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升级 ![](source/plugin/plbeautify/images/expl.gif) ![](source/plugin/plbeautify/images/expc.gif) 7% TA的每日心情![](source/plugin/dsu_paulsign/img/emot/kx.gif) | 开心 2013-5-30 09:18 |
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签到天数: 4 天 [LV.2]偶尔看看I
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- 从1979年开始,潜心研究世界数学名题四色问题的人工证明,去年由科学出版社出版了《四色问题探秘》小册子。
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本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑
4 X4 B" }8 h5 C! \! ?. w
! Q7 l/ d8 n7 i$ p& N1 ~# n![]() 王树禾教授在他的《图论》(2004年出版)第99-100页中,有定理5.6的证明,现在转载如下:
4 s+ @2 O2 u# S+ X1 S l定理5.6 (1904){5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。) V. Q1 Y' m! x1 v: A1 j% D* @
证明:令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定,开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5,T上各顶总电荷为 ∑(6-K)Pk=12,其中Pk是k次顶的数目,,而K≥5.
' S7 [$ ]! ]6 f; O8 a k ! `8 L% ~' B1 j8 R% U4 W* P
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
; X& ]' L+ R$ B$ B/ F' q 如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象,每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶,即5次顶与7次以上的顶相邻,最后5次顶上的电荷变成0.
# V# A( e" W$ @" E; b 考虑K≥7的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为; P1 K: j0 h, t% Y
(6-K)+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0, 【我把这个算式记为(1)】
7 J% I: W( W' l( Q# G2 [, A! [# o: H于是T上的总电荷量是负的,不是12,矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
" h+ B- k0 ]/ i3 E$ Y) i. B3 }$ r9 k. c6 x# D& S1 A( X* o
其中,我们发现, (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是& W9 L- H% b$ i- }3 e% i
9 |) |) `+ _ h" V& J( i1 b u
$ ]# D0 V3 s7 X 我想 (1)式第一个等号前后数字5和6不一致,应该都是5吧?这样的话,(1)式应该是. u( k* Z% \ q! @6 W* W
(6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 (只有当K大于7时才有)(1)< 0,这又表明开头“考虑K等于7”有问题,只能大于7了。
1 V4 t1 K& `' W6 p$ \0 v& T
& @1 Y% @: P3 X# N6 j0 O 如果确定是k/6,那么(1)式为- s! ]: t* d, X7 h. j" _- c0 \0 r+ J
' d, b/ v! |$ I8 ]% R3 m/ r# b (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0,其中. {5 O- T& E9 w7 F1 W2 V& P
把k=7带入(36-5K)/6时,得, t/ W) U; f7 q3 D: b7 x
( 36-5x7)/6=1/6>0,显然与(1)式的值小于0矛盾,所以说明开头所设应该为k>7才对。但是这样一来,定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
3 K) t3 v# `# Y h3 f& y
% b: |2 ]! {; u+ [/ P7 c p/ V! `: d% D 那么(1)式究竟是什么样呢?会不会是:
( G9 H0 B9 T6 h% ^. S- n (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 (1-1)
9 M4 Z' R, n y或者# g+ r& j& P2 ]/ l9 }. T
(6-K)+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1, (1-2)* O+ g1 k( s' b
因为只有在这两种情形下,所设K≥7才有意义。 8 v2 b& p3 i1 f z! ~- v! R
如果千真万确 是这样的话,对于(1)式,我们可以仿照证明定理5.6的思路:
3 ? d' I b4 Y+ _ 考虑K≥6的顶,即使这种顶的相邻顶都是5次顶,这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
' f& y" ]" i# y+ k (6-K)+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2 或者 (6-K)+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1,
0 q# I7 g1 r& G- a! g于是T上的总电荷量< 2 ,不是12,矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。: |* Z2 A7 H* W3 ?1 U0 o x: p* L
比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明,只是前者比后者多考虑了K=6的情形,由于6次顶是中性的,它既不需要发出电荷,也不需要吸收电荷,所以可以完全不考虑它的存在,即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。 I& c, y5 | X, \3 r
。 U J. ~- ]" u6 s2 {
如果这个仿照证明成立的话,就说明我在《数学学习与研究》2011(21)发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。(在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改)。3 S' B; w- H/ {& T8 F
我的认识对不对,请王教授指导.
+ H' \3 X6 z- \+ d+ k 2014.04。094 f. G) R7 u9 S# C& m* _5 B8 K
* S2 ^' t6 k$ U+ P; d" T& ~0 Y' W1 V1 o: u
# U4 q# j7 h5 ?5 j* k; W3 r
7 m4 N: U" s. k2 q. s/ y+ l+ O- d$ y' _# a- w
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zan
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