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尺规三等分任意角的证明(轨迹)

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    发表于 2011-2-23 00:58 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
                         尺规三等分任意角的证明(轨迹), k1 Z% r& e" c; M9 t# N+ v: N
                                 苏小光
    7 x$ D5 C: k1 |" n; L5 d: }  P                          2011年2月22日
    , B  o4 x  G6 B6 m$ o     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    7 q8 z8 n, H% A4 l! u    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
    $ l) Z  s2 G; S2 ]- N           l_{1}=(NR\pi )/180 ." [) M" m! X9 U2 e' I0 I
        公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则, I( b  F: z& M' P( ]
               l_{2}=2r\pi .
    4 a9 `! L* P, O- x; o- b1 I6 L/ r    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得' E2 f3 a! r# L/ R
                ∠BAG=1/3 ∠BAC
    , B4 T" O% b+ s: n3 x* ^    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
    # k) I- I- j  B" O  p' r& ?根据公式1 有5 O. ^/ E8 x4 X2 U
               l_{1}=(NAB\pi )/1807 i* @. n3 {. {. }; ]
       设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有5 ]' j0 m+ |2 h, C
               2r\pi=(NAB\pi )/180+ }  r' I3 Z3 E- `# f1 o+ Z4 J
       所以圆半径
    6 u/ l: A- M8 S( m7 l. l' |          r=NAB/360,
    # z/ {6 [+ ]2 j; v' _   在AB的延长线上取点D,使! f# L. F2 Q; W$ A: }7 e/ C
             r=BD,
    ) Z7 v; [: U1 k( K* y+ s   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
    * T* \9 ^: z9 i' }! ?           ∠BAG=1/3 ∠BAC
    + s" {+ H6 U( O* x: z- F! b$ q! O, E证毕.% ]% X2 @! [/ S' m, w9 B0 F3 D
        例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
    % u/ `- N0 S! h解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),7 s$ B3 ~1 V2 Q& N: x6 Y' {3 p
    根据公式1 有3 f5 O, Y- L) l- d
               l_{1}=(60AB\pi )/180
    6 d4 d  m% C' L9 e6 z5 m    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
    ! B  S  }% C7 i' z1 X/ C; o, [$ F          2r\pi=(60AB\pi )/1809 o! N( G* ?# A( V* w
         所以圆半径
    & B+ D9 O7 H2 F  t) k$ G, i         r=AB/6,
    " y. y8 q( |, [    在AB的延长线上取点D,使; X. V7 k  g% N# ~
            BD=AB/68 `; }+ A+ j* z8 I6 f4 t7 a
        以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
    $ t6 b$ D+ _! M( P) ?5 `       ∠BAG=20(度)., F7 b0 g& j7 g5 C/ C# C% L
       (附图)
    zan
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    已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
    6 {/ a) ^0 K6 y作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DBCA的垂线于点E,AE=x,显然5 o( A5 [  R: ]3 x
                   AE/AB=CD/BC
    + ~% M8 |6 |9 R! W) I9 [: s             x=(a/6a)a=(1/6)a
    5 a5 Z( D+ D; p( v尺规三等分任意角.' y& z, P5 K( u0 C. O
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    自我介绍
    我是來自四川省合江縣的男孩,樂觀自信

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    群组第四届cumcm国赛实训

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    [LV.4]偶尔看看III

    楼主热于思考数学历史中的难题,精神可贵!但是……
    $ F% f3 J. _, J5 F' K3 @尺规作图要求直尺没有刻度,那么请问该怎样做出BD=r呢?
    8 s. t0 ]7 Q- O& x另外,倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决,结论是:不可能!
    3 D( E0 y- g) t9 u我记得曾经读到过这样一句话,大概说,在群论中,这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……
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    xxgzftj        

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