尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
/ E2 P2 p  h$ [    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
" c. ]6 i7 N3 g- P: W) [' R+ a8 t           l_{1}=(NR\pi )/180 .
1 x8 x8 @# `& P- B6 v3 i. U! H    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
- ~7 {9 C0 c8 v  ^# }/ e1 |           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
  j. p0 B& }- P1 B$ s6 O% u          r=NAB/360,
) l* J& N& W" R2 j1 y2 P   在AB的延长线上取点D,使
( s1 ?0 m' x% {; ]         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
. Z5 i! C% K2 W, k4 @( N证毕.
* ?9 H1 o5 l' l4 v) E4 z    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
! e  ^& x& o$ K' A+ [6 n3 a% r  |解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
4 m& g4 }6 e4 N: n- ?5 W           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
7 u0 g! V; f4 t9 M  K: |5 R  L7 v          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
' _$ Y; T1 d. Y" M. K8 ^               AE/AB=CD/BC
( A0 v3 S" q4 C* ~# s             x=(a/6a)a=(1/6)a
. q! z+ z2 V: Q8 O: C3 `+ D尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
% Z6 Z2 Y7 E- n& @6 F$ J% f9 C" S! l7 A尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj