[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：
8 q  j3 F, b# U' m8 o% o  T; d0 u
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
. z2 Z6 y0 b+ z& Z, P: D6 X6 ?: x: X（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
- g9 V/ V% `2 u3 x（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
& T# H. t& v, Y7 Z9 _: u9 P5 G. `
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

) c( K, _- E) W7 p0 E& x& J9 ZLehmann
6 A8 ~6 F6 D! j+ |另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
  @4 [* g& T& @: w2 m# Q' K7 |
# J# H: ^7 x% }7 d( O5 {, K（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
* P3 Q5 x9 G, S+ l  N（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
, N0 ?/ n% H: z% {2 P( _7 o（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。

3 @8 {9 J( d# D) W* CRabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
5 \. n# L4 U5 P0 |# T+ N
首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。

! x/ k$ t- g5 M2 d7 j$ B（1） 选择一个小于p的随机数a。
0 ^; T* o; k. ]% b* s1 r（2） 设j=0且z=a^m mod p
, e  d3 K4 a' q3 Q（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
9 E7 k0 ?6 r% h& n1 X: |) P- \（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
5 R9 L' q+ T  _% a3 P& x（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数

这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
! t0 p1 ~6 G& j
; F* F9 q2 F2 M, {实际考虑：
$ i  C# J$ W( t: d% w9 V" J在实际算法，产生素数是很快的。

（1） 产生一个n-位的随机数p
6 @: d1 l8 [; O（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
/ X3 E* B! w1 \（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
4 l- i1 ]! |) Q& `6 s: N（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。
8 p7 W% @' ]+ n2 H4 ]7 o/ V, W
% I4 s7 ^3 E6 C* j* ~* \' X/ @
在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数