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模拟退火算法2 G5 \% o# N- _) n: w# _* j# w$ J u& b" j0 q; Q) z: f/ B
模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 9 W! @" Z/ ~1 s, k6 ^7 a6 u* m, a+ ^, V' h1 Z, O+ I
3.5.1 模拟退火算法的模型/ g5 u" v& n1 |% W0 A, O1 D# J
1 n' D& \3 J3 J: |8 @ 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。" T( r0 X5 k7 |& }/ j
8 Y* ]( z& ?" g( N' x7 I! { 模拟退火的基本思想:
( i1 T: c0 y% b* a( U" c5 @$ N) C0 h# I; A- p0 ^4 a2 f' \& J (1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L
5 c' M+ {- `8 l8 W) `, L0 L9 A* ` (2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步:
: R q6 x% N( m8 b0 \6 i% r5 ^. e+ C6 X1 k) o (3) 产生新解S′+ V. H, q. V( W8 R% e
' q2 _% |. c' A y$ i (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数7 q) ?% o# @- [3 `- e0 D; J( h- e6 ~% | |
(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
4 P, S0 G4 U, ^. l$ G1 |6 W0 n8 U% ^1 ~, O7 Q (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。, P( r r9 F+ o, b, U. h2 `( o! c" |8 b6 d
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
* C& B( q" O0 a# ^5 m* l: [6 {; W, n (7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。( O" W. L& p+ T( [7 s5 m3 ^
# |0 z! g5 d! g% l算法对应动态演示图:
2 U& M: b8 _' M/ U+ g. _5 W5 ~0 n5 N模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤:
) h' R4 t) y; q6 D4 {/ Q/ a& j4 b9 X1 h4 a0 }. s3 d 第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。1 y1 w4 s2 Z& L5 j5 s8 ?# _& T
, @& a# V* m, a1 Z# \ 第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。
( @% u+ E0 k, L7 ~( n" }5 N% |/ c9 ]+ W 第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。" p6 i8 K* L( H. o* t
B$ g* z. H3 P8 m/ q% o1 e# b, ^ 第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。" u: {8 u7 }* Z+ x
7 a' c. J: U3 a$ |' Z 模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。
2 @* @6 j' ^% e2 F) z( R' P# L# R$ ?0 `$ v7 K s. F) P5 O8 Z. \6 b9 r/ _* z L
3 b1 w/ A! [/ D. y- j- h5 C, Q8 \: k% C# U+ u( X$ M6 X2 J9 S/ J
模拟退火算法的简单应用
( E, Y- x1 B, c% c9 ^. ?" x" ^, k4 h6 H+ N/ z" F# T 作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。3 x: A- D* ], o9 t) K# T& g
# j8 T, \0 D0 O$ Z3 N 求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下:3 Z7 Y2 S* u4 T+ y: r; P ?2 s4 Q8 D
解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n)6 H, G3 X) V- K. c8 C8 m- {* p8 f' g8 H t& ~, U/ J
目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: / a9 W+ V% w: i! t$ i6 |5 A+ @. w
+ x1 \% N* u% t5 k( O. r! v- H: O0 H& T
+ E; d: Y7 r, u/ I 我们要求此代价函数的最小值。/ S" M: G9 r3 H- X: x$ g7 b2 B, g+ c3 x
新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将- Z( m' |( v9 s& J. m! @0 V0 M- q4 Y6 ]5 Z
(w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)& G& V- E6 O, ?# j# h
?9 x* l# B3 A* ^) t 变为:
9 n) @' x2 r- G$ H6 ~2 R9 c2 i/ ^3 ]6 W5 {# \8 t/ x" k (w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn).
& G6 r& z- ?7 ^; d! g3 x) W2 I4 L$ b! _1 q+ _# K# q* Y/ j 如果是k>m,则将7 d6 u5 L. `4 R4 l" b* j6 g
& z6 W% x/ f3 t1 N u& _ (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
) Z( J9 r1 r W2 w& k, b+ G1 L7 Z' E0 x8 T 变为:4 m1 x: ^& B p3 y4 }' H% K9 f) c
(wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk).4 M4 Z2 x4 _* s/ A
- u: J) {7 m: S3 w 上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。# a5 w9 Y' w$ l u4 e
9 L' r1 e1 a2 f6 z0 \+ [3 O/ d 也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。 9 ^* H# ^: X. W
! d1 F3 u6 S- w 代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为: ) z1 h( z# \! K X+ v9 K
! Q- I9 F2 [0 |$ r( \2 M5 z7 J1 `) z( T* O+ _& Z
8 y* r6 t: p/ y# }) t* v" o根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序:$ y. e: x9 n; F
& l2 Z, Y# i1 [/ h5 nProcedure TSPSA:/ v7 Q2 u. S& d! t ?4 K, u1 f9 n Q
: o( c4 h' Z; B begin ) C; Y% B8 j9 z( c+ u
4 v: R4 n: g, U) \' B8 } init-of-T; { T为初始温度}
: S; F+ c v1 {" D |- Z2 u1 R# j" t$ }6 T5 z$ X6 t S={1,……,n}; {S为初始值}3 x& |8 ]' T) W2 ~# Z
$ m* E& j; T' Z7 C. w1 ^- G K termination=false;) Y6 {' e, T$ _% t/ x4 f
& `. m% F% e4 d; z. t+ x while termination=false" z( G: E& ~4 v: U; o) O
5 u K9 k' w' f4 i6 X) `7 t: V% } begin 5 _9 Q5 P) O2 G8 w
7 w/ `- _" u/ T( s' ?, n for i=1 to L do+ r2 Z3 W2 S8 H& K$ g4 V
8 c+ Y5 J% |" B9 M2 f begin/ \! e* d1 @' _3 I1 s
. {7 B, S* }, p6 P) n' {$ n6 } generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′} r1 m* D# I1 G% q S0 p) Q( a! u- `% `* V1 r% Z' x0 ~
Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}, z% `9 E: f/ Q7 I- {. m+ y& {2 I1 h2 Z! s
IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])9 b+ p9 O3 I- |7 F5 Z* ]$ p0 ^1 _$ }* E5 {9 J
S=S′;0 ^# X1 H7 G6 A2 @' i
7 H3 S. r' \. J- ?/ U IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
3 X4 z5 b3 X$ W" C9 N, u: J9 G2 T7 b8 c/ ~& s, L o( | termination=true;% U. J' v: V# r5 H
4 X6 c/ H% ?3 ` Q1 O2 f- z n End;
/ Z; b( F9 n$ B' C+ K! c+ N8 L1 J) } T_lower;0 c: H# C) Z& e3 z6 o" k+ } l, M+ h- }3 \3 A2 T% @/ Z& o
End;
* F& e/ q% E. A P3 K: `4 Q6 E0 l; _ J3 u% s) g End: O/ J7 g$ C6 L
3 J+ ]' `" f& @* z2 e, z& P9 Q 模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
, N0 v( B3 {+ i/ y% e7 [8 t, s( t4 H6 ~4 ]& }0 ~! U
8 h5 ^) x; A+ Z i9 U7 z# D9 K1 y2 u6 Y' X T1 e+ M4 N) H, I
% L+ n; e4 p5 t# D; U模拟退火算法的参数控制问题5 h( i6 \8 j5 ]
9 h# O' _! g6 _: V 模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点:" |) u) Q# l$ b$ n! O" D# _
/ W0 u# `5 a) N2 K' A (1) 温度T的初始值设置问题。/ Y( x9 w" P+ W5 s H0 A) ^- E F6 Z4 g; |! C
温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。$ S/ G! ?) z9 j+ a% W& o' T0 \1 i \9 c9 M& O
(2) 退火速度问题。, C2 i+ V" T+ M( z
# N q, I; j- I" w3 l9 v 模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
3 W4 w. i" Z4 n' O1 X/ L Q3 \# f2 m+ N& J (3) 温度管理问题。
7 C( s9 Q( l$ c! ]+ ?2 H7 }0 C! A& Y4 B: H9 w5 q) r; i 温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式:+ h- p! D8 Y' c- X w: E
* s7 Z) f- F! f. n( O5 r1 v. D3 P- L0 [4 e5 o5 w J$ [8 g' n) k s) D- E f0 c
T(t+1)=k×T(t)
( Y' z, p/ q5 e& s# ^, L3 ?2 d% l* J- e2 B/ [& h3 V式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数。 |
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