[转帖]产生素数的算法

lckboy

Solovag-Strasson
& g/ r2 Q0 e3 B+ lRobert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：
1 Z2 H7 c; C; z3 C: h# K
, Z2 P3 @/ S- a2 g: D（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
- w) L' B6 o3 \- T（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
1 _3 u( f( M) ]( ^+ a) b（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
* Q# c2 u: p& D
" I# ]# U# Y- S. F数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。

% J8 g3 {+ d5 ~+ `/ w/ mLehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
5 r  S3 Q0 ]1 A% i3 r
（1） 选择一个小于p的随机数a。
3 P: }/ q6 U' g) n% Y/ V- m! M（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
3 |& ]+ w; _/ }: b* Z6 z（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%

# w; W+ ]  u3 ], i0 s, C同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
! j3 y6 a5 z1 |# ]- z1 }  M* A/ P
- u! L) O8 X' H7 g2 sRabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
$ y8 n) D/ N: \. |
: j3 }" `+ Z# ?6 @首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。

- e2 a3 S. N: L+ ?（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
6 V) K7 _$ Z3 X9 b（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数

5 N4 s+ V1 @7 D" Q, s! n这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
, N8 {% i/ v( |  @. M- H
实际考虑：
) |3 s; [# j/ g在实际算法，产生素数是很快的。
/ I& H0 ^9 {$ ?4 t( ]
% m  b* x( m3 \' d（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
2 h" ~' Z' H, F/ K! M1 c（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。

6 a: m6 u& v: Q& v' S7 x
9 [# i7 o7 o9 I9 Y4 A+ `: J在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
3 `: i% R  w" H1 ?' B$ w5.1分钟产生一个1024位的素数