问题分析 0 d8 f' o6 q& F5 |5 S5 n# g 男生追女生，对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数Y(t)。 4 H, {) S" L [' Y) ]1 v, F. _
/ A3 C- f5 E" k% D 首先，我们不考虑男生的追求攻势，则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析，我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度，于是引入疏远度函数X(t)。 6 C& D7 v% e& P& p- l/ y, E - \0 C. r* M _5 e' M 问题就转化为求解Y(t)和X(t)的相互作用关系。利用微分，很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生发起一轮轮的追求攻势，因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关，可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中，就可以找出攻势与Y(t)和X(t)的关系了。 ) W# I& i/ i% q; l: L7 O
& U1 A8 ~2 T5 D$ F. Y8 P 模型假设 3 ^& b6 \4 I+ _8 j/ R + N& M; P6 w& V6 @% }& {& F; V% \! p 1、t时刻A君的学业成绩为Y(t)； $ ]5 |- h3 t4 I
4 j& x: ~) u/ u2 x4 [6 i 2、t时刻B女对A君的疏远度为X(t)； 7 v) H' k" C$ q4 m+ G) Y* S I2 ~+ |, v
3、当A君没开始追求B女时B女对A君的疏远度增长（平时发现的A君的不良行为）符合Malthus模型，即dX/dt=aX(t)其中a为正常数。 : _5 F) c- B c: C& M4 M% m/ i8 Z/ I0 {( P. R" @
4、当Y(t)存在时，单位时间内减少X(t)的值与X(t)的值成正比，比例常数为b，从而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。 8 I# n* ~/ X" O% j3 l* |/ A
9 X" z% H" W5 e) {1 Y0 a
5、A君发起对B女追求后，立即转化为B女对A君的好感，并设定转化系数为 α，而随着的A君发起对B女的追求，A君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为e。于是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。 3 K l3 O# X* s3 m7 ^$ J* V
9 O/ l% s6 j: \ 模型构成 ; Y2 p$ v# \8 d6 x, l$ D: p
Z9 z' U G/ u- W7 C# ?2 O 由假设4和假设5，就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型： 9 ~5 w$ V: W* D( m6 V. @
% p, U! x$ H2 g2 i {dX(t)/dt=aX-bXY；dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c=αb. (1) 2 o' M9 E+ U' z- y9 j& s: c4 D; U* k2 R$ T8 o
这是一个非线性自治系统，为了求两个数X与Y的变化规律，我们对它作定性分析。令{aX-bXY=0；cXY-eY=0} 解得系统(1)的两个平衡位置为：O(0,0)，M (e/c,a/b)。从(1)的两方程中消去dt，分离变量可求得首次积分： $ ^3 V4 Q3 K/ w* c! g
( r9 L( }5 T# S% S3 ~' r F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2) ) ]$ F& F8 I# {- X4 }2 S
+ }* X& J( I0 B( X4 ? 容易求出函数F(X,Y)有唯一驻点为M(e/c,a/b)。再用极值的充分条件判断条件可以判断M是F的极小值点。同时易见，当X→∞（B女对A君恨之入骨）或Y→∞ （A君是一块只会学习的木头）时均有F→∞；而X→0（A君作了变形手术，B女对他毫无防备）或Y→0（A君不学无术，丝毫不学习）时也有F→∞。由此不难看出，在第一象限内部连续的函数z=F(X,Y)的图形是以M为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因而它与z=k(k＞0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k＞0)是环绕点M的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。 9 H9 Y# n: T' k% \% @3 @6 P- _$ R: M4 R& m
结果解释 8 O4 Z# i; C; K! [% S8 q% P 1 |( `/ u+ Q( I' p O* M 从生态意义上看这是容易理解的，当A君的学习成绩Y(t)下降时，B女会疏远 A君，疏远度X(t)上升；于是A君就又开始奋发图强，学习成绩Y(t)又上升了。于是B女就又和A君开始了来往，疏远度X(t)又下降了。与B女交往多了，当然分散了学习时间，A君的学习成绩Y(t)下降了。 * K' E! t- C6 t2 Q* t e' S+ U E6 F! _& `. L* F3 O
然而我们可证明，尽管闭轨线不同，但在其周期内的X和Y的平均数量都分别是一常数，而且恰为平衡点M的两个坐标。事实上，由(1)的第二个方程可得： dY/Ydt=cX- e,两端在一个周期时间T内积分，得： ! S0 N/ B# @! L4 e7 _8 F& L 4 [' f1 j" W9 h. a* u ∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3) : X( s0 ^* }/ ]5 j ' @6 m( n$ w4 F: h2 `+ X4 ]0 { 注意到当t经过一个周期T时，点(X,Y)绕闭轨线运行一圈又回到初始点，从而：∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以，由(3)式可得：(∫Xdt)/T=e/c。 " i4 ]4 G: ~4 D6 O# Y" {0 x
6 @. ]+ j: _( n0 L1 }& ]
同理，由(1)的第一个方程可得：(∫Ydt)/T=a/b。 " q3 }3 U0 R# N- P' [9 c6 B4 M/ J8 A3 w( a
模型优化 5 \) \- N8 I$ {- Z( F% S9 W/ I6 G
1 z, V7 K7 g. ~' R- Z4 u- _ 考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为h，h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下，上述学业与疏远度的模型应变为： 3 G' X6 D5 Q, ?9 b ! u3 ]% c. K$ l# @0 e! j% s4 L {dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY；dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4) # G O u7 a* P 4 M+ a: x0 b m 将(4)式与(1)式比较，可见两者形式完全相同，前者仅是把(1)中X与Y的系数分别换成了a-h与e+h。因此，对(4)式有 ' U0 _. }. N% I9 E. z
8 l+ g4 }7 k% Y I( C r" \
x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c，y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5) 6 B0 Q1 |- l; G. N+ i & ]) m2 O1 \- p$ N) b3 n0 [ 利用(5)式我们可见：攻势作用力h的增大使X’增加，Y’减少。 * t& R+ c/ ]. W* c4 _2 C; X" A: M
6 k% U; t) f8 @! V4 J 我们的建议 5 y4 P# Q+ L2 i' X9 N. P3 B/ g
' a8 ?/ P) Z3 ]6 t 考试期间，由于功课繁忙，使得追求攻势减少，即h减小，与平时相比，将有利于学业成绩Y的增长。这就是Volterra原理。 此原理对男生有着重要的指导意义：强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果，反而不利与学业的成长；有时通过慢慢接触，慢慢了解，再加上适当的追求行动，女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低！ 8 N" k( w: D* Q8 Y+ `8 Q【转自：http://www.enetedu.com/bbs/html/2008-10-26/200810269005325881.htm】 % \+ y' Q. _" c, b' @, c
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发表于 2014-5-11 21:55
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发表于 2014-5-12 12:49
