请教王树禾教授

张彧典

+ O8 n) t! U& _# q
2 H% p% Z  r( O% ^( H     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
9 ^* y) h+ M  O+ m定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
/ |7 X3 Z; O+ a9 E1 }                                                                         k
8 Z2 A. `2 d9 B% h" I) b    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
: F# d- F: p* O# k    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]

    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是

, Q4 m, F0 a3 g9 {( L% _                  
+ m8 m" f( @1 q    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。

- l1 W/ e, b# {  ?; P      如果确定是k/6,那么（1）式为
* b1 H/ ?) e: I/ x! c     
( X$ @9 k% B! P* o: b, N$ E      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
) M# n( s& c6 a# Q* T; P! B    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
- s- E7 Q8 T0 d
    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
" Q  g% E4 \/ Z" V* `     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
" d+ f* a. K0 @0 d5 T    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
5 O% j* i# T) P6 X    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
* @7 T$ ^$ @0 u+ o    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
3 P3 G' k( f' N* X- n9 z   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
。
    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
% G0 i- q5 K& V2 I                                                                     2014.04。09
+ h  a9 C. C2 N4 W1 z
. k& [+ Z- B5 b4 L7 V

张彧典

这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿

张彧典

谢谢你们的关注，希望具体的评论。

平凡之不凡

等待楼主的跟帖，厉害