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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn3 `; w: G. H3 a3 c/ q* y+ Z* G
+ x* K6 R8 Q/ K8 A& l. a
) A( f; k8 O& K. L1 i9 R
4 p6 y& Y8 k2 C x+ C' P# E8 RA题 安全的后视镜% A' a5 z' e2 L7 F5 Z9 A
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
* O- ^# j, q4 L$ f1 k良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视0 J- M/ S( p) p# b1 S. M" D1 Z* B b3 b
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
. ~2 F$ l* k7 V$ g* c- y如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.$ ] T5 B+ Q* q; {2 S" i$ M1 e
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面4 ?; O: f: R: E1 A+ {) ^
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的- j: z8 Q& q2 J4 C2 z* w( ~
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.
( @1 X m( T# s6 ^) Z( S% x2 I但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构- K- \1 O% A. f7 K7 O
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
9 a, s! v7 K2 ]3 c: ]( U$ g离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
! N" X3 `# z. u8 M$ E种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
) m, N: {4 ^$ d+ d( i8 V. k, c平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线% A8 t, l+ f1 {9 w3 j6 @' u7 u
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性4 L" c5 X: _1 ?" D& F# u
能也会有所不同.- x; f5 A5 }6 i/ l- i
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的5 o* V: `- T# {5 h
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都 f, A7 z9 C( l8 [$ j' E
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜: \4 V7 L6 O5 o8 |$ @
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
% V9 _2 v9 E- o& g种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有( ~0 p) K2 u t) @
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
( s% y7 w) |& r {4 Y0 V3 j应的国家标准.. b3 @9 R9 ]( n9 l8 `+ W
1
% v# j4 \" W* e R4 p5 U3 x图 1: 变曲率后视镜的例子* |) w3 D5 t5 o5 k: Y0 o
) V3 S# |& j! }0 r3 v
3 c. `' B- ~6 j) `
B题 岁月的印记, p0 u) b3 W. Q& C
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
1 I! d. q9 X' d历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
! u% s/ e7 j5 \$ | H出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
) e% h4 w/ G Q: J! D来也就越困难.) X( v1 O( L" Q7 K, ~
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
1 M& h. O7 F! y: r" e4 [部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
+ T: ~0 S( P$ z& G1 {. D0 f! P1 b* W假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
- ?& ]* I' l1 e/ a$ R6 R, P) M4 Q7 X3 |* G" l2 j6 B0 u; m6 V
: E+ c6 A3 i4 ]' S" c8 v3 ^C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？4 O& }6 H0 R# Z% z- y* |* u g& q7 x
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
: D! ~! {9 i: I: \9 P; O! _了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
/ z4 |2 U- O: [, O8 w6 @0 d学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考: A6 j n5 i* j. ?
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷) l0 z$ S" L' F: }+ y( W! I
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
1 r* b& C4 |& X' h1 u8 `依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端4 J' ? X- V8 Z' T
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的+ V7 I7 g. {2 Y G
市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收7 X( p% @+ u U/ f
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请; m0 _; C2 a1 I
你建立合理的数学模型解决如下问题。1 {/ C/ S) G' W8 _
第一阶段问题：! B. q5 W( X) d4 v' f
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展# k" s) o. C. q) Z
的主要因素。& n' H# t1 [$ d% D
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在& H2 ?6 f! V" S9 _
市场占有率。" [# l# U/ l( n3 \. p
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会4 w# K R `2 ?4 Z
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。 T k0 A/ p$ z8 D7 N5 w3 Q3 z
1 G# u1 @5 {- } ]$ R3 ?D题 教室的合理设计. u; C# }' R& g) s- G7 D) o
（本题仅限中学组和专科组选用）
8 G! D0 D5 T; y$ V某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类
+ X- l* b$ C; n. X" J9 w的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
2 j/ U+ v' g0 G D6 M$ H活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计
6 Z/ f- x: Z* p$ x; \分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 + m/ j: U# x* {# p' T
第一阶段问题：
8 ~9 `' T) H9 ?8 f% d! t1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个/ [6 C, E! u5 h- l+ L" h
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
& M3 Y/ U; W! h/ B少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互+ f7 j) Y! _- c6 }# B( y
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之, l& y; ^; c; K- |) M! h
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在; E' t( R8 W3 N& q7 e7 Z! g% s
设计中可以忽略墙占用的面积。
* k- b+ i- _& B& `) Y7 J2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。: W9 @8 r. [ H& l3 L$ f
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
8 O/ g% w6 F* ?9 |室。
+ P5 p+ ? c" z3 m- e! M& j9 F$ i; U
! Y$ F* S" s" E% q& s/ ]
$ Y. h8 _* ` a |
zan
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
