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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
7 N7 p; A: [% D3 N' L5 o& u8 Z( X% Z4 I# f4 T0 W
P& o, M* m5 {* r
: K: ?" p. i Q
A题 安全的后视镜
; n0 l6 X4 ^7 Z |汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有( ?% p7 x$ Q$ h6 K3 s
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视, F2 Z( n# O8 J4 t
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.! ]+ }9 z, f" X
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.8 r% t) H, I4 B; g$ y/ D' r
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
. a5 H4 |" s. D5 f0 i0 o; H获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的1 p }' \) H# J' D9 b
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.( o: \: K1 }1 c1 u) Q- k; H8 |0 d+ Q
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
/ E/ e) q. V9 |造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
, J2 X, H8 f+ L! F: d离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
- l0 t9 y f) \, ]9 x种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
; F. H5 C; U0 v- e% [1 m" b平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线0 s9 r) t) G5 F5 t6 A
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
3 l0 c7 e+ M k( r1 |能也会有所不同.
1 v/ o2 x! _4 D5 m第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
6 g H( D9 M: S+ k; E外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
- q- B; k4 K, x5 z1 }! p: v设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜) p+ [ Y; M/ J' @4 D! @4 A8 n
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一% n% d6 G" W) H, @% Z# v
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
0 e; D# ]& U! b8 i( |4 ^5 y: X的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相$ G1 ~2 L3 q1 L
应的国家标准.
! T+ Y# w: R5 ?, G$ A1
: U$ z9 u: ]5 E7 b2 x0 ^图 1: 变曲率后视镜的例子
/ l; v: a" L/ h
+ N$ n7 w0 m A* n
8 z; ~2 Y- U9 S; F# uB题 岁月的印记; z! l% ]% _' s. I
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经3 A; Q Z/ C4 E2 }' M. l3 `% M# D
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
: {. N: G5 L$ }出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起$ r! }$ ^, o+ \/ D1 Z1 ^/ L7 E
来也就越困难.( |2 z1 x6 I! I3 V7 L f
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
% n2 v9 R9 V I部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
$ Q5 c. w) _3 k假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
8 q! D1 q# b; [8 l* ^; D8 G/ [3 z% J3 j% ?
7 N- e% t \! U* i/ R0 c9 B' jC题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
" Z$ E) d% B( U2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
# ]# s' M4 o8 o) v i% O: K; Z了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
" k s* u( ^- w% ~! z. g# m* D2 o- ?学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考8 s6 ^8 h" G5 {8 f8 A- c0 _
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷
6 E/ d: k" R6 X+ }涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
3 w& a2 N6 r. H( D& h1 `依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
* Z0 W' k$ O1 B+ e; M) L6 f更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的2 l2 ]6 k+ Q8 l3 u1 ~
市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
$ S0 ^; r+ [ K( y8 U5 X1 p% r集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
8 _. V9 [: }% {: v你建立合理的数学模型解决如下问题。- U$ E' o' E4 F3 @& X
第一阶段问题：
6 s* _3 Z+ D, R1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
4 n% E- C" t3 i0 H4 ~; Q的主要因素。
, f/ X, ]- L& f# ?* h2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在& ?0 r. }4 @; U
市场占有率。
2 l( |$ c$ @0 i$ |. z4 \3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会
6 ^) u* y8 {: D" Z0 B/ j% Y情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。3 p) ~2 h- z, ` I) e3 y- Z
4 _1 i6 ^5 }: _ k: k0 o
D题 教室的合理设计2 d* ~" ^" f2 s6 S8 w
（本题仅限中学组和专科组选用）
2 b$ P6 |& k; K+ m d4 I# t某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类
- o: v& H' F! ^的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
! f$ ~( r3 A. w9 U' T& d( V% n4 Z3 U活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计/ r1 j+ l6 A4 N i
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。
" M' f' y$ g+ j# _, }1 ]第一阶段问题：
. p r3 }$ [2 Z) R. m# i1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个
) E, {4 O, ^, K/ k2 I4 o8 k! g座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不) b* j% o P" O
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互1 l m/ n0 o7 D! i
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之" x- f' v0 O6 J3 M1 p& Z3 }' S
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在& ^5 h& g/ d4 Y) M8 s5 w
设计中可以忽略墙占用的面积。% @6 @2 r+ x8 F7 g
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。6 d6 l9 a, w: ?1 ^
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教- ~ X) Q+ ], n
室。
( q3 O* E, J' `; a# o7 p) ? C
( c& x" m( t0 L9 {6 p0 O- Y2 N
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0 X7 W0 w9 N- P+ l |
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
