数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
( y) `* f* w. p2 F8 g! K数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

" H; X  W$ g& ^7 f一、粒子群算法（PSO）

* P7 }6 l) F) p  h, E1 O算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
, o2 S7 N. I& O, g  Y5 |PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

' s& g2 y. \  xD维空间中，有m个粒子；
1 H5 z: A0 n3 I) c& A8 U4 F: d6 J粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
7 P+ Z5 S- G# w% r群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
; P6 x& O$ Z5 s/ ^3 X- w7 r' m: [" u

二、模拟退火算法（SA）
5 e+ o& i+ U; T9 I# _0 B0 c/ Q, B
1 o1 F7 H0 H; x+ P模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

+ a7 B8 ^- W. ~- F6 V0 n- W产生一个初始种群
) T, g9 q0 J( ]. I3 ]根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
! g) c& W# L- e: ]
四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
& B- [* x3 y& ]' j" I( S适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
) I( r( N" c- C# n3 D% U遗传运算，交叉和变异
& f1 M4 x8 a# ^% d! s/ R! ?2 y选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
' u2 K1 I6 ?3 `+ ~停止准则
  P) F1 c( b% X. O
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
. B' _+ e  Y6 C+ N2 H, W
% g$ h+ w* r8 u四、神经网络算法

: R) I0 u9 N* A$ [7 G和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

; U" M1 ^1 @0 ?* c* C' n五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
2 E2 F+ n# S* L3 L' T4 D& |
1 |7 N' A4 h+ p9 j2 l又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
6 U9 [1 h' T3 n: f+ h优点：
8 H% ]% D( s+ \, A' ?1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
3 {& [" ]! }8 e) N) K3 c2 P2、局部开发能力强，收敛速度很快。
. M# H6 l/ S- ~+ i) G' T缺点：
! A7 ?+ t5 f2 L7 h& Y# B. U1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
9 x' E2 J" D( s! {2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

4 O$ _8 S% z$ |' r0 ?1 h- D将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
4 Q( z! u" l+ P+ s, |$ ~a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
6 b( ~8 M- Y/ H( k- ~2 l% T6 [b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
$ m0 i$ K1 F+ O+ s- j9 u& m移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
$ s, E9 y4 K( D从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
6 f& K) p( C  t3 O) n(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
- V6 ~. |  L* M9 }* R$ W4 L(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
) V0 X& p3 s* U! X3 N# v4 I/ N
0 z  E; {5 `: ^& |" M0 N/ v
/ H) z5 i$ ~( b9 ^) w  h4 J( i9 m参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
. n. t. r  K3 [2 N---------------------


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