请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
! m' L) ]: F' O2 o/ x8 ^$ O    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
2 r% N+ Z& ]. I' P, P6 Y: Q$ [$ Z8 S                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
( f3 |: x8 @+ G; _  C4 \7 f    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
4 |  U0 z! U1 S3 n7 l/ V! a    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
0 B; v% X" l- N0 V5 U                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
( l+ _6 f3 T3 ?- q( g4 J% o0 R不可避免集。
[证毕]
+ H$ |" Y& C$ F) E2 V7 V) E6 ^
    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
8 r* z2 V' ^5 R, r/ J    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
* N# ~/ l3 ?( t/ L) ^; v      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
$ Q- V5 }8 |: V4 n头“考虑K=7”有问题了。
) K1 O' \; `; p8 o    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
7 E$ v) B! I6 I      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
, o+ p  ]% r3 x. ^' ~4 J( k    把k=7带入(36-5K)/6时，得
4 h  K0 d: g5 x3 s6 z4 {$ p    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
4 D" \0 h2 ^5 ~. _! G8 p7 E$ b; T
- Z! B% Z# U* M$ T0 L" ^! }  r/ f    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
, `  g5 T$ J0 N, h+ _因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
, o8 ^  \3 ^3 ]# z! D1 n    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
9 a* \2 I6 u/ [; H( X  A) a" e的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
. ]# p' G: i+ r4 [+ @* n   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
0 L% Y  H+ S6 L2 b   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
: T" _5 c5 M+ b& |" m    我的认识对不对，请王教授指导.
) R; T! l3 O& m6 W( z- _                                                                     2014.04。09
) \- O" O0 q4 {/ V+ Q# Z: V5 T   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

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山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~