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升级 2.5% TA的每日心情 | 开心 2014-8-13 15:17 |
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问题分析 3 @3 b1 P! V6 a* n
男生追女生,对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数Y(t)。 , k$ Y5 W9 j: Q5 N, x+ M: X8 r
. I) j; _9 z; F+ H 首先,我们不考虑男生的追求攻势,则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析,我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度,于是引入疏远度函数X(t)。
" v! f ^: L8 |5 Q# i; h" A! F9 [
: E$ G+ y j+ H2 q 问题就转化为求解Y(t)和X(t)的相互作用关系。利用微分,很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生发起一轮轮的追求攻势,因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关,可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中,就可以找出攻势与Y(t)和X(t)的关系了。
u1 ?4 s$ ]! |) y0 [8 e
4 D- e9 u4 k5 g6 M | I: L 模型假设 $ ?; T. N/ i( D* R
' o3 r8 T9 d) _* ? 1、t时刻A君的学业成绩为Y(t); + O0 m9 i4 S5 A# h8 _1 j) s9 r0 Z
6 x$ L" |+ |' m0 J
2、t时刻B女对A君的疏远度为X(t);
$ t. \% s! ]2 K3 v C2 V/ S4 j: a; g4 h4 i
3、当A君没开始追求B女时B女对A君的疏远度增长(平时发现的A君的不良行为)符合Malthus模型,即dX/dt=aX(t)其中a为正常数。
: `0 l( h1 s1 M0 j) F
0 M( b0 i2 G- _, ]4 t2 C6 d/ g8 H4 { 4、当Y(t)存在时,单位时间内减少X(t)的值与X(t)的值成正比,比例常数为b,从而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。 4 u% _/ ~2 V+ c+ O+ O& s- ~
/ W/ J( G9 {5 _ u! e 5、A君发起对B女追求后,立即转化为B女对A君的好感,并设定转化系数为 α,而随着的A君发起对B女的追求,A君学业的自然下降率与学业成绩成正比,比例系数为e。于是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。
$ g! _8 q$ C5 {" v9 ]+ a4 m& z! o" H0 i5 M" d* q
模型构成
4 ]3 P2 w; y1 [5 w1 N% b5 P
( Z# S6 A" M* A( a 由假设4和假设5,就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型:
4 z7 I* m2 A5 d3 Z" {, L4 O8 b" n
4 H0 n( O, h8 ] {dX(t)/dt=aX-bXY;dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c=αb. (1) $ b% \$ Z3 d- g$ i- M
* G+ z/ P% c& M# v9 L* F/ S* G( M 这是一个非线性自治系统,为了求两个数X与Y的变化规律,我们对它作定性分析。令{aX-bXY=0;cXY-eY=0} 解得系统(1)的两个平衡位置为:O(0,0),M (e/c,a/b)。从(1)的两方程中消去dt,分离变量可求得首次积分:
; o- \ x* _ N6 C7 K
$ X+ Q& m) p _* x: _4 ? F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2) 0 c4 a6 t/ [; |
( w H- h8 e' M8 B# L
容易求出函数F(X,Y)有唯一驻点为M(e/c,a/b)。再用极值的充分条件判断条件可以判断M是F的极小值点。同时易见,当X→∞(B女对A君恨之入骨)或Y→∞ (A君是一块只会学习的木头)时均有F→∞;而X→0(A君作了变形手术,B女对他毫无防备)或Y→0(A君不学无术,丝毫不学习)时也有F→∞。由此不难看出,在第一象限内部连续的函数z=F(X,Y)的图形是以M为最小值点,且在第一卦限向上无限延伸的曲面,因而它与z=k(k>0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k>0)是环绕点M的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。
8 t( ]* _6 |! @$ L" o( _1 [ y* D" x9 |8 ^1 a/ H) [( N. c
结果解释
: O0 b2 ^) d4 ?7 z8 h7 A) U1 m2 f( {$ ?5 L0 t5 Z
从生态意义上看这是容易理解的,当A君的学习成绩Y(t)下降时,B女会疏远 A君,疏远度X(t)上升;于是A君就又开始奋发图强,学习成绩Y(t)又上升了。于是B女就又和A君开始了来往,疏远度X(t)又下降了。与B女交往多了,当然分散了学习时间,A君的学习成绩Y(t)下降了。
1 Y5 {! g* F( A* t9 G3 J% x0 J& X/ m" U0 |) Q( ^* c: m
然而我们可证明,尽管闭轨线不同,但在其周期内的X和Y的平均数量都分别是一常数,而且恰为平衡点M的两个坐标。事实上,由(1)的第二个方程可得: dY/Ydt=cX- e,两端在一个周期时间T内积分,得: - ?+ e% G# {- `+ b2 V
9 }2 I; B# r1 d ∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3) ' t5 V% G8 N. h3 m) L
6 o0 s# N4 Q& p' I9 k+ [ 注意到当t经过一个周期T时,点(X,Y)绕闭轨线运行一圈又回到初始点,从而:∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以,由(3)式可得:(∫Xdt)/T=e/c。
# n& _; e" d% i3 \3 D' k# `2 l0 [7 a8 G" J4 y. {7 d, \
同理,由(1)的第一个方程可得:(∫Ydt)/T=a/b。
: h3 i) _7 U" R j& E3 d; P5 R; m7 I" B6 U& O. Q3 l
模型优化
+ P* O: U% o1 s* }5 {% j6 w$ y! M* J7 u- M e% Z3 p
考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比,比例系数为h,h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下,上述学业与疏远度的模型应变为:
5 r- _5 \! {5 J' o
0 k; I2 q* @8 f2 R: D+ N8 { {dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY;dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4) % _4 u Z, g. X7 `6 C
& [5 J8 x( {" }( h ]+ `
将(4)式与(1)式比较,可见两者形式完全相同,前者仅是把(1)中X与Y的系数分别换成了a-h与e+h。因此,对(4)式有 - h" H9 ]9 ~3 O2 j6 k! B- a
- r' N: ?$ I8 K% C: `6 Z+ p8 x
x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c,y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5)
/ M% i( h2 a0 U+ H3 h
+ _9 |" T* _- T0 X: r2 G' D 利用(5)式我们可见:攻势作用力h的增大使X’增加,Y’减少。
- F" J3 k$ J0 `3 N/ _$ X, Q6 @, o. W! l8 g
我们的建议
( N8 E' T/ i# w; U+ U+ _8 j& j/ Q! ^( W0 g% c9 u, J
考试期间,由于功课繁忙,使得追求攻势减少,即h减小,与平时相比,将有利于学业成绩Y的增长。这就是Volterra原理。 此原理对男生有着重要的指导意义:强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果,反而不利与学业的成长;有时通过慢慢接触,慢慢了解,再加上适当的追求行动,女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低!" x- q5 O2 E5 v4 K$ O& ~$ q
【转自:http://www.enetedu.com/bbs/html/2008-10-26/200810269005325881.htm】
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