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签到天数: 849 天 [LV.10]以坛为家III
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尺规三等分任意角的证明(轨迹)
* x! x G/ Q) |5 y( c 苏小光
7 t x" P, C* N5 T- [ 2011年2月22日
7 g# C; {9 @! p6 Z" T 我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
( e+ T) C/ d( T 公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有' `' O8 ^) N. i& n9 w
l_{1}=(NR\pi )/180 .
s. a$ i3 I6 } 公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
3 Z& \9 O. x4 B9 _7 m$ a0 I# u l_{2}=2r\pi .
+ o3 _$ l d6 _ 定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得& X) |" P; }+ F$ ~; |+ ?5 ]
∠BAG=1/3 ∠BAC$ s& u. |6 x$ I* {: o* h8 \
证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则) x b( |' B1 W, \2 S, I4 y$ x. N
根据公式1 有
, y, ?- u7 Q' Q8 p) q% x. V3 k/ @ l_{1}=(NAB\pi )/180
3 U! V) b& @" }7 p; { 设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有5 F/ ?! A/ F4 a% n& J3 J* _
2r\pi=(NAB\pi )/180
* O2 x/ o% ~/ h) Y1 @3 C; G, j 所以圆半径
$ o1 I- q9 a7 w; S# r" f) Y _ r=NAB/360,) }2 ^9 U6 U5 o5 M# e1 M8 H. @
在AB的延长线上取点D,使" u( d7 L! d( [. v9 h
r=BD,9 }6 b d1 V8 F& e9 l
以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
, N+ ?9 M- c; b1 z W" {: @. Y ∠BAG=1/3 ∠BAC4 c* @* F: \8 J5 D
证毕.: U: X) }) M- O; {6 K
例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
9 }8 \( s+ O) `0 D( b解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),1 c3 J4 V- ~$ F( \( s
根据公式1 有- ~$ ?: K2 U9 N0 l6 L/ j
l_{1}=(60AB\pi )/180
1 I9 Y4 Q* ^+ L5 H$ i# } 设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
& s2 T# A8 s- k% C$ ?! S 2r\pi=(60AB\pi )/180
1 l! i2 `. F: X% y 所以圆半径
% P9 g$ ?8 Y H6 w/ ^ r=AB/6,
. K2 O" L, P5 P M3 e4 x; F, q 在AB的延长线上取点D,使
& X D# L3 X: `& @) K BD=AB/6! f" `& T0 t1 n
以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
_- d$ q9 T. |& Q- p* k7 m3 K+ n ∠BAG=20(度).
6 U! }3 s1 W3 j0 m1 Z( g; x$ x5 D (附图) |
zan
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