数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
: R7 ~2 l; q1 U
- k$ }4 _/ N+ a) x  u. H, |+ g+ M8 m( p线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
1 简介

1.1求解目标规划的思路
) A0 c. H. V+ j0 h& s
+ y! L6 D3 y- W; u: s（1）加权系数法
  k2 u( G( p6 [9 Y为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
0 [2 a% {( Y. [（2）优先等级法
+ j" e: c" Q" y3 u, V2 H将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
$ t) H: @% f% p' H( F8 g（3）有效解法
& i" ^4 Y3 ^. s. K: A寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
, S% j# b$ Y2 P
1.2建立目标规划的条件

3 {! f: [% Q/ W6 U（1）正、负偏差变量。
, i- r6 E3 _; I7 o% f（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。

; X/ j. J* q- F1.3 目标规划的目标函数
. p: U. \5 m# k1 e3 x
目标规划的目标函数基本三种形式为
9 @: C  f" {5 M7 y* Y（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
2 M/ m* g# D! Y* \% l, o3 p6 k  y
* ]! U) c, ]% @) @% w. s（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
) F8 G  e& T, x' R8 c( l2 Y5 W
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时

  r" v' c" P7 {, e7 l) u
1.4 目标规划的模型应用

（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
3 b, g( U: z' D/ R$ M5 e（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

2 目标规划的一般数学模型

* l) w0 ^) p! o0 C# u, U% c' O设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下

' H4 `0 w9 p9 q% z: X; ~
1 D! P& Z. V# b可用序贯算法求解目标规划。
$ h& Z1 g) y. w+ [3 m  H; I7 X* Z
3 数据包网络分析（DEA）

- p* k4 O0 f) ]  @3.1适用范围
, A$ U4 l# d+ A5 T7 P3 f
# r9 l- a/ g& [) `. _4 o0 I" [* _6 cDEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
+ _# U# D7 B% g6 X
7 \/ E+ j  E7 a0 I% g5 G7 T2 i3.2 数据包络分析的C2R模型
- h3 g* Z! }7 i5 ]0 Z4 H7 x1 w
% ^% [1 y; N% ?9 _4 y+ [) `: m设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
5 C! w/ N  F! a+ G! q4 h* q定义决策单元j的效率评价指数为
5 c3 J4 W2 p% u& }8 p" T6 I评价决策单元效率j00的数学模型为
8 S  [3 E$ _9 q

对于C2R模型，有如下定义：
1 L# S/ @" p. ^% ]! t2 j3 ^（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
7 r# O! D  X( K( g


8 |' }0 v% c) L; p: w$ [' U
( _, ]( e( K6 D& I, Z