尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
7 x$ D5 C: k1 |" n; L5 d: }  P                          2011年2月22日
, B  o4 x  G6 B6 m$ o     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
7 q8 z8 n, H% A4 l! u    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
$ l) Z  s2 G; S2 ]- N           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
4 a9 `! L* P, O- x; o- b1 I6 L/ r    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
, B4 T" O% b+ s: n3 x* ^    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
# k) I- I- j  B" O  p' r& ?根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
6 u/ l: A- M8 S( m7 l. l' |          r=NAB/360,
# z/ {6 [+ ]2 j; v' _   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
) Z7 v; [: U1 k( K* y+ s   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
* T* \9 ^: z9 i' }! ?           ∠BAG=1/3 ∠BAC
+ s" {+ H6 U( O* x: z- F! b$ q! O, E证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
% u/ `- N0 S! h解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
6 d4 d  m% C' L9 e6 z5 m    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
! B  S  }% C7 i' z1 X/ C; o, [$ F          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
& B+ D9 O7 H2 F  t) k$ G, i         r=AB/6,
" y. y8 q( |, [    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
$ t6 b$ D+ _! M( P) ?5 `       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
6 {/ a) ^0 K6 y作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
+ ~% M8 |6 |9 R! W) I9 [: s             x=(a/6a)a=(1/6)a
5 a5 Z( D+ D; p( v尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
$ F% f3 J. _, J5 F' K3 @尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
8 s. t0 ]7 Q- O& x另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
3 D( E0 y- g) t9 u我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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