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问题分析
# R7 d) S+ v/ H1 W- I 男生追女生,对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数Y(t)。 % w2 v7 U: N) o, F" F6 v
+ s J% o+ R+ ]7 e 首先,我们不考虑男生的追求攻势,则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析,我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度,于是引入疏远度函数X(t)。
1 k5 N) v* l4 v& B( r+ X( }
5 q7 u6 P/ B, m6 s. y% P" ? 问题就转化为求解Y(t)和X(t)的相互作用关系。利用微分,很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生发起一轮轮的追求攻势,因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关,可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中,就可以找出攻势与Y(t)和X(t)的关系了。 * J8 Y) r- r6 b r. f; y
/ F6 u; |) P5 h4 s$ @) R
模型假设
; ~0 y2 n2 f6 v) n& @( F# R4 o7 c# e: P" b( L& o
1、t时刻A君的学业成绩为Y(t); * i9 L% R9 k- ~$ Z/ U
8 h- ^5 b6 B& `* }, q/ } 2、t时刻B女对A君的疏远度为X(t);
6 K! T0 v0 g' M! e2 ^7 y3 M& N% D9 S5 u
3、当A君没开始追求B女时B女对A君的疏远度增长(平时发现的A君的不良行为)符合Malthus模型,即dX/dt=aX(t)其中a为正常数。 # @& z, F d7 P' L( b: e. b0 F
$ Y% a+ B+ D7 Y: T' H. n+ z3 {
4、当Y(t)存在时,单位时间内减少X(t)的值与X(t)的值成正比,比例常数为b,从而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。
+ C% v U, M6 d
4 } z# y" w3 y, Y3 W 5、A君发起对B女追求后,立即转化为B女对A君的好感,并设定转化系数为 α,而随着的A君发起对B女的追求,A君学业的自然下降率与学业成绩成正比,比例系数为e。于是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。 7 z$ u2 k$ B" E' [3 D7 @
/ D, h" b# n. g4 z% v& ~
模型构成 , `- Q' E, R' z. v
% t, P6 g; Z$ c6 j( M+ T) D5 U
由假设4和假设5,就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型:
& ~ L+ y/ x7 @: `. e
7 T$ s/ d3 ]( J0 v {dX(t)/dt=aX-bXY;dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c=αb. (1) + _" e: V- `; J: w7 i; b) f
% n; s5 ^; I3 x" i: k, h5 G
这是一个非线性自治系统,为了求两个数X与Y的变化规律,我们对它作定性分析。令{aX-bXY=0;cXY-eY=0} 解得系统(1)的两个平衡位置为:O(0,0),M (e/c,a/b)。从(1)的两方程中消去dt,分离变量可求得首次积分: ; J4 b+ E/ n' n$ B: r
3 ?4 R" d, k; A F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2)
/ j% f8 C5 o8 e) ?2 e; ^, z: {, m* y
9 A; a7 N9 i4 ]9 v 容易求出函数F(X,Y)有唯一驻点为M(e/c,a/b)。再用极值的充分条件判断条件可以判断M是F的极小值点。同时易见,当X→∞(B女对A君恨之入骨)或Y→∞ (A君是一块只会学习的木头)时均有F→∞;而X→0(A君作了变形手术,B女对他毫无防备)或Y→0(A君不学无术,丝毫不学习)时也有F→∞。由此不难看出,在第一象限内部连续的函数z=F(X,Y)的图形是以M为最小值点,且在第一卦限向上无限延伸的曲面,因而它与z=k(k>0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k>0)是环绕点M的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。 , @, f; i% N r( ^
" B8 ]2 Z( E& X# D; ?/ Q
结果解释 8 \/ q9 U' Q9 R
2 ~' {, n2 Y! w# ^3 T! F 从生态意义上看这是容易理解的,当A君的学习成绩Y(t)下降时,B女会疏远 A君,疏远度X(t)上升;于是A君就又开始奋发图强,学习成绩Y(t)又上升了。于是B女就又和A君开始了来往,疏远度X(t)又下降了。与B女交往多了,当然分散了学习时间,A君的学习成绩Y(t)下降了。
6 g. [/ \, F: h" ]& v. J5 [6 d& I
( P5 g$ E/ A& A 然而我们可证明,尽管闭轨线不同,但在其周期内的X和Y的平均数量都分别是一常数,而且恰为平衡点M的两个坐标。事实上,由(1)的第二个方程可得: dY/Ydt=cX- e,两端在一个周期时间T内积分,得:
3 c1 o7 U/ _3 M8 S: m
& \, [( G9 T$ M q% B2 V" ] ∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3)
& u0 r, T. A- v; O) C8 T7 W
[8 D! k/ k5 G5 u: `% m& w1 G 注意到当t经过一个周期T时,点(X,Y)绕闭轨线运行一圈又回到初始点,从而:∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以,由(3)式可得:(∫Xdt)/T=e/c。 7 k1 {) A* ^1 V( l$ F, s( c! n
' K# j1 r9 T/ r6 r% a
同理,由(1)的第一个方程可得:(∫Ydt)/T=a/b。
& |# E" Z J3 q$ y/ J, C( f3 s6 B# Y+ w, ~- B: d
模型优化 ' [+ c0 [' ?" ]) B- K' Z
; k& ]( s. o/ u* X7 k% _! r 考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比,比例系数为h,h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下,上述学业与疏远度的模型应变为: 9 R3 A7 p; E, `) l
' B- V( U) `7 z9 g6 z
{dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY;dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4) 4 M4 x: O U% U: ~
1 z7 I/ a0 r6 o r& H 将(4)式与(1)式比较,可见两者形式完全相同,前者仅是把(1)中X与Y的系数分别换成了a-h与e+h。因此,对(4)式有
$ E C9 b9 u( U! v( I+ ^4 W2 O( s# ^- o7 ?$ R# ~
x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c,y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5) 7 }! x$ C' T. ^5 q! a/ B0 A" P
( ~6 V& I" a1 T+ y e( K9 c. ~ 利用(5)式我们可见:攻势作用力h的增大使X’增加,Y’减少。 . G# C& \6 R+ H3 _2 @0 }) Q
& Z- A6 Z7 `1 Z0 N: |' U. H 我们的建议
1 x: C7 S! s3 c9 \+ E6 m+ ^. L, p& S" i3 I) ^2 x- ?+ {
考试期间,由于功课繁忙,使得追求攻势减少,即h减小,与平时相比,将有利于学业成绩Y的增长。这就是Volterra原理。 此原理对男生有着重要的指导意义:强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果,反而不利与学业的成长;有时通过慢慢接触,慢慢了解,再加上适当的追求行动,女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低!
$ Z/ W) W( X- b8 y【转自:http://www.enetedu.com/bbs/html/2008-10-26/200810269005325881.htm】
' Z9 S' k% I9 Q" W' A N |
zan
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