# r+ J/ u(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
  `# B: Z6 k" \3 @2 L/ y# N
7 [; s0 q. T2 c  ^5 N$ Z) b# [: Z
%读取表格
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
$ O& ^$ d, Z; q# Q* _B = A;
[I, J] = size(B);

%数据拟合
/ G- Q! e: U& X* j; \& r" b%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
9 h* ~% P0 t! g0 By = A(2,;
* @; B. ^- F& X8 V* A4 u9 O%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
3 R1 ^9 h) {) r0 Q/ g%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
8 g8 ], V+ V' q- X3 O  W2 b, Sdisp(p);
%下面是作图的代码
$ r2 |8 J1 p  {9 z8 V3 `, b/ qx1 = 300:10:600;
4 [% d! j! ~, B0 h# {%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
y1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
* b, \* D8 K# Q4 U4 v, c1
, l7 T+ \$ A9 Y% b; o) Q2
3
: R% a8 T  m6 t  R9 |6 o4
5
6
7
8
7 J9 {3 M! z8 R5 B) J' Z9
10
1 U9 y2 Z2 d7 c, {11
12
13
8 ^; ^" {, \/ L8 J8 o14
! P) t& ]8 b4 Q3 t7 y15
3 P+ J, R+ ]/ ]( G. @. z+ P8 d0 G2 O16
0 u0 }- h* t" v# l# h9 _2 w17
18
19
# \$ W4 s  b5 ^- m20
21


(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
7 F0 [- b3 a. e5 c, M4 r  Q; w


+ H/ m8 {4 l- E& }. @8 {- C
' @# d, a4 H6 F将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
0 y7 b- _" ^. s; F
" }( `3 Q3 m7 d  e, @- W5 s
* n( ^; R8 Y/ H! _6 A) o

; N9 i+ A% o: s, b选择x、y变量
9 C2 M# L" d2 L% z) r3 p


/ }7 ?# \: J. i9 @* j, [
选择拟合方式和最高项次数



( `& c6 w7 [! ?4 t6 T
  h1 m6 a' C' `  B- k! z. z( d得到拟合结果
1 ?6 ^3 {5 F& j" i) `. n
" j6 G4 h, j4 @: D6 D% k


& I" e! [2 h- j/ L使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。

0 g7 _+ r! q) Y+ l2 S

  \6 n! F' l% x
" z7 W$ F- \7 y& N3 C5 ]7 @

9 S6 s' k9 |8 u- g" p三、数据插值
4 K+ N3 Y! V+ h  A4 `+ {. x1、定义
" F: a! b% p0 e$ W% f3 B

6 y- O/ H+ I* o" b在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。

' K2 W7 y& o' F& n) H2 o
2 j) V8 I+ c9 }3 v  e从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。
4 D9 J) Q/ D8 n7 b

8 }! q# {# M+ [, _8 Y
* m: V3 D7 ~' D9 r
$ D3 ^0 _: y0 ?2 Y2、作用
) d: K" {* [5 o; t8 y+ N
5 s' M( Q0 N" j1 E  ?2 _
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
" N- g2 Q  ^% @! `+ u8 s8 D/ Z9 [6 u
- W% x0 W) d9 S4 {5 r


/ L1 F: y4 ?( P8 w  r' n) k! z3、举例


" C; y( z; m3 c%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
7 f" z5 `3 o: u0 A; c) Iservice = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
% Z2 h5 b2 P# G) f3 {[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
figure
surf(X, Y, wage)
3 s( g1 B( X$ v4 F0 y# Z/ ~4 K%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
( F2 w- j) X0 Y1
2
3
# W! G2 s* R1 G4
- `- o0 P  Q) p5
( C! n4 I3 o  G6
7
8
! ?) G$ {: q( f; I; W% W9
10
+ \2 t# y$ P! ^$ N11
1 Y3 X6 Y1 O* }7 L& Z$ Z- T% F12



: n# n( h" a" t  g: x8 k
5 X! w  p8 J7 N2 q# T: ?. J可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
$ J7 d$ s; w: D
7 r$ u# V" Q4 @# }




2 D1 t9 w/ r& |, B5 f: p9 K四、图论
5 y) e% N/ \# n+ v0 }7 C1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。

7 d! ^# `) U9 K* x+ i* j, b
例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）


具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法


% q# s9 |) j8 N1 d; B, R! E3 Q
9 e3 m9 w. l5 n  ?
! l, k$ ]1 T$ ~+ P1 \& {' }（1）Dijkstra算法
$ P6 B) [$ E1 l8 c9 X& W7 m先给出一个无向图



  a; O; ^; L$ O2 Y
% m& G: g: x* a, F# B! C用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
# o0 J# a1 W6 {' B! O


7 u' f7 j! ~9 f& e9 e& _# E
0 O7 P% N! ?. ?" c$ v+ @

7 s" f" ]: m, D4 N0 A& W代码模板：
& V; M; `8 C  N6 t: k6 j
$ G- D$ P( |" F; S9 N* s
#include<iostream>  
# b2 `* j" k9 m4 N, A% y#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
4 D% x7 S' b% p( @$ i% X) x$ O4 j# U#include<cstring>  
" d8 a6 _4 N) E( @#include<algorithm>  
0 N! i, w* k5 C4 ]0 L! I#include<vector>  
#include<fstream>  
using namespace std;  
# y7 [& L( u8 |0 R' d% m. h: g  
const int maxnum = 100;  
( s/ W0 f' M% e) Cconst int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
* [; e) s4 e. V( @& s3 A4 {int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
4 i4 d  \  R& e( z( U8 Uint n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
3 ~" ]. C3 u! G4 Mvoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
# D) k' q; i7 d# B/ l0 _6 l{  
# a6 o! L4 @1 t$ X& P    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
- t% O7 ~& }9 D, X    for(int i=1; i<=n; ++i)  
# y' n) i( w; P! k( Q$ o. e/ t    {  
+ g8 L2 A' @1 q$ F( D+ @  [4 S        dist = c[v];  
        s = 0;     // 初始都未用过该点  
/ A2 F( B* f1 J: V        if(dist == maxint)  
            prev = 0;  
* A1 t  [+ z+ G) l- o8 [5 a) V        else  
            prev = v;  
1 G/ ?4 Q5 r9 l( k    }  
' P+ a# E8 b; i; D8 C# n; d. Q    dist[v] = 0;  
$ t7 l0 |3 k: I4 c    s[v] = 1;  
, t6 o' G3 |( e2 ]* `5 S6 G  
    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
    for(int i=2; i<=n; ++i)  
& O0 V3 K. `. @; J# ?% b    {  
        int tmp = maxint;  
3 K2 `3 {# G8 X5 R        int u = v;  
9 t0 U3 m* R1 N5 p        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
3 K* f3 |+ `+ ~; z$ {% c, \            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
* J* S2 _  ?2 g                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
                tmp = dist[j];  
            }  
        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
9 M7 J5 x. W; }8 O- x! i  
        // 更新dist  
: P+ `4 @4 O, {5 q( @. F" y' X& M        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
* b) C& I. H) T6 o            {  
8 l, S) B' }. }- n( U7 L                int newdist = dist + c[j];  
                if(newdist < dist[j])  
                {  
                    dist[j] = newdist;  
                    prev[j] = u;  
1 C/ r- ]- b1 |; ~! |' N9 ^                }  
            }  
: N5 ]! L: A( L- q9 r" ^6 p    }  
}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
! H, H$ f0 s' A! d: `* \{  
    int que[maxnum];  
    int tot = 1;  
    que[tot] = u;  
    tot++;  
3 i' Q8 ^2 v3 Z5 x4 V# X    int tmp = prev;  
' Q9 B- l  Q) q8 h6 y    while(tmp != v)  
    {  
* h& @$ S: a+ x' C  o1 t: `        que[tot] = tmp;  
        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
    }  
    que[tot] = v;  
- ^( B' a& P/ Y0 w3 @    for(int i=tot; i>=1; --i)  
" y# M0 P9 H( z( a+ L* T* K        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
        else  
            cout << que << endl;  
  {1 e2 V  \% f}  
4 l% X8 W6 S9 c5 ]5 y: r( r. H  
int main()  
/ n! B2 R7 C; ~. N' J- p9 R{  
    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
    // 输入结点数  
    cin >> n;  
; j6 e2 l* A; Z: D/ |9 ~1 }    // 输入路径数  
    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
" V% R/ D% e% p6 V' s& ~: g5 w. }    // 初始化c[][]为maxint  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
. q( N% k) s7 C' a- I2 ]2 A7 @    for(int i=1; i<=line; ++i)  
* ^! i+ b3 y) ^    {  
! H. m, I/ n: }' y) v        cin >> p >> q >> len;  
        if(len < c[p][q])       // 有重边  
        {  
# k, c6 `. P0 k; e4 p+ p% a            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
# r( L1 p7 [. \2 }3 S2 T        }  
    }  
7 a+ B" i: }3 R- m8 [9 _   for(int i=1; i<=n; ++i)  
' {, r+ o8 i# d4 W; e        dist = maxint;  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            printf("%-16d", c[j]);  
        printf("\n");  
    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
8 Y2 g4 u4 p+ u# R8 j0 d7 C+ C  
//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
, t; `$ R( W' o2 I$ C$ q1 ?2 F//    {  
" R- h, J0 `& R//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
  ?% j9 O; I, A8 [- @2 [* s    printf("\n");  
     // 最短路径长度  
" |% u0 T6 N0 l3 L    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
& H5 j7 K* s( ]- U' A" Z! X     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
    searchPath(prev, 1, n);  
8 t* l. f- J8 [. \    return 0;  
}  
  
  
) D+ U2 Q/ D! ^% }/*
- [- R/ q, I, y6 r' e* {, t5 a5 \- x输入数据:
" `! y: b1 Y5 F" F7 r  s0 Q* p 5
7
' D& \3 K& h6 M, g 1 2 10
2 ?' I7 J- r: _& ^+ ` 1 4 30
1 5 100
* ?# R& A! P% R. o. P; C& z 2 3 50
$ _2 j( D, F" g" d+ n+ v 3 5 10
1 t; t$ v8 n- S/ w# }& D. C 4 3 20
4 5 60
输出数据:
9 w- q; G3 W7 Y 999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
! h# o/ A$ Q! m; w  B 30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
4 V, [  i, x1 Q! W; L1 R 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
- D5 [( w9 h* K8 N5 y/ d" c1
2
3
4
% _- A7 t# D/ l) }, A1 T/ N. g5
7 A: a& Z$ u- ]6
7
8
  x3 T. B2 e  V3 Q/ S5 v: r9
10
: n0 S2 m4 z; K6 U# G/ l( V4 g11
; N5 j* C0 U: S) z. h12
" s4 G7 r% k3 l13
14
; }' I1 z  K+ m3 u9 o6 h15
16
* A9 M' K, j% d. y6 N1 S, T$ y17
18
19
0 @/ I: @* c: s! D3 u20
21
22
3 f2 L, [8 R, J1 v23
24
25
26
# a) E' D; q+ O, B0 K27
! n" H+ Z6 a* k/ d2 I& d4 i: _& A$ P7 f28
29
) ~( |* _/ E% F30
( e$ \- n( Z* H- {, p( A+ }9 F0 r31
32
33
) W6 Z0 x6 Q$ h" D1 x+ w8 C0 `3 g34
1 r% R8 ~1 ]( K* k! ^6 [1 z35
36
  V8 g7 L/ T$ O37
38
39
40
4 M7 o) G9 P' o8 d3 z$ a9 U: ^" [41
) `6 l7 N3 E; X8 j% y5 ^, W42
2 I- K! A- ?4 k43
4 R. W8 {1 R! ]9 @2 a44
, J2 J1 s4 B1 K+ V: x3 [45
$ B3 c: |6 t& [( t46
0 f. c! M, F6 i  w% w47
7 D/ A% c/ [5 c$ m( L" V5 w% u8 k7 ?48
: z, q) ]* o0 L7 z1 ~' W0 Q49
& @$ G7 A/ r4 t, B! V7 t. F50
! _) Y% r' i6 L& a* B9 A51
52
4 \" z# J* h  i3 s7 _53
. [3 W' i" J+ i- c" M54
55
56
57
58
59
8 R$ I  m9 ]/ m60
61
, ]/ p1 b" a! V. Z9 F62
6 }' u; e# s" s: Q63
; a7 n3 r/ [* w# Q64
: d' |1 B. D% Z6 }% x65
1 B+ G5 x1 X, a2 ~$ I! H2 t66
67
68
69
70
) N' |/ m) u$ v$ n71
72
73
- X- u& q& F9 Q74
75
76
77
78
- x' y/ ^8 D) w/ y  j4 }0 v79
! p( L8 h- D, }) u8 P9 r80
81
82
83
84
% m3 a  N/ x1 U- I% U: C' O: \85
; W# o* }7 Q7 E" S  X7 u86
87
, {" c9 a, P) S$ F- K- v88
89
90
91
2 h6 m8 P/ M* |" o% V' B. L* d92
( U3 b* T" h+ N93
! h  y/ ~6 N7 A. x94
95
2 g* J4 N) W% D5 T% n96
8 M. f  V# j1 Z/ @7 \) S97
8 X: r$ o, |% {7 E" _3 F98
99
100
$ u( l; `, j. E, [# ~3 Y101
! D  I( P9 y$ a& g: R$ ?. g102
- Z5 _, V  }/ ^& O( l103
, o9 ?) m+ A8 \104
! ?7 u' H8 X9 F" ?105
106
& j' J( h- v- V$ I6 ]107
5 u: C, x& M" Y6 m$ y108
6 ]; |8 E4 y3 K" U1 V! V* w109
" c! s! B7 H4 w2 s110
. I$ d/ z# Z% J& @111
112
113
0 j' x) n( I6 x8 _! C1 @114
115
116
117
1 G" w' e6 a9 X- ?2 D118
119
* r% i# S% Z" x/ {120
121
122
123
124
125
! b1 W: e" a" q7 |7 V" x: y# \% R- M126
% c; T- D4 W% W7 O( g1 e127
- n9 B' p, Z# Z+ c4 X) K128
3 n" v- P3 }4 ~1 g# H/ W0 C. [129
130
131
132
! H# Q8 f0 u% ~( C  q5 t133
4 k0 Z. e/ m, n# I( w134
135
136
+ @" Q( ^6 w: U3 w4 X137
# o  K1 k2 b# ~+ F  @4 t138
139
- I) O, A" ]0 [2 g3 S140
141
142
143
144
! p9 ~  V  o' S+ t145
146
2 S3 n2 L! G6 k( }

, e* ]( E* U2 c$ \4 R3 i( Q（2）Floyd算法
#include<iostream>  
5 {  g$ z3 O3 T0 D* B+ L#include<cstdio>  
7 F. l) N2 M$ g- t5 j4 ~#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
  E& k5 \0 |) E: n/ Z#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
) B% w7 ~( x9 a6 Q" T3 y- K#include<fstream>  
% p7 X2 ~, B% H' ?using namespace std;  
* N6 h# N0 S% {  o; U5 Q  
//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
$ U6 v6 w$ u9 Q% Gconst int MAX=1000;  
+ n' X8 |5 |2 o6 J: P1 Z" V% f$ e  Cdouble dis[MAX][MAX];  
double a[MAX][MAX];  
4 I- P- f! r1 x6 b1 g4 b! f. oint path[MAX][MAX];  
int n,m; //结点个数  
4 E+ R- j$ q% d8 x$ B1 P  
void Floyd()  
5 D& u0 o% }2 Q% f! L. S2 X8 Z3 n4 S{  
    int i,j,k;  
$ H: ]9 y4 ?1 e7 \% u5 B0 U) n    for(i=1;i<=n;i++)  
& m) i5 T1 t/ ^; t: [* a    {  
- ^& }/ n" o9 I9 y- y$ q0 S6 [        for(j=1;j<=n;j++)  
        {  
. }: K) d. Q9 M8 Y            dis[j]=a[j];  
            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
5 _, C% d# I. L            {  
                path[j]=i;  
            }  
            else  
. A( K' P; r( [0 D# k) l3 j. @                path[j]=-1;  
3 T; a" d* j% S; w* ?  B        }  
    }  
  
    for(k=1;k<=n;k++)  
4 a5 d) t3 f% K' r  w+ f- k  `    {  
        for(i=1;i<=n;i++)  
        {  
$ A" E2 W5 M( ~! S" d; Y6 }            for(j=1;j<=n;j++)  
: u& n  @3 b/ |7 k( A9 R$ x2 i            {  
                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
                }  
            }  
, i2 S; `  e6 u+ X) y+ c! X# p( h        }  
    }  
}  
2 e" g6 [% ]& ?6 O: ?" h- c  
, q4 g) I: Q+ ^5 B$ d+ s) q" r5 V5 Nint main()  
% f2 z# h* ~* k2 l. Q1 x{  
    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
    double dist;  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
3 E. o) j9 q5 h4 a    for(int i=1;i<=n;i++)  
% i5 U" o  G8 g. Y) p! j    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
) ?5 E. E& C7 ^: {0 Z  A& X            if(i==j)  
  i) f: J: n. ]- q, Q                a[j]=0;  
4 g0 e7 e0 r) {) l            else  
) u  X, X' d8 `* W                a[j]=INFTY;  
8 b$ o- M  b* Y       }  
; K. v4 ^1 ?2 I: h$ C2 U4 Y    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {  
3 L" d2 ^8 v% j* \' t; M) U$ Q3 g5 ^' `        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
8 h$ i$ L; i8 ^        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
# x' j, m( _3 n    Floyd();  
/ u% j" z+ a  F, O5 U    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
& U- F: ]8 q# x; b/ Y8 c6 Y  ^       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
            printf("%-12lf",dis[j]);  
       }  
# }; l( `( v! f+ {/ l       printf("\n");  
    }  
# E+ `  k0 V( S/ K% n' ~3 P    return 0;  
}  
% D( @2 ^2 b: X4 f2 g, |' m! P, O& p1
2
* V% S$ ?& X: q- Y- `3
4
$ a! A' S* F# s' V0 D5
6 L& C+ }9 K% }  Y- B6
% k4 r) J3 o3 b0 e! Z4 [2 C7
, ~' C% D! D9 o$ B; R$ ~" F8
9
7 C  M  [) H8 y; N10
/ ]9 E; l2 _8 K$ n11
12
13
8 V- V  n% S5 t$ `14
. v5 M* a- M7 D, s$ C, W15
16
17
# ^$ W# c* P+ J4 R- w7 r. ^) ~, ?18
8 [. X' J" `9 m19
# R4 j4 m! G0 q1 Q7 `. B- @$ m* `5 I20
, a7 _; t* X6 U' S21
( W. D" g. Y1 e22
23
24
7 J0 k0 F, ~0 j  k25
( e, f! P) M6 w26
& U1 q" p: \5 w) E8 p27
28
29
30
31
0 P7 [- v- J* R5 N0 x& s0 j32
- B# {! L6 {( \2 }. a* p+ }33
34
' S4 X" o$ O- b" b35
8 X& @  `4 c" d4 {' P3 i" J3 k36
37
0 p: ]- K: X' k' `, e3 c38
39
: D, o8 g0 E( x0 W40
41
42
43
44
45
46
& W) M! W, V4 p# V3 Q! v' J6 p8 W47
+ ^$ c+ k$ Q5 e* b' D- Y48
- x* r3 b1 F3 b# ^49
50
51
* X1 m5 m& k$ Z0 e) _3 `52
' w" N6 z. R* }, d& G8 j5 k53
# f2 d$ I# l8 n2 a8 K0 \2 Q54
6 o* U: u7 q$ H; D% k  ^% h+ [55
56
* O9 p1 |$ B& y* z4 I8 `5 {57
. f1 p: y; B) d2 r6 \$ @58
- s4 w, b0 V1 T, r7 |0 W, ?59
60
61
. ]' q9 N. ~( o7 B( @7 V62
" i2 B  e6 Y# d63
64
# V& y9 e( S: t# n+ |6 n% H( U65
66
0 _- K- {: }/ l8 V67
# E, ^7 P+ z0 E. Z68
' j" e. i0 k. W69
70
8 P# B* ?3 x+ I' a71
1 [& R. K: w! T9 @6 v72
73
+ ~; L: B! E- C" W74
" \& l0 Z" H9 D" T4 h4 w. N% W( q75
76
! V& S/ j/ J, m, T; v77
, K6 r% a; O- |& V78
2 @! U. i% X$ N  u; B, u# \5 \79
80
81
% Q: ?! T* ]" o% R82
  z- t: a  W  f0 d83

& T) N, z6 t. ]: q  W% A8 u& y
' j0 Z; D; t1 t; i————————————————
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; V( o9 f7 C/ J# O