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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
6 ?" L Q* ?* p# O
3 `) I: v+ {/ f
: |9 F/ p9 ?, t! {% P) H+ N- y
0 o4 n- C" u2 [$ JA题 安全的后视镜
$ A) r9 X; P. p# G) \& G. E汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有6 K$ N8 S" m3 v$ w
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视5 ^" U+ k, v( ?' J
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
6 T; E$ U) x: c5 a% C/ n如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.3 I& h3 V1 H I
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
$ i* H1 Z. {! }3 h' b1 V获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的7 }% g% x' p& J/ z3 _
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.
1 n/ t3 b4 Z; U b但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
- g& J, c- {; _9 ~8 E9 A# n造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
. f- \" s8 W1 {: p( x7 o: Y' v离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一, ^; ~" ]1 X8 ^, Y: m
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
7 b1 ]: }! z) d5 d, J* r* e( O4 J平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线7 ^8 | |4 C) W4 p( S; {
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性% M+ |/ X1 w! E* E
能也会有所不同.
2 @/ V5 F- ]/ I第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
! E3 C, J" u S外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
9 P9 a7 U* J* X, |. M3 r: V5 {设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
2 L( T) E8 ]4 N给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一) w9 r* m3 | p2 C G* f: @( g
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
) s' B2 M1 U/ _8 Y0 N的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
" F$ R3 k! f( p( G7 i应的国家标准.
: M+ f: f! [5 E/ d. p. e1
! ^+ i) k8 U. |1 e% m图 1: 变曲率后视镜的例子2 Y/ d. K5 x: Q7 G: `! o
9 c, K# ~" ?' q- O8 C: W' h
. s Q0 {3 @' R# C [B题 岁月的印记
3 U" I/ u) \3 [3 `$ b- g8 M对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
3 W4 d8 B7 `) E% |4 `历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
9 R% b" M8 z( m, w6 u: ~出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起* c3 Z& V& s5 ]' v+ L% E2 x1 M
来也就越困难.- u5 t% m2 \! i2 T9 ~
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
1 _) r9 E2 p! T8 d部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
2 ?& N, ~/ U# n* O9 H J/ N/ {假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
) ~' Y. F) |! {1 t6 V" P
; A6 q) j3 z- T1 @1 b. t5 g( s |# v" e6 C; z, m* M1 X" l7 R3 @
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？3 y( z, ?6 B+ }1 ~6 h8 q4 l& x
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加# g5 w4 L' i) B( `9 c7 b, l8 F
了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
+ K/ `2 g/ i2 m7 d$ o$ c( O' M7 J学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考
3 d" a3 d: A- _3 R研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷% K9 g- J, F- E6 p, M
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或/ q- }$ B/ ]9 G) q
依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端# @% b* k2 H" c
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
9 l* s5 z0 d% L6 y( u, n( D) D5 |市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收& r$ ?! n) i: M0 R' C$ i0 u
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请; t. j! l" l( |! }
你建立合理的数学模型解决如下问题。8 x! ^& D: N3 [: ]0 q$ [- b% a
第一阶段问题：. l. t$ `6 z6 }( N6 B6 f
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
. C9 g' j, L+ ]4 h W" n的主要因素。
?+ ~: P) o0 ? a0 n8 p2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在
, J7 g# u1 Z- u. k* }5 r市场占有率。
5 H. x8 g0 e' g# ^' o* W% \8 V3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会8 ]# {+ m8 ^: _! E
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。
% s1 v$ e$ I% z1 B6 ^5 S1 m" O4 Z+ e* U) J9 c7 Q4 B
D题 教室的合理设计
5 f, p4 j, `& Q: Y（本题仅限中学组和专科组选用）: W4 K$ K M( _) Y+ r
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类
0 Z4 I' m4 [, d& V! k的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和: Q$ g6 S& w$ t
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计/ j1 ^% V1 ]& r2 j: q
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 ( K3 r+ O- M6 [6 u
第一阶段问题：
9 H! b9 ], A% k: q. C9 T9 c K1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个( s7 l/ I# |6 ^% P6 O. R$ B# _8 M
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不! q' E9 [' h @, i
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互& a" m( Z3 P/ u
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之' i- _7 m1 ~ h5 s% r ~
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在/ N2 z5 r+ V; U$ {; n, j8 U
设计中可以忽略墙占用的面积。/ \2 v2 Z$ T9 b0 E) U4 K4 o
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
. |5 y! { [1 w, }; I3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
: o5 B* v; M5 `6 r% }" X# a室。
3 w) M5 c/ _; Y* m/ x# ]; R# `
2 \0 ?! e6 {1 M
. Q6 _8 i2 q1 y4 ?7 c2 h- F+ Q7 N8 \- ~: n& z$ K$ N0 v8 e8 p
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
