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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 ) y' C4 I4 X6 P4 u
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 9 z7 }2 R' N- _, d% f
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
) [, a8 M3 W1 x( z, h7 x; F* K\" z
for i = 1:n
3 d7 Q3 V4 \5 j\" ?
for j = 1:n
7 o7 Q- {6 k$ ]2 x# a
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) & c9 W/ F+ S& Z+ R5 h. u
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
$ |8 l6 |7 Y* F/ B
end
! M\" W( C9 f4 y0 w# d) o% a( b
end
2 b1 \# z) o1 u* m( s
end 2 o4 H0 }6 k' @% W
m = m + 1; 3 L, k; `/ f7 ]9 T- w, }; ?5 a
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
6 w/ L w. Q+ z4 V7 { @ f
k = 1;
8 f+ i' c& M5 p4 ?* W9 [
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 ) w ~$ Z; u( p: k3 L$ m* }9 D0 p
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
* f* ^' E& p! A# f1 ?& k2 |
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
1 t. f& ?* t, H; Z' G! ~5 \/ m
for i = 1:n $ \+ Q5 ?- \- ?
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
\" p$ p' g. w$ ~+ n9 n6 M
if V(1, i) == U(k1, i)
5 Q# k* [' z9 y+ V+ A
P1(k + 1) = i; ; Z2 c/ t1 ^, M5 S
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
) p0 }4 B% W4 {& ]
k = k + 1; # n' B4 b2 J5 j5 T9 y6 @$ N8 n( k
end
3 {, L- y5 |' M2 a* [
end
) o: m, E$ E6 @$ j f
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
" M- W6 b; X# f! i$ K) Q

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; 2 F1 S; @% u& I3 Y+ G\" A* ~. ?
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
o' Y0 J- E7 m, t. Y# o
for j = length(wrow):-1:1
% _) v, Y' p ]5 N2 W
P(k) = P1(wrow(j)); \" O6 E1 J% G4 N, @2 v
k = k + 1;
- b& G- \5 S2 P: d9 O0 P
end 5 z- J' V* W3 I6 `1 A
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。' D) N, e) T6 N9 z g( ^

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]