- 在线时间
- 14 小时
- 最后登录
- 2015-1-20
- 注册时间
- 2014-5-4
- 听众数
- 13
- 收听数
- 5
- 能力
- 0 分
- 体力
- 318 点
- 威望
- 0 点
- 阅读权限
- 30
- 积分
- 105
- 相册
- 1
- 日志
- 0
- 记录
- 0
- 帖子
- 19
- 主题
- 4
- 精华
- 0
- 分享
- 0
- 好友
- 7
升级   2.5% TA的每日心情 | 开心 2014-8-13 15:17 |
|---|
签到天数: 11 天 [LV.3]偶尔看看II
- 自我介绍
- 爱好建模
 |
问题分析
; Y$ Q7 x: i" e5 @; j# \) [. i 男生追女生,对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数Y(t)。
' [0 i- J0 A# \0 ~: M9 v
( \6 f8 ]* h: l 首先,我们不考虑男生的追求攻势,则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析,我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度,于是引入疏远度函数X(t)。
2 N* W1 O9 U2 [3 s, r3 e% s) V1 H* I9 V! Y X$ H
问题就转化为求解Y(t)和X(t)的相互作用关系。利用微分,很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生发起一轮轮的追求攻势,因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关,可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中,就可以找出攻势与Y(t)和X(t)的关系了。 % N) G: y7 s5 ?2 @* I) E+ V
0 L- |2 @* d$ u* k
模型假设
9 N* D2 F' Z2 _: `! _' t
2 N$ b* j4 \/ ^" I1 B E& g 1、t时刻A君的学业成绩为Y(t);
6 d, `& F. d9 E0 h7 J- K; V% W
# s6 i1 [4 a8 H& ?& Y. ] 2、t时刻B女对A君的疏远度为X(t); 5 t- E! { o- }
* c, a) o( |$ M! |" \ 3、当A君没开始追求B女时B女对A君的疏远度增长(平时发现的A君的不良行为)符合Malthus模型,即dX/dt=aX(t)其中a为正常数。
& l! c x# n7 x
* o+ i: u9 k3 x+ j1 @ 4、当Y(t)存在时,单位时间内减少X(t)的值与X(t)的值成正比,比例常数为b,从而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。 $ W I+ g% T/ b
@0 q0 _/ h9 p& z G 5、A君发起对B女追求后,立即转化为B女对A君的好感,并设定转化系数为 α,而随着的A君发起对B女的追求,A君学业的自然下降率与学业成绩成正比,比例系数为e。于是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。 8 b7 H: y$ w6 Q
n0 J) a" S$ f {7 S
模型构成 % f3 U( y3 X. `9 j
: G& }: F3 W6 s4 t9 C+ O1 @
由假设4和假设5,就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型: $ c4 {; ^( A5 R0 u( K/ p
. V \8 d' z% S, ~! \
{dX(t)/dt=aX-bXY;dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c=αb. (1) 6 L+ i% j0 z; y( p! I$ R
; T" J! A3 N( f* F* H
这是一个非线性自治系统,为了求两个数X与Y的变化规律,我们对它作定性分析。令{aX-bXY=0;cXY-eY=0} 解得系统(1)的两个平衡位置为:O(0,0),M (e/c,a/b)。从(1)的两方程中消去dt,分离变量可求得首次积分:
A9 N! R H2 i3 j9 |9 g8 ?6 T2 T1 G; m, f3 X# r9 e) o" j
F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2) 0 Y9 _0 T3 m2 I* z1 ~0 N+ P3 ~
( S8 m4 ?+ f1 f( W" u 容易求出函数F(X,Y)有唯一驻点为M(e/c,a/b)。再用极值的充分条件判断条件可以判断M是F的极小值点。同时易见,当X→∞(B女对A君恨之入骨)或Y→∞ (A君是一块只会学习的木头)时均有F→∞;而X→0(A君作了变形手术,B女对他毫无防备)或Y→0(A君不学无术,丝毫不学习)时也有F→∞。由此不难看出,在第一象限内部连续的函数z=F(X,Y)的图形是以M为最小值点,且在第一卦限向上无限延伸的曲面,因而它与z=k(k>0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k>0)是环绕点M的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。
' V/ d& _! \: ^$ I/ B' }. m
0 i* C _( f2 v. x 结果解释 / d! O- i% `: t1 t$ `$ j( M
. M( n0 c; ?7 v$ F7 o( o; W) l3 D
从生态意义上看这是容易理解的,当A君的学习成绩Y(t)下降时,B女会疏远 A君,疏远度X(t)上升;于是A君就又开始奋发图强,学习成绩Y(t)又上升了。于是B女就又和A君开始了来往,疏远度X(t)又下降了。与B女交往多了,当然分散了学习时间,A君的学习成绩Y(t)下降了。
+ e/ U6 z& h* b( f; D6 g- M2 J. Y5 P6 y6 m) {3 F! j
然而我们可证明,尽管闭轨线不同,但在其周期内的X和Y的平均数量都分别是一常数,而且恰为平衡点M的两个坐标。事实上,由(1)的第二个方程可得: dY/Ydt=cX- e,两端在一个周期时间T内积分,得: 5 S3 m: l* o+ @- p# ?8 g5 \4 |; X
/ k2 X- G9 C, ]' G' p. m( A0 S n
∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3) , [; q4 E# H# Q9 M( |+ U Z
+ S0 J/ I2 k3 i/ Y5 @
注意到当t经过一个周期T时,点(X,Y)绕闭轨线运行一圈又回到初始点,从而:∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以,由(3)式可得:(∫Xdt)/T=e/c。 4 e% }/ J& e6 r. h4 M a7 l) G, A
& ~ a8 w, M5 V1 o4 T8 c: F) A
同理,由(1)的第一个方程可得:(∫Ydt)/T=a/b。
3 y1 i% {" G O! n6 N# J$ F6 x \; @+ r+ p) b' W4 D8 }! p6 n2 _& A7 V! j
模型优化
" a8 `6 c! n" C5 n3 v
( }7 B0 n( W5 O) r 考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比,比例系数为h,h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下,上述学业与疏远度的模型应变为: 8 H$ ]2 H+ k L5 j: j9 }
! Y3 ]1 c, u$ K0 N; Z {dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY;dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4)
% v2 H+ h) g$ j' ?' _9 B( l/ S5 j- m& u' k
将(4)式与(1)式比较,可见两者形式完全相同,前者仅是把(1)中X与Y的系数分别换成了a-h与e+h。因此,对(4)式有 1 ]" ?4 D/ M* [+ v% D6 K
7 Y x' S5 y+ g* g
x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c,y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5)
/ j9 L* E0 ^) G+ |1 `/ G5 |/ l; e. K2 D+ Z, Z
利用(5)式我们可见:攻势作用力h的增大使X’增加,Y’减少。
1 v) N% ^ ~# ~ { j3 m8 \6 Y. t. R. j3 _) H, X) O: W6 l
我们的建议
# z& D3 p' U' ]
, Y( u% R. E# E) R& \2 f9 z2 G 考试期间,由于功课繁忙,使得追求攻势减少,即h减小,与平时相比,将有利于学业成绩Y的增长。这就是Volterra原理。 此原理对男生有着重要的指导意义:强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果,反而不利与学业的成长;有时通过慢慢接触,慢慢了解,再加上适当的追求行动,女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低!
/ w+ Q; g) W" w* a2 D【转自:http://www.enetedu.com/bbs/html/2008-10-26/200810269005325881.htm】
2 l) Q) l0 E5 d$ I |
zan
|