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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
* u `\" U2 {8 z1 j$ t
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 : Y: m6 P0 d7 j
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n 0 c3 b( l\" I' M L9 V
for i = 1:n 9 I( O6 ]6 S- J# G5 Y
for j = 1:n D; V; f- B; t
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) 8 s: a2 v. u; L6 I7 y$ g
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
4 m0 B$ J3 `9 R
end \" D0 \6 C' W( i2 ?& S' P0 k' K# F# P
end
; H9 x K2 ?1 g6 B' H n
end
( [4 t1 N, Y\" ~# g& V( z' o# `0 W
m = m + 1;
6 z0 S* X( j\" T1 X4 a1 d
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
g* [3 H9 ~1 f2 t# y; Y! E
k = 1; - e( D0 K) t7 |7 R\" f
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
7 j( o+ T' z: G/ y
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 / g, o; z% U) a, X' [' O
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 : }( u$ A# s& C1 F
for i = 1:n
( N7 v* ~0 G r' V\" G$ i) t
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); . l6 }: J$ F- I4 s D8 U5 }
if V(1, i) == U(k1, i) ! x\" o5 r- |% L6 {3 E8 c9 A2 L\" K
P1(k + 1) = i; $ Q1 ^ M2 R* q3 y; b: _ c
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 ! J! B# ~% H7 t% L# K& c
k = k + 1;
* |3 _1 r0 ~& o3 o9 V' l' l& I( S Y
end + y/ e+ S4 H& H8 m( k\" Z1 H
end 2 l/ i9 Y3 w1 W
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。1 _: V( ^. D9 p% y

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
8 }1 R& J! Q& h' v6 G |. s
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 ' q9 P+ a\" ^1 j) E0 J
for j = length(wrow):-1:1
7 m/ x/ j9 _; ]6 i& [; w\" u, L
P(k) = P1(wrow(j));
* N) q, w+ e7 g! Z) k* }
k = k + 1;
4 C: \# v1 j: R6 W/ V1 R
end
$ h( S/ f0 C K' u0 k. w6 X
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
% V2 V2 g, x0 u2 h0 g

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]