请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
( @; n1 P; e. z$ i4 F& l. B$ j                                                k
& }# H! E5 v( }- f& ~7 `    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
% e3 l) G' c. v( I! C3 s2 w4 r1 P总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
[证毕]

" \4 [1 W* R2 g& ]5 d& X" b    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
$ ]- `9 r. G1 z3 b    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
/ Y2 C" a. |; @  Y/ b      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
; K" Q+ e( a; s4 w* N头“考虑K=7”有问题了。
    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
" ?4 x0 m" e+ p1 l$ I* Q9 E      如果确定是k/6,那么（1）式为
2 t% t! L9 Y) k2 D   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
& x$ y  c3 r& W6 G! V/ }; B' I3 R    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
: {- ~* _! U% J     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
/ k5 m- }. A0 a) P, q; C$ C或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
% }9 ^0 h- ~& }因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
8 t+ E/ O1 e8 Z5 T: |2 m+ U, q4 {0 X    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
- ~, |" e% w* L的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
& q9 j0 {# E1 M4 Q6 `- L   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
' i3 }0 r% \8 [. s$ E2 g6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
8 t* y. s0 I8 L; s沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
* a! L4 f; n; J7 o% K    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

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山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~