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[建模教程] 模拟退火算法

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    [LV.5]常住居民I

    群组国赛讨论

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    1#
    发表于 2014-8-21 23:45 |只看该作者 |正序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    [p=272, null, left]模拟退火算法

    ' n; s# w$ p& L; k% ?
    1 C& H' n/ }7 s3 N* _3 \
    & A7 N& Q4 n" k: m: A6 u: \
    [p=197, null, left]模拟退火算法来源于固体退火原理,

    [p=197, null, left]将固体加温至充

    [p=197, null, left]分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变

    [p=197, null, left]为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每

    [p=197, null, left]个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为

    [p=197, null, left]最小。根据

    [p=197, null, left][size=197px]Metropolis

    [p=197, null, left]准则,粒子在温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时趋于平衡

    [p=197, null, left]的概率为

    [p=197, null, left][size=197px]e-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E/(kT)

    [p=197, null, left],其中

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]为温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时的内能,

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left]其改变量,

    [p=197, null, left][size=197px]k

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]Boltzmann

    [p=197, null, left]常数。用固体退火模拟组合优

    [p=197, null, left]化问题,将内能

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]模拟为目标函数值

    [p=197, null, left][size=197px]f

    [p=197, null, left],温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]演化成控

    [p=197, null, left]制参数

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left],即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初

    [p=197, null, left]始解

    [p=197, null, left][size=197px]i

    [p=197, null, left]和控制参数初值

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]开始,

    [p=197, null, left]对当前解重复

    [p=197, null, left][size=197px]“

    [p=197, null, left]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]计算目标函数差

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]接受或舍弃

    [p=197, null, left][size=197px]”

    [p=197, null, left]的迭代,并逐步衰减

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值,

    [p=197, null, left]算法终止时的当前解即为所得近似最优解,

    [p=197, null, left]这是基于蒙特

    [p=197, null, left]卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

    [p=197, null, left]退火过程由

    [p=197, null, left]冷却进度表

    [p=197, null, left][size=197px](Cooling Schedule)

    [p=197, null, left]控制,包括控制参数的初

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]及其衰减因子

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]、每个

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值时的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left]和停止条

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left]


    & n7 t- M# n+ x' `" \
      A2 K( i3 c* i) x/ x' _7 a' I$ l! [1 Y; O1 C; f& I% N& ]/ i! R$ j
    [p=197, null, left]模拟退火算法可以分解为解空间、

    [p=197, null, left]目标函数和初始解

    [p=197, null, left]三部分。


    . G4 v9 _# F1 o& }5 m
    * u$ m( o) F9 q6 h; D5 h* t/ Y2 a* H
    [p=197, null, left]模拟退火的基本思想

    [p=197, null, left][size=197px]:

    2 L/ ], ]! |, q' h4 o% B! g0 f5 J
    ( c1 V; ?5 r) b' a) B
    [p=197, null, left][size=197px](1)

    [p=197, null, left]初始化:初始温度

    [p=197, null, left][size=197px]T(

    [p=197, null, left]充分大

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left],初始解状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left]算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left]


    ' X& @7 s4 F! b5 r( Y/ Y2 s7 E[p=197, null, left]每个

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]值的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L


    $ j1 `% r3 N8 f
    9 A, O# i; M1 [6 X" C! e8 p' S3 x+ {* ]( k0 \" K

    ; V& a- {7 w5 B6 ?/ `9 V( u! {( ]  T' l1 q$ A
    + E" e* U4 H7 |
    8 I/ ~+ V. _; c7 a& J% e  z
    - R- H/ Y$ |+ u: V+ {! m2 S
    2014全国一级建造师资格考试备考资料真题集锦建筑工程经济 建筑工程项目管理 建筑工程法规 专业工程管理与实务! y* J4 s/ ?. j. h  t

    8 R$ v/ R- V0 ?8 c
    7 D) s5 J' _0 E* }6 i" L
    % }: [8 ?, c  l# R5 F; }$ n4 A9 F
    0 ]+ S& E8 ~0 Y6 `- H, A* a( z
    * D# X" ?4 j4 N! B) U! N7 u

    9 r( v3 z* |* `- s  X. b( M1 ^
    ! _& f" e3 ?  H+ R[p=197, null, left][size=197px](2)

    [p=197, null, left][size=197px]对

    [p=197, null, left][size=197px]k=1

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]……

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left][size=197px]做第

    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]至第

    [p=197, null, left][size=197px]6

    [p=197, null, left][size=197px]步:

    : U6 }% W$ Q: L  F

    # C- s9 d# @& N0 J6 `: A4 |9 N' e, K( W# n- J
    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′


    6 l8 \& x( S) o* N
    . H" z* n8 q3 b* j9 E' I7 g
    9 s5 Z8 m7 p/ h[p=197, null, left][size=197px](4)

    [p=197, null, left][size=197px]计算增量

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]=C(S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px])-C(S)

    [p=197, null, left][size=197px],其中

    [p=197, null, left][size=197px]C(S)

    [p=197, null, left][size=197px]为评价函数

    4 g* ^4 K9 X- }6 }  [
    % w- @# |4 @: P! p2 b
    ; R% O! U' H% d) z6 ]' n
    [p=197, null, left][size=197px](5)

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解,否则以概率

    [p=210, null, left][size=197px]exp(-

    [p=210, null, left][size=197px]Δ

    [p=210, null, left][size=197px]t

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]/T)

    [p=210, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px].


    , W* P) F" @5 l3 T7 a% V' l8 N
    5 H7 J& \( Q& @[p=197, null, left][size=197px](6)

    [p=197, null, left][size=197px]如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结

    [p=197, null, left][size=197px]束程序。


    3 t; `) @4 [9 j4 f8 {# t$ v- ~% `! m

    5 S8 |: s% |1 J$ p+ g8 L1 K" P[p=197, null, left][size=197px]终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时

    [p=197, null, left][size=197px]终止算法。

    8 y4 K; _9 V6 \  f4 h
    : d8 y9 R' T; o( }  P7 q
    % F3 x% c! _- i3 o
    [p=197, null, left][size=197px](7) T

    [p=197, null, left][size=197px]逐渐减少,且

    [p=197, null, left][size=197px]T->0

    [p=197, null, left][size=197px],然后转第

    [p=197, null, left][size=197px]2

    [p=197, null, left][size=197px]步。

    ' ~: j1 s4 ^0 i5 w; P& W1 e

    4 S+ g+ F$ I( e5 D; ^8 A4 j7 ?) \
    [p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步

    [p=197, null, left][size=197px]骤:


    & B; V$ s' P2 [; h1 f3 P* \3 @: J+ F( `0 E8 V9 _
    ! e1 x# a4 ^. j3 @
    [p=197, null, left][size=197px]第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解

    [p=197, null, left][size=197px]空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,

    [p=197, null, left][size=197px]通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方

    [p=197, null, left][size=197px]法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,

    [p=197, null, left][size=197px]注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,

    [p=197, null, left][size=197px]因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

    : u6 v; E7 x/ t7 n/ z
    ' ^: w7 e, ~: o/ m1 k4 h
    6 O3 U9 ?2 S: Q4 W  H  f# T
    [p=197, null, left][size=197px]第二步是计算与新解所对应的目标函数差。

    [p=197, null, left][size=197px]因为目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差仅由变换部分产生,

    [p=197, null, left][size=197px]所以目标函数差的计算最好按

    [p=197, null, left][size=197px]增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差的最快方法。


    7 S  ~/ L. e0 C0 ^5 p+ M- ^, x9 m+ v3 N  m$ `

    ' g; e' J! \" y* @$ ~$ }* ^: c' W

    1 K7 l9 D& r4 p* `/ C1 c% |
    / f8 |% G: W7 d2 A" w" Z) g) e- e: q$ G7 C/ c9 O8 h+ a3 M' b( X$ q
    6 [. Q, \6 M- I" R1 m, Q9 l

    1 P9 _8 S# r  ~# \
    % k8 o$ J1 s$ C: X5 W; P; H& t& ?' L, t3 |* l; O

    / S$ w' n9 o5 z" d" S# S
    8 b& I% a9 F, j* ]4 m( }7 D1 L& T; L; Z
    [p=197, null, left][size=197px]第三步是判断新解是否被接受

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]判断的依据是一个接

    [p=197, null, left][size=197px]受准则,最常用的接受准则是

    [p=197, null, left][size=197px]Metropo1is

    [p=197, null, left][size=197px]准则

    [p=197, null, left][size=197px]:

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]否则以概率

    [p=197, null, left][size=197px]exp(-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]/T)

    [p=197, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]。


    9 O2 _$ f' H$ @+ E9 M/ e8 I; \! V! O' a" \" ~7 X" u+ b5 ^$ z9 O
    : S9 a2 `7 O# g. Z
    [p=197, null, left][size=197px]第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,

    [p=197, null, left][size=197px]这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实

    [p=197, null, left][size=197px]现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次

    [p=197, null, left][size=197px]迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为

    [p=197, null, left][size=197px]舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。


    ; Y9 Z: w$ g# k( O3 W  B1 h% {: ^
    $ g/ [: {! ?  c$ m) B
    6 f" [# b  T( u" |% Y[p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法与初始值无关,

    [p=197, null, left][size=197px]算法求得的解与初始解

    [p=197, null, left][size=197px]状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left][size=197px]是算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left][size=197px]无关;模拟退火算法具有渐近

    [p=197, null, left][size=197px]收敛性,

    [p=197, null, left][size=197px]已在理论上被证明是一种以概率

    [p=197, null, left][size=197px]l

    [p=197, null, left][size=197px]收敛于全局最

    [p=197, null, left][size=197px]优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性


    6 Y9 d# n9 h- z# C+ O3 ]& G5 v6 j* S: h$ B, R: B

      r; B+ W- n2 a" P& `( \. G( u: S) k, W4 n) u5 k
    ' e' e5 E+ H; r1 B5 b

    * N1 C- O, m7 T, g$ |1 u
    ) ~- a8 t; ]9 N9 {% l9 p) _5 C5 c+ T, Z2 D% E, a. |
    + U& q# W9 B! G1 L; X2 R1 c
    zan
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