数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
8 j# s; K. k+ X: o+ c( J几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
% G: a8 ^8 j$ F, t8 T1 z$ H型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
2 T( v5 K( Y# B$ x/ `4. 按建模的目的分： ：
3 ^3 g0 x, F; Y' S# G预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
3 [+ F( ^% _% h* `8 W一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
8 f! d6 U3 q* ?$ u& X; _) y国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
4 Y3 {2 y: y) ?! T' r运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
4 }- A6 a* D+ [3 `1 C0 f, r3 m1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
1 U* _5 [( F  F$ B9 P以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
7 g$ ^0 M' }/ w* N3 U: p比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
. z3 c, n, a/ N8 K  A! O通常使用 Matlab 作为工具
- D: o/ \7 f- ~3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
( g; f% y" T% c- L. a: n建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
2 ~4 K$ x6 \! L- H4 、图论算法
4 S; ^& Y# r" T3 M$ r7 V; Z  w& w这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
. W2 e3 M8 q- H) B" {论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
3 j" E9 b& g  T8 D: K. H这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
! ?7 k8 p, A$ I+ Y0 D& ^( ^/ X当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
$ T& Z3 s8 T" @9 、数值分析算法
- |- A! n- k+ a3 P8 k' a5 z  K6 F8 ?如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
/ `' J3 Z6 o# |! P! s' Y1 j10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
7 V/ `& C# y' e- Z的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
) b: D1 X) H; c0 C, ~) [. _, j算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
- U- B! s. K: ^4 W+ K* B* O8 @解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
! l3 L7 @1 w2 n" m2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
! w# {- I0 Q3 L: k; }# u6 Q6 N0 W找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
6 l1 Z% y, V, e& {. u3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
+ {$ F$ u* q5 B' d8 a化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
$ a- m; D) {$ c- U一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
* ^' I0 b# `& m0 y7 O8 [! n/ p4 i0 h互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
6 X. o9 C. e$ o8 ~  T1 \) U* g- P5、 、 时间序列预测
# u3 Z! L" R* j& n" J0 i  `预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
. Z  j9 ~3 I) |8 ^. @6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
3 j8 Q" u. l# p+ g  }预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
9 L  k# }9 M. ^1 b" g4 \2 h$ i+ ]大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
! [& u" I& ~8 ]! H! X& f1 m. |办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
$ d& K! ?2 W5 T$ r8、 、 混沌序列预测（高大上）
& }3 K+ q. J! X3 Q# W* Z适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
- e7 u$ l9 Z$ Q* P6 V拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
( v+ g0 g4 L9 Q6 b- N& ?# t10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
) X. D4 e: p) |3 {  B1 i" ^评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
) `. w  j/ K. {( n  ~1 X11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
/ h; }9 L6 X1 l5 b; D$ m$ @1 u' p作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
' z0 K% b- O1 O/ |' X5 ?2 P14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
  \1 e' p# G1 v1 Z. H评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
+ f/ ]  }* \  E9 N该方法做评价比一般的方法好。
& U+ Y2 I  R3 \: @1 j0 L16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
# {5 Q. u4 f% u: D$ j素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
5 N/ i. X. S# e此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
! ~& r& Y( @4 |1 T3 o非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
& k; v! n' H+ i) X智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
$ f  ?) @& t/ C4 [& U) O2 r( X; J8 @% e其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
% Z) o' L3 U* {$ L19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
" M7 b% b  S: E0 W( s20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
& O4 L) x# s% n排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
: M6 i# Z( z2 Y  m( x- t0 l计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
- |4 t" D4 w  Z5 D+ }9 g  L6 p般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
! t! X3 E$ u* jMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
7 ~- U& c& r' A# U射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
+ D0 f: d4 i% k0 U  l4、判别分析
5、典型相关分析
/ W/ u8 K8 H& N" g8 I8 Q6 C8 S6、对应分析
, d# u0 u# Y# r1 U$ ~7、多维标度法（一般）
2 M9 o! k0 K; U4 t0 F9 O8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
8 d# J0 ~+ _2 |& g主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
" H* M  M% S3 G8 T7 _6 R; g& t2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
( w) q$ L; \# y3 Y4 T% ~8 C7 d6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
5 Z' T( f: T$ Y( z1、灰色关联分析方法
) w/ D1 u1 Y: q$ D2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
) z' o0 G) O2 H. l- L% N3、Person 相关（样本点的个数比较多）
% J- y$ a! i8 ]& Q/ T% c6 X4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
- E* B% y: v% z3 u# u+ ~+ p# g（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
/ `1 }3 Y0 C6 G5 ?/ M一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
# Q, O, ^+ q. ?若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
* s, ^4 g! E5 D7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
7 S0 @# V' N: m# V8 A* ^8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
, a  s* r8 o2 M9、优势分析
5 X$ M! _/ |* f+ F2 M26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
& S/ {1 i/ v: w" s: [  o% u率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
- e$ L$ G! A% V) q: S/ O  F+ n4 A, k! B
; f6 Z) I  {# N6 E' f) b7 q

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3 D+ o8 ^0 I/ ]5 B: e! }3 k

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6 K8 j/ W8 u7 L, l- l

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6 g; Q% z8 H  g0 c; D

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的