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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 1 D& h4 l! v9 e
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 / ~! G; {9 W$ P5 s
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n 5 \: [2 b4 o( ~! w' i\" @\" R2 j6 I8 x
for i = 1:n
4 w& W* ?5 F4 Y! l7 R( r# _- U
for j = 1:n 8 D( o! y% s* w# P2 W( J- k
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
9 R4 j' N% e; L; e( J- A8 U& q
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); * U% }# n) a0 Q; L; F
end 0 n) w6 f: l0 F! V, g* k4 U( H1 t
end \" f7 `% ^& ]% H/ V
end
, o; }) ~9 \! v9 u, e: s
m = m + 1;
( ^( \9 |- @0 c\" m( d4 h
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
& j7 S\" b! b6 |: N$ S
k = 1; 0 Q# U5 n0 @$ D# o
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
& p9 s# S( M$ N g1 W5 H
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
1 @# d! I3 Q6 j2 y! D/ [$ N+ ~
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
& f! Z2 p9 @9 l& o, i# e
for i = 1:n ' u0 W1 Q3 D R
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); 1 B) r4 ?\" s) B- z* O2 U) F5 K
if V(1, i) == U(k1, i) 8 O5 S! [% O$ D; F' s8 z
P1(k + 1) = i;
( x. H2 S9 T3 \- J, \+ N
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
2 M, {1 g# O9 Y) H) W
k = k + 1; y- m; P5 M7 H1 q) ]5 u
end ! d) ^\" v$ [4 W8 h4 P; c! C; ^
end 3 [5 M5 `. Z2 s; i8 O) d$ p
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。* Z- z \8 X7 Y8 \6 v

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; & }5 v! y5 d. ?
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
# P; r' w\" R) V. k. |9 p/ _7 P. K
for j = length(wrow):-1:1 1 y3 F1 X/ {1 z& w; z
P(k) = P1(wrow(j)); + ^; ]) G7 _; P$ c- `
k = k + 1; ; ]( W' W0 }( y P. U4 F. Z; H
end
. l+ [- ~ V& @. n/ }6 K8 }
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。3 |6 D: R9 k4 y4 l; I

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]