无限循环小数化分数的问题，好奇怪

beaucky

有一种无限循环小数我们可以把它们化为分数，但在计算过程中，我却发现一个很奇怪的问题，请大家帮忙看看：
+ f; ]4 V- ^9 D- g/ H1 L0 L     0.11111.....（1的无限循环）=（10*0.11111..... - 0.11111.....)/9 =1/9
! W1 j2 z2 h9 i4 r4 }. s     0.22222.....（2的无限循环）=（10*0.22222..... - 0.22222.....)/9 =2/9
$ H0 B& t* x# e, g5 I; ^9 O
. M( Z3 P( a9 L. ?     ......
1 g5 {- ]" r2 y* d1 t
      0.99999.....(9的无限循环) = (10*0.99999..... = 0.99999.....)/9 =9/9=1
- w+ G' h7 m9 t# A; s( K+ M9 h
最后一个式子的结果好奇怪？问题出在哪里呢？

mathjiang

不奇怪，0.9999999999...........正是1的精确表达！

mathjiang

也就是说，1的级数展开式为
" l4 `1 g5 O" b$ P( Y, N; ~1=9*（1/10+1/100+...+1/10^n+...）.

OLS

1# beaucky
: ?7 c' y) Y4 g' m' K" m$ ]
. T/ H! h/ J4 Z5 x  m+ B5 m/ t  I无限级数计算与有限的不同。

OLS

3# mathjiang


级数
. d' V3 ~& n- g3 r$ Z
4 P5 @, k5 Q/ Y) B
　　series
! F6 j0 j' z$ y. z1 Q' k" x* ^3 d$ d

# ]* {  S% g' `4 M5 \. P　　将数列un的项 u1，u2，…，un，…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如：u1＋u2＋…＋un＋…，简写为∑un,un称为级数的通项，记Sm=∑un称之为级数的部分和。如果当m→∞时 ，数列Sm有极限S，则说级数收敛，并以S为其和，记为∑un=S否则就说级数发散。

) t8 t; U  I5 t& B8 q: |9 y4 E5 Y
　　级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数， 微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。


　　级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛＜＝＞任意给定正数ε，必有自然数N，当n＞N，对一切自然数 p，有｜un+1＋un+2＋…＋un+p｜＜ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。
# F% E+ T( E1 s. e
% }2 X# U: ?- v5 Q5 d* s9 d
: `9 [9 `. N7 x* q, G3 U　　如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收敛，因为
3 z% R/ J7 ]. r2 z0 I$ Q: w
' [3 d9 }9 ~* S9 l
8 O+ Y/ N. X6 U# V2 `9 B3 W　　Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2^2+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

; ^, f' t" y1 ~" l  V
　　有无穷多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数，其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的级数，称之为交错级数。判别这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别法 ：若un ≥un+1 ，对每一n∈N成立，并且当n→∞时lim un=0，则交错级数收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收敛。对于一般的变号级数如果有∑|un|收敛，则称变号级数绝对收敛。如果只有 ∑un收敛，但是∑|un|发散，则称变号级数条件收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)绝对收敛，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是条件收敛。
4 K* c: ?6 K3 s; h3 e/ J' q- ]& ?! L
+ I* t% b' f5 G" h2 n
　　如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un＝un(x),x∈I，则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。若x＝x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间。显然，函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S(x)，即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件，Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。


# g' ]* k) ]0 c" z; {　　一类重要的函数级数是形如∑an(x-x0)^0的级数，称之为幂级数 。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。


! K) Y5 Q% o) g% i, j! a　　还有一类非常常用的级数是傅里叶级数。

OLS

5# OLS
4 s7 Q6 {: B1 H  f* `  p' X
3 f+ ^& a+ i& ]# a, z  [# v/ G5 e) v4 R无穷级数的历史
5 O1 F6 j. _$ B1 x& s# s: ^: R将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。
, |/ c6 i  w) m- f17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。

" U2 |* f) V& v0 ~[编辑] 审敛法14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。
/ ~$ h8 j6 g: J4 ]( f. Z* L2 E7 L+ [然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数
% K( u; a9 ?1 r3 ?) N
的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。
柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。
5 O( X# c4 v5 ?7 X  p; m7 _' I( I% C1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数
& f- q4 b' y! R7 f  b  T8 z: u的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。
柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效） ，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。
对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。

OLS

6# OLS

, [: O2 f& Z' R5 |" m+ T% C$ X' A
呵呵

887413

我看不懂了，

qszhu2006

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddd

master-forever

级数收敛性问题