尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
& v% G5 L) B) E+ v( r                             苏小光
- B! n) t4 W9 D+ n0 P                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
: ?% K$ }' [/ B$ I  B5 J; P4 j4 e    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
7 u% V5 m0 P1 Y0 `7 g( n+ x" u  R. r, D           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
1 j! R4 T* O4 f1 `% p  a    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
6 _5 I9 W, y( p' V根据公式1 有
5 s- s: [5 a, g( w8 w           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
          2r\pi=(60AB\pi )/180
! I  d. |8 s- G0 ^8 m     所以圆半径
5 O' S) q6 |3 e- @: I  \         r=AB/6,
& e& P) m) b8 k- m9 @$ ^- l7 [3 W    在AB的延长线上取点D,使
  ^% L9 Q$ S& G9 @+ [0 \        BD=AB/6
2 F3 z0 Q! f: o0 q5 X# e    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
/ Z( j& g- F; K) s3 x   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
+ |+ N1 r4 K; z& W3 X( Y               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
# q* U' @! C$ A5 Y尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
5 j- O+ p1 F/ l尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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