简单的说,平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理,交通红绿灯的设置与路宽的关系,收费站的卡口数与车流量的关系等...
/ U3 i* C, o d E; O 建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系,所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。
9 M7 G0 J% N5 f通过几道例题来说明一下:
% v8 |) A Q6 f# K9 B% o; \1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。: W% m( V3 c1 Y0 m
第一:找平衡关系。题目只说了出生与死亡,给了我们一对平衡因素(人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关,出
5 a8 z5 V) C& w, ^ 于简便,只考虑出生率与死亡率)。" |/ t M& v, s9 I; v1 [' j- R
第二:找平衡变量,与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。
) {8 @* v" A6 V4 N1 y第三:约束条件,建立方程 % P# E- D- l0 F2 P/ v
1. 人群个体同质。 2. 群体规模大。 3. 群体封闭,只考虑生育和死亡对人口的 影响。 4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。(生育率和死亡率) 5. 群体增长恒定。 6. 个体增长独立。
, X: k9 |9 ~( {: W5 N8 R2 \2 G 人口数在区间[t,t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t,t+△t ]内生育数和死亡数, 则有:
6 x( K$ A$ j* g ( L- r/ n: l5 N! V
则出生率:
0 b* I$ T$ Y) A& r" n M/ S2 u" R! c- p
2 S8 ~+ i; h; M* `) O 死亡率: 7 u5 l2 c& w: H( s2 U Y& K
/ m) t4 U! O& q) G
自然增长率 : / [) J9 M2 m6 T* k
+ l( P) @ I" O1 S5 n+ L
又因为初始条件:6 S& S$ p% i, ?3 ~; G
% H: g8 x i; ^6 k/ Y' Y, v 继续推演可得: ' V; v5 G" N4 J: Y' t- g
3 B# Z- r) v3 a) t$ w
5 v$ q- C+ U8 A* f! Z3 o给定初值 N(0)=N0,可得人口增长的指数模型(Maithus 模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长,即人口数量达到阈值时候会减速增长,模型变为 logistic 模型(s曲线)。
3 e4 A2 p \# ] 以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些(只是本人感觉)。% I9 y" v1 c# j* Z
附本次例题来源的word文件供大家阅读,更深入理解平衡原理。9 v5 k+ \' w3 W) E: p) `
6 d5 x9 e) E; I+ m$ ]/ M
, w& x3 E) B- C; N6 ~
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