请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
1 T9 ]' v$ b/ U: D, N现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
) u3 S& B/ O  l    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
/ x. ^( Z6 n0 b                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
! f2 Z5 C2 ?  |: t" x! R/ Y# P    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
% }" i7 z; h3 z. h' ~    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
4 M( e# T) u9 x, e不可避免集。
7 t$ p: X: ^8 b[证毕]
' y, b- z. p3 g6 Y3 H& K2 ?* `$ ^3 z
' }  j' b4 H" ?! \  w( J! ~    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
( f7 o" }; A5 n/ h      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
# W* f/ e5 s0 {; r' v头“考虑K=7”有问题了。
) |7 l: ^% W( o/ j    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
% T7 Z. t  q% D3 B5 _- J      如果确定是k/6,那么（1）式为
; i* P, u* J( L% \2 T6 _( v   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
) C  E+ d/ g8 L- J. E    把k=7带入(36-5K)/6时，得
7 a+ Y& [& U, R8 b    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
0 M* U/ g6 u" M  [0 d. s2 W才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
8 k3 _! r: s" V7 Q
    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
$ @# d8 a- j) {     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
4 T7 T- l( u1 D" }/ B因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
0 Q6 h7 C: j; R. D, R. p    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
3 R9 f5 b+ k1 n0 v            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
0 E: {# y' ?' s沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
3 M- X. {0 c0 U! T2 D避免构形的简化》中有所修改）。
3 T; C! j" }. g' m    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
+ {0 ^: k3 P# E( C; N! e/ c5 [( [   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
7 `6 T! K. x4 d+ v; B
6 {+ r7 L# w% V6 B1 J2 h) G. S
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山林隐逸

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