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独孤九剑
升级   59.4% TA的每日心情 | 郁闷 2012-4-30 23:06 |
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签到天数: 6 天 [LV.2]偶尔看看I - 自我介绍
“独孤九剑”的要旨,在于一眼见到对方招式中的破绽,便即乘虚而入,后发先至,一招制胜,
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3# mathjiang
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级数" t& O& P) M' K9 p$ K
3 X( N) ]9 q. C: a- j3 Q
& p5 W+ z9 ^6 t# H series( ?: p S2 ?: D; m5 K. S
4 ?+ I0 C6 G9 A& A* C$ y, v
) N3 \. z/ W; y9 H9 j8 z& E 将数列un的项 u1,u2,…,un,…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如:u1+u2+…+un+…,简写为∑un,un称为级数的通项,记Sm=∑un称之为级数的部分和。如果当m→∞时 ,数列Sm有极限S,则说级数收敛,并以S为其和,记为∑un=S否则就说级数发散。* v2 G. ]+ G+ m. g
( ~% R$ P; V8 [
6 T) l) b* E6 k) B5 n
级数是研究函数的一个重要工具,在理论上和实际应用中都处于重要地位,这是因为:一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数, 微分方程的解就常用级数表示;另一方面又可将函数表为级数,从而借助级数去研究函数,例如用幂级数研究非初等函数,以及进行近似计算等。8 {" B- o' }: T
, f( P/ X! A% S5 m/ [& s" X
+ ]4 X/ c6 M) \7 M 级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知,级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 :∑un收敛<=>任意给定正数ε,必有自然数N,当n>N,对一切自然数 p,有|un+1+un+2+…+un+p|<ε,即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。
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* ]9 F- G- S# U5 }$ g4 O
( N# S; D' \0 x3 ?, `$ X: q5 A 如果每一un≥0(或un≤0),则称∑un为正(或负)项级数,正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界,例如∑1/n!收敛,因为
3 d9 ^ ^- X7 T8 o0 q- i+ ^$ p1 c$ w5 Q7 h$ d+ h& ~/ p: N' o
$ j) Y) z- V! w1 x4 q7 y
Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2^2+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。 6 @5 D( o. _7 y! D+ i: _
0 W. h7 A# C! \* f, ^+ }2 M
; s( `2 S% c, k
有无穷多项为正,无穷多项为负的级数称为变号级数,其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的级数,称之为交错级数。判别这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别法 :若un ≥un+1 ,对每一n∈N成立,并且当n→∞时lim un=0,则交错级数收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收敛。对于一般的变号级数如果有∑|un|收敛,则称变号级数绝对收敛。如果只有 ∑un收敛,但是∑|un|发散,则称变号级数条件收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)绝对收敛,而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是条件收敛。 , x. p! d8 N/ p; t8 _" ~6 k) A6 t$ w
. `/ L, X) K, D: d6 K( R' C' r4 s {4 }( f
如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un=un(x),x∈I,则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。若x=x0使数项级数∑un(x0)收敛,就称x0为收敛点,由收敛点组成的集合称为收敛域,若对每一x∈I,级数∑un(x)都收敛,就称I为收敛区间。显然,函数级数在其收敛域内定义了一个函数,称之为和函数S(x),即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件,Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。
; @" v7 S) P; O0 B" A& B8 Y( u% a* P7 @. X
: D% x5 u( k. |' A9 N- _
一类重要的函数级数是形如∑an(x-x0)^0的级数,称之为幂级数 。它的结构简单 ,收敛域是一个以为中心的区间(不一定包括端点),并且在一定范围内具有类似多项式的性质,在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2],幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1,3],而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。
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还有一类非常常用的级数是傅里叶级数。 |
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