请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
, }3 o6 c; K0 M4 b* k3 ?现在转载如下：
+ l- Z1 z1 i5 f/ O+ c1 t( a% e定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
/ x5 a8 q2 q% T: Q4 I6 u    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
; w3 U- a% d! |, u) a为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
: Y2 x) O  M9 ^; h: a) b7 @    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
6 X; U7 [, H2 A+ Z' _, d$ z: h                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
[证毕]
: @' U) n& P0 V1 f. `
9 [+ z. [. j! E- W    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
8 k- I% M, Q  N  x3 X: h头“考虑K=7”有问题了。
, v, ]* f( h* a( o. x    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
0 [0 `4 {1 ]) S1 P6 U' S   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
6 a& @4 w- i0 p3 d$ L9 r2 i2 F/ C    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
4 t0 w4 \7 r/ y# ?9 o
% y  I! T4 [& E! s2 ?    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
+ F, V6 @7 M) M4 o5 U    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
& }& \/ R& d+ [& Z' k+ g   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
: y/ E- r% K; q5 c$ T/ r( I5 O, A: K   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
) L6 I# B) q6 G9 L6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
. D0 s. B1 p$ G* \3 U3 l6 k必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
; r5 i- m* L2 j     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
& j- K, Z; W( ~# J4 |避免构形的简化》中有所修改）。
, M2 G# q. [$ Z. W$ U    我的认识对不对，请王教授指导.
- X: ^5 m, M. u                                                                     2014.04。09
. `' Z# C) W& B( W" t   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~