尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
* x! x  G/ Q) |5 y( c                             苏小光
7 t  x" P, C* N5 T- [                          2011年2月22日
7 g# C; {9 @! p6 Z" T     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
( e+ T) C/ d( T    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
  s. a$ i3 I6 }    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
3 Z& \9 O. x4 B9 _7 m$ a0 I# u           l_{2}=2r\pi .
+ o3 _$ l  d6 _    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
, y, ?- u7 Q' Q8 p) q% x. V3 k/ @           l_{1}=(NAB\pi )/180
3 U! V) b& @" }7 p; {   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
* O2 x/ o% ~/ h) Y1 @3 C; G, j   所以圆半径
$ o1 I- q9 a7 w; S# r" f) Y  _          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
, N+ ?9 M- c; b1 z  W" {: @. Y           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
9 }8 \( s+ O) `0 D( b解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
1 I9 Y4 Q* ^+ L5 H$ i# }    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
& s2 T# A8 s- k% C$ ?! S          2r\pi=(60AB\pi )/180
1 l! i2 `. F: X% y     所以圆半径
% P9 g$ ?8 Y  H6 w/ ^         r=AB/6,
. K2 O" L, P5 P  M3 e4 x; F, q    在AB的延长线上取点D,使
& X  D# L3 X: `& @) K        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
  _- d$ q9 T. |& Q- p* k7 m3 K+ n       ∠BAG=20(度).
6 U! }3 s1 W3 j0 m1 Z( g; x$ x5 D   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
) V. p4 X9 k9 j# r$ Q8 M* w9 Q3 o作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
& z; Q! i$ G1 \               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
8 {/ h. G( ~. f1 x% Y我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
2 v9 B! f, h3 i& F% Y% ^              r／AB=N／360
& X5 |) E4 F$ y- G% j7 j        显然有
+ B4 h+ {% L1 W. \              r／AB=a／b,
6 s% ?0 z: z( X' |2 i3 D) A         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
9 N& x' N/ R/ }0 f& s5 g' r        易证
        △ACE∽△ABD，
       所以
       EC／AC＝BD／AB，
     即
       BD＝(a／b)AB.
  w1 y& j4 H8 p     令
) V- N) D8 G0 B. b       BD=r
7 i  `6 Y8 T1 K" [' |     即为所取.