尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
" n3 K$ {# l1 T5 U+ N                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
. S0 b$ g" [4 D3 O$ G. w    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
& f" ~4 l, g8 w- @7 J4 J+ D# d    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
5 V2 S7 @0 p! v  j( q% ]0 I           l_{2}=2r\pi .
0 }; s% d$ w& n# F0 C5 c6 t    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
2 Y+ k# ?+ x6 `    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
9 r! f+ `/ a4 o# v: \           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
; t9 R8 ?4 m2 ?! x5 b6 U1 L           2r\pi=(NAB\pi )/180
8 M* R+ q1 g6 `6 P4 T; p& }* M, e   所以圆半径
$ ^5 A9 S" y& `$ d' l+ X$ P          r=NAB/360,
9 L7 n$ _- Y5 B+ L; U, H( a   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
* n: R' w- h* x  N% l           ∠BAG=1/3 ∠BAC
; ]# L6 d( i# l" r" Z/ E1 a: A证毕.
& G* p3 A# ?0 [* c* B. p    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
: j6 ?7 T$ b( Z, ?0 E  V# Q           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
" W8 v4 T2 ]! l$ h! l( d          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
# a6 ]6 b' P9 v' [; ^7 ~6 z$ r3 k         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
) U3 k3 s; t4 C1 k$ v   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
! K- c' W6 ?; t  M9 j4 l" j( j0 E               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
& B: }6 S8 `7 w  u6 Q, D另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
, U! k9 l, Z( Q, G2 v# x我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
2 J8 q/ y1 A- N) z6 V/ Z            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
# t5 f: b3 ~% F. S% i: X' Y$ I              r／AB=N／360
        显然有
+ [, T9 i- r- y0 K. D$ Y# q              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
* V( n& S0 S: N8 W" G# u         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
/ F$ v# R: G$ p        易证
        △ACE∽△ABD，
1 z' B/ l( y7 H8 t( y& _: U       所以
       EC／AC＝BD／AB，
     即
       BD＝(a／b)AB.
     令
       BD=r
) t# n; ?" ~/ ]. n: m2 l5 B     即为所取.